微专题 圆锥曲线的离心率问题及答案
微专题20
1．答案：
52
. 解析：两条渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ，所以b a ＝12，得出离心率为5
2.
2．答案：2.
解析：不妨设一条渐近线方程为bx －ay ＝0，所以|bc |b 2＋a
2＝32c ，b ＝3
2c ，所以b 2＝c 2
－a 2＝3
4
c 2，所以离心率为2.
3．答案：3－1；2.
解析：假设渐近线与椭圆在第一象限内交点为P ，左、右焦点为F 1，F 2，由正六边形性质知，
Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，PF 2＝c ，PF 1＝3c ，由椭圆定义知c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为3－1，渐近线y ＝n m x 与x 轴夹角为60°，所以n
m ＝3，双曲线N 的离心
率为2.
4．答案：
5
3
. 解析：设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为OQ 为△F 1PF 的中位线，所以PF 1
＝b ，PF ＝2a －b ，又因为OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，△F 1PF 中勾股定理得，PF 12＋PF 2＝F 1F 2，b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，b 2＋(2a －b )2＝4a 2－4b 2，b a ＝23，所以e ＝c a ＝53
.
5．答案：? ?
?
??
0，
6－22. 解析：因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，所以M ????c ，b
2
a ，过M 作y 轴的垂线，垂足为N ，△PQM 是钝角三角形，则∠PMQ ＞90°，∠PMN ＞45°，cos ∠PMN ＜22，ac
b 2＜2
2
，e 2＋2e －1＜0，又0＜e ＜1，所以椭圆E 离心率的取值范围是0＜e ＜
6－22
. 6．答案：(2－1，1)．
解析：△PF 1F 2中，正弦定理sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝c a ＝PF 1PF 2，因为PF 2＝2a －PF 1，PF 1＝2ae
1＋e ，a
－c ＜PF 1＝2ae
1＋e
＜a ＋c ，又0＜e ＜1，所以椭圆E 离心率的取值范围是(2－1，1)．
7．答案：
5－1
2
.
解析：假设右焦点为F 2，连接F 2Q ，PQ →＝F 1F 2→，所以平行四边形F 1F 2QP ，F 1Q →
＝λ(
F 1P →|F 1P →|＋F 1O →|F 1O →|)(λ>0)，所以F 1Q 为∠PF 1F 2的平分线，得菱形F 1F 2QP ，PF 1＝PQ ＝F 1F 2＝2c ，由圆
锥曲线统一定义得PF 2＝e ·PQ ＝2c ·e ，由第一定义得PF 1＋PF 2＝2a ，2c ＋2c ·e ＝2a ，e 2＋e －1＝0，所以e ＝
5－1
2
. 8．答案：[7，10]．
解析：以AB 中点O 为坐标原点，AB 为x 轴建系，设AB ＝2c ，则C ????c 2，y 0满足e 2
4－y 0
2
b 2＝1，又AE →＝λEC →，坐标化得E ? ????
c （λ－2）2（1＋λ），λy 01＋λ，代入椭圆方程x 2a 2－y 2b 2＝1，e 24? ??
??λ－21＋λ2－???
?λ1＋λ2
·y 02b 2＝1，消去y 02b 2，得e 2＝1＋2λ1－λ＝－2＋31－λ
，在????23，34上为增函数，7≤e 2≤10，所以双曲线的离心率范围为[7，10]．
1.(2018·苏北四市零模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．
2．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点
F(c ，0)到一条渐近线的距离为3
2
c ，则其离心率的值是________．
3．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a>b>0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2
n 2＝1.若双曲线N
的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．
4．点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)上
一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝
???
?b 22
相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 中点，则椭圆C 的离心率为________．
5．点M 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)
上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆E离心率的取值范围是________．
6．已知椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、
右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆
上存在点P，使
a
sin∠PF1F2
＝
c
sin∠PF2F1，该
椭圆的离心率取值范围是________．
7.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点
F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若PQ →＝2F 1O →，F 1Q →
＝λ? ??
??F 1P →|F 1P →|＋F 1O →|F 1O →|(λ>0)，求椭圆的离心率．
8．已知梯形ABCD 中，AB ＝2CD ，又AE →＝λEC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，
B 为焦点，当23≤λ≤3
4时，求双曲线的离心率
范围．
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
圆锥曲线的离心率问题专题训练 1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于2 1，则m = . 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为 。 3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 。 4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是 。 5．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为 。 6．若点P 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 。 7．分别过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为 。 8．双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为 。 9．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为3 2-，则椭圆的离心率是 。 10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222 >=-a y a x 交于A 、B 两点。若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为 。
1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)3 4 p =，求椭圆的方程. 2、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率2e =，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围. 3、设椭圆22: 1(0)22 x y E a b a b +=>>的离心率1 2e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12 S F AF =? 4、如图，设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b + =>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?S FAM S FBN ?=? 5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>，其离心率e =d = 求
椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求 11?AB CD += 6、设椭圆22 :13627 x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π ∠=∠=∠=，求： 111?123 FP FP FP ++= 7、如图所示，椭圆()221:116 9 x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ， AD 与 CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程. 8、设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b +=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：1 2 k = ，求椭圆E 的方程； ⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标. 9、设椭圆22 :1168x y E +=的长轴端点为A B 、， 与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹. 10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：2 2 2 a b c =+， ① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：2 2 2 c b a =+ ① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题： 例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 33 B ．36 C ．13 D ．16 思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得 2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o ，则直角三角形12PF F V 中， 1212::2:1:3 PF PF F F =，且 1212 2,2a PF PF c F F =+=，所以 12122323 F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。 例2：椭圆 () 22 2 102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中， '''' 1 ::2:1:52 b a b c a =?=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得
13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e . 方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 . . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（） A． [，1）B． （，1） C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12） 5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（）A．B．C．D． 6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（）A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（） A． （0，）B． （，） C． （，） D． （，1） 9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（）A．B．C．D． 10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（） A．[2，+∞）B．（，+∞）C． [，+∞） D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线 的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭 圆离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则 的取值围是（） A．B．C．D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（）A．B．C．D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离 心率的取值围是（） A．B．C．（1，2）D． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值围是（） A． （1，]B． （1，） C． （2，] D．（，2] 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 专题：椭圆的离心率问题 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 2 2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若 12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是12? ?? ?? 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 是椭圆22 a x +22b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,122 1αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若ο ο 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 2 2 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于 点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是2 1 。 1．（福建卷）已知双曲线(a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A 作斜率为1的直线,若与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A. B. C. D. 3．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 5．(陕西卷)已知双曲线x2a2－y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.263 D.233 6.(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 7.（广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=() （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 8.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A．B．C．D． 9．[全国]设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A．B．C．D． 10．（福建理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A．B．C．D． 11．（重庆理）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（） A．B．C．D． 12.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B. C.(3,+)D. 13.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D． 14.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 15.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为 的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（） 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 - 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点Ｐ,使得ＰF１⊥PF２,则椭圆离心率的取值范围是（） A. [,1）B. ［，１） Ｃ. （０，] Ｄ. (０，] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是（) Ａ. Ｂ． C. D． 3.椭圆焦点在ｘ轴上，A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A． [,1) Ｂ. (，1) C. ［，) D. （0，） 4．双曲线的离心率e∈(1，２）,则k的取值范围是（) A．(﹣∞,0）Ｂ．（﹣３,0) C. （﹣１2，0）Ｄ. (﹣60,﹣12) 5.设F１,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝120°,则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B. C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率ｅ的取值范围( ) A． B. C． D. 7.已知椭圆x2+my２＝1的离心率,则实数m的取值范围是（) Ａ. B．Ｃ．Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１F２是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. （0，) B. （,） C． （，） D． （，1) ９.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3ｂ2，4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围 是（） A． B. C. D. 1０．如图，等腰梯形ＡBCＤ中,AB∥CD且ＡB=2，ＡＤ=１，ＤＣ＝2x（x∈（0,1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e１;以Ｃ，D为焦点，且过点Ａ的椭圆的离心率为ｅ2,则e1+e２的取值范围为(） A. [2,+∞) B．（,+∞）Ｃ. [，+∞) D．(,+∞) 1１.已知双曲线的焦距为2c，离心率为ｅ,若点（﹣1，0)与点(１，0)到直线 的距离之和为S,且S，则离心率e的取值范围是() Ａ． B. C. D. １2.已知F１,F２是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F１PＦ２=60°,则椭圆离 心率e的取值范围是() A．B． C. D． 1３．已知方程x3+2ax２+３ｂx+c=0（a,b,ｃ∈R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( ） A. Ｂ. Ｃ. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b）距离最远的点是B（0，﹣b)，则椭圆的离心率的取值范围为（) A．B．C． D. １5.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是(） A. B. C. (1,2) D． 1６．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点Ｐ在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段Ｆ１F2的比为5:1，则双曲线离心率的取值范围是（) A. （1,]Ｂ． (1,) Ｃ. (２,] D．(，２]圆锥曲线离心率专题
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