《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题，
许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L
的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行
的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我
们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s
有最大值。微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令
s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，
所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有
一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x
三角形与椭圆
所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1
函数图像的直观反映
，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b 时，s有最大值。即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形）=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0 s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2 。用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉 格朗日乘法，来解解决也行。不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简 单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理：勾股定理的扩展——余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bccosA，则有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc 所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2 ={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 又因为， 三角形面积公式：s=(1/2)*bcsinA =(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 =(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (与角度A并无直接关系) 又∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4) =2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4 =b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4 = b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方) =c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4 = c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4 = c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 （分解因式）= c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2] = [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式） =-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c) =[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b) =(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) ∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2 =[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2 ={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2 在令： p=(a+b+c)/2 就得到海伦公式： s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。需要知 道的一个不等式：(a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均为正数，当a=b=c时，取―=‖) ∵ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c；∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27 则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2 所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2 即：s≤(3^1/2 /36) p2，当p-a=p-b=p-c,即，a=b=c时，取―=‖s有最大值(3^1/2 /36) L^2 （2006全国卷l理科第11题）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：㎝）的5根细棒围 成一个三角形（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是……（ B ） A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20 分析：首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。现在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后找出这些三角形中面积最大的一个。 如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！这个时候就需要你会建立，数学模型了，并且 能够转化数学。把离散组合，转化为连续的数学。数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形。无论怎么变化，有一条是不变的：它们的和为20；于是要解决的问题就是：当三角形周长固定时：什么样的三角形面积才是最大的？上面研究过，正三角形的面积最大，并且由S=s(x)max （且此时，该三角形为等腰三角形）=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0 定时：越接近正三角形形状的三角形面积越大！20/3≈6.6667，显然这里的5个数是组合不成6.6667的，只能退而求其次了，我们发现（猜出来的）：（2+5）、（3+4）、6的组合是最接近正三角形的，所以它的面积最大。经过简单的计算，就知道结果了：B 6*10^1/2 我们在来做一件事，比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积：L^2/16与(3^1/2 /36) L2。为了方便比较，把它们 换为小数：0.0625L^2与0.048112522L^2 我们发现四边形（正方形）的面积要大一些！根据这中经验，是否可以数学归纳，提出猜想1：在平面内曲线周长固定时，圆的面积最大！猜想2：在平面内 曲线周长固定时，围成的n边形中，正n边形的面积最大！事实上，第一个猜想是正确的，不过需要变分法来处理。同样需要微积分来研究，不过是高等微积分了。
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