推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型。
归纳推理（归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理）
题型1、具有共同特征型（具有共同特征的几个式子得出一个通式，是归纳推理的常见题型） 例：观察下列两式：①110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 0
=?+?+? ；
②15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan 0
=?+?+?．
分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。 【答案】
若0
90=++γβα，1tan tan tan tan tan tan =?+?+?αγγββα
【掌握练习】 1、已知：
，
，
，通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题：_________.
【答案】
()()2223sin 60sin sin 602
ααα-+++=
【解析】
通过观察可以发现,角度为公差是的等差数列,设中间一项为,则前后分别为，,所以一
般性命题为()()2
223
sin 60sin sin 602
ααα-+++=
... 2、
_________.
【答案】
由①②相加,得
(
)
所以
.
3、设
,且
,若
,猜想
的个位数字是( )
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】
∵,∴
时,
,
时,
,时,
，归纳
的个位数字. 题型二、周期型（规律成周期出现）
例：设定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f +12)2(=+x f ，若2)2(=f ，则=)2012
(f 源:https://www.doczj.com/doc/8916818960.html,]
【答案】10 【解析】
因为)(x f +12)2(=+x f ，2)2(=f ，所以10)4(=f ，2)6(=f ，10)8(=f ，……，由此归纳出：
???=102)2(n f
是正偶数
是正奇数
n n ，所以10)10062()2012(=?=f f 。 【掌握练习】 1、 观察下列各式：，
，
，……，则
的末四位数字为
_________. 【答案】
.
2、观察下列各式：，，
，则的末两位数字为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
，
，
，，
，易观察出末两位数是成周期变化的，
周期为4，故
，所以
的末两位数字为43.
3、四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在、、、号位置上(如图)，第次前后排动物互换位置，第次左右列互换座位，……这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔的位置对应的
是( )
A.编号
B.编号
C.编号
D.编号 【答案】C 【解析】
由已知和图形得，小兔自第1次交换位置后依次坐在④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环．因为
的余数为2，所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为3. 题型三、分组型
例：一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……
问：到个圆中有_______个实心圆.
【答案】
【掌握练习】
1、观察如下规律:,则该数列的前项和等于_______. 【答案】
【解析】
由,发现该数列,由个,个,个,个组成,
∵,∴该数列前项,由个,个,个,个组成,即
,故答案为.
2、已知数列:,依它的前项的规律,这个数列的第项为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
这个数列是按如下规则分组:第一组:;第二组:;第三组:;;第
组:.由不等式,即,由于
,得,且当时,,,即是上述分组中的第
组的第个数,即.
3、在正整数数列中,由开始依次按如下规则,将某些数染成红色.先染;再染两个偶数,;再染后面最邻近的个连续奇数,,;再染后面的最邻近的个连续偶数,,,;再染此后最邻近的个连续奇数,,,,.按此规则一直染下去,得到一红色子数列
,,,,,,,,,,,…,则在这个红色子数列中,由开始的第个数是( )
A.3971
B.3972
C.3973
D.3974
【答案】B
类型四、递推型
例：已知，，，，若
，则( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】C
【解析】
将两边平方得，故选C...
【掌握练习】
1、已知，由不等式，我们可以得出推广结论：
，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
2、已知，观察下列算式：；
,…；
若，则的值为( )
A. B. D. D.
【答案】C
【解析】
由于,可得
,即,解得...
3、以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”
……
……
……
……
该数表由若干行数字组成，从第二行起每一行中的数字均等于其“肩上”的两个数字之和，表中的最后一行仅有一个数字，则这个数字是（）
A. B. C. D.
4、观察下列不等
式:,,,,......;,照此规律,第个不等式为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
观察不等式的规律知
,,,,
,。。。。。;,由此猜测第个不等式为,D正确.
类型五、推断型
例：有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“我没有获奖”,乙说:“是丙获奖”,丙说:“是丁获奖”,丁说:“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确,根据以
上的判断,获奖的歌手是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】
假设甲获奖,则甲、乙、丙都回答错误,丁回答正确,符合题意,所以甲获奖,故选A.
【掌握练习】
1、甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐。已知①甲不看书；②若丙不画画，则乙
不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐.则（）
A.甲一定在画画
B.甲一定在听音乐
C.乙一定不看书
D.丙一定不画画
【答案】B
2、某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星”，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（）
A.小赵、小谭
B.小马、小宋
C.小马、小谭
D.小赵、小宋
【答案】A
【解析】
小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．
3、2018年,甲、乙、丙三人根据自己的实际情况,在购买股票、国债、基金三种理财方式中,各选择一种与其他人不同的理财方式.朋友聚会时,三人向朋友叙述如下:
甲:我购买了股票,乙购买了国债;
乙:甲购买了国债,丙购买了股票;
丙:甲购买了基金,乙购买了股票.
事实是甲、乙、丙三人的叙述都只对了一半.根据以上信息,下列判断正确的是( )
A.甲购买了国债
B.乙购买了股票
C.丙购买了国债
D.甲购买了基金
【答案】D
4、高三数学组有六位教师,期中考试由一位教师命题,考试前学生甲猜测:教师都不可能是命题人;学生乙猜测:教师中的一位是命题人;学生丙猜测:教师或是命题人;学生丁猜测:教师不可能是命题人.若甲、乙、丙、丁中只有人猜测正确,则此人是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】A
【解析】
若甲猜测正确,则丁猜测错误,即为命题人,此时乙和丙都猜测错误,符合题意;
若乙猜测正确,则甲猜测错误,即为命题人,此时丁也猜测正确,不符合题意;
若丙猜测正确,则甲猜测错误,或是命题人,此时丁也猜测正确,不符合题意;
若丁猜测正确,甲、乙、丙中至少还有一个正确,不符合题意,故甲猜测正确.
类型六、信息型
例：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意满八进一，可得该图示为八进制数，化为十进制数为.
【掌握练习】
1、中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如用算筹表示就是,则用算筹表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得千位的用算筹表示为“一”.选B.
2、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信
息为,,传输信息为,其中,,的运算规则
为:,,,.例如原信息为,则传输信息为,信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
3、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类似上述过程，则
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意结合所给的例子类比推理可得：，
整理得：，则，即...
4、若“”表示一种运算,满足如下关系:(1);(2),则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题设:①②,则. 故选D.
类型七、数序型
例：如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两
端的数均为，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如，，
，则第行第个数（从左往右数）为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【掌握练习】
1、如图所示数阵中，用表示第行的第个数，则依此规律为（）
A. B. C. D.
【答案】C
2、自然数按照下表的规律排列，则上起第行，左起第列的数为( )
?+ B. C. D.
A.201320143
【答案】C
【解析】
每一组连线的数字个数分别是，那么前2013行的数字个数的和是
，每一行都成公差为1的等差数列，第2014行的第一个数字是，这一连线的第2014个数字是
，故选C...
3、将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则
的值为（）
行
A.257
B.256
C.254
D.253
【答案】C
4、如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，，，
，，，,，记此数列的前项之和为，则的值为（）
A.66
B.153
C.295
D.361
【答案】D
【解析】
用此数列奇数项组成新数列,偶数项组成新数列．由图显然可得,且
是首相为3公差为1的等差数列．
2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与 c 所成的角的大小为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 2．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{ } 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{} 12x x ≤< 3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5 y x =± D ．53 y x =± 6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．328．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
微专题19 1．答案：x 2 ＝2y . 解析：假设抛物线标准方程x 2＝2py (p ＞0)，因为准线方程y ＝－12＝－p 2，所以 p ＝1，抛物线标准方程为x 2 ＝2y . 2．答案：x 2 8－y 2 8＝1. 解析：因为e ＝c a ＝2， 又b a ＝4 c ，所以b ＝22，a ＝22，所以双曲线的E 的标准方程为x 2 8－y 28 ＝1. 3．答案：x 24＋y 2 2＝1. 解析：由c a ＝22，2a 2 c ＝ 42解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. 4．答案：y ＝±2x . 解析：因为 m ＋4 m ＝3，得出m ＝2，所以渐近线方程为x 22－y 2 4＝0，所以y ＝ ±2x . 5．答案：x 2 16＋y 2 8＝1. 解析：由 ???c a ＝22，c ＋a 2 c ＝6 2， 解得 ???a ＝4， c ＝22 则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2 8＝ 1. 6．答案：x 2 －y 2 3 ＝1. 解析：因为c a ＝2，不妨 设焦点为(c ，0)，渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以bc b 2＋a 2 ＝b ＝3，c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 2－ y 23 ＝1. 7．答案：x 24＋y 2 4 3＝1. 解析：因为a ＝2，由|OC → －OB →|＝ 2|BC →－BA →|，得|BC →|＝2|AC →|，所以|OC →|＝|AC → |，又由AC →·BC →＝0，所以|OC →|＝|AC → |＝2，则点C (1，－1)代入椭圆E ，得 b 2＝ 4 3，所以椭圆E ：x 24＋y 2 4 3 ＝1. 8．答案：(1)32；(2)x 2 8＋ y 2 2 ＝1. 解析：(1)由题意??? ??x 2a 2＋y 2b 2＝1， x （x ＋a ）＋y 2＝0， 消去y 2 ，得c 2a 2x 2 ＋ax ＋b 2＝0，一 根必为x 1＝－a ，由韦达定理，－a ·x 2＝b 2c 2a 2，x 2＝－ab 2 c 2， 所以x M ＝－ab 2 c 2∈(－a ，0)， OA →·OM → ＝x M x A ＝ab 2c 2a ＝43b 2， c 2a 2＝34，所以e ＝3 2 . (2) 由 (1)M ????－23b ，－223b ， 右准线方程为x ＝ 43 3 b ，直线MN 的方程为y ＝2x ，所以P ?? ?? 433 b ，463b ，S △POF ＝12 OF ·y P ＝ 32b ·46 3 b ＝22b 2， S △ AMN ＝2S △AOM ＝ OA ×|y M |＝2b ×223b ＝42 3 b 2，所以 22b 2＋ 423b 2＝103 a ，1023 b 2＝20 3b ，所以b ＝2，a ＝22，椭圆C 的标准方程为x 28＋y 2 2＝1.(也可以利用 直角三角形AMO 中，OA ＝a ，OA →·OM →＝43b 2，得OM ＝ 2 3 b ，得出 M ? ?? ???－4b 2 3a ，－2b a 2－43b 23a ， 代入椭圆方程来处理)．
2019-2020高考数学第一次模拟试题(含答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+ 3．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i + D ．12i -+ 4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是 （ ） A ．①③④ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③ 5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A ．6500元 B ．7000元 C ．7500元 D ．8000元 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π = 对称的函数是（ ）
一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数
传统不等式的解法 一、基础知识 1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠ 可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式 （1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为 ()0f x >） ①求出()0f x =的根12,,x x L ② 在数轴上依次标出根 ③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >? 寻找x 轴上方的部分 ()0f x 的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0 f x g x g x ?>???≠?? （化商为积），进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性 （2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方
（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同 （4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法： （1）先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >?+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ） ，将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >?>，即a b a c b c >?+>+成立，再例如： 0,0,c ac bc a b c ac bc >>?>?? <时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()() 0,0,c f a f b a b c f a f b >>??>?? <，则11 ,a b 的关系如何？设()1f x x = ，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判断出：当,a b 同号时，11 a b a b >?< （2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是x y a =还是()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：
F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?=
A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是
2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F ， F为椭圆的左、右焦点，动点P 的坐标为 ( －1,m)，过点 F 4 3 椭圆交于 A， B 两点 . （1）求 F1，F 2的坐标； （2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的 对称点为 B. （1）求△PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内 部，求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1， B2，且MB1 MB 2. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ，点 E(0,1) ． 16 12 （1 ）经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4 （2 ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率 的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程； (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 . (i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．
1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．
一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB
2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
2019年高考数学试题整体分析 1.试题突出特色： “突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法 分析问题、解决问题的能力。”2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出 学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映 我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会 实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 2.试题考查目标： （1）素养导向，落实五育方针 2019年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷 站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑 “断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。文 科Ⅰ 卷第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡 导高质量的劳动成果。理科Ⅰ卷第（15）题引入了非常普及的篮球运动，以其 中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学 方法分析、解决体育问题。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加 强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。（2）突出重点，灵活考查数学本质2019年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基 础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和 逻辑推理能力。固本强基，夯实发展基础。理科（4）题源于北师大版必修五67页；理科（22）题源于北师大版4-4第53页；理科（16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。理科（21）题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试 题的第15题改编。题稳中有变，助力破解应试教育。主观题在各部分内容的布局 和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。这些改革释放了一个明显 的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有 助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重 点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。 （3）情境真实，综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性 和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。 理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置 了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。理科第（21）题情境结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数 学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中 学的素质教育有很好的导向和促进作用。
三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;
（江苏专用）高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练 习（无答案）苏教版 微专题十七 数列的通项与求和 一、填空题 1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是________． 2. 已知数列{a n }满足a 1为正整数，a n ＋1＝????? a n 2 ， a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数. 若a 1＝5，则a 1＋a 2＋a 3＝________. 3. 已知数列{a n }满足a n ＝ 1n ＋n ＋1，则其前99项和S 99＝________.
4. 若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 5. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ 2a n a n ＋2 (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列??????1S n 的前n 项和为________．
7. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)cos n π 2＋1(n ∈N * )，其前n 项和为S n ，则S 60＝________. 8. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33 (x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________． 9. 定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则 a 2 019a 2 017＝________.
快戳！数学6大必考题型全总结！掌握好轻松考到140+！ 高考数学大题必考题型及解题技巧分析 1 排列组合篇 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 2 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立体几何中的计算型问题，而解答题着重考查立
体几何中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2. 判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点;
第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同
抽象函数的定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法. 类型一已知f (x )的定义域,求f [g (x )]的定义域 其解法是:若f (x )的定义域为[a ,b ],则在f [g (x )]中,令a ≤g (x )≤b ,从中解得x 的取值X 围即为f [g (x )]的定义域. 【例1】已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求f (3x-5)的定义域. 【解题指导】该函数是由u=3x-5和f (u )构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于f (x )与f (u )是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即-1≤3x-5≤5,求x 的取值X 围. 解∵f (x )的定义域为[-1,5], ∴-1≤3x-5≤5,∴43≤x ≤103, 故函数f (3x-5)的定义域为43,10 3. 类型二已知f [g (x )]的定义域,求f (x )的定义域 其解法是:若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的X 围即为f (x )的定义域. 【例2】已知函数f (x 2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f (x )的定义域.
【解题指导】令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ), 由于f (u )与f (x )是同一函数,因此u 的取值X 围即为f (x )的定义域. 解由0≤x ≤3,得1≤x 2-2x+2≤5. 令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),1≤u ≤5. 故f (x )的定义域为[1,5]. 类型三已知f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域 其解法是:先由f [g (x )]的定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求f [h (x )]的定义域. 【例3】函数y=f (x+1)的定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是() A.0,52 B.[-1,4] C.[-5,5] D.[-3,7] 答案A 解析因为f (x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x ≤3,所以-1≤x+1≤4,则f (x )的定义域是[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x ≤52,所以f (2x-1)的定义域是0,5 2.故选A . 类型四运算型的抽象函数