一对一个性化讲义
本次课课堂教学内容
【考点1 函数的概念】
【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
【例1】（2020春?常德期末）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2019春?无棣县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2019秋?东海县期末）变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（）
A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1
x D．x=
1
2y
4
【考点2 函数自变量的取值范围】
【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例2】（2020春?海淀区校级期中）下列函数中，自变量取值范围错误的是（）
A．y=
1
2x?1（x≠
1
2）B．y=√1?x（x≤1）
C．y＝x2﹣1（x为任意实数）D．y=
1
√x?1
（x≥1）
【变式2-1】（2020秋?长安区校级月考）在函数y=√x+4+x﹣2中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣4B．x≠0C．x≥﹣4且x≠0D．x＞﹣4且x≠0
【变式2-2】（2020?黄石）函数y=
1
x?3
+√x?2的自变量x的取值范围是（）
A．x≥2，且x≠3B．x≥2C．x≠3D．x＞2，且x≠3
【变式2-3】（2020?阳新县模拟）函数y=
1
√1?3x
+（x+2）0的自变量x的取值范围是（）
A．x＞1
3B．x＜
1
3C．x＜
1
3且x≠﹣2D．x≠
1
3
【考点3 函数图象的识别】
【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
【例3】（2020春?沙河口区期末）一天早上小明步行上学，他离开家后不远便发现有东西忘在了家里，马上以相同的速度回家去拿，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，为了不迟到，小明跑步到了学校，则小明离学校的距离y与离家的时间t之间的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2020春?武侯区期末）成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，体息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2020春?揭阳期中）小明观看了《中国诗闻大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2020春?文圣区期末）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（）
A．B．C．D．
【考点4 通过函数图象获取信息】
【方法点拨】理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【例4】（2020春?长葛市期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（）
A．2个B．4个C．3个D．5个
【变式4-1】（2020春?门头沟区期末）甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是（）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【变式4-2】（2020春?莘县期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B 地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有（在横线上填写正确的序号）．
【变式4-3】（2019春?九龙坡区校级期中）重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t 的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过分钟两人再次相距80米．
【考点5 动点问题的函数图象】
【例5】（2020春?青岛期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，
如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）
A ．12
B ．24
C ．20
D ．48
【变式5-1】（2020春?芝罘区期末）如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，三角形ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的图象如图2所示，则长方形ABCD 的周长是（ ）
A ．13
B ．17
C ．18
D ．26
【变式5-2】（2020?河南二模）如图①．在正方形ABCD 的边BC 上有一点E ，连接AE ．点P 从正方形的顶点A 出发，沿A →D →C 以1cm /s 的速度匀速运动到点C ．图②是点P 运动时，△APE 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的函数图象．当x ＝7时，y 的值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．
132
D ．
112
【变式5-3】（2020春?自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （6，0），C （0，4）点D 与坐标原点O 重合，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位的速度沿O ﹣A ﹣B ﹣C 的路线向终点C 运动，连接OP 、CP ，设点P 运动的时间为t 秒，△CPO 的面积为S ，下列图象能表示t 与S 之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【考点6 一次函数的定义】
【方法点拨】一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
【例6】（2020秋?长清区校级月考）下列函数中，是一次函数的是，是正比例函数的是．（填序号）
（1）y=?x
2；（2）y=?
2
x；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x
2；（5）y＝6x?1
2；（6）y＝x（x﹣4）
﹣x2；（7）y＝x﹣6．
【变式6-1】（2019春?偃师市期中）已知函数y＝（m+b）x+m﹣2，当m时，是一次函数；当m时，是正比例函数．
【变式6-2】
（2020春?金山区期中）若函数y＝（m﹣2）x m2?3+2是一次函数，那么m＝．【变式6-3】（2020春?丛台区校级期中）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+5是y关于x的一次函数，则m＝．
【考点7 一次函数的图象】
【方法点拨】一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例7】（2020春?九龙坡区校级期末）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝kbx+k 的大致图象是（）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2020春?孝义市期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2020秋?西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y ＝﹣cx﹣a的图象可能是（）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2019秋?沙坪坝区校级月考）如图所示，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a 在同一坐标系中的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点8 一次函数的性质】
【例8】（2020秋?句容市月考）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1，当m为何值时，（1）y随x的增大而增大？
（2）图象经过第一、二、四象限？
（3）图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）经过直角坐标系原点？此时图象经过那个象限？
【变式8-1】（2020秋?吴江区期末）已知关于x的一次函数y＝mx+4m﹣2．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围；
（3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标．
【变式8-2】（2020秋?南明区校级期中）已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m，n分别取何值时，函数图象经过原点；
（4）m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．
【变式8-3】（2019秋?安徽月考）已知一次函数y＝（1﹣3m）x+m﹣4，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【考点9 一次函数图象上点的坐标特征】
【例9】（2020春?高州市期中）已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（）
A．y1+y2＜0B．y1+y2＞0C．y1﹣y2＜0D．y1﹣y2＞0
【变式9-1】（2020春?老河口市期末）若正比例函数y＝（2﹣3m）x的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A．m＞0B．m＞2
3C．m＜
2
3D．m＜0
【变式9-2】（2020春?黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x2＜x1D．x1＜x3＜x2
【变式9-3】（2020春?青川县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四点在直线y＝kx+4的图象上，且x1＞x2＞x3，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞2y3B．y3＞y2＞y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【考点10 一次函数图象与几何变换】
【方法点拨】解决此类问题的关键是记住一次函数图象平移的口诀：上加下减，左加右减，并且一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是关键.
【例10】（2020?莲湖区模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（）
A．10B．8C．5D．3
【变式10-1】（2020?陕西四模）直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（）A．4B．2C．3D．1
【变式10-2】（2020春?碑林区校级期末）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（）
A．0＜m＜2B．2＜m＜4C．m≥4D．m＞4
【变式10-3】（2020?海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB 经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（）
A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2x+8C．y＝﹣2x﹣4D．y＝﹣2x﹣8
【考点11 一次函数解析式】
【方法点拨】待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．【例11】（2019秋?建湖县期末）已知：y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；
（1）求y与x之间的函数表达式
（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．【变式11-1】（2020春?赫山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+b（k≠0经过点A（﹣4，0），与y轴交于点B，如果△AOB的面积为4，求直线l的表达式．【变式11-2】（2020春?齐齐哈尔期末）某一次函数，当其自变量x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1，它对应的函数值y的取值范围是4≤y≤6，求这个一次函数解析式？
【变式11-3】（2020春?桥东区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（）
A．y=?1
2
x+2B．y＝﹣2x+4
C．y=2
3
x+16D．y=?12x+2或y＝﹣2x+4
【考点12 一次函数与一元一次方程】
【方法点拨】一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【例12】（2020春?香坊区期末）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为．
【变式12-1】（2019秋?常州期末）如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y=1
3x的图象相交于点
A（a，1），则关于x的方程（k?1
3）x＝b的解x＝．
【变式12-2】（2020?吴江区二模）若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（）
A．x＝﹣5B．x＝﹣3C．x＝3D．x＝5
【变式12-3】（2020?南安市校级自主招生）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4
【考点13 一次函数与一元一次不等式】
【方法点拨】一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【例13】（2020春?寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（）
A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3
【变式13-1】（2020?徐州一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx ﹣x＜a﹣b的解集是（）
A．x＜3B．x＞3C．x＜a+b D．x＞a﹣b
【变式13-2】（2019秋?南浔区期末）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（）
A．﹣4＜x＜﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．2＜x＜4
【变式13-3】（2020春?东昌府区期末）如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的
交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【考点14 一次函数的应用（方案选择问题）】
【例14】（2019秋?宿松县校级期末）2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．
（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．
（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．
【变式14-1】（2020春?河北期末）甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x （x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元．（1）求y1、y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客你会如何选择采摘园？
【变式14-2】（2020?陕西四模）习近平在决战决胜脱贫攻坚座谈会上强调：坚决克服新冠肺炎疫情影响，坚决夺取脱贫攻坚战全面胜利.2020年是脱贫攻坚战最后一年，收官之年又遭遇疫情影响，各项工作任务更重，要求更高．某地的苹果产业成为该地农民打赢脱贫攻坚战的利器，已知该地有甲、乙两个苹果园，盛产的苹果品质相同，现两个苹果园推出了不同的销售方案，甲苹果园：不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg；乙苹果园：一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg，超过50kg，则超出部分的价格按5元/kg计．设某水果店在同一个苹果园一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（1）设在甲苹果园花费y1元，在乙苹果园花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）若该水果店计划用360元来购进苹果，则它在甲、乙哪个苹果园中购买苹果的数量较多？
【变式14-3】（2020春?陆川县期末）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在九洲江堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）．
（1）该村需要购买1800棵白杨树苗，如果都在甲林场购买所需费用为元，如果都在乙林场购买所需费用为元；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
【考点15 一次函数的应用（最大利润问题）】
【例15】（2020春?裕华区校级期末）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，获利情况如表格所示．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台（能够全部售出），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
型号每台获利（元）
A型120
B型140
（1）求y与x的关系式；
（2）若B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，则该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【变式15-1】（2020春?樊城区校级月考）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，
这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a 的值．
【变式15-2】（2020?碑林区校级模拟）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：
品种种植成本
（万元/
亩）售价（万
元/亩）
设备成本
（万元/
亩）
A 1.5 3.50.2
B2 4.30.3
设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
【变式15-3】
（2020春?永城市期末）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总
利润最大？
【考点16 一次函数的应用（调配问题）】
【例16】（2020春?南岗区校级月考）A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥．
（1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
（2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【变式16-1】（2020春?海勃湾区期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液广宁需要6吨，怀柔需要8吨，正好端州储备有10吨，四会储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往广宁和怀柔，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）设从端州调运x吨到广宁．
起点\终点广宁怀柔
端州60100
四会3570
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？
【变式16-2】（2020春?舒兰市期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援．当吉林市疫情严重时，急需大量医疗防护物资．现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t．现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t．现C市需要物资240t，D市需要物资260t．若设从A城往C市运xt．请回答下列问题：
（1）用含x的式子表示从A往D市运物资的数量为t，从B往C市运物资的数量为t，从B往D市运物资的数量为t（写化简后的式子）．
（2）求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
【变式16-3】（2020春?防城港期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．
甲城乙城
终点
起点
A地100120
B地11095（1）根据题意，应从B地调运吨消毒液给甲城，从B地调运吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）
（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．
【考点17 一次函数的应用（行程问题）】
【例17】（2020春?历下区期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是千米/小时，出租车的速度是千米小时；
（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式；
（3）求两车相遇的时间．
【变式17-1】（2020春?海珠区期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
一次函数题型总结 1、判断下列变化过程存在函数关系的是( ) A.y x ,是变量，x y 2±= B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间 2、已知函数1 2+= x x y ，当a x =时，y = 1，则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.3 D.2 1 3、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ ）。 1、下列各函数中，y 与x 成正比例函数关系的是（其中k 为常数）( ) A 、y=3x －2 B 、y=(k+1)x C 、y=(|k|+1)x D 、y= x 2 2、如果y=kx+b ，当 时，y 叫做x 的正比例函数 3、一次函数y=kx+k+1，当k= 时，y 叫做x 正比例函数 1、下列函数关系中，是一次函数的个数是( ) ①y=1x ②y=x 3 ③y=210－x ④y=x 2 －2 ⑤ y=13x +1 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若函数y=(3－m)x m -9是正比例函数，则m= 。 3、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n)（1）是一次函数 （2）是正比例函数 1.一次函数y=－2x+4的图象经过第 象限，y 的值随x 的值增大而 （增大或减少）图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ． 2. 已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ． 3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限． 4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( ) A. 1- B. 1 C. 4 1 - D. 41
初中数学一次函数知识点训练及答案 一、选择题 1．如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法： ①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系； ②甲的速度比乙快1.5米/秒； ③甲让乙先跑了12米； ④8秒钟后，甲超过了乙 其中正确的说法是（） A．①②B．②③④C．②③D．①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断． 【详解】 根据函数图象的意义，①已知甲的速度比乙快，故射线OB表示甲的路程与时间的函数关系；错误； ②甲的速度为：64÷8=8米/秒，乙的速度为：52÷8=6.5米/秒，故甲的速度比乙快1.5米/秒，正确； ③甲让乙先跑了12米，正确； ④8秒钟后，甲超过了乙，正确； 故选B． 【点睛】 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到随着自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 2．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（）
A ．﹣5 B ．32 C ．52 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，求出解析式，再将A （3，m ）代入，可求得m. 【详解】 把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，得 201 k b b -+=??=?， 解得121 k b ?=???=? 所以，一次函数解析式y= 12 x+1， 再将A （3，m ）代入，得 m= 12×3+1=52 . 故选C. 【点睛】 本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值. 3．已知过点()2?3， -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352s -≤≤- B ．362s -<≤- C ．362s -≤≤- D ．372 s -<≤- 【答案】B 【解析】 试题分析：∵过点()2?3， -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0 {0 23 a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--.
a a t 精心整理 一次函数题型总结 函数定义 1、判断下列变化过程存在函数关系的是() A.是变量， B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 y x ,x y 2±=A 、1B 、2C 、3D 、42、若函数y=(3－m)x m-9是正比例函数，则m=。 3、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n)（1）是一次函数（2）是正比 例函数 一次函数与坐标系 1.一次函数y=－2x+4的图象经过第象限，y 的值随x 的值增大而（增大或减少）
2.已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ． 3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限． 4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( )A. B. C. D. 1-14 1-4 1（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度 是多少？ 4、东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地 出发以 另一速度向A 地而行，如图所示，图中的线段、B 地的 1y 距离（千米）与所用时间（小时）的关系。 2
a t s ⑵试求出A 、B 两地之间的距离。 函数图像的平移 1.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为 ．13 2+=x y 2、（2007浙江湖州）将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）。 A 、y ＝2x ＋2 B 、y ＝2x －2 C 、y ＝2(x －2) D 、y ＝2(x ＋2) 的增大而，当. 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积 1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是与y 轴的交点是与两坐标轴围成的三角形面积是。 2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为___。3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=的图象分别与x 轴、y 轴相交于23
二年级数学上册重点难点应用题练习一（李春霞） 1、一条绳子长1米，剪去43厘米，还剩多少厘米？ 2、一根绳子剪去16厘米，还剩37厘米，这根绳子原来长多少厘米？ 3、小刚买草莓蛋糕用了38元，还剩下36元，小刚原来一共有多少元？ 4、小明带50元，买了一辆玩具汽车后还剩23元，这辆玩具汽车多少钱？ 5、学校要买44张桌子，已经买了27张，还要买多少张？ 6、购物：文具盒：28元字典：45元书包：36元彩笔：19元 （1）买一个文具盒和一本字典，应付给多少钱？ （2）妈妈要为小红买一个书包和一盒彩笔，50元够吗？ （3）你还能提出哪些数学问题？并解答。 7、购物：口罩：2元消毒液：6元毛巾：5元香皂：4元 （1）玲玲买了4个口罩，她花了多少钱？ （2）丽丽买了4瓶消毒液和一条毛巾，她花了多少钱？ （3）你还能提出哪些数学问题？并解答。 8、妈妈带100元钱去商店买下面三样商品，她带的钱够吗？ 鞋：39元/双台灯：23元/个水壶：28元/个 9、妈妈买了一双鞋32元，比一件上衣便宜49元，一件上衣多少元？ 10、数学兴趣小组有男生36人，比女生多7人，女生有多少人？ 11、去年爸爸比妈妈大2岁，明明比妈妈小28岁，今年爸爸比明明大多少岁？ 12、今年亮亮7岁，妈妈32岁，9年后妈妈比亮亮大多少岁？ 13、有两条各长都是30厘米的纸条，粘贴在一起长56厘米，粘贴在一起的部分长多少厘米？ 14、乐乐家养了25只鸡，养的鸡比鸭少5只，养的鹅比鸭多6只，乐乐家养了多少只鹅？ 15、根据条件找问题：（有几个答案就选几个） 写字课上，小亮写了20个大字，。小芳写了几个大字？ （1）小芳写了18个大字；（2）小芳比小亮多写了4个大字； （3）小芳比小亮少写了4个大字。 16、选择合适的问题并解答： 小芳和小亮做红花，小芳做了34朵，小亮做了15朵，？ （1）他们一共做了多少朵？（2）小芳比小亮多做了多少朵？ 17、参加语文、数学期末测试的共50人，每一个学生至少有一门是优秀，语文得优秀的有39人，数学得优秀的有42人，语文、数学都得优秀的有多少人？ 18、有98只鹅，鹅比鸡多78只，鸡有多少只？鸭比鹅少27只，鸭有多少只？ 19、乐乐计划三天写100个大字，第一天写了44个，第二天写了35个，两天一共写了多少个？还有多少个大字没有写？ 20、一根绳子长70米，第一次剪去18米，第二次剪去25米，这根绳子短了多少米？ 21、一根绳子长70米，第一次剪去18米，第二次剪去25米，这根绳子还剩多少米？ 22、一辆大轿车准乘70人，西关小学二（1）班有36人，二（2）班有37人，两个班能合乘一辆车吗？ 23、小军做题很粗心，老师出了一道题，让他给80加20，他却给80减去了20，你知道他算错的结果比正确的结果少了多少吗？ 24、一个树杈距地面10米，天牛从树杈往下爬，同时蜗牛从地面往树杈上爬,天牛下树,每小时爬2米,蜗牛上树,每小时爬3米,每爬3米就滑落1米,,请你算一算,天牛和蜗牛谁先到达? 25、小蜗牛要爬上5米高的大树，可是它每天向上爬2米就会向下滑下1米，小蜗牛第几天才能爬上树顶？
初中数学一次函数知识点总结 基本概念： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k ≠0）。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 图像性质 1．作法与图形：
（1）列表. （2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 一次函数的图象特征和性质： y =kx+b b>0 b<0 b=0 y=kx k >0 经过第一、二、 三象限 经过第一、三、 四象限 经过第一、 三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k <0 经过第一、二、 四象限 经过第二、三、 四象限 经过第二、 四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小
第十九章一次函数教案 19.1.1变量 教具；课件，直尺，三角板 教学目标 知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。增强对变量的理解 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想 重点：变量与常量 难点：对变量的判断 教学媒体：多媒体电脑，绳圈, 教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式 教学设计： 引入： 信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm， 行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子
表示s. 新课： 问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？ （3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? （4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。 指出上述问题中的变量和常量。 范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ （1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； （2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系； （3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系； （4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。 活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量. (1)圆的面积公式S=πr2; (2)正方形的l=4a; (3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额 与金额y的关系为y=2.5x. 2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量.
二年级数学重、难点题型汇总及答案 1、二年级一班的小朋友排成一排，从左往右数，小明站在第10个，从右往左数，小明站在第11个，问这个班共有多少个小朋友？ 2、一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 3、小刚在超市买了两件衣服，两条裤子。请帮小刚算一算，有( )种不同的穿法。 4、 下图长方形A的周长是30厘米，正方形B的周长是16厘米，那么由A和B拼成的图形的周长是多少厘米？ 5、往一只篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，4分钟后篮子就满了，请问在什么时候是半篮子鸡蛋?
6、将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出。 7、冬冬到文化用品商店买铅笔和本子，全部的钱可以买6支铅笔和11本本子，或者8支铅笔和7本本子，如果全部买本子，可以买多少本？ 8、一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。原来梨筐里有多少个梨？ 9、二（1）班学生练团体操，李教师让他们平均排成8行，每行5人，还余下学生不能参加，你知道二（1）班的学生数最多是多少人？最少是多少人？ 10、已知一张桌子的价钱是一把椅子的10 倍，又知一张桌子比一把椅子多288 元，一张桌子和一把椅子各多少元？ 参考答案
1、方法一： 小明左边有个小朋友，小明右边有个小朋友，所以共有 9+1+10=20个小朋友。 方法二： 小明从左往右数了一次，从右往左也被数了一次，所以被数了两次，要减去一次，所以有个小朋友。 【小结】排队问题中注意不要算重复了。 2、妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁， 那么爸爸的年龄也是孩子的4倍， 把孩子的年龄作为1倍数， 已知三口人年龄和是72岁， 那么孩子的年龄为72÷（1+4+4）=8（岁）， 妈妈的年龄是8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为32岁。 3、有4种不同的穿法。 【解析】选择衣服的情况有2种，选择裤子的可能性有2种。选择一件衣服，一条裤子的可能性有2×2=4(种) 4、正方形的边长是：16÷4=4(厘米)， 由A和B拼成的图形的周长是：30+16-4×2=38(厘米)。
一次函数知识点总结及经典试题 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正
一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2 -1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D 3、定义域： 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2 （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4 （5例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．． ． D ． 函数y =x 的取值范围是___________. 已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2 325≤ <- y B. 2 52 3<
一次函数考点归纳及例题详解 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 一次函数y = 3 x + 2的图象不经过第 象限. 4. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ） 5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ） 6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. 7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示， 则||n m -可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 初中数学试卷 桑水出品 一次函数重难点轻松过关 1.已知直线y=mx+n，其中m，n是常数且满足：m+n=6，mn=8，那么该直线经过（） A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限 2.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a 的解集是． 3.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（） A.加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25 B.途中加油21升 C.汽车加油后还可行驶4小时 D.汽车到达乙地时油箱中还余油6升 4.如图,一个装有进水管和出水管的容器,从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟内既进水又出水,接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完． 5.如图，直线2 3 3 + - =x y与x轴，y轴分别交于B A,两点，把AOB ?沿着直线AB翻折后得到B O A' ?，则点O'的坐标是( ) Ａ Ｂ Ｏ Ｏ＇ x y A ．)3,3( B ．)3,3( C ．)32,2( D ．)4,32( 6. “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（ ） A.2小时 B.2.2小时 C.2.25小时 D.2.4小时 7.如图，直线y =3 4 x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△A 0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是 ． 8.在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y=x 上的动点，A （1，0），B （2，0）是x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为 ． 9.经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v （千米/小时）是车流密度x （辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为O 千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度． (2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内？ 10.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． （1）今年A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） （2）该车计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A ， B 两种型号车的进货和销售价格如下表： 一次函数的应用题型总结（经典实用） 用一次函数的解决实际问题。 类型一根据题目中信息建立一次函数关系式或找出符合题意的图像，再根据函数的性质解决问题； 1、学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（） 2、．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（） 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（） 1 / 7 4、从甲地到乙地，汽车先以速度，行驶了路程的一半，随后又以速度()行驶了余下的一半，则下列图象，能反应汽车离乙地的距离(s)随时间(t)变化的函数图象的应为（） 5.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间 t(时)的函数关系的图象是( ) (A) (B) （C）（ 6、为加强公民的节水意识，某市对用水制定了如下的收费标准，每户每月用水量不超过l0吨时，水价每吨l.2元，超过l0吨时，超过部分按每吨1.8元收费。该市某户居民，8月份用水吨 （），应交水费元，则与的关系式为__________ 7、购买作业本每个0．6元，若数量不少于13本，则按8折优惠． （1）写出应付金额y元与购买数量元之间的函数关系式： （2）求购买5本、20本的金额； （3）若需12本作业本，怎样购买合算? 8、一个蓄水池有153m的水，用每分钟3 5.0m的水泵抽水，设蓄水池的含水量为) (3 m Q， 抽水时间为分钟） (t。 ⑴写出Q关于t的函数关系式⑵求自变量t的取值范围⑶画出函数图象 2 / 7 一次函数 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。 ③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x 的一次函数 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 人教版二年级数学下册重难点总复习资料 一、解决问题 1、同级运算：（连加，连减，连乘，连除，加减混合，乘除混合） 按照从左向右的顺序，依次计算。 同级运算的类型：+ +，－－，+ －，－+， ××，÷÷，×÷，÷×。 2、不同级运算：（乘加，乘减，除加，除减） 先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的。 不同级运算的类型：×+ ，×－，+ ×，－×， ÷+ ，÷－，+ ÷，－÷。 带小括号运算的类型：×（+ ），×（－）， （+ ）÷，（－）÷。 3、从总数中连续减去两部分（连减算式），也可以写成从总数中减去两部分的和，同时需要用小括号把两部分的和括起来，计算时要先算小括号里面的。 如：54－8－22 = 54－（8+22） 4、把分步算式合并成一个综合算式时： 先看分步算式的第二步算式，再看其中第一个数和第二个数哪个数是前一步算式的结果，就用前一步算式替换掉那个数，其他的照写。当需要替换的是第二个数，必要时还需要加上小括号。 二、表内除法 1、平均分的含义：把一些物品分成几份，每份分得同样多，叫平均分。 2、把一些东西平均分成几份，求每份是多少；用除法计算，总数÷份数=每份数。 把一个数量按每份是多少分成一份，求能平均分成几份；用除法计算，总数÷每份数=份数。 3、除法算式的读法：从左到右的顺序读，“÷”读作除以，“=”读作等于，其他数字不变。 4、除法算式各部分名称：被除数÷除数=商。 5、用乘法口诀求商，想：除数×商=被除数。 6、“求一个数是另一个数的几倍”也就是求“一个数里面有几个另一个数”，都用除法计算， 用“一个数÷另一个数=几倍”。 7、用乘法和除法两步计算解决问题时，所求问题是总数，用乘法计算；所求问题是份数或每份数，用除法计算。 8、在需要提出问题并解决时，可以提：①加法的问题：求总数，“谁和谁一共是多少？”。②减法的问题：进行比较。“谁比谁多多少？；“谁比谁少多少？”。③除法的问题：有倍数关系的可以提出用除法计算的问题，“谁是谁的几倍？”，“是”字前写较大数，“是”字后写较小数。 9、一件物品的价格叫单价，买几件叫数量，买几件共需要的钱叫总价。 单价×数量=总价。总价÷单价=数量。总价÷数量=单价。 三、图形与变换 1、角：锐角、直角、钝角。锐角比直角小，钝角比直角大。 2、平移：当物体沿水平方向或竖直方向运动时，是直线运动。自身方向不发生改变。如：推拉窗。 3、旋转：当物体围绕着一个点或一个轴做圆周运动时，自身方向会发生改变。如：方向盘。 4、平移的方法：①先确定平移方向和格子数（也就是距离）。②找到原图形的各个顶点。③把各个点 按相同方向平移相同的格子数。④把新顶点按原图形的顺序连接。 五、克和千克 1、质量的单位：克和千克。 2、称较轻的物品的质量时，用“克”作单位；称较重的物品的质量时，用“千克”作单位。 3、一个两分的硬币约是1克。两袋500克的盐约是1千克。 4、1千克=1000克=1公斤。1kg=1000g．进率是1000． 5、计算或者比较大小时，如果单位不同，就需要把单位统一。一般统一成单位“克”。 一次函数考点归纳及例题详解 【考点归纳】 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y= 3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ， n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2 +1的图像可能是（ ） 6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2 7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值围是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 专题：一次函数重难点题型专题讲练 ※题型讲练 【例1】已知一次函数y=(2m+1)x+m–3，分别解答下列各题： (1)求m的取值范围； (2)若该函数是正比例函数，求m的值； (3)若该函数图象在y轴的截距为－2，求m的值； (4)若该函数图象平行直线y=3x–3，求m的值； (5)若该函数图像y随着x的增大而减小，求m的取值范围； (6)若该函数图像经过一、二、三象限，求m的范围； (7)若该函数图像不过第二象象限，求m的范围； (8)若该函数图像必过二、四象限，求m的范围； (9)若函数图像必过三、四象限，求m的范围； (10)若该函数图像过点(–1，–2)，求函数解析式； (11)若该函数图像是由函数y=–5x+n–3的图像延y轴向上平移2个单位得来，求m和n的值； (12)若该函数图像与函数y=(n–5)x+2n–2关于x轴对称，求m和n的值； (13)若该函数图像与函数y=–x+3的图像同时交于函数y=3x+19上一点，求函数解析式； (14)该函数图像是否过定点？若过，请求出这个定点；若不过，请说明理由． 【例2】已知y+1与x+2成正比例，且当x=4时，y=－4． (1)求y关于x的函数关系式； (2)若点(a，2)和(2，b)均在(1)中函数图像上，求a、b的值． (3)当－2≤x≤6时，求y的取值范围． 【例3】已知某一直线过点(1，－4)和点(4，－2)， (1)求该直线所在的一次函数关系式； (2)求该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积； (3)若函数图像上有两点(a，m+3）、(b，－2m+6）且a>b， 求m的取值范围． 【例4】一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求该一次函数的解析式． 【例5】如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的交于点P，则根据图象可得： (1)方程ax＋b－kx=0的解是； (2)方程组y＝ax＋b， y＝kx的解 是__________； (3)不等式ax＋b 人教版小学二年级数学上册知识点整理 一、长度单位和角的知识点 [会按要求画线段和角。] 1、尺子是测量物体长度的工具，常用的长度单位有：米和厘米。食指的宽度约有1厘米，伸开双臂大约1米。1米=100厘米100厘米=1米。 2、测量较短物体通常用厘米作单位，测量较长物体通常用米作单位。 3、测量物体长度时：把尺的“0”刻度对准物体的左端，再看右端对着刻度几，就是几厘米。物体长度=较大数-较小数，例如：从刻度“0”到刻度“6”之间是6厘米（6-0=6），从刻度“6”到刻度“9”之间是3厘米(9-6=3)；还可以用数一数的方法数出物体的长度。(算，数) 4、线段是直的，可以量出长度。 5、画线段的方法:从尺子的“0”刻度开始画起，长度是几就画到几。（找点画线；有时还要先算出长度再画线。如画一条比6厘米短2厘米的线段。） 6、角有1个顶点，2条直边。锐角比直角小，钝角比直角大，钝角比锐角大。锐角<直角<钝角（钝角>直角>锐角）。 7、用三角板可以画出直角，直角要标出直角符号（也叫垂足符号）。 8、所有的直角都一样大。要知道一个角是不是直角，可以用三角板上的直角比一比。长方形和正方形都有4个角，4个都是直角。 9、角的大小与两条边的长短无关，与两条边叉开的大小有关。 10、每一个三角板上都有3个角，其中有1个是直角，另外2个是锐角。 11、角的画法：从一个点起，用尺子向不同的方向画两条笔直的线，就画成一个角。（从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。） 练习：1、1米21厘米=（）厘米 53厘米-18厘米=（）厘米；一棵大树高10（）。2、我的身高是（）米（）厘米。 3、一个角有（）个顶点和（）条边；一本书宽15（）。人教八年级数学下册一次函数重难点轻松过关.docx
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