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最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_),的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :)-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分,即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解:代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /(兀),即/(兀)=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ,+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解:此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八]=(,则当 x —0, y —?0 吋,t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ,T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解:取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数,表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
高数第六章总习题答案
复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ,有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题: 当a 与b 满足(D )时,有a b 解析只有当a 与b 方向相同时,才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2,垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆, 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线,根据曲面的截痕法,可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ; (B ) a b (为常数); (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), (C )中a , b 方向可以相同,也可以相反. 2、下列平面方程中,方程(C ) 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴,则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中,方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是(B ); (A )椭球面; (B ) 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面; (D ) 单叶双曲面.
同济高等数学(第6版)习题答案7-3
习题7-3 1. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有 (x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2, 即 4x +4y +10z -63=0. 2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径14)2(31222=-++=R , 球面方程为 (x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14, 即 x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0. 3. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面? 解 由已知方程得 (x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1, 即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x , 所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以6为半径的球面. 4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面? 解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有 2 1)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x , 化简整理得 9 116)34()1()32(222=+++++z y x ,
它表示以)34 ,1 ,32(---为球心, 以293 2为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x . 6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9. 7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2-9y 2-9z 2=36. 双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2+4z 2-9y 2=36. 8. 画出下列方程所表示的曲面: (1)222)2 ()2(a y a x =+-;
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1:(). A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意,单选题的解答,有其技巧和方法,可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(一)单项选择题的解题策略与技巧》,这里为说明解题相关的知识点,都采用直接法。 例2:函数的定义域为(). 解:由于对数函数lnx的定义域为x>0,同时由分母不能为零知lnx≠0,即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立,从而其定义域为,即应选C。 例3:下列各组函数中,表示相同函数的是() 解:A中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当|x|>1时,两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立,故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1,而y=x的定义域为(-∞,+∞)。 D中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为(-∞,0)∪(0,+∞)和(0,+∞)。例4:设
解:在令t=cosx-1,得 又因为-1≤cosx≤1,所以有-2≤cosx-1≤0,即-2≤t≤0,从而有 。 5: 例 f(2)没有定义。 注意,求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6:函数是()。 A.偶函数 B.有界函数 C.单调函数 D .周期函数 解:由于,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即(A)不正确。 由函数在x=0,1,2点处的值分别为0,1,4/5,可知函数也不是单调函数;该函数显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数。 事实上,对任意的x,由,可得,从而有。可见,对于任意的x,有 。 因此,所给函数是有界的,即应选择B。 例7:若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是()。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.奇偶性不确定
同济高等数学(第6版)习题答案7-5
习题7-5 1. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0. 3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n 1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为 k j i k j i n n n 6930 1332021++-=-=?=, 所求平面的方程为 -3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x =0; 解 x =0是yOz 平面. (2)3y -1=0; 解 3y -1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,3 1 ,0(.
(3)2x -3y -6=0; 解 2x -3y -6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和-2. (4)03=-y x ; 解 03=-y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为3 3. (5)y +z =1; 解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1. (6)x -2z =0; 解 x -2z =0是通过y 轴的平面. (7)6x +5-z =0. 解 6x +5-z =0是通过原点的平面. 5. 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n =(2, -2, 1). 此平面与yOz 面的夹角的余弦为 3 21)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=??==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为 3 21)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=??==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为 3 11)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=??==k n k n k n γ.
高数第六章总习题答案教学提纲
复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ,则c a =; ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时,不能判定=b 0或c a =.例如i a =,j b =, k c =,有?=?=0a b b c ,但c a ≠. 2、 若c b b a ?=?且≠0b ,则c a =; ( ? ) 解析 此结论不一定成立.例如i a =,j b =,)(j i c +-=,则 k j i b a =?=?,k j i j c b =+-?=?)]([,c b b a ?=?,但c a ≠. 3 、若0=?c a ,则=0a 或=0c ; ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 4、 a b b a ?-=?. ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律. 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足( D )时,有b a b a +=+; (A)⊥a b ; (B)λ=a b (λ为常数); (C)a ∥b ; (D)?=a b a b . 解析 只有当a 与b 方向相同时,才有a +b =a +b . (A)中a ,b 夹角不为0,(B),(C)中a ,b 方向可以相同,也可以相反. 2、下列平面方程中,方程( C )过y 轴; (A) 1=++z y x ; (B) 0=++z y x ; (C) 0=+z x ; (D) 1=+z x . 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴,则0==D B ,故选C . 3 、在空间直角坐标系中,方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B ); (A) 椭球面; (B) 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面; (D) 单叶双曲面. 解析 对于曲面2 2 21y x z --=,垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆,垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线,根据曲面的截痕法,可以判断曲面是椭圆抛物面.
高等数学同济大学第六版第八章单元练习题参考答案.doc
第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案: 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ;关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ,1,1} 的单位向量为1 1,1,1 ;若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行,为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ,则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ,在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k , b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k , 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5.过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=(C). A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ;B a rj a b ; C a rj a b ; D b rj a b.a, b 满足a b0 ,则有(C). ; B a b (为实数);C a b ;D a b0 . 3.设 a 与b为非零向量,则a A a ∥b的充要条件; C a b 的充要条件;b0是(A). B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件.
高等数学第六章答案
第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: (1) 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. (1).1 213 (2).4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. (1)423π? ? (2) 54 π (3)2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7.求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: (1)2 x x y y x =和轴、向所围图形,绕轴及轴。
(2)22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 (3)()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 (4)xy=1和y=4x 、x=2、y=0,绕。 (5)摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱,绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ() 8.由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9.把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10.(1)证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 (2)利用题(1)结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11.计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12.计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13.计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14.求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a
高数第六章答案
习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为
3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;
解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一.判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二.填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
高等数学第六版课后全部答案
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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n
高等数学课后习题答案第六章
习题6-2 1 求图6-21 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为
3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为
?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.
总习题二高等数学同济大学第六版本
总 习 题 二 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件. (2) f (x )在点x 0的左导数f -(x 0)及右导数f +(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件. (3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是 ( ). (A ))]()1([lim a f h a f h h -++∞→存在; (B )h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→存在; (C )h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在; (D )h h a f a f h )()(lim 0--→存在.
3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度? . 4. 根据导数的定义, 求x x f 1 )(=的导数. 5. 求下列函数f (x )的f -(0)及f +(0),又f (0)是否存在? (1)???≥+<=0 )1ln(0 sin )(x x x x x f ; (2)????? =≠+=0 00 1)(1x x e x x f x .
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)
第六章 微分中值定理及其应用 2?若 lim 1 acosx -bsin ^ 1 ,则 a = X T 0 x 2 3.曲线y = e x 在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4?设y =4x J —2,则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________ x 6?设f(x) =x(x 2 —1)(x —4),则f (x) = 0有 ______________ 个根,它们分别位于 __________ 区间; 7.函数f (x) =xln x 在1,2 ]上满足拉格朗日定理条件的? = _________________ 8?函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________ 9. 函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的 ?= ______ ; x e 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ; x 3 11. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ,极大值是 。 12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ,则函数f (n)(x)在X 二 处取 得极小值 ________________________________________ 。 3 2 13. 已知f(x)二x ax bx ,在x =1处取得极小值- 2,则a = _________________ , b = _____ 2 2 一、填空题 1若a 0,b 0均为常数,贝 U 5. lim (1 x )x -e x —.Q x 2 X a H X X
关于高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业:会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业:电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子........... 是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5:求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X 1 + ,最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ;(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ,求a 。 5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有:
高等数学第六版课后全部答案
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x=
M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限λ→0 λ→0. lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw
高数答案(全集)第六章参考答案
第六章 常微分方程 1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 3. (1)-(3)均为微分方程02 2 2=+y dx y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得 dx y dy cos 2 = 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1 c x y +-=此外,还有解0=y (2)分离变量,得dx x x y y d x x dx dy y y )11 1(1)1(2112 222+-=+++=+或 两边积分,得c x x y ln )1ln(ln )1ln(21 2++-=+ 即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2 x (3)将变量分离,得 112 2 =-+ -y ydy x xdx 积分得通解2 1x -+)20(12 c c y =- 还有使因子2 1x -?012 =-y 的四个解. x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2 )e x 2dx-[ ] 0)1( )e y +(1y =+-dy y e x 2dx=dy y y ?? ? ?? ?++- 2y 11 (e 积分得 --=y e e y x arctan 2 12)1ln(212y +-21 (5)令 z=x+y+1, z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z dz =+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到
dz z z z se dz z z dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122 2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c 即-tan( 2 2z -∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2 1 4++-∏y x ) 6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0 分离变量得du x dx 1) -u(u u 2 2-=,即得y 3=c(2y -2 x ) 7. 令x y u = ,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2 222cx x x y +=由定 解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y += 8. 将方程化为x y x y y + -='2 )(1,令x y u =,得,u u x y +'=代入得 dx x du u 1112 =- 得c x u ln ln arcsin +=,cx x y ln arcsin = 9.化为x e x y dx dy x = +,解得)(1x e c x y +=,代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10.由公式得1)() (-+=-x ce y x ?? 11.化为 x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x y u =,则原方程化为dx dy y dx du 2 --= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1 2])(ln 2 1 [1--=x c x y 另为,0=y 也是原方程的解 12.为贝努里方程令x y u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x 解得1 12 2 +-= -x ce y x 13. 23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx dy -=- 22 2 12+-=-y ce z y ,得通解1)2(22 12=+--y ce x y 14.令x y N x y M +-=-=4,32 有 x N y M ??==??1,这是全微分方程0=du