浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系
作为数学老师大家都知道，最值问题是我们中学阶段数学知识的一个重要的问题之一，也是中考经常考查的一个重要的知识点。解决这类问题的基本思路就是怎样把一个具体问题 怎样把它转化为一个具体的二次函数问题。（即转化为二次函数：y=ax 2+bx+c,当a ＞0时
y 有最小值且当x =－2b a 时，y 的最小值为244ac b a -；当a ＜0时，y 有最大值且当x=－2b a
时，y 的最大值为：2
44ac b a
-）。这里我要谈的最值问题是我在教学时从一个具体特殊的直角三角形中矩形面积的最大值问题入手，层层引入观察、猜想、探讨、论证，并总结归纳得到了在一般的三角形中矩形面积的最大值问题与三角形三边的关系以及三角形面积与三角形三边的关系，具体探讨论证过程如下。
九年级数学课本下册（北师版）有这样一个问题：
在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB
和AD 分别在两直角边上如图（1）所示：
1.如果设矩形的一边AB=x 米,则AD 边的长度如
何表示？
2.设矩形的面积为y 平方米，当x 取何值时，y 的
值最大？最大值为多少？
解：1. 由（1）图易得：R t △FDC ∽Rt △FAE,∴
FD FA
=DC AE ，∵FD=FA —DA ，AF=30米。设DC=AB=x, AE=40米。∴FA DA FA - =AB AE ,即3030AD - =40x ，解得：AD=30-3040 x 。 2. 由矩形的面积公式可得：
y=A ·AB=30(30)40x x -=-23030(40)4040x x -=-【2240202()22x x -??+-220()2
】 化简得：y=-3040 230402044x ?()+-.也可以表示为：y=﹣3040213040202
42x ?()?-+, 即 Y=-3040 (x -20)2 +300 大家注意观察上面二次函数表达式各项量的特点，当矩形的一边取20米（即为它所在直角边AE 的一半）时,矩形面积y 有最大值且最大值为300平方米(AF 与AE 积的四分之一)
即矩形面积的最大值为直角三角形直角边之积的四分之一。或者说其面积的最大值为直角三角形面积的一半。
在上面的解答过程中我们不难发现矩形面积存在最大值时，矩形的一边必须为其所在直角边长的一半，此时矩形面积的最大值的大小也与直角边有关，并且其面积的最大值为直角三角形面积的一半。
至此，我们可以从一个具体的直角三角形得到：直角三角形中矩形面积的最大值有这种关系：当矩形一边的长为它所在直角边边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大面积
为直角三角形面积的一半。上面我们所说的只是一个具体特
殊的直角三角形，那么一般的直角三角形中矩形面积的最大
值是否也有这种结论呢？下面我们就针对一般的直角三角
形中矩形面积的最大值的各种情形来分析探讨论证一下。
如图（2）所示：矩形在直角三角形ABC 中，∠A ,∠
B,∠C 所对的边的长分别为a,b,c 且矩形一边x 在直角边CB
边上与其相邻的边为h 。
证明：设矩形一边x 相邻的另一边为h,（x 在直角边BC 上）,由图易得：
b h x b a -= ， 所以h=b －b a
x,
设矩形的面积为y,则有：y=xh 即：y=x(b-
b a x) =-b a (x-2a )2 +4ab 。可见这种情况和我们上面猜想的结论是相吻合的。
如图(3)要是所示：矩形的一边x 在另一直角边AC
上与其相邻的边为h ，是否也存在同样的结论呢？
证明：同理可得; h=a －a b
x, 设矩形的面积为y,则有：y=xh
即： y=x(a-a b x)=﹣a b (x-2
b )2 +4ab 。 可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
如图(4)所示：要是矩形的一边x 在直角三角形斜边AB
上与其相邻的边为h ，那么这种情况又如何呢？
证明：如图（4）所示：矩形DEFG 在三角形ABC 中，
矩形的一边EF 在直角三角形斜边AB 上与其相邻的边为
h ，∠A ,∠B,∠C 所对的边的长分别为a,b,c 。由图易得：R t △CGD ∽Rt △CBA,∴
CG DG CB AB = ,由题意得：GD=EF=x,CB=a,AB=c,CG=CB-GB. ∴
CB GB x CB AB -= ,即a GB a -=x c
， ∴GB=a-a c x. 由图可得：在Rt △ABC 中， SinB=AC AB =b c
. 在Rt △GFB 中，SinB=
GF GB .∴GF AC GB AB =.即：GF b a c
a x c =- ， 解得：GF=()
b a a x
c c
- ， 设矩形的面积为y 则: y=GF ·EF=()b a a x x c c
-? , 化简得： y=-221()222
ab c ab x c -+? 可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
由上可得直角三角形都有这样的结论：直角三角形中矩形面积的最大值和直角三角形各边都有这种关系：当矩形一边的长为它所在边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大面积为直角三角形面积的一半。
上面我们经过观察、讨论、猜想并论证了直角三角形中矩形面积的最大值与直角三角形各边有这种结论，既然直角三角形有这种规律，那么我们这时就可以大胆的设想一下是不是
一般的三角形也有相同的结论呢？（即已知三角形三边，矩形
在三角形中，当矩形一边的长为它所在边边长的一半时，此时
矩形的面积有最大值且最大面积为三角形面积的一半）
证明：如图（5）所示：已知三角形ABC,∠A,∠B,∠C 的
对边分别为a,b,c 。.AD 为BC 边上的高，三角形ABC 中矩形的
一边x 在BC 边上,另一边长为h 。
由图易得：①BD+DC=a . ②BD 2+AD 2=c 2 .③DC 2+AD 2=b 2 .
由上面三式可解得：
。 设矩形的一边为x 相邻的另一边为h 如图⑸所示. 由图易得：AD h x AD a
-= ，
解得：h=AD(1－1x a 1－1x a ). 设矩形的面积为y 则有：y=hx
即：y=1－1x a )x. 化简得：
Y=－－2a )2+
4c +.
由三角形面积公式可得：S ABC ? =A D ·BC.
即： S ABC ? =12
=14可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
综上分析探讨论证，我们可以得出一般情形的结论：三角形中矩形面积的最大值与三角形各边的长以及三角形面积有这样的关系：当矩形一边长为所在三角形对应边的长的一半时，矩形面积有最大值且其面积的最大值为三角形面积的一半。或者也可以说成：矩形最大面积是三角形三条边长两两之积的平方之和的二倍与其三边的长的四次方之和的差的算术平方根的八分之一。
公式表示如下：
(S 是矩形的面积最大值与三角形三边a,b,c 的关系 )
从上面的关系式中我们不难得到：三角形的面积为三角形三条边长两两之积的平方之和的二倍与其三边的长的四次方之和的差的算术平方根的四分之一。
公式表示如下：
S ABC ? =14
（s 为三角形面积与为三角形三边的长a,b,c 的关系）
有位科学家说过，发现来源于猜想，而猜想又来源于观察与思考。因此，在我们的工作学习过程中勤于观察善于思考就会有意想不到的发现。
最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。
特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值
M N B C x A O y 求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编 28．（ 甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++， 得：4240 64840a b a b -+=??++=? ， 1分 解得：1 4 a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为 213 442 y x x =-++． 3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8）， 则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）, C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4，
∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ． 4分 ∵OA =4，BC =10， ∴1 14102022 ABC S BC OA =?=??=V ． 5分 11 22222 810ABN AMN ABN S BN OA n+n+S AM CN n , S AB CB = ?=?-===（）4=（）又V V V Q ∴2811 (8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+V V ． 6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大． 7 分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.= 8分 ∵AB = AC ∴12AB AC,= 9分 ∴1 4 OM AC =． 10分 24（ 海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = + 相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。
三角形面积教学设计 教学内容：人教版五年级上册84----85页 教材分析：三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标：1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点：理解三角形面积的推导过程。 教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。 学法：小组合作、动手操作。 教学准备：三角形卡片、多媒体课件 教学过程： 一、情境引入 师：同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） [设计意图]通过情境的创设，给学生提供现实的问题情境，使学生产生解决问题的欲望，积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师：回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？
数学研究 一、研究的内容： 三角形有关内接矩形的计算 二、研究的题目： 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它 加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点 D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，如图 所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种 图形的矩形面积大些？ 解题思路：看到了长是宽的2倍，就可以马上想到设DE 或DG 为x ，又可以得到△ADG ∽△ABC ，就可 以根据相似求出DE 或DG ，由此可以比较两个矩形的面积。 解题步骤：（1）：∵设DE=x, 由题意得到△ADG ∽△ABC （2）：同理DG= 2 15，DE=15 ∴BC DG AM AN = ∴S 四边形DEFG =2 225 ∴ 30 220 20x x =- ∵ 49 7200> 2 225 ∴x= 760 ∴图像（1）中的矩形更大 ∴DE= 760，DG= 7120 ∴S 四边形DEFG = 49 7200 运用的知识：此题运用了 解方程的思想 、相似三角形 和 矩形面积的表达。 三、题目的变化： ○ 1已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =1，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。 E F M E F M （2） （1）
运用的知识：此题运用了相似三角形和正方形的性质。 ○2如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC ab =，三角形的高AD=d。 =（这是一个二位数），E F c 已知：a、b、c、d恰好是从小到大的四个连续正整数，试求△ABC的面积。 、。 四、我的感想： 在学习之中，我们应当一丝不苟地记牢每一个公式，在做题目的时候，我们应该灵活地运用这些公式，来方便我们的解题。
《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题， 许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L 的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行 的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我 们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s 有最大值。微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令 s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab， 所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有 一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x 二次函数与三角形最大面积 1、在坐标系中求三角形的面积有3种方法： （1）割法：（和、差）的相互转化 三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，然后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。 公式法：? 2 1 铅垂高*水平宽 （2）补法：用大图形的面积–其他图形的面积（大三角形的面积–小三角形的积） 1、直线AB经过x轴上的一点A（2,0），且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，已知点B坐标为（1，1）（1）求直线和抛物线的解析式； （2）如果D为抛物线上的一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求点D坐标． 2、如图：如图，直线x y 2 1 - =与抛物线6 4 1 2+ - =x y交于A、B两点， （1）求A、B两点的坐标。（2）点Q 在X轴上方的抛物线上，当Q点的坐标为多少时，△ABQ的面积最大？最大面积有为多少？ 3、、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0)、B(0，-4)、C(2,0)三点， （1）求抛物线的解析式， （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m, △AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。 （3）若点P为抛物线上的动点，点Q是直线y= - x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 A B C M O x y X A B Y 4、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式； （2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜5+1） 与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由 5、已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由． “三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计 一、活动主题的提出 数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索或合作交流的方式，展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的，从表面上看，学生动手操作了，也探究了公式的形成过程，但实际上学生仅仅机械地拼了一拼，做了一次“操作工”，他们并没有自己的猜想和创造，没有真正参与知识的产生和形成，教材所提供的学习材料缺乏思维含量，缺少挑战性，学生体会不到思考的乐趣，思维得不到充分发展，为了培养学生的探究意识和探究水平，促动学生探究的有效性，特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。 二、活动目标 1．探索并掌握三角形的面积计算公式，培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2．使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3．在探索活动中使学生获得积极地情感体验，感受数学的乐趣，体会成功的喜悦，进一步培养学生学习数学的兴趣。 三、课前准备 1．分组：每4人为一小组。 2．每人准备3张正方形纸片。 3．每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。 四、时间：一课时（不包括活动前的准备） 五、活动过程 1．检查学生课前的准备情况。 2．揭示课题 师：三角形的面积能够怎样计算呢？这就是我们这节课要研究的问题。 板书课题：三角形面积的计算公式 3．探究操作 师：（先每4人一小组分好小组）每人拿出一张正方形纸片，在上面剪一刀，要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来，不剪也能够。（学生剪、画） 汇报展示。（选择如下三种图） ①②③ 师：这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算？你是怎么知道的？ 学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。 第三种（图③）剪法剪下的三角形面积能计算，三角形面积正好是这个正方形面积的一半，只要把剪下的两个三角形重叠在一起，就能够发现他们完全一样（形状 由“三角形内切圆”引出的2个中考命题 我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形3条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，这个距离就是三角形的内切圆的半径（如图甲）.观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形，而每个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长.所以 S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA = r AB ?21+r BC ?21+r CA ?2 1 = r BC AC AB ?++)(2 1 （r 为内切圆的半径） 从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以 通过适当的分割，分割为若干个可求图形的面积，利用整体等于各个部分面积之和从而获得上面的结论. 我们知道三角形是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗对于任意的n 边形呢请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道中考题： 例1、阅读材料：如图(一)，△ABC 的周长为l ，内切圆O 的半径为r,连结OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形，用S △ABC 表示△ABC 的面积 ∵ S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA 又∵S △OAB = r AB ?21，S △OBC =r BC ?21，S △OCA =r CA ?21 ∴S △ABC =r AB ?21+r BC ?21+r CA ?21=r l ?2 1 (可作为三角形内切圆半径公式) （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径； (2)类比与推理：若四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S ，各边长分别为a 、b 、c 、d ，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n 边形(n 为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S ，各边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)． 分析：本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的 ┓ O C B A 二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 三角形面积公式的五种 推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 三角形面积公式的五种推导方法 摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。 初中数学三角形面积变形公式的应用 本文结合实例，介绍一个面积公式的变形S ab C = 1 2 sin （a ，b 为三角形两边长，∠C 为a ，b 边的夹角）。 已知：如图1，在△ABC 中，a ，b 是边长，∠C 是a ，b 边的夹角。 求证：S ABC △= 1 2 ab C sin 。 图1 证明：如图1，作底边BC 上的高AH ，设其长为h 。 在Rt △AHC 中，sinC = =AH AC h b ，可得h=b ·sinC 。 S ABC △（·）===12121 2 ah a b C ab C sin sin 。 说明：这个公式对于任意三角形均适用，但初中阶段尚未学习钝角的三角函数，我们只讨论夹角为锐角的情况。 例 已知△ABC ，分别以AB ，BC ，CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF 。 （1）如图2，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件的四个成立的结论。 图2 （2）如图3，△ABC 中只有∠ACB=60°时，请你证明S △BCE 与S △ACF 的和等于S △ABC 与S △ABD 的和。 图3 解：（1）在图2中，四个等边三角形组成一个大的等边三角形，图形很特殊，条件也很多。如图2中菱形就有ABEC ，DACB ，ABCF 等。这些特殊图形中，写出四个成立的结论应 该不是难事。 ①图形DAFCEB 构成一个△DEF ；②△DFE 是等边三角形；③△ABC 的面积是△DEF 的面积的 1 4；④AB ∥EF ；⑤BC =12 DF 。 （2）方法1：如图4，过A 作AM ⊥BC 于M ，设BC=a ，AC=b ，AM=h 。 图4 S △BCE + S △ACF =126012 6022a b ··sin sin ?+? = 1 2 6022（）a b +?sin S △ACB =1 2 60absin ?。 在Rt △ACM 中，由∠ACB=60°可得CM=12b ，AM=32 b ，则BM BC CM a b =-=-? ? ???12。 在Rt △AMB 中， AB AM BM b a b b a ab b a ab b 222 2 2 2222232122121 4 =+=?? ?? ?+-?? ??? +-?+=-+ = 34。 所以S ABD △···（）。 =?=? =-+?12601 2 6012 60222 AB AD AB a ab b sin sin sin S + S =12 =1 2 S + S ABC ABD BCE ACF △△△△（）（）。 ab a ab b a b sin sin sin 601 2 60602222?+-+? +?= 方法2：如图5，过A 作AM ∥FC 交BC 于M ，连接DM ，EM ，显然∠ACB=∠CAF ，得AF ∥MC ，四边形AMCF 为平行四边形。又因为FA=FC ，所以平行四边形AMCF 为菱形，故AC=CM=AM ，∠MAC=60°。在△BAC 与△EMC 中，CA=CM ，∠ACB=∠MCE ，CB=CE ，所以△BAC ≌△EMC ，得BA=EM 。△ADM ≌△ABC ，得DM=BC 。 ? 难度：★★ ? 特点：已知高（作为一个限制弦的条件），求弦长的最大值 ? 来源：07陕西高考 已知椭圆C :2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2 3，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ， 依题意c a a ?=???=? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=. （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，.（1）当AB x ⊥ 轴时，AB =.（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+. =，得223(1)4 m k =+.把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631 km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+.2 2221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 222222222 12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤. 当且仅当2219k k =， 即k =时等号成立.当0k = 时，AB =综上所述max 2AB =. ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB =?=. ? 难度：★★ ? 特点：椭圆已知，直线过定点（由椭圆定），求三角形面积的最大值 ? 来源： 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程. 三角形面积的计算 教学目标 1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算． 2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力． 3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神． 教学重点 理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积． 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程． 教学过程 一、复习引入 （一）教师提问：我们学过了哪些平面图形的面积？计算这些图形面积的公式是什么？ 教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书课题） （二）共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程． 二、探究新知 （一）数方格面积． 1．用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积．（小组内分工合作） 2．演示课件：拼摆图形 3．评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积． （二）推导三角形面积计算公式． 1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小． 2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？ 3．用两个完全一样的直角三角形拼． （1）教师参与学生拼摆，个别加以指导 （2）演示课件：拼摆图形 （3）讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形（第三种拼法）能帮助我们推导出三角形面积公式吗？为什么？ ②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 4．用两个完全一样的锐角三角形拼． （1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示） （2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移） 教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 5．用两个完全一样的钝角三角形来拼． （1）由学生独立完成． （2）演示课件：拼摆图形 小学数学《三角形面积计算公式》教学设计 刘河小学李志强 教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析： 人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析： 学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标： 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。 3、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点：三角形面积计算公式的推导。 教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面 积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备：多媒体课件一套。 学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三 ））））））））） 二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 21．（2012?广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y2．（2013?轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理 由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．）． ））））））））） ，）5，0，0），C（（黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A0，4），B （1．4（2012?．x轴相交于点M抛物线的对称轴l与）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（1为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的PM、）上的一点，若以A、O、（2）设点P为抛物线（x＞5 的坐标；正整数，请你直接写出点P的面积最大？若存在，请你求NAC，使△，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N（3）连接AC N的坐标；若不存在，请说明 三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC） 相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题 一.复习提问： 1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。 求GF 的长。 二.例题讲解： 已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长. 2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长. A B C D E G F E M A C B E F G M A C B 3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。 4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。 三.变式训练 张师傅的困惑: 如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？ 小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！ 小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！ F G E N F E N H M A C B M A C B B C A 80c 60c A B C 80c 60c 四．课堂检测： 1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm （1）请用含x 的代数式表示y. （2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S. 2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种 剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形 面积大？请通过计算说明。 (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为1s ； 按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方 形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正 方形面积和为2s (如图2)，则_______s 2=；再在余下的四个 三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形， 称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3s ，继续操作下去 ……，则第10次剪取时，__________s 10=； (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。 （图1） (图2) (图 3) A E A E 乙 正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学内容解析 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材内容 本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学内容的知识类型 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择(完整版)二次函数与三角形面积最大值专题(4)
三角形的面积计算公式的推导
由三角形内切圆导出的一个三角形的面积公式应用
二次函数及三角形周长,面积最值问题
三角形面积公式的五种推导方法
初中数学三角形面积变形公式的应用学法指导
解析几何-三角形面积相关最值问题
三角形面积的计算
小学数学《三角形的面积计算公式》
二次函数与三角形最大面积3种求法
三角形的面积计算公式
相似三角形应用--内接矩形
正余弦定理的应用三角形面积公式定理公开课一等奖
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