八年级数学上册第十二章全等三角形123角的平分线的性质1232角的平分线的判定教案新版新人教版
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
【过程与方法】
经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
【情感、态度与价值观】
结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
角平分线性质和判定的应用.
【教学难点】
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么?二、合作探究
探究点1角平分线的判定
典例1如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:
①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()
A.①②③④
B.①②③
C.④
D.②③
[解析]∵点P到AE,AD,BC的距离相等,∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;点P在∠CBE的平分线上,故②正确;点P在∠BCD的平分线
4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展
人教版八年级数学下册 18.2.2.1 菱形的性质 同步练习 一、选择题（共10小题，3*10=30） 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 2．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 3. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是() A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BD 4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是() A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 3 5. 如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′. 当CA′的长度最小时，CQ的长为() A．5 B．7 C．8 D. 10 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为() A．4B．4.8 C．2.4D．3.2
7. 已知菱形的周长为4 5 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( ) A ．2 B. 5 C ．3 D ．4 8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C 重合时，点A 与点B′之间的距离为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 9. 如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( ) A ．245 B ．125 C ．5 D ．4 10．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE ＝1，AF ＝2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋FP 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共8小题，3*8=24） 11. 菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的边长是_______，面积是_______． 12．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB ＝7 cm ，则周长是________cm. 13. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝110°，则∠BAD ＝________°， ∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°.
课后训练 基础巩固 1.作/ AOB 的平分线OC ,合理的顺序是（ ）. ①作射线OC ;②以O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点D ，交OB 于点E ;③ 1 分别以点D , E 为圆心，大于 一DE 的长为半径画弧，两弧在/ AOB 内交于点C. 2 B .②①③ D .③②① ）. B .三条高的交点 D .三条内角平分线的交点 D , E ,下列结论错误的是（ ）. PD = PE OD = OE / DPO = / EPO PD = OD 7. 在△ ABC 中，/ C = 90° 9 : 7,则D 到AB 的距离为 _______ 8. 点O 是^ ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，/ A = 60 °则/ BOC 的度数为 A .①②③ C .②③① 2. 三角形中到三边距离相等的点是 （ A .三条边的垂直平分线的交点 C .三条中线的交点 3. 如图，/ 1 = / 2, A . B . C . D . 4.如图，在^ ABC 中，/ ACB = 90 ° B E 平分/ ABC , DE 丄AB 于点 那么AE + DE 等于( D ,如果 AC = 3 cm , A . 2 cm 5. 在.△ ABC 中， O E 丄AC 于点 E , O F 丄 AB 于点 F ，且 AB = 10 cm , BC = 8 cm , AC = 6 AB , AC , BC 的距离分别为( A . 2 cm,2 cm,2 c m C . 4 cm,4 cm,4 cm 能力提升 6. 如图所示，/ AOB = 60 ° B . / C = 90 °点O 为^ ABC 三条角平分线的■交点, D . 5 cm OD 丄BC 于点D , cm ,则点O 到三边 )? B . 3 cm,3 cm,3 cm D . 2 cm,3 cm,5 cm CD 丄OA 于点D , C E 丄OB 于点E ,且CD = CE ,则/ DCO AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D ，若 BC = 32,且 BD : CD = B 4 cm
第十八章 平行四边形 18.2.2 菱 形 第1课时 菱形的性质 学习目标：1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2. 探索并证明菱形的性质定理； 3. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 重点：探索并证明菱形的性质定理. 难点：应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 一、知识回顾 1.平行四边形是什么？它有哪些性质？ 2.矩形有哪些不同于平行四边形的性质？ 二、新知预习 1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到，如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 2.自主学习： (1)菱形的定义：有一组邻边_________的平行四边形. (2)菱形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是菱形. 三、自学自测 1.菱形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？ 2.菱形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出菱形的3条性质吗？ 四、我的疑惑 ____________________________________________________________ 一、要点探究 探究点1：菱形的性质 活动1 如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形纸片？观看下面讲解： 第一步：从下往上对折纸片； 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 配套PPT 讲授 1.情景引入 （见幻灯片3-4） 2.探究点1新知讲授 （见幻灯片5-15）
第二步：从左往右对折纸片；第三步：画斜线，剪下直角三角形. 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图）. 想一想 1.菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 2.根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什 么关系? 猜想1：菱形的四条边都__________. 猜想2：菱形的两条对角线互相_______，并且每一条对角线________一组对角. 证一证已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB___CD，AD___BC. 又∵AB=AD, ∴AB___BC___CD___AD. （2）∵AB = AD, ∴△ABD是______三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB___OD. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO___BD，AO平分∠BAD， 即AC___BD，∠DAC____∠BAC. 同理可证∠DCA___∠BCA，∠ADB___∠CDB，∠ABD___∠CBD. 要点归纳：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边 菱形的特殊性质平行四边形的性质 1.对称性：是轴对称图形. 2.边：四条边都相等. 3.对角线：互相垂直，且每条对角线平 分一组对角. 1.角：对角相等. 2.边：对边平行且相等. 3.对角线：相互平分. 例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱 形的周长． 教学备注 2.探究点1新知 讲授 （见幻灯片 5-15）
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD, ∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°- 1 2 (180°-∠ A)=90°+1 2 ∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证： AD平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥ AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即 1 2 CE·DN= 1 2 BF·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是 AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=1 2 BD.求证：BD是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可. 【证明】延长AE、BC交于点F. ∵AE⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC与△AFC中，
18.2.2菱形（一）教学设计 一、教学目标 1、知识与技能：经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的定义及性质.并能用菱形的性质解决简单的实际问题。 2、过程与方法：经历菱形定义及性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力. 进一步培养学生数学说理的习惯与能力。 3、情感态度和价值观：在探究菱形性质的活动中, 培养学生多方位、多角度思考问题的能力。提高学习数学的兴趣。 二、教学重点和难点 重点：探究菱形性质及应用 难点：菱形的性质的归纳总结 三、教学过程 (一)引入新课 提问： 1、什么是平行四边形？它有哪些性质？ 2、什么是矩形？它有哪些性质？ 菱形也是一种特殊的平行四边形，它有怎样的性质呢？ （二）、新知探究 活动1：操作感知、认识菱形
1、动手操作：拿出平行四边形木框（可活动的），如果内角大小保持不变，平移平行四边形的一条边改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？能得到一个特殊的平行四边形吗？ 2、请学生展示，说出自己的发现，请学生们尝试定义菱形。 小结：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（强调菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等） 3、你能举出生活中你看到的菱形吗？ 学生回答。 设计思路、“纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行”让学生亲自动手操
作印象较深刻，通过动态地展示引入菱形的定义，使学生们了解数学、亲近数学，愉快地步入数学世界。 活动2：菱形性质的探究 1、师生互动：将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，就得到一个菱形。 2 （１）、观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 小结：菱形是轴对称图形。 （２）、用你喜欢的方式探究图中有哪些线段或角相等？请结合探究猜想菱形的性质。 D CA B（３）、合作学习：交流（２）中提出的问题，进行概括归纳。 2、小结：菱形的性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。设计思路、通过动手操作，经历探究对图形的对折，即对轴对称图形的再认识，感受动手实验的乐趣，培养猜想的意识，感受直观操作得出猜想的便捷性，培养学生的观察、实验、猜想等合情推理能力。3、辨析
第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质教学设计 教材分析 本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。 教学目标 1．会使用尺规作一个已知角的平分线； 2．掌握角的平分线的性质和判定； 3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题． 教学重点及难点 重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用． 难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离” 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 教学用具 直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件 教学过程 (一)导入新课 问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？ 师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示． 问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？ 师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知
18.2.2 菱形 漂市一中钱少锋 第1课时菱形的性质 一．选择题（共4小题） 1．（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（） A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4） 2．（菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D． 3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（） A．15 B．C．7.5 D． 二．填空题（共15小题） 5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH 丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ． 7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD 的面积为cm2．
6题图 7题图 8题图 9题图 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ． 9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度． 10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离 AB=BC=16cm，则∠1= _________ 度． 10题图 12题 13题图 14题图 11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ． 12．如图所示，两个全等菱形的长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________ 点． 13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________ cm．
12.3 角平分线的性质巩固提高题（一） 1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到 BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是． 2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE= = ． 3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则 ∠BPD= ． 4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线 AB、CD间的距离等于． 5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到 AB边的距离为( )． (A)18 (B)16 (c)14 (D)12 6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是( )． (A)TQ=PQ (B) ∠MQT=∠MQP (c) ∠QTN=900 (D) ∠NQT=∠MQT 7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角 的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理． 8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．
9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF． 10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB． (1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．
E 12.3 《角的平分线的性质》（第1课时） 一、教学目标 1、知识与技能： （1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 （2）理解角的平分线的性质并能初步运用。 2、过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 3、情感与态度： 充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 二、、教学重点、难点 教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 三、教学方法 引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习 四、教学过程 一、创设情景 生活中的数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 探索体验 探索1：如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A 放在角的顶点,AB,CD 沿着角的两边入放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗 ?
从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。 观察领悟作法，探索思考证明方法 画法： 以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N ． 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． 作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 教师先在黑板上示范作图，再利用多媒体演示作图过程及画法，加深印象，并强调尺规作图的规范性。 想一想：为什么OC 是角平分线呢？ 利用三角形全等证明角平分线，进一步 明确命题的题设与结论，熟悉几何证明 过程。 已知：OM=ON ，MC=NC 。 求证：OC 平分∠AOB 。 证明：在△OMC 和△ONC 中， OM=ON ， MC=NC ， OC=OC ， ∴ △OMC ≌ △ONC （SSS ） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC 平分∠AOB 探索2： 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一
肓 最大最全最精的教育资源网 https://www.doczj.com/doc/8b11926959.html, C.ABvAD+BC D.无法确定 温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合 适 的观看比例，答案解析附后。关闭Word 文档返回原板块。 提技能?题组训练 ■刘出迪组-角平分线的性质 1. 如图，/ POB h POA PE U 0A 于D, PEL 0B 于E ,下列结论错误的 是（） PD=OD ，错误. 2. 如图，/ C=Z D=90，若/ DAB 的角平分线AE 交CD 于点E ,连接 BE 且BE 恰好平分/ ABC 则AB 的长与AD+BC 的长的大小关系是 A.PD=PE B.OD=OE C. / DPO h EPO D.PD=OD B , C 都正确，选项 D ，根据已知不能推出 A. A B>AD+BC B. A B=AD+BC 0 【解析】选D.选项A ,
肓 最大最全最精的教育资源网 https://www.doczj.com/doc/8b11926959.html, 90° , EC 二EF 二ED , AzBCE 幻启尸丘,△AEF 幻A ED , /BC=BF , AF=AD ,「AB 二AF+BF 二AD+BC. 【解析】选A.过点E 作EF 山D , ??DE 平分ZADC ，且E 是BC 的中点, /CE=EB=EF , 又/B=90 °，且AE=AE , ???△BE 坐A FE ,A /AB 二 /EAF. 又 T ￡ED=35 ° , C=90 ° , ???/DE=90 °-35 °55。，即/DA=110 ° , DAB=70 ? EAB=35 ° 3. 如图，在△ ABC 中, / B=90°, BC=4 /仁/2,则点C 到AE 的距 离是 ________ . z? ??BE , AE 分别为/ABC 和ZDAB 的角平分线，/ C= zD= 【变式训练】 在数学活动课上，小明提出这样一个 问题：如图, B=/ C=90 , ADC, CED=35 , )https://www.doczj.com/doc/8b11926959.html, A.35 B.45 C.55 D.65 【解析】选B.过点E 作EF 1AB 于F , E 是BC 的中点，DE 平 则/ EAB 的度数是
角的平分线的画法 数学课上，探讨角平分线的作法时，黎老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线． 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． 根据以上情境，解决下列问题： (1)黎老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______．
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由． (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法． （要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明） 试题分析： （1）根据三角形全等的判定方法“SSS”解答. （2）利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，根据全等三角形对应边相等解答. （3）利用刻度尺作出PM=PN，再利用“SSS”证明两三角形全等，即可得解： 在△MOP和△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（SSS）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP 是∠AOB的平分线. 试题解析： （1）黎老师用到的三角形全等的方法是“SSS”. （2）小聪的作法正确。理由如下： 在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP.∴OP是∠AOB的平分线. （3）如图： ①利用刻度尺上的刻度，在OA和OB上分别画点M、N，使OM=ON； ②用两个刻度尺作出MP=NP，交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线. 考点:1. 全等三角形的应用;2.作图（基本作图）.
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质教学设计
ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是多少？ 课件展示证明过程。 【过渡】通过刚刚的练习，希望大家能够牢记角的平分线的性质在应用时需要满足的条件。【过渡】在了解了角的平分线的性质之后，我们就会有这样的疑问，将性质反过来是否同样成立呢？ 我们先来看课本思考的内容。 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20 000） 【过渡】看到这个问题，我们自然就会想到角的平分线上的点到两边的距离相等。那么这个市场必然是在角的平分线上。但是在实际上，我们不可能真的能够画出平分线，然后再选择地点。这样大家就会去想如果我选择一点，到公路和铁路的距离相等，那么它是不是在角平分线上呢？我们一起通过数学语言来证明一下这个想法是否正确。 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上。 课件展示。
【过渡】通过证明，我们得到了我们想要的结论，而这个也角的平分线的性质的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 【过渡】通过这个逆定理，我们可以去判断是否是角的平分线。 学习了角的平分线的性质及判定之后，我们一起来看课本的例题。 课件展示过程。 【过渡】这个例题的结论告诉我们一个事实： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。 这个也是很有用的结论，希望大家能牢记。【知识巩固】 1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD 是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知 AC=6cm，则BD+DE的和为（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 2、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR； ②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）
全国100份试卷分类汇编 角平分线 1、（?雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．100° 考点：平行线的性质；角平分线的定义． 分析：根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠D， ∴∠CAD=∠D， 在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°， ∴80°+∠D+∠D=180°， 解得∠D=50°． 故选A． 点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 2、（?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的 度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质 可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形 的面积之比． 解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD：AC?AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质． 3、（?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）
八年级数学《菱形的定义与性质》说课稿范文 我从四个方面介绍我是如何分析教材和设计教学过程的。 一、教材分析 1、在教材中的作用与地位 《菱形》紧接《矩形》一节之后。纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习正方形等知识的基础，起着承前启后的作用。 2、从教材编写角度看 教材从学生年龄特征、文化知识的实际水平出发，先让学生动手做，动脑思考，然后与同伴交流、探索、总结归纳，升华得出菱形的性质及判定，这样的安排使抽象的定理让学生更易于接受，并能在整个的教学过程中真正享受到探索的乐趣。 我选择的是初二(1)班，该班级是年段的普通班，学生的情况是中等学生较多，尖子生只有个别，还有8至10名的学习上落后的学生。因此长期以来我都坚持做好培养学生良好的学习习惯和自主学习的能力的工作。 3、基于对教材和班级学情的分析，我认为本节课的教学有几个方面需要把握好的： ⑴本节课的课题是：探索菱形的重要性质;
⑵目标是：让学生能在动手实践过程中发现并理解菱形的性质; ⑶重点是：菱形的定义与性质; ⑷教学难点是：菱形性质的灵活运用。 4、根据新课程标准的要求及学生的实际情况，本节课我制定了如下教学目标： (一)知识与技能 (1)知道菱形在现实生活中有广泛的应用。 (2)熟记菱形的有关性质和识别条件，并能灵活运用。 (二)过程与方法 经历探索菱形的性质和识别条件的过程，在观察、操作和分析的过程中，进一步增进主动探究的意识，体会说理的基本方法。 (三)情感态度价值观 体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会菱形的图形美，提高学生的学习兴趣。 二、教法分析 1、教学设计思想 菱形是特殊的平行四边形，后继课要学的正方形具有菱形的一切性质。这节课教学时注重学生的探索过程，让观察、猜测、验证，获得知识，培养主动探究的能力。首先由生活中的图片引入，引起学生学习兴趣，发现菱形在生活中的广泛应用，然后设
角平分线基本性质及简单应用 角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理） 逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结： （1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折） 一、基本性质及简单应用 例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ， 则下列结论中，不正确的是（ ） A. TQ=PQ B. ∠MQT=∠MQP C.∠QTN=900 D. ∠NQT=∠MQT 例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥. 求证：PN PM =. 例3．如图，已知：在ABC ?中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE ∠的平分线上. 例4. D 是ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F. 求证：.CF BE EF -= 例5.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC. （1）求证：OB=OC; (2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由. M N P Q T F A A E D B C A B C E D O C E F D B A
角的平分线的性质 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线
A F C B E AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB =FC ． E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1