723331213
3
3A -⎛⎫--
-
⎪ ⎪ ⎪=-
-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭
1123T -1123421143
333411272256223333
012183
3
334--b A b 82
=
43
x x A b x f x x x -⎛⎫⎛⎫--
-
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=-=--
--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⨯当时，（7）（,,）的极大值为 5、求多元函数积分方面的应用
对于重积分来说也是代数学二次型的一个基本内容，它的用途在很多领域多涉及到，但是重积分的计算问题仍有很多技术难题需要克服，运用二次型的正交变化能更好的解决重积分计算问题，文章本节将利用二次型的相关理论去解决某些重积分的一般计算问题和求一般曲面积分。
5.1、二次型的正交变换
设22111222132333(,y)222T
F x a x a xy a y a x a y a X AX =+++++=其中，
11121321
222331
32
33,,1a a a x X y A a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
X T 表示矩阵X 的转置，ij ji a a =，矩阵A 的行列式记为||A 。
若 11123321
22
0a a A a a =
≠，
则经过平移后(,)F x y = '2'''211121333
2A a x a x y a y A +++
，就是二次型的正交变换。
5.2重积分的计算
例11 计算 22
exp(2b c 22)d d ax xy y dx ey f x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰+++++
222<0,c-b 00,c b 00,a b
=
=c-b 0b c
aa a a a c A a ><->⇒<≠其中证明由即
002
2
'2
''
'2
33
+=+2b c 222x x x y y y A
ax xy y dx ey f ax bx y cy A ⎛⎫
⎛⎫∴ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++++=+++
’
’设所以
33a b d
a b ||=b c e
b c
d e f
A A =
其中
而平移变化是正交变化
'1111'''1222(,)1(,)C C x u x y C C v x y y ∴
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∂== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2'''2
''33
23312331212||
exp(2b c )d d |E-|=0-(+c)0=0
0,0
A ax x y y x y A A a A A a c
λλλλλλλλλ+∞+∞-∞-∞⎰⎰+++
⇒+=>⇒<<+=+’因此
而得：
2111233122
'''223333
,,wr ,||||
2b c x w r A A A ax x y y wx r A A λλλλλλ=-=⇒==⇒+++
=--+’设 其中，为两实根
22
exp(2b c 22)d d ax xy y dx ey f x y +∞+∞-∞-∞∴
⎰⎰+++++
2
2
2
332'''2
''33
233
|A|/A 00||
exp(2b c )d d ||
exp()dud x
wu rv
A ax x y y x y A A wx r v A e e e dv
+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞
+∞-+∞-=⎰⎰+++
=⎰⎰--+=⎰⎰’
2
33
||)(2A A =
33||A A =
例12 求 123(,,)123p x x x e
dx dx dx -+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎰⎰⎰
3
3
1231
1
p =(a a )ij
i j ij ji i j x x x a
x x ===∑
∑其中（，，）为正定型。
123(,,)p x x x 证明
为正定型，
12312311121311222
21222332123112233333132330,0,0||0=(x ,x ,x )A A C C C x y x C C C y p y y y x y C C C λλλλλλλλλ∴⇒>>>=>⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭为正定矩阵从而取正交变换
则
222
112233123
3/2I=exp y y y y y y λλλ+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎰⎰⎰--==
结果所得：
（-）d d d
5.2求曲面积分
例13 求
1
2
3
x x x λλλ⎰⎰⎰，其中
{
}222
1231231231223(,,)(,,)23221
x x x f x x x x x x x x x x Ω==++--≤，
解
()12232,,3221232221321≤--++=x x x x x x x x x x f
()()
1323222
32221≤-+++=y y y f
{}
222123123123(,,)(,,)2(2(21y y y f y y y y y y λ==+++≤
12312343
3dx dx dx y y y λλλλΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 结束语
伴随着人类文明社会的改革创新，人类进步的步伐越来越快，科学技术的发展已经在我们日常生活中的方方面面都涉及到,数学中的二次型也广泛应用于其他社会科学比如自然科学，环境工程，经济学理论和经营管理等的许多领域，在这个开放的社会，市场经济已然成为我们现在的主体经济，人们社会生活的步骤也不断加快，人们在二次型实际应用中也取得了很大的进步，使人们在社会生活中能获得更多的利益，更加方便快捷。 参考文献
（1） 王萼方等编《高等代数》（第三版），高等教育出版社，2003。 （2） 蒋尔雄等编《线性代数》 ，人民教育出版社，1978。
（3） 孙学波《基于正定二次型的一个不等式及其证明》 ，鞍山科技大学学报，2004。 （4） 吕林根等编《解析几何》（第三版），高等教育出版社，1987。 （5）..F M 菲赫金哥尔茨著《微积分教程》 ,高等教育出版社，2006。
（6） 魏权玲、刘起运、胡显佑等编《数量经济学》（第二版），中国人名大学出版社，2008。
Quadratic form and its applications
Liu feng
Nanjing information engineer brigade university Bin Jiang institute principle department specialty: Information and computation scientific student number: 20102314014
Abstract:Quadratic form is one of the content of higher algebra, the second type is the demand of the modern science and technology, the research theory of quadratic form physical mechanics, environmental engineering, science and technology has important role in the study of quadratic simple must first write a quadratic matrix, at the same time using some theories of the matrix can be better applied to the general case of social life, along with the advance of our human production and living, modernize, the use of the quadratic form is also an integral part of a study.
Key words: The extreme; Geometry; Integrals;
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用 学生姓名：孙云云 学生学号：0805010236 系别：数学与计算科学系 专业：数学与应用数学 届别：2012 届 指导教师：李远华
目录 摘要 (1) 前言 (2) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (3) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4) 3 二次型的应用 (9) 3.1 多元函数极值 (9) 3.2 线性最小二乘法 (13) 3.3 证明不等式 (15) 3.4 二次曲线 (18) 结论 (18) 致谢 (19) 参考文献 (19)
二次型的正定性及其应用 学生：孙云云 指导老师：李远华 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University
Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 1 二次型的概念 定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式 2 22 12111 1212131311222 23232211 (,,...,)22...22...2......n n n n n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x ===++++++++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实 数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.
二次型的基本理论和应用
二次型的基本理论和应用 二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。 一、二次型的定义 二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式 $Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即： $$ Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$ 其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。 二、二次型的矩阵 二次型的矩阵有很多重要性质：
1. 对称矩阵 二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。 2. 正定矩阵 若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。 若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。 正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。 3. 特征值和特征向量
二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征 向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足： $$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i $$ 其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若 $\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。 利用矩阵的特征值和特征向量可以简化二次型的计算和分析。 三、二次型的应用 1. 统计学 在统计学中，二次型经常用于描述自变量和因变量之间的关系，例如多元线性回归模型的误差平方和可以表示为一个二次型。
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用 二次型是数学中重要的概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学等领域。本文将介绍二次型的标准型以及其应用，并通过具体的例子进行阐述。 一、二次型的定义与性质 二次型是指由多个变量的平方和与变量的乘积和构成的多项式。通常表示为： $$ Q(x_1,x_2,...,x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{ij}x_ix_j + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n $$ 其中，$a_{ij}$为系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。 二次型的性质如下： 1. 二次型是关于变量的二次齐次多项式； 2. 二次型的矩阵表示是对称矩阵； 3. 二次型的阶数为变量的个数。 二、二次型的标准型 将一个二次型通过线性变换使其转化为标准型，可以更方便地进行分析和求解。标准型的形式如下：
$$ Q(x_1,x_2,...,x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2 $$ 其中，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$为标准型的特征值。 求解二次型的标准型的方法通常包括以下几步： 1. 对二次型矩阵进行对角化，得到对角阵； 2. 对角阵上的元素即为标准型的特征值。 例如，对于一个二次型$Q(x_1,x_2) = 2x_1^2 - 3x_1x_2 + 4x_2^2$，我们可以通过线性变换将其转化为标准型。首先，构造矩阵$A = \begin{bmatrix}2 & -\frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2} & 4 \end{bmatrix}$，求解矩阵A的特征值和特征向量。假设特征值为$\lambda_1,\lambda_2$，特征向量为$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$。则标准型为$Q(x_1,x_2) = \lambda_1v_1^2 + \lambda_2v_2^2$。 三、二次型的应用 二次型在数学和实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个例子。 1. 最优化问题 二次型经常出现在最优化问题中。例如，求解一个二次函数的最小值可以通过将其表示为二次型进行求解。通过求解标准型，可以找到合适的线性变换将二次型转化为最简形式，从而找到最小值。
二次型及其特征向量的应用
二次型及其特征向量的应用二次型作为高等数学中非常重要的一个概念，其在数学和工程学科中都有着广泛的应用。在本文中，我将会介绍二次型的相关知识以及其在特征向量方面的应用，希望可以为读者提供一些关于该主题的基础认识。 一、二次型 1.1 二次型的定义 二次型指的是一个实数域或复数域内的向量空间V的一个关于向量的二次齐次多项式形式，即： $ Q(x) = x^{T}Ax $ 其中，A是该二次型的矩阵表达式，$x^{T}$表示其转置，而x 则是该向量空间V中的任意向量。 1.2 二次型的矩阵
由于二次型的定义中与之相关的矩阵A是理解与计算二次型的 关键，因此我们需要对该矩阵进行详细的介绍。 对于一个n元二次型而言，其矩阵A是一个$n \times n$的矩阵，其中第$(i,j)$项表示的是二次型的系数，即： $ A_{i,j} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i} \partial x_{j}})+\dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{j} \partial x_{i}}) $ 其中，$\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$是对 该二次型进行求导的结果。 1.3 二次型的分类 二次型可以分为正定、负定、不定和半定四种类型。 当该二次型对于V中任意非零向量的取值均为正数时，我们将 其称之为正定二次型；反之，若其对于V中任意非零向量的取值 均为负数，则为负定二次型。而若其既可以取正数也可以取负数，
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用 二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。 一、二次型的定义和性质 首先，我们来定义什么是二次型。二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列 向量，A为一个n×n的实对称矩阵。在这个定义下，二次型有以下几 个性质： 1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等 价的。 2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。 3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。 4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。
5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。 6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。 二、二次型的标准型 在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) = y^TP^TAPy = y^TDy。 标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。 三、二次型的应用 二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。下面我们将介绍二次型在优化问题、物理问题和统计学中的应用。 1. 优化问题：二次型在优化问题中起到至关重要的作用。例如，在线性规划中，目标函数往往是一个二次型；在最小二乘法中，也需要求解一个二次型的最小值；在凸优化中，二次型也是一个重要的研究对象。
二次型的基本概念及其在代数中的应用
二次型的基本概念及其在代数中的应用 二次型是代数中的重要概念之一。其定义为一个关于一组变量 的二次多项式，这个多项式的系数称为二次型的系数。在这篇文 章中，我们将深入探讨二次型的基本概念以及它在代数中的应用。 一、二次型的基本概念 二次型的定义我们已经了解了，接下来我们来看一些二次型的 基本概念。 1. 正定、负定、不定 如果一个二次型在它的所有自变量非零的取值下都大于0，那 么这个二次型就是正定的；如果在所有自变量非零的取值下都小 于0，那么这个二次型就是负定的；如果既有正的取值，又有负的取值，则这个二次型就是不定的。 2. 极化恒等式
极化恒等式是二次型理论中的一个重要结论。它表示任何一个二次型都可以由一个对称矩阵表示，并且对称矩阵的元素可以由二次型的系数计算得出。同时，任何对称矩阵所表示的二次型都可以通过极化恒等式得到。 3. 规范形 采用正交变换可以将任何二次型转化为一个规范形的二次型，使得这个二次型只包含主对角线上的非零项。这个规范形可以通过矩阵的相似变换得到。 二、二次型在代数中的应用 二次型作为一种数学结构，在代数中有着广泛的应用。下面我们来分别介绍它在线性代数、微积分、数学物理中的应用。 1. 线性代数 在线性代数中，二次型可以用来描述向量空间的内积关系。比如，我们可以通过矩阵对称性证明对称矩阵所表示的二次型是正
定、负定或不定的。此外，我们还可以使用矩阵的特征值和特征 向量来判断二次型的正定性。 2. 微积分 在微积分中，二次型可以用来描述二元函数的曲面。具体而言，我们可以通过二次型的规范形（主轴坐标系）来得到曲面的方程。这个方程可以展示曲面的主要特征，比如正定二次型的曲面是一 个椭球面。 3. 数学物理 在数学物理学中，二次型可以用来描述物理系统的能量关系。 比如，我们可以将一个物理系统的能量构成一个二次型，然后通 过对称矩阵和规范形来判断系统的状态。此外，通过变换和对称性，我们还可以得出系统的简化模型和本征频率。 三、总结
二次型图的自同构及其应用
二次型图的自同构及其应用 我们用Qn（Fq）表示特征为2的有限域 Fq上全体n（≥2）元二次型的集合。在Qn （Fq）上定义关系（x,y）∈Ri（?）次型x-y的类型为i, 这里x,y∈Qn （Fq）,i=0,1,2+,2-,3,4+,…。由此所定义的关系确定了一个类数为n+[n/2]的对称结合方案Xn。 结合方案Xn的每一个关系Ri对应一个二次型图Γi,它以Qn（Fq）为顶点集,两个顶点x和y 相邻当且仅当x-y的类型为i。在本文中,我们利用矩阵方法确定了二次型图Γ2+的全部自同构,证明了如下: 定理A:设n≥2,q为偶数,Γ 2+是有限域Fq的n元二次型图。那么,Γ2+的每一个自同构都具有如下形式 x（?）PtXσP+Y,（?）X∈Qn（Fq）,（1）这里P∈GLn （Fq）,σ是Fq的一个自同构,Y∈ QnFq),除非（n,q）=（3,2）,当（n,q）=（3,2）时, Γ2+的每一个自同构或者具有形式（1）,或者是形如（1）的自同构与形如（2）的自同构之积,这里 a*=a+b+c+f。 应用定理A,我们证明了结合方案Xn的每一个自同构都具有形式（1）。
二次型的应用
二次型的应用 例1 n 元实函数),,(21n x x x F 在点),,,( 0201x x x n 达到极值的必要条件是 .,,2,1,0) ,,,( 0201n i i x x x x F n ==?? 但要判定这一极值是极大还是极小,就是考察函数 ))((00 1 ,00 2 x x x x x x j j i i n j i j i F --??∑?= (3) 在关于, ,,2,1n k =x x k k 0 -充分小时, 保持为负还是保持为正,其中 x x j i F 002 ???是 x x j i F ???2 在点),,,( 201x x x n 的值.函数(3)就是一个关于)(0 11x x -,)(0 22x x -,…, )(0 x x n n -的n 元实二次型. 例2（ P 230 ）判断下列二次曲线的类型，把方程化为最简形式，并确定其形状 （1） 01124212 2212 1=+-+++x x x x x x (2) 22 11221244220x x x x x x -++--=; (3) 22 11221231010210x x x x x x -++-+= 解（1） 04 2212== I ，这是抛物形曲线.此时 46251 2 162142 621 ,54131-=- -==+=I I ， 所以是一条抛物线，化简后方程为05 4625 2512 2=+y y 或
.05 4625 251 22=-y y 即 05122=+ y y 或.05122=-y y 因此这条抛物线的焦准距.2 5 = P (2) 24202 1 I -= =-,这是抛物型曲线.此时 34211 2 102 11 2 2 I -=-- =--,1415I =+=, 11 141 4520 12 14 2 2 K - = +=-<---, 所以这是两条平行直线，化简后的方程为2 29 504 y - = ,2y =. (3) 23 1 520 341 2 I - = =<- ,这是双曲线. 此时 31315 2 35 15,112245 5 21 I I - =- -=-=+=-. 因为30I ≠,所以这是双曲线.解特征方程
二次型的应用与思想方法
二次型的应用与思想方法 二次型在数学和工程领域具有广泛的应用，其思想方法是通过研究二 次型的性质和特征来解决实际问题。 首先，二次型在数学领域中有着重要的应用。在线性代数中，二次型 是由平方项和交叉项组成的多项式，一般形式为Q(x)=x^TAX，其中x是n 维向量，A是一个n×n对称矩阵。研究二次型的主要目的是通过矩阵的 特征值和特征向量，对二次型进行分析、求最值和优化等问题。 其次，二次型在工程领域中也有广泛的应用。例如在机械工程中，二 次型可以用来描述物体的动能和势能。在电气工程中，二次型可以用来描 述电磁场的能量分布和传输。在控制工程中，二次型可以用来描述系统的 能量耗散和稳定性。在计算机科学中，二次型可以用来描述图像、音频和 视频等信号的特征。在经济学中，二次型可以用来描述供给与需求的关系 和市场均衡等。这些应用说明了二次型在工程实践中的重要性和实用性。 在解决实际问题时，二次型的思想方法是通过对二次型的各种性质和 特征进行分析和运用。首先，通过求解二次型的标准型，可以简化二次型 的形式，使得问题更加易于处理。其次，通过研究二次型矩阵的特征值和 特征向量，可以得到关于二次型的重要信息，如最值、正定性、正交性等。特别是在优化问题中，二次型的正定性是一个重要的判别条件，可以保证 优化问题的解的存在性和唯一性。最后，通过构造二次型的等价变换，可 以得到等价的二次型，从而将复杂的问题转化为简单的问题。 总之，二次型在数学和工程领域中具有广泛的应用和重要性。通过研 究二次型的性质和特征，可以解决实际问题，提供了一种有效的思想方法。
这些应用和思想方法的研究，不仅推动了数学和工程领域的发展，也为实际问题的解决提供了有力的工具和理论基础。
二次型的性质及应用
师学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师王军讲师 年级2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 师学院数学与信息科学系 2014 年5月
重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日
目录 摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的历史及概念 (2) 1.1二次型的历史 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (6) 3.1 多元函数极值 (6) 3.2 证明不等式 (12) 3.3 因式分解 ............................................... (错误!未定义书签。) 3.4 二次曲线 (13) 结论 (14) 参考文献 (15) 致 (14)
二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：王军 摘要：二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计
二次型判定方法及应用
二次型判定方法及应用 二次型是高等数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学、经济学等领域。二次型的判定方法主要有正定、负定、半正定和半负定四种类型，这些判定方法在实际问题中具有重要的应用价值。 首先，我们来回顾二次型的定义。对于n元变量x1，x2，...，xn和常数a11，a12，...，ann，二次型可以表示为： Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2an-1nxn-1xn 其中，a11，a22，...，ann为二次型的系数，x1，x2，...，xn为变量，Q(x)表示该二次型。接下来，我们将讨论四个二次型判定方法的定义、性质和应用。 1. 正定： 若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)>0，称二次型Q(x)为正定二次型。正定二次型的系数满足以下性质： - 系数矩阵A=(aij)为实对称正定矩阵； - 系数aii>0，1≤i≤n； - 正定二次型的极值点为唯一的极小值点，且该极小值点为原点。 正定二次型在优化问题中经常出现，例如，最优化问题的约束条件若是等式形式，
将其通过拉格朗日乘数法转化为等价的含有二次项的目标函数，然后利用正定二次型的特性来求解最优解。 2. 负定： 若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)<0，称二次型Q(x)为负定二次型。负定二次型的系数满足以下性质： - 系数矩阵A=(aij)为实对称负定矩阵； - 系数aii<0，1≤i≤n； - 负定二次型的极值点为唯一的极大值点，且该极大值点为原点。 负定二次型在最优化问题中也有应用，例如，在极大极小值问题中，如果一个目标函数的Hessian矩阵是负定的，那么该函数在极小值点处取得极小值。 3. 半正定： 若对于任意的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)≥0，称二次型Q(x)为半正定二次型。半正定二次型的系数满足以下性质： - 系数矩阵A=(aij)为实对称半正定矩阵； - 半正定二次型的极小值点为原点； - 半正定二次型的零空间是限制变量的约束空间。 半正定二次型在许多领域中都有应用，例如，在物理学中，通过半正定二次型可以判断力学系统的平衡点类型，并对系统的稳定性进行分析。
二次型的性质及应用
二次型的性质及应用 二次型是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。二次型具有多种性质和应用，下面我将从定义、性质以及应用三个方面进行详细介绍。 一、二次型的定义和性质 首先，我们来定义二次型。设有n个变量x_1, x_2, \ldots, x_n，对于任意的实数a_{ij}和b_i，称函数 Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j + \sum_{i=1}^n b_ix_i 为n元二次型。其中，a_{ij}和b_i是实数。 二次型的性质如下： 1. 对称性：如果a_{ij}=a_{ji}，则二次型称为对称二次型。 2. 非负定性：若二次型对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})\geq 0，则称二次型为半正定二次型。若对于任意非零向量\mathbf{x}都有 Q(\mathbf{x})>0，则称二次型为正定二次型。若对于任意非零向量\mathbf{x}
都有Q(\mathbf{x})<0，则称二次型为负定二次型。 3. 二次型的规范形：通过合适的坐标变换，可以将任意二次型化为规范形。规范形为Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\ldots+\lambda_nx_n^2，其中\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n为实数，且\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n满足\lambda_1\geq \lambda_2\geq \ldots \geq \lambda_n。 4. 最大值和最小值：对于二次型Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}，其中A是一个对称矩阵。若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有 Q(\mathbf{x})\leq k，其中k为常数，则称k为二次型的上界。若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有Q(\mathbf{x})\geq k，其中k为常数，则称k为二次型的下界。最大值和最小值的求解可以通过特征值分解或者配方法进行。 5. 正交变换和规范化：通过正交变换，可以将二次型化为规范形。正交变换保持向量的长度和角度不变，因此可以保持二次型的正负定性质。 6. 特殊二次型：例如完全平方二次型、秩一二次型等特殊形式的二次型有着特别的性质和应用。完全平方二次型是一类非负定的二次型，可以表示为已知向量的线性组合的平方和。秩一二次型可以表示为两个向量的线性组合的平方和。特殊二次型的研究和应用在各个领域具有特别的意义和价值。
二次型的几个应用实例
二次型的几个应用实例 二次型是线性代数中的一个重要知识点，其在数学、物理和力学中都有着广泛应用。二次型的应用在高中数学知识中就有体现，如用坐标变换把圆锥曲线、双曲线、抛物线化为标准曲线的实质是将二次型进行标准化。事实上，二次型在证明不等式、分解多项式的因式、求解二次函数最值以及计算定积分中都有重要应用。 1、用二次型证明不等式 一个实二次型是正定的，若其对任意的实数，都有。可以通过构造正定二次型，利用其正定性来证明不等式[1]。 例1：证明不等式恒成立。其中不全为0。 证明：将不等式移项得。令 ，则我们只需证明f(x)恒大于0即可。可知f(x)是一个实二次型，其二次型矩阵的三个顺序主子式均大于零。因此，f(x)是正定二次型。因此，对于任意一组不全为0的数，都有f(x)>0，即证。 2、二次型在二次曲线中的应用 二次型起源于将二次曲线或二次曲面方程变型为标准型，所以二次型在二次曲线中的有最基本的应用。因为二次曲线方程经可逆线性变换后的方程所对应的二次曲线图形与原图形是全等的即既不改变曲线的形状，又不改变大小。因此，我们在判断二次曲线的形状时，可利用正交线性变换先把二次曲线化为标准型，然后再来判定原二次曲线的形状。 例2：判断二次曲线方程的形状并求其面积。 解：为了使方程所有项全部都是二次项，我们再设一个变量z。令 z，此时有。将此二次型的矩
阵做正交变换使其化为对角矩阵diag(4,1,-2)。对角矩阵所对应二次型为 。由于正交变换不改变二次曲线的形状和大小，则有 ，进一步将其整理得。很显然，这是一个椭圆方程。长短轴分别为面积为，即原二次曲线方程的形状为椭圆，面积为π。 3、二次型用于因式分解 因式分解是初等数学中很常见的一类问题，它在解方程，求多项式的根等问题上能一定程度上简便运算过程。由于二次型都是二次齐次多项式，我们在这里只讨论二次多项式的因式分解。应用下面的定理，我们能直接判断给出的二次多项式是否可以分解成几个一次多项式的乘积。这给多项式的因式分解提供一种强有力的解题思路[1]。 定理：[2]设f为实数域上的二次型，则f可分解为实数域上的两个一次齐次多项式乘积的充要条件为f的秩为1或者f的秩为2且符号差为0。 例3：试判断多式能否在实数域上因式分解。若可以，请分解。 解：令，存在一次项和常数项，可根据多项式的特征构造出下列二次型， 。 则有 进一步将二次型写成矩阵形式。 二次型矩阵，易知A的秩为1。根据上述定理，可得 能在实数域范围内进行因式分解，即。
浅谈二次型及其应用
目录 摘要 (1) 引言 (2) 1.二次型的相关定义及定理 (3) 2.二次型的应用 (6) 在二次曲线中的应用 (6) 在证明不等式中的应用 (7) 在求极值中的应用 (8) 在求某些曲线或曲面积分中的应用 (10) 在多项式因式分解中的应用 (10) 参考文献 (12) 致谢 (13)
浅谈二次型及其应用 摘要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用. 关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换 A Talk about Quadric Form and Its Application Abstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus. Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation 引言 高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值及因式分解问题都是重点问题.用初等数学方法去处理这些问题往往会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.
二次型的应用与思想方法
第一章绪论 二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等. 基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透. 下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法.
第二章 二次型的基本知识 2.1 二次型的定义 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程式 222ax bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴（反时针方向转轴） cos sin sin cos .x x θy θ,y x θy θ''=-⎧⎨''=+⎩ (2) 把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到. 设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n y y y ,,,21Λ的二次齐次多项式 2121111212112 2222 22()222n n n n n nn n f x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x . =++++++++L L L L （3） 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如: 222 1121322333243x x x x x x x x x +++++. 就是有理数域上的一个三元二次型. 2.2 二次型的矩阵表示 首先我们引入定义： 定义2.1 设1212;n n x ,x ,,x y ,y ,,y L L 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系 1111122122112222112.n n n n n n n n nn n x c y c y c y ,x c y c y c y ,x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪ ⎪=+++⎩L L L L (4) 称为由12,,,n x x x L 到12,,,n y y y L 的一个线性替换,如果系数行列式
二次型及其应用
二次型及其应用
学 生 毕 业 论 文 课题名称 二次型及其应用 姓 名 兰海峰 学 号 1209401-23 学 院 数学与计算科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 陈暑波 副教授 2016 年 3月 15日 ※ ※※※※※※※※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※※※※※※※※※ 2016届学生 毕业论文材料 （四）
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1. 二次型基本理论 (2) 1.1 二次型的矩阵表示 (2) 1.2 矩阵的合同关系 (2) 1.3 二次型的标准型、规范型及其性质 (3) 1.4 正定二次型及其性质 (3) 2. 二次型的实例应用 (5) 2.1 二次型在初等数学中的应用 (5) 2.1.1 二次型与因式分解 (5) 2.1.2 二次型与不等式的证明 (7) 2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7) 2.1.4 求解多元二次函数最值 (9) 2.1.5 二次型与条件极值 (12) 2.2 二次型在高等数学中的应用 (13) 2.2.1 二次型在曲面上的应用 (13) 2.2.2 二次型在最小二乘法上的应用 (14) 参考文献 (17) 致谢 (17) 附录 (18)
二次型及其应用 摘要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。 关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分 Quadratic Form and Its Applications Abstract：Quadratic form is an important content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project researches all the properties
二次型及其应用
滨江学院 毕业论文 题目二次型及其应用 院系滨江学院理学系 专业信息与计算科学 学生姓名刘峰 学号*********** 指导教师吴亚娟 职称副教授 二Ｏ一四年五月十日
目录 引言 (1) 1、二次型的相关定义和定理 (1) 1.1二次型的定义 (1) 2、二次型在初等数学中的应用 (2) 2.1不等式证明 (2) 2.2多项式的因式分解 (4) 2.3判断二次曲线的形状 (6) 3、二次型在几何方面的应用 (7) 3.1求平面线图形的面积 (8) 4、多元函数极值方面的应用 (9) 4.1条件极值 (9) 4.2无条件极值 (10) 5、求多元函数积分方面的应用 (11) 5.1二次型的正交变换 (11) 5.1重积分的计算 (12) 5.2求曲面积分 (13) 6、结束语 (14) 7、参考文献 (14)
二次型及其应用 刘峰 南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014 摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物 理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。 关键字：极值；几何 ；重积分； 引 言 二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。 1、二次型的相关定义和定理 1．1、二次型的概念和定义 在《高等代数》中涉及的一些相关理论 设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式： ()212111121213131122222323222 ,,,22222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ +=+++++ =+ 1 1 n n ij i j i j a x x === ∑∑，
