相关系数、标准曲线与回归方程
相关系数（r）是衡量两个变量之间的相互关系的一个参数。两个变量之间的相互关系大体上可以分为3种，正相关、负相关和无关，如果细分还有完全正相关r=1和完全负相关r=-1。一般说来，相关系数r的绝对值大于0.8就可以认为两个变量有很强的相关性。
相关系数的求解方程很复杂【表达式如下】，很少有人专门笔算，用很多软件和带有统计功能的计算器都能计算。在大家熟悉的Excel里面就是函数“CORREL”。
从道理上说，首先求得两个变量相关系数，确定了两个变量之间的相互关系，在此之后才能能确定两个变量之间是一种什么关系，然后去建立回归方程，但是绝大多数计算时候并不需要一个这样的过程。比如液相中的样品浓度和响应值之间的关系很明显就是一种正先关，稀释倍数与响应值之间很明显就是一种负相关。这样做的确省事多了。
液相中常用的外标法所用的曲线常被称为是标准曲线，其实不是这样的。标准曲线（standard curve）是由标准品含量和其产生的响应值组成的坐标点连接而成的线，几乎不能画成直线。而外标法用的是拟合曲线（fit curve），是通过最小二乘法计算出来的，都是直线。
另外，标准曲线都会通过所有的标准点，而拟合曲线几乎不会通过任何一个标准点（如果你的保留足够多的有效数字）。标准曲线在标准点上是没有计算误差的，而把标准点的横坐标带入拟合曲线方程是很少能得到该点纵坐标，如果有幸计算值刚好等于纵坐标的值，也不要高兴太早，因为这种结果是由于有效数字保留近似而成的。
标准曲线没有拟合曲线方便，当时不是所有拟合出来的曲线都能用，必须要与标准曲线很吻合才能用，什么样的情况才算很吻合呢？这个就需要用到相关系数r了。一般药典规定液相方法的r的绝对值不得小于0.998，也就是r的平方不小于0.996。常用的Excel回归给出的是r的平方。
拟合曲线是一条标准的直线，是直线就会很容易得出他的方程，回归方程就是这条曲线的方程。方程一般有两个常数，离因变量近的是回归系数，加号或者减号后面的是截距。回归系数实在没有什么好说的，截距的问题多一些。对于有些试验来说截距似乎是非常正常的，截距大于零，可以理解为背景较参比高，截距小于零可以理解背景比参比低。但是对于液相来说就很难理解了，因为从理论上讲背景都是一样的，而且经过分离没有其他成分干扰。
我认为有两个方面原因引起的这种情况，一线性范围选择不当。这里我有个假设（没有证明过），标准曲线（注意是标准曲线）不会是理想直线而是一条真正曲线（只要能测量足够精确肯定是这样的），作出的拟合曲线类似于它的切线或者弦（在很小的局部），如果是向上凸的单调曲线，选点离原点过远，就会得到正截距；相反如果是向下凹的单调曲线，选点离原点过远，就会得到负截距。当然这里说的“过远”要具体情况具体分析的。另一种情况是可能操作的引起，比如稀释问题，残留问题等等，这个就不赘述了。
拟合曲线能否能用一看相关系数r（已经说过了），二看截距。一般认为截距的绝对值要小于拟合曲线最大响应值的2%。如果部大标很可能说明以上两个环节除了问题。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数 （合肥工业大学控释药物研究室 尹情胜） 1目的 用最小二乘法拟合一组变量（, i = 1-n ）之间的线性方程（y = ax+b ）,表示两 变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）个人收集整理勿做商业用途 一组数据（，，i = 1-n ）中，两变量之间的相关性用相关系数（R ）来表示。（开 创者：英国统计学家卡尔 皮尔逊）个人收集整理勿做商业用途 2最小二乘法原理 用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（ 方和（Q ）最小。 n n Q=g （并-E （Yj —axj-b/ 整理勿做商业用途 3拟合方程的计算公式与推导 当Q 最小时，加 ％ ；得到式（2）、式（3）: n n n ai = + b￡xj 一 ￡xiyj = 0 1 = 1 [ = 1 i = 1 dQ db = 2 由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）: 忖）与实测值（）差值的平 式（ 1）个人收集 式（2） n n (aj^x.+nb- i = i j = i 整理勿做商业用途 式（3）个人收集
n n n ^Vi=a^\ + b^x i i = 1 i = 1 i = 1 理勿做商业用途 n n S y i = a E X i + nb i = 1 i = 1 收集整理勿做商业用途 个人收集整理勿做商业用途 截距b的计算公式为公式（5）,也即： I 11n i= 1 i = 1 式（4）个人收集整 式（5）个人 n 式（4）乘以门，式（5）乘以已1,两式相减并整理得斜率a： n n n i = 1 i = 1 i = 1 斜率(k = xy /xx , n* 积和-和积)式(6)截距 b =（y-x） / n,差平均差）式（7）
相关系数、标准曲线与回归方程 相关系数（r）是衡量两个变量之间的相互关系的一个参数。两个变量之间的相互关系大体上可以分为3种，正相关、负相关和无关，如果细分还有完全正相关r=1和完全负相关r=-1。一般说来，相关系数r的绝对值大于0.8就可以认为两个变量有很强的相关性。 相关系数的求解方程很复杂【表达式如下】，很少有人专门笔算，用很多软件和带有统计功能的计算器都能计算。在大家熟悉的Excel里面就是函数“CORREL”。 从道理上说，首先求得两个变量相关系数，确定了两个变量之间的相互关系，在此之后才能能确定两个变量之间是一种什么关系，然后去建立回归方程，但是绝大多数计算时候并不需要一个这样的过程。比如液相中的样品浓度和响应值之间的关系很明显就是一种正先关，稀释倍数与响应值之间很明显就是一种负相关。这样做的确省事多了。 液相中常用的外标法所用的曲线常被称为是标准曲线，其实不是这样的。标准曲线（standard curve）是由标准品含量和其产生的响应值组成的坐标点连接而成的线，几乎不能画成直线。而外标法用的是拟合曲线（fit curve），是通过最小二乘法计算出来的，都是直线。 另外，标准曲线都会通过所有的标准点，而拟合曲线几乎不会通过任何一个标准点（如果你的保留足够多的有效数字）。标准曲线在标准点上是没有计算误差的，而把标准点的横坐标带入拟合曲线方程是很少能得到该点纵坐标，如果有幸计算值刚好等于纵坐标的值，也不要高兴太早，因为这种结果是由于有效数字保留近似而成的。 标准曲线没有拟合曲线方便，当时不是所有拟合出来的曲线都能用，必须要与标准曲线很吻合才能用，什么样的情况才算很吻合呢？这个就需要用到相关系数r了。一般药典规定液相方法的r的绝对值不得小于0.998，也就是r的平方不小于0.996。常用的Excel回归给出的是r的平方。 拟合曲线是一条标准的直线，是直线就会很容易得出他的方程，回归方程就是这条曲线的方程。方程一般有两个常数，离因变量近的是回归系数，加号或者减号后面的是截距。回归系数实在没有什么好说的，截距的问题多一些。对于有些试验来说截距似乎是非常正常的，截距大于零，可以理解为背景较参比高，截距小于零可以理解背景比参比低。但是对于液相来说就很难理解了，因为从理论上讲背景都是一样的，而且经过分离没有其他成分干扰。
ELISA的标准曲线一般使用专门的曲线拟合工具，如：Curve Exert1.3 下面以Curve Exert1.3为例说明怎么样制作： 1 启动“Curve Expert1.3” 2 X轴输入标准品的OD值，Y轴输入所对应的浓度值，如图： 3．单击[运行] 按钮（上图红圈圈），出现如下对话框
4．单击[ok]按钮，出现如下两个对话框，关闭下面一个对话框
关闭下面一个对话框 5. 在对话框的右上角出现一些曲线的名称，从“1”开始依次点击曲线名称，在右下角会出现相应拟合的曲线，。
根据拟合的曲线选取ELISA拟合度最佳的曲线双击，出现如下对话框： 注意：选择系数（即“r”值）最好的曲线方程来进行运算。在下面的对话框 右上角有“r”值，当“r”值越接近1拟合度越好 7．按[Ctrl]键+[L]键，（或者在上图的界面上点击鼠标右键，出现analyze选项），出现如下对话框：
8．输入标准的OD值，单击[Calculate]按忸，即可得到待测蛋白的实际含量。（标本稀释了N倍，运算出的数值应再乘以N）。 9. 如想得到ELISA拟合曲线的方程，可在步骤6的对话框空白处右击，选择”Information” 10. 得到如下对话框：点击“Copy” 在你需要的位置粘贴即可得到如下数据： Rational Function: y=(a+bx)/(1+cx+dx^2)
当抗原或抗体浓度过高时，对应的ELISA读数不会再显著升高，这时会达到一个平台期，同样在低浓度时也有一个平台期。只有在适当的浓度时才会出现类似直线的曲线，所以一般数据都要进行多参数拟和，才能得到能更准确反映实验结果的曲线，常用的有sigmoid、logistic曲线等
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（DOC） 标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜） 1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，， i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者： 德国数学家高斯）一组数据（，， i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。 （开创者： 英国统计学家卡尔皮尔逊） 2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。 式（1） 3 拟合方程的计算公式与推导当 Q 最小时，；得到式（2）、式（3）： 式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）： 式（4）式（5）式（4）乘以 n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率 a： 斜率（k＝xy／ xx， n*积和-和积）式（6）截距 b 的计算公式为公式（5），也即： 截距 b＝（y-x）／ n，差平均差）式（7） 4 相关系 1 / 4
数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 相关系数 rxy取值在-1 到 1 之间。 rxy = 0 时，称 x,y 不相关； | rxy | = 1 时，称 x,y 完全相关，此时， x,y 之间具有线性函数关系； | rxy | 1 时， X 的变动引起 Y 的部分变动，rxy的绝对值越大， x 的变动引起 y 的变动就越大， |rxy | 0.8 时称为高度相关，当 0.5 | rxy|0.8 时称为显著相关，当 0.3| rxy |0.5 时，成为低度相关，当 | rxy | 0.3 时，称为无相关。 ( 式（7） 5 临界相关系数的意义 5.1 临界相关系数中显著性水平（）与置信度（P）的关系显著性水平取 0.05，表示置信度为 95%；取 0.01，置信度就是 99%。 在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在 95%以上，这个置信区间为 Y2S，从而置信区间的上下限分别为： Y1=a+bX+2S， Y2=a+bX-2S。 5.2 临界值表中自由度（f）自由度(degree of freedom, f)在数学中能够自由取值的变量个数，如有 3 个变量 x、 y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于 2。
曲线拟合的研究 (时振宇, 刘禹, 彭波) 1 综述(历史及应用) 插值在数学发展史上是个老问题，它和拉格朗日，牛顿，高斯等著名的数学家的名字联系在一起的，它最初来源于天体计算――由若干观测值计算任意时刻星球的位置(即插值点和插值)――的需要。现在插值仍在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接应用. 插值常用方法有拉格朗日多项式插值，分段线性插值，三次样条插值. 拉格朗日插值是高次多项式插值(n ＋1个节点上用不超过n 次的多项式), 插值曲线光滑，误差估计有表达式，但有振荡现象，收敛性不能保证，这种插值主要用于理论分析，实际意义不大. 分段线性和三次样条插值石低次多项式插值，简单实用，收敛性有保证，但不光滑，三次样条插值的整体光滑性已大有提高，应用广泛，唯误差估计较困难. 根据一组二维数据，即平面上的若干点，确定一个一元函数，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，这就是曲线拟合. 线性最小二乘法是解决曲线拟合的最常用方法，基本思路是, 令: )(...)()()(2211x r a x r a x r a x f m m +++= 其中rk(x)是事先选定的一组函数，a k 是待定系数，拟合标准是使n 个点(x i ,y i ) i=1,2,…n 与y ＝f (xi)的距离的平方和最小，称最小二乘准则. 本实验所用拟合方法使高次磨削法，原理在下面叙述. 2 问题分析和算法 3.1基本思路 我们首先考虑等步长情况，不等步长可以在此基础上稍做改进而得。如图,(x 1,y 1) (x 2,y 2) (x 3,y 3) (x 4,y 4) (x 5,y 5) 为所给原始数据点中的一部分，磨光过程中应对(x 2,y 2) (x 3,y 3) (x 4,y 4) 进行切削，图示第一次切削过程。然后还需对(p 3,q 3) (p 4,q 4)第二次磨削，如此重复。高次磨光后，最后一次切削所产生的(x 2,y 2)最右侧及(x 3,y 3)最左侧的折点均向(x 2,y 2) (x 3,y 3)中点(x 23,y 23)逼近，理想情况下两点在(x 23,y 23)处重合，则磨削点(x 2,y 2)和(x 3,y 3)工作完成。切削步长大小有要求，太小则无法对x 23附近的点进行磨削，太大则在x 23附近进行了多次磨削，设每次切削后步长变为原步长的1/n ，第一次切削步长为h/a ，m 为切削次数，则有: h =+?+++))n 1n 1n 1(1h a lim(m 2; 即111=+n a ; 我们取a=2，n=2可符合要求，即每次的切削步长为h/2;