同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案10-6
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10-6
1. 利用高斯公式计算曲面积分: (1)??∑
++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,
y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;
解 由高斯公式
原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=??+??+??=Ω
Ω?????? ??????===Ωa
a a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性). (2)??∑
++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;
解 由高斯公式
原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=??+??+??=Ω
Ω?????? ???=ππ
??θ20004sin 3a dr r d d 55
12a π=. (3)??∑
++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;
解 由高斯公式
原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=??+??+??=Ω
Ω?????? ???=ππ
??θ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)??∑
++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体
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x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;
解 由高斯公式
原式π813)(==??+??+??=Ω
Ω??????dv dv z R y Q x P . (5)??∑
+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,
y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.
解 由高斯公式
原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=??+??+??=Ω
Ω?????? ???=-=10101
023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量:
(1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy , ??∑
++=Φxydxdy xzdzdx yzdydz dv z xy y xz x yz ))()()((
??+??+??=Ω???00==Ω
???dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,
的全表面, 流向外侧;
解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2, ??∑
++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz
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Ω?????? ???-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023
200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心,
半径R =3的球面, 流向外侧.
解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z , ??∑
++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz dv dv z R y Q x P )212()(+-=??+??+??=ΩΩ??????π1083==Ω
???dv . 3. 求下列向量A 的散度:
(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;
解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy , )(2222div z y x z y x z
R y Q x P ++=++=??+??+??=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;
解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2), )sin(2sin div 2xz xz xy x ye z
R y Q x P xy --=??+??+??=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;
解 P =y 2, Q =xy , R =xz , x x x z
R y Q x P 20div =++=??+??+??=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, n u ??, n
v ??依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向
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的方向导数. 证明 dS n u v n v u dxdydz u v v u )()??-??=?-??????∑
Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知 dxdydz z v y v x v u )(222222??+??+??Ω
??? dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(????+????+????-??=?????∑Ω
, dxdydz z u y u x u v )(222222??+??+??Ω
??? dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(????+????+????-??=?????∑Ω
. 将上面两个式子相减, 即得 dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222??+??+??-??+??+??Ω
??? ??∑
??-??=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物 体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余 弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量
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-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,
∑所受的压力利用高斯公式进行计算得 00cos ==-=Ω
∑?????dv dS z F x αρ, 00cos ==-=Ω
∑?????dv dS z F y βρ, ||cos Ω-=-=-=-=Ω
Ω∑????????ρρργρdv dv dS z F z ,
其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.