新利息理论教案第2章

第 2 章：等额年金

第 2.1 节：年金的含义

本节内容：

一、年金的含义（annuity ）

年金是指一系列的付款（或收款）。

年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。 二、年金的分类

1、确定年金和风险年金。

2、定期年金和永续年金。

3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。

4、期初付年金和期末付年金。

5、即期年金和延期年金。

6、等额年金和变额年金。 本节重点：

年金的定义。 本节难点：

年金的分类。

第 2.2 节：年金的现值

年金现值是一系列款项在期初的价值。 本节内容：

2.2.1 期末付定期年金的现值

假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号n i

a

表示。在不引起混淆的情况下，通常简

记为

n

a 。

n

a

的计算过程图（略）

一、公式

23...n n

v v v v a

=++++

(1)11n n

v v v v i

--=

=-

二、理解

1n n v ia +=

三、例题

1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？

解：应用期末付年金现值公式：

4000 58%a

=4000×3.9927=15971

说明：

58%a

的具体数值可以通过年金现值表查到

2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。

解：

20

1045a

a =

20101145

v v i i

--=

100.25v =

i=0.148698

2.2.2 期初付定期年金的现值

假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号n i

a

表示。在不引起混淆的情况下，通常简

记为

n

a 。

n

a

的计算过程图（略）

一、公式

2311...n n

v v v v a -=+++++

(1)11n n

v v v d

--=

=-

二、

n

a

与

n

a

的关系

1、

(1)n n

i a a =+（可用公式展开证明）

2、11n

n a

a -=+ （可用图形讲述）

三、例题

1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？

解：设仓库的年租金为A ，可以建立

50000=A

8

a

，A=7596

2.2.3 期末付永续年金的现值

永续年金是指无限期支付下去的年金。因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。若用a ∞表示期末付永续年金的现值，则有

1

lim n n i a a ∞→∞==

2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式

若用

a

∞

表示期初付永续年金的现值，则有

1lim n

n d

a

a ∞

→∞

==

二、a ∞与a ∞的关系 (1)i a a ∞∞

=+

三、例题

1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？

解：设仓库的年租金为A ，可以建立

50000=A

8

a

，A=7596

2、一笔10000元的贷款，期限为10年。如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。

解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为

1010000(10.06)17909+=

因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元 （2）每年末支付的利息为100000.06600?= 因此支付的利息总额为：6000元 （3）设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =

A=1359

因此支付的利息总额为：135********?=

3、A 留下一笔十万元遗产。这笔财产头10年的利息付给收益人B ，第2个10年利息付给收益人C ，此后的均给慈善机构D 。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。

解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。

B ：7000

10

a

=7000×7.0236=49165

C ：7000（

20a -10

a ）=700010a 10v =24993 D ：7000（a ∞

-20

a

）=7000a ∞20v =25842

本节重点：

期末付定期年金的现值的计算公式。 本节难点：

公式之间的关系。

第 2.3 节：年金的终值

定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。 本节内容：

2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号n i

s

表示。

一、公式

211(1)(1)...(1)n n

i i i s

-=+++++++

1(1)(1)1

1(1)n n i i i i

-++-==-+

二、解释

1(1)n

n

i is

++=

2.3.2 期初付定期年金的终值 期初付定期年金的终值一般用符号n i s

表示。

一、公式

21(1)(1)...(1)(1)n n n

i i i i s

-=++++++++

(1)(1(1))(1)1(1)1

1(1)/1n n n i i i i i i i d

+-++-+-===-++

二、

n

s

与

n

s

的关系

1、

(1)n

n

i s s =+ （可用公式展开证明） 2、1

1n

n s s

+=- （可用图形讲述）

三、例题

1、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。

解：假设每年初存入A 元

1040000A s =

A=2863

2、投资者A 和投资者B 在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A 每年末抽回X 并持续15年，投资者B 每年末抽回Y 也持续15年。两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A 得年利率为8%，投资者B 的年利率为10%，求Y-X 。

解：对于投资者A ：

400.08

150.08100s Xa =

得 X=3026.54 对于投资者B ：

400.1

150.1100s

Ya =

得 Y=5818.94 Y-X=2792.40

本节重点：

期末付定期年金的终值。 本节难点：

n

s

与

n

s

的关系。

第 2.4 节：年金的现值与终值的关系

本节内容：

2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系

(1)n n n i s a =+

(1)n

n

n

i s a

=+

2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系

1

1

n

n

i a s =

+

1

1

n

n

d a

s

=

+

本节重点：

年金的现值与终值之间的换算关系。 本节难点：

年金的现值与终值之间的倒数关系。

第 2.5 节：年金在任意时点上的值

本节内容：

2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值 一、延期m 个时期的期末付定期年金的现值|n

m a

。

|

(1)m m n

n n m i v a a a -=+= |

n

m n m

m a

a a +=-

二、延期m 个时期的期末付永续年金的现值|

m a

∞

|

m m v i

a

∞

=

三、期初付延期年金的现值的计算（略） 四、例题

2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值

2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值

本节重点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|n

m a 。 本节难点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|

n

m a

。

第2.6节：可变利率的年金的现值与终值

本节内容：

2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算

2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算

本节重点： 本节难点：

补充：

一、非标准时期与利率 二、非复利年金

补充概念：

一、利息结转周期和年金支付周期

周期是一个时间的概念。利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。 二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。具体计算有两种思路。

第2.7节 每个利息接转周期支付m 次的年金（每年支付m 次年金） 本节内容：

一、此类问题的直接计算

例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。

解：月实际利率

1

12(10.0609)10.0049386+-=

假设每月末的付款金额为X ，则有 600.004938650000Xa =

X=965 二、新公式

n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn 表示年金的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率。 2.7.1 期末付年金

一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：

121

()1(...)n m n m

m m n

a v v v v m

-=++++ ()()1n m m n

v i a i i

-==

二、相应的，在每个支付周期末付款1/m 元，那么该年金的终值为

()()

(1)m n m n n s i a =+

()

m n i s i

=

三、例题

1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？

解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。

(12)(12)55

12001200

i

s s i ==6781.37 2、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R 应该为多少。

解：每年付款总额为2R ，

(2)523000Ra =

R=342.24万元

2.7.2 期初付年金

一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：

121

()1

(1...)n m m m m n

a v v v m

-=++++ ()()1n m m n v d

a d d

-== 二、相应的，在每个支付周期初付款1/m 元，那么该年金的终值为

()()

(1)m n m n n s i a =+

()

m n d s d

=

三、转换关系 1

()

()

(1)m m m

n n a i a =+

1

()

()

(1)m m m

n

n s i s =+

四、例题

例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。

解：设每月初的付款金额为X ，那么全年付款总额为12X ，因此有

(12)

5

0.0609

5000012Xa = X=960元

2.7.3 永续年金

一、m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元的永续年金现值为：

12()1(...)m m

m a v v m

∞

=++ ()

1m i =

二、同理，在每个支付周期初付款1/m 元的永续年金现值为：

()m a

∞

()

1

m d =

三、转换关系 1

()

()

(1)m m m

a i a ∞

∞=+

本节重点：

121()1(...)n m n m m m n

a v v v v m -=++++()()1n

m m n v i

a i i

-==的推导。

本节难点：

121()

1(...)n m n m m m

n

a v v v v m -=++++()()1n

m m n v i a i i

-==的推导。

第2.8节 连续年金

本节内容：

2.8.1连续年金的现值

一、如果总的利息结转次数为n ，每个利息结转周期的实际利率为i ，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金现值用

n

a

表示，则有：

00

11|ln n

t n n t n

n

v v v v dt v a

δδ--====

?

二、

n

a

的其他推导

三、其他关系

n

n

i

a

a

δ=

1n n

e a

δ

δ

--=

四、例题

例1、假设年实际贴现率为5%，在第5年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第2年末的现值。

解：d=0.05，则10.95d ν=-=，1

10.95

i +=

ln(1)ln(1/0.95)i δ=+=

上述款项在第5年末的现值为2

1000

a

，则在第2年末的现值为：

3210001629.73v a =

例2、假设年实际利率为6%，请计算每年连续支付500元的永续年金的现值。 解：0.06500

8580.91500a δ

∞=

=

2.8.2 连续年金的终值

一、如果总的利息结转次数为n ，每个利息结转周期的实际利率为i ，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金终值用

n

s

表示，则有：

00

(1)(1)1

(1)|ln(1)n

t n t

n n

i i i dt i s

δ++-=+==+?

二、

n

s

的其他推导

三、其他关系

n

n

i

s

s

δ=

1

n n

e s

δδ

-=

四、例题

例1、假设年实际利率为6%，在第2年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第10年末的累积值。

解：

上述款项在第7年末的累积为50.06

10005804.56s

=

则在第10年末的累积为：

35804.56(10.06)6913.33+=

五、补充

n

a

与

n s

的关系 (1)n

n

n

i s a

=+

1

1

n

n

a

s

δ=

+

本节重点：

n

a

、

n

s

计算公式。

本节难点： n

s

的其他推导。

第 2.9 节：年金问题求解（价值方程）

本节内容：

2.9.1利率问题求解

一、年金问题包含三个变量。

1、年金的现值或终值；

2、年金的支付次数；

3、利率。

二、计算未知利率的方法

1、解析法；

例、已知

2

1.75a

=，求i 。

解：2

11()

1 1.75

i i ++=

57

i =

2、线性插值法；

3、迭代法。

牛顿迭代公式：1'()

()

n n n n f x x x f x +=-

三、迭代法的基本思路 四、例题。

2.9.2 时间问题求解 一、解析法

二、非正规日期付款

例1、 投资者将20000元存入某基金，希望在每年末领取1000元，假设基金的年收益率为 4.5%，试计算投资者最多可以领取多长时间（只考虑余额在最后一次付款时全部支付），最后一次的领款时的余额。

解：1000n

a

=20000, A=20

ln(1)

52.3114ln(1)

Ai n i --=

=+ （年）

5252100020000(10.045)S X +=+

X=302.52（元）

本节重点：

迭代法的基本思路。 本节难点：

迭代法的基本思路。

新利息理论教案第2章

第 2 章：等额年金 第 2.1 节：年金的含义 本节内容： 一、年金的含义（annuity ） 年金是指一系列的付款（或收款）。 年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。 二、年金的分类 1、确定年金和风险年金。 2、定期年金和永续年金。 3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。 4、期初付年金和期末付年金。 5、即期年金和延期年金。 6、等额年金和变额年金。 本节重点： 年金的定义。 本节难点： 年金的分类。 第 2.2 节：年金的现值 年金现值是一系列款项在期初的价值。 本节内容： 2.2.1 期末付定期年金的现值 假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号n i a 表示。在不引起混淆的情况下，通常简 记为 n a 。 n a 的计算过程图（略） 一、公式 23...n n v v v v a =++++ (1)11n n v v v v i --= =- 二、理解 1n n v ia += 三、例题 1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？ 解：应用期末付年金现值公式：

4000 58%a =4000×3.9927=15971 说明： 58%a 的具体数值可以通过年金现值表查到 2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。 解： 20 1045a a = 20101145 v v i i --= 100.25v = i=0.148698 2.2.2 期初付定期年金的现值 假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号n i a 表示。在不引起混淆的情况下，通常简 记为 n a 。 n a 的计算过程图（略） 一、公式 2311...n n v v v v a -=+++++ (1)11n n v v v d --= =- 二、 n a 与 n a 的关系 1、 (1)n n i a a =+（可用公式展开证明） 2、11n n a a -=+ （可用图形讲述） 三、例题 1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？ 解：设仓库的年租金为A ，可以建立 50000=A 8 a ，A=7596 2.2.3 期末付永续年金的现值

《利息理论》复习提纲

《利息理论》复习提纲 第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。 利息金额I n =A(n)-A(n-1) 对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1 二．单利和复利 考虑投资一单位本金， （1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利； 实际利率 ) ()()()(1111-+= ---= n i i n a n a n a i n （2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。 实际利率 i i n = 例题：1.1.3 三.. 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。 等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下： ,(1),111 1,,,1d i i d i i d d i v d d iv v i d id i = +==-+=-==-=+ 例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率 用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。 与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。 名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。

利息理论第三章课后答案

利息理论第三章课后答案

《金融数学》课后习题参考答案 第三章 收益率 1、某现金流为：元，元，元，元，求该现金流的收益率。解：由题意得： 2、某投资者第一年末投资7000元，第二年末投资1000元，而在第一、三年末分别收回4000元和5500元，计算利率为0.09及0.1时的现金流现值，并计算该现金流的内部收益率。 解：由题意得： 当时， 当时， 令3、某项贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12%，若第一年后还款400元，第5年后还款800元，余下部分在第7年后还清，计算最后一次还款额。解：由题意得： 4、甲获得100000元保险金，若他用这笔保险金购买10年期期末付年金，每年可得15380元，若购买20年期期末付年金，则每年可得10720元，这两种年金基于相同的利率，计算。 3000o o =11000o =12000I =24000I =2001122()()()0O I O I v O I v -+-+-=23000100040000 v v --=41 33 v i ?= ?=23 (0)[(47) 5.5]1000V v v v =--+?0.09i =(0)75.05V =0.1i =(0)57.85V =-(0)00.8350.198 V v i =?=?=4 0.121(10.88854 i v +=+ ?=571000400800657.86 v pv p =++?=i i

解：由题意得： 5、某投资基金按 积累，，在时刻0基金中有10 万元，在时刻1基金中有11万元，一年中只有2次现金流，第一次在时刻0.25时投入15000元，第二次在时刻0.75时收回2万元，计算k 。 解：由题意得： 6、某投资业务中，直接投资的利率为8%，投资所得利息的再投资利率为4%，某人为在第10年末获得本息和1万元，采取每年末投 资相等的一笔款项，共10年，求证每年投资的款项为：。 证明： 7.某投资人每年初在银行存款1000元，共5年，存款利率为5%，存款所得利息的再投资利率为4%，证明：V （11）=1250（。V(11)=1000[5(1+0.05)+0.05(Is) 8.甲年初投资2000元，年利率为 17%，每年末收回利息，各年收回的利息按某一利率又投资出去，至第10 年末，共得投资本息和 1(1)t k t k δ= +-01t ≤≤1 01(1)1k dt t k e k +-?=+10.251(1)10.75k t k e k +-?=+1 0.751(1)10.25k t k e k +-?=+?10000(1)15000(10.75)20000(10.25)1100000.141176 k k k k +++-+=?=100.0410000210 s -104%41100.041010000 (())((108%104%210 n j n j s n s p n i Is p n i p p j s - --+=+=+? =?=-0.04110.0461s s --）5 0.04][10.0560.04] S +50.045 1000[5.250.050.0560.04] 0.04 S S -=+? +08688.010720153802010=?=i a a i i

利息理论第一章课后答案

1. 已知A （t ） +5,求 （1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=()(0)A t A =25t +5+1 （2）I 3；I （3）i 4; i 4=4(4)(3)(3) (3)I A A A A -=== 2.证明：（1）()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++ （2）()(1)(1).A n in A n =+- （1） ； ()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ （m

新利息理论教案第3章

第3章：变额年金 本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。本章将讨论年金不相等的情况。如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。 第3.1节：递增年金 本节内容： 3.1.1期末付递增年金 假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n 期末支付n 元，那么这项年金就是按算术级数递增的。 一、年金现值 () n Ia 如果用()n Ia 表示其现值，则有 2323...() n n v v v nv Ia =++++ （1）公式推导过程： 上式两边同乘（1+i ） 21 (1)123...()n n i v v nv Ia -+=++++ 用第二式减去第一式 231(1...)()n n n i v v v v nv Ia -=+++++- n n nv a =- 所以： () n Ia n n nv i a -= （2）公式的另一种推导思路（略） 二、年金终值 () n Is 1(1) (1)()() n n n n n s n s n i Ia i i Is +--+=+= = 三、例题 例1、一项20年期的递增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此类推，最后一次支付发生在第20年末，假设年实际利率为6%，求此项年金在时刻零的现值。 解：最后一次支付的金额应该为65195160+?=元。将此年金分解成一项每

年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。这时： 上述年金的现值为：20 20 51181.70 () 60Ia a += 例2、一项递增年金，第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此类推，直到最后一次支付600元，假设年实际利率为5%，试计算此项年金在最后一次支付时刻的终值。 解：支付金额每次递增20元，因为6003001520=+?，所以一共支付了16次。最后一次支付发生在第16年末。 将此年金分解成一项每年末支付280元的等额年金和一项第1年末支付20，每年递增20元的递增年金。这时： 上述年金的终值为：16 16 2010160.25 ()280Is s += 3.1.2 期初付递增年金 假设第一期初支付1元，第二期初支付2元，…，第n 期初支付n 元，那么这项年金就是按算术级数递增的。 一、年金现值 如果用 () n Ia 表示其年金现值，则有 () n Ia (1)()n n n nv i Ia d a -=+= 二、年金终值 如果用 () n Is 表示年金现值，则有 1(1) (1)()() n n n n s n s n i Is d d Is +--+=+= = 三、永续年金 当n 趋于无穷大时： ()Ia ∞111(1)di i i ==+ ()Ia ∞22 11(1)d i ==+ 四、例题 1、确定期末付永续年金的现值，每次付款为1、 2、 3、…。设实际利率为i=5%。 解： () Ia ∞ 111(1)di i i = =+=420

刘占国《利息理论》第三章习题详解

第三章 收益率 2.解：234000 1.120000.93382?-?= 3.解：237000100040005500(0)v v v v v --++= 1 1 0.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时， 令(0)0v v i =?及 7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ??=+?= 8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000k k k dt dt dt t k t k t k e e e +-+-+-???+-= 解得：0.14117k = 10.解： 560.0450.04610001.04550.04s i i s -??++ ?? ? 13.解：50000068000060000500055000A B I ===-=，， 29.78%I i A B I =≈+- 14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i -??????=?++?+ -?+-?= ? ????????? 15. 解：1212121k t dt t e k ++?=?= 书后答案是1k =，不知我对它对。 16.解：80285% 1.0512dt j e ????=+ ?? ? 17.解：10654310000 1.04 1.05 1.04 1.05 1.04 1.04 1.0410000k k k k ?----= 19.解：(1)()()2 10001100012200i i +++= 解得： 6.52%i = (2)()2120022001100012001000 i ?=++ 解得：9.54%i = 20.解：()30300.04200.04200.04210000 1.04k s s ks k -+=??= ()10100.0410888100001 4.4%ks i i +=?+?= 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 1 1 1 1 1 i 2i 3i 4i 5i 5i 5i 5i 5i 5i 本金 利息

寿险精算-教学大纲

《寿险精算》教学大纲 课程编号：113732A 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □学科基础课 总学时： 34 讲课学时：34 实验（上机）学时：0 学分： 2 适用对象：保险学（精算） 先修课程：保险学原理、人身保险 一、课程的教学目标 通过本课程的学习使学生明确寿险精算的基本思想,并能利用利息理论和生命理论的基本工具,进行有关保险费和责任准备金的简单计算。 二、教学内容及其与毕业要求的对应关系 教学内容讲授上的要求： 本课程将通过课堂理论授课、课堂讨论、案例分析以及课后阅读，使学生掌握基本精算思想和方法，对寿险产品的定价和特点有较为清晰的认识，同时能够应用所学知识分析当前寿险市场中存在的问题。 对拟实现的教学目标所采取的教学方法、教学手段； 为了实现教学目的，课堂讲授一定要增加实例，同时多采取提问方式或讨论方式加强与学生的互动，课后多做练习，其间还可以请保险公司的有关专家做有关精算实务的报告。 对课后作业以及学生自学的要求；

每一章节课后都会有思考题，同时对于重点章节会有课堂考察与练习。 该课程从哪些方面促进了毕业要求的实现； 学生通过本课程的学习，为将来毕业后胜任寿险精算工作打下基础。 三、各教学环节学时分配 各章节的学时分配如下表： 四、教学内容 第一章：利息理论 本章重点和难点: 终值函数与数量函数，利息力，积累与贴现，名义利率与实际利率， 单利与复利，等值方程，确定年金的现值与终值 本章教学组织和设计：主要以课堂讲述为主，同时配以课后思考题。 第二章：生命理论 本章重点和难点:生命表的定义、类型、内容、编制方法，死力，一般整数年龄生命

利息理论教学大纲

中南林业科技大学利息理论教学大纲 课程编号：学分：4 课程名称：利息理论学时：48 英文名称：Interest Theory课程性质：必修 适用专业：保险专业先修课程：高等数学 —、课程简介（宋体小四加粗）（包括课程性质和任务） （一）课程教学目标 《利息理论》是保险、精算专业的一门专业必修课程。 本课程教学的主要内容是介绍利息理论的基本知识，包括：利息的基本概念、年金、收益率、债务偿还、债券与其他证券、利息理论的应用与金融分析。 （二）教学任务 学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法。二、课程目标 （一）教学目标 目标是让学生了解利息理论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理利息的基本思想和方法，培养学生运用利息理论分析和解决实际问题的能力。 （二）教学理念 作为保险学专业学生培养，涉及到金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。本课程的基本理念是使学生掌握基本的投资和金融计算的术语、概念及计算原则。理论与实际联系起来，更好的让学生掌握一些基础性的金融工具的现金流价值分析。 （三）教学要求 要求教师用多媒体的形式，结合投资学，保险学的知识基础，掌握金融产品的定量分析方法。

三、教学安排和学时分配

四、理论课程教学大纲（包括课程教学设计、教学实施） 第一部分利息的基本概念 [授课时间] [10学时] [教学目的与要求] 通过本章教学，使学生初步了解利息理论的基本概念。 [教学内容] 1、利息度量[重点] 2、利息问题求解[重点] 第二部分年金 [授课时间] [13学时] [教学目的与要求] 本章为全书的基础，通过教学，要求学生掌握年金的标准型与一般型。 [教学内容] 1、年金的标准型[难点] 2、年金的一般型[难点] 第三部分收益率 [授课时间] [10学时] [教学目的与要求] 通过本章教学，使学生掌握收益率的概念及将收益率应用 于投资基金的收益分析。 [教学内容] 1、收益率[重点] 2、收益率的应用[难点] 第四部分债务偿还 [授课时间] [11学时] [教学目的与要求] 通过本章教学，使学生掌握债务偿还的分期偿还与偿债基金的两种方式。 [教学内容]

利息理论第二章课后答案

1、 证明： () n m m n i v v a a -=-; 证明： 11()() m n n m m n i i i i v v v v a a -- -=-=- 2、化简：n t t n n a s a s -- 解： ()()()()()()()1 111 1111 1111111t n t n t t n t t n n n n n n i i i i i v i i i a s a s v i i n ------+=+=+=----+++++++ 3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解： ()()()2222221122111211n n n n n n v a x xi v x y i x y i xi yi i d i x x x y v yi v a y i ?-==??-=--????-=-?=?==??++---=???==?? 4、设,m n x y a s ??== 证明： 1m n vx y iy a ++= +； ） 证明： ()()()()()()111111111111m m m m n n n n v i a x v xiv xiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-?-+?==?=----+?∴==?++-?= =?=-?? 5、证明：2322.. .. .. 1 .. .. .. n n n n n n s s s s s s + - =; 证明：

()()()()()()()()()() 2323222222111111 111111 111111 11 n n n n n n n n n n n n n n n n s s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+ -=+-+-+-+-??+-+?? =+++ =+- 6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与 b 相等，知道=，计算k 解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v = 解答得k=1800 — 7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。设年利率为%计算n 及超出或者不足2000的差额 解:50n s 2+50n s =2000 解答得n= 所以n=9 （5018s +509s ）()i +1+x=2000 解答得 x= 8 从1998年起，知道1998年底，默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项，七月一号的存款要比一月一号的多%，并且与下一年的一月一号相等，每年计息两次且年名义利率为10%。；在1998年十二月三十一号，本息为11000 ，计算第一次存款 解 ： x

利息理论习题

1.1 1. Sally has two IRAs. IRA 1 earns interest at 8% effective annually and IRA 2 earns interest at 10% effective annually. She has not made any contributions since January 1, 1985, when the amount in IRA 1 was twice the amount in IRA 2.The sum of the two accounts on January 1, 1993 was $75000. Determine how much was in IRA 2 on January 1, 1985? （Individual Retirement Account） 2. Suppose we are given that the effective rate of interest is 5% in the first year and 6% in the second year .We invest $1 at time 0. How much is in the fund at the end of two years? 3. An investor puts 100 into Fund X and 100 into Fund Y. Fund Y earns compound interest at the annual rate of j, and Fund X earns simple interest at the annual rate of 1.05j . At the end of 2 years, the amount in Fund Y is equal to the amount in Fund X. Calculate the amount in Fund Y at the end of 5 years? 4. Eric deposits X into a savings account at time 0, which pays interest at a nominal rate of i , compounded semiannually. Mike deposits 2X into a different savings account at time 0, which pays simple interest at an annual rate of i .Eric and Mike earn the same amount of interest during

利息理论第三章课后标准答案

《金融数学》课后习题参考答案 第三章 收益率 1、某现金流为：3000o o =元，11000o =元，12000I =元，24000I =元，求该现金流的收益率。 解:由题意得：2001122()()()0O I O I v O I v -+-+-= 23000100040000v v --= 4133v i ?=?= 2、某投资者第一年末投资７０00元,第二年末投资1000元，而在第 一、三年末分别收回40０0元和5500元,计算利率为0.09及0.１时的现金流现值，并计算该现金流的内部收益率。 解：由题意得：23(0)[(47) 5.5]1000V v v v =--+? 当0.09i =时，(0)75.05V = 当0.1i =时，(0)57.85V =- 令(0)00.8350.198V v i =?=?= ３、某项贷款１0００元,每年计息4次的年名义利率为12%，若第一年后还款4０0元，第５年后还款800元,余下部分在第７年后还清,计算最后一次还款额。 解:由题意得：40.121(1)0.88854i v +=+?= 571000400800657.86v pv p =++?= 4、甲获得100０00元保险金，若他用这笔保险金购买10年期期末付年金，每年可得１5380元，若购买20年期期末付年金，则每年可得１0720元,这两种年金基于相同的利率i ,计算i 。

解:由题意得: 08688.010720153802010=?=i a a i i ５、某投资基金按1(1)t k t k δ=+-积累，01t ≤≤,在时刻０基金中有10万 元,在时刻1基金中有１1万元,一年中只有２次现金流,第一次在时刻0．2５时投入15000元,第二次在时刻０．7５时收回2万元，计算k 。 解：由题意得：101(1)1k dt t k e k +-?=+ 10.251(1)10.75k dt t k e k +-?=+ 10.751(1)10.25k dt t k e k +-?=+ ?10000(1)15000(10.75)20000(10.25)1100000.141176k k k k +++-+=?= 6、某投资业务中,直接投资的利率为8%,投资所得利息的再投资利率为４%,某人为在第10年末获得本息和1万元，采取每年末投资相等 的一笔款项，共10年，求证每年投资的款项为： 100.0410000 210s -。 证 明: 104%41100.041010000(())()(108%)104%210n j n j s n s p n i Is p n i p p j s - --+=+=+?=?=- 7.某投资人每年初在银行存款1000元,共5年，存款利率为5%,存款所得利息的再投资利率为4%,证明:V （11）=1250（0.04110.0461s s --）。 V(1１)=10０0[5(1+０.０５)+0.05(Is)50.04][10.0560.04]S + 50.0451000[5.250.05][10.0560.04]0.04S S -=+?+ 8.甲年初投资20０0元，年利率为 17%，每年末收回利息，各年收回的利息按某一利率又投资出去,至第1０ 年末，共得投资本息和7６

利息理论第一章课后答案

1.已知A （t ）=2t+t +5,求 （1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=()(0)A t A =25t +5t +1 （2）I 3；I 3=A(3)-A(2)=2*3+3+5-(2*2+2+5)=2+32- （3）i 4; i 4=4(4)(3)2*445(2*335)43 (3) (3)113113I A A A A -++-++-=== ++ 2.证明：（1）()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++ （2）()(1)(1).A n in A n =+- （1） ()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ （m

利息理论第一章课后答案

1.已知A （t ）=2t+ +5,求 （1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）==++1 （2）3；3=A(3)-A(2)=2*3++5-(2*2++5)=2+ （3）4; 4= 2.证明：（1） （2） （1） （m

（b） （c） （d） 11.用级数展开形式确定下列各项： （a）i作为d的函数； （b）d作为i的函数； （c）作为i的函数； （d）v作为的函数； （e）作为d的函数。 解：（a） （b） （c） （d）（e） 12.若， 证明：，其中：o 证明： e 13.假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t时的利息力为=（3+2t）/50，其中t为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值。 解：=1000e=1000e= 14.基金A以每月计息一次的名义利率12%积累，基金B以利息强度=t/6积累，在时刻t=0时，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一刻。 解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为1，两基金金额相等的下一刻为t。 = = e = =e t= 15.基金X中的投资以利息力=+ （）积累；基金Y中的钱以实际利率i积累，现分别投资1元与基金X、Y中，在第20年末，它们的积累值相同，求在第3年末基金Y的积累值。 解：e= （20）= 16.一投资者投资100元与基金X中，同时投资100元于基金Y中，基金Y以复利计息，年利率j>0，基金X以单利计息，年利率为，在第二年末，两基金中的金额相等。求第五年末基金Y中的金额。 解：e= 元 17.两项基金X和Y以相同金额开始，且有： （1）基金X以利息强度5%计息； （2）基金Y以每半年计息一次的年名义利率j计息；

利息理论名词归纳

1、 利息定义：一定时期内, 资金拥有人出借资金的使用权所获得的报酬。 2、 利率定义：单位本金在单位时间内所获得的利息称为该单位上的利息率。 3、 本金：初始投资的资本金额。 4、累积值：过一段时期后收到的总金额。 5、利息：累积值与本金之间的差额。 6、累积函数：0时刻的1单位货币到t 时刻时的累积值，记为a(t)。累积函数a(t)也称为t 期累积因子，因为它是单位本金在t 期末的累积值。 7、利息力：是在某一时点上单位资金的利息，它度量了资本在一个时点上获取利息的能力。 8、名义利率：是指在一个度量期内分多次结转利息的利率。 9、实际利率：是指在每个度量时期末结转一次利息的利率。 10、实际利率与名义利率的根本区别： 用实际利率表示的利息只在给定的时期期末支付一次；而名义利率计算的利息在一期内可能进行多次支付。 复利与单利的区别 基本意义的比较：单利下，只有本金生利息；复利下，本金和已生利息均能生息。 实际利率与时间的关系：在常数利率i 下，单利条件下的实际利率it 是时间t 的单调减函数；复利条件下的实际利率it 等于常数复利率，与时间无关。 11、等价的名义利率与实际利率的相互转换： 12、累积函数之间的关系： 当t=0 or t=1时，1+it =(1+i)t ； 当 0＜t ＜1 时，1+it ＞(1+i)t ； 当t ＞1 时，1+it ＜(1+i)t 。 1+it 是t 的线性函数，(1+i)t 是t 的凸函数。 13、 利息增长的特征：在同样长时期内，单利利息增长的绝对金额为常数； 复利利息增长的相对比率为常数。 14、现值：未来的一笔资金在现在的价值。 15、贴现过程和贴现函数的概念： 为了在t 期末得到某个累积值，而在开始时投资的本金额称为该累积值的现值（折现值）。显然， t 期末的累积值A(t)的现值为A(0) 。由期末累积值求其现值的过程称为贴现（折现）过程。 累积和贴现（折现）是互逆的过程，a(t)表示1单位的本金在t 期末的累积值，而a-1(t)表示为了在t 期末得到累积值1，而在开始时投资的本金额。 累积函数a(t)的倒数a-1(t)称为t 期贴现因子或贴现函数（折现函数）①。特别地，把一期贴现因子a-1(1)简称为折现因子(贴现因子)，记为v 。 16、名义贴现率：是指在一个度量期内分多次预收贴现值的贴现率。 17、实际贴现率：是指在每个度量时期初预收一次贴现值(贴现利息)的贴现率。 18、等价的名义贴现率与实际贴现率的相互转换： 19、利率和贴现率的关系： i m m m d d ???? ??-=-)(11m d d m m ?--=))1(1(1)(m m m d d ???? ? ?--=)(111)1()(-+=m m m i i ]1)1[(1)(-+=m m i m i i i d d d i +=-=1,1

利息理论第一章课后答案

1?已知 A (t ) =2t+ f +5,求 A(t) 2 ,t t ------ (1) 对应的 a (t ); A ( 0) =5 a (t ) = A(0) = 5 + 5 +1 I4 A ⑷- A(3) 2*4 .4 5 - (2*3 .3 5) 4-、3 (3) i 4； i 4= A (3) - A(3) 一 113 一11、,3 2?证明：(1) A(n)-A(m)=l(m 1) l(m 2) ??…In (2) A(n) =(1 in)A(n -1). (1) A(n) _A(m) =A(n) _A(n -1) A(n -1) _A(n -2) ..??A(m 1)_A(m) = In In -1 ... Im 1 (m

教学大纲_金融数学

《金融数学》教学大纲 课程编号：121333B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 ?专业必修课□专业选修课 □学科基础课 总学时：48讲课学时：32实验（上机）学时：16 学分：3 适用对象：金融数学 先修课程：数学分析、概率论、数理统计、金融学 一、课程的教学目标 本课程为统计学院金融数学本科专业的专业选修课。设置本课程的目的是为了使学生掌握有关利息和利率的基本计算、年金终值和现值的计算、投资收益率分析、债务偿还方法等定量基础知识，能够运用上述理论知识进行固定收益证券定价、利率期限结构分析、利率风险分析和期权定价，并了解金融领域的随机分析原理。通过教学，使学生初步掌握金融领域的数量分析工具和应用方式，为后续的证券投资分析、风险理论分析等与金融分析相关的课程打下扎实的基础。 二、教学基本要求 （一）教学内容讲授要求 本课程主要内容包括：（1）利息基本计算：利息基本函数、利息基本计算；（2）年金：标准年金、一般年金；（3）投资收益分析：基本投资分析、收益率计算、资本预算；（4）债务偿还：摊还法、偿债基金；（5）固定收益证券的定价；（6）实际应用：住房贷款分析、固定资产折旧分析、资本化成本分析；（7）

利率风险；（8）利率期限结构；（9）期权的二叉树定价；（10）随机利率模型。其中（1）（2）（3）（4）（5）五部分内容为本课程的基础知识部分，需要细讲精讲，这五部分内容涉及到较多概念，讲授过程中需通过大量的例题讲解练习，使学生充分理解并掌握各种概念的相关性和差异性，能够熟练地运用这些概念进行相关计算。（6）（7）（8）（9）（10）五部分内容为金融数学基础知识的相关应用，目的在于训练学生对所学知识的综合应用能力，其中固定收益证券定价、利率风险和期权的二叉树定价是重点，需要在精讲的基础上结合实际的金融产品进行应用训练，实际应用、利率期限结构和随机利率可根据教学进度和学生掌握情况进行选讲。 （二）教学方法和教学手段 本课程教学目标为通过本课程的学习，要求学生能够运用基本的数学方法和金融知识对金融产品进行综合定量分析、产品定价和风险的评估与管理。根据该目标的特征，主要采用演绎法进行知识讲解，用归纳法系统化知识点。首先根据金融经济背景引出需掌握的基本概念，通过例题讲解演示基本的计算方法，然后要求学生自行分析类似的问题，练习并掌握所学知识点，通过归纳法找出各个例题和习题中所蕴含的知识点，最后结合实际金融产品进行综合分析，以训练学生的应用能力，所用到的教学手段主要为课堂多媒体教学。 （三）课后作业及学生自学要求 教师可根据所授知识点的多少及相关性自行安排课后作业的布置，既可以从教材中选择相应的习题作为作业，也可以另外给出习题作为作业。对于课堂中未讲授的部分知识，分两种情况，一种是知识点比较简单，学生通过自学可以掌握的，教师为节约课时要求学生自学，学生需通过自学达到教学大纲对该知识点的要求。另一种是超过本课程教学大纲知识点要求范围的，学生可根据兴趣自行学习，对掌握程度不作要求。 （四）课程考核方式 本课程建议期末采用开卷方式考核，最终考核成绩=平时成绩×30%+期末考试成绩×70%，平时成绩综合作业、出勤和回答问题三种情况由教师酌情给

利息理论第二章课后答案

利息理论第二章课后答案

1、 证明： () n m m n i v v a a -=-; 证明： 11()() m n n m m n i i i i v v v v a a -- -=-=- 2、化简：n t t n n a s a s -- 解： ()()()()()()()1 111 1111 1111111t n t n t t n t t n n n n n n i i i i i v i i i a s a s v i i n ------+=+=+=----+++++++ 3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解： ()()()2222221122111211n n n n n n v a x xi v x y i x y i xi yi i d i x x x y v yi v a y i ?-==??-=--????-=-?=?==??++---=??? ==?? 4、设,m n x y a s ??== 证明： 1m n vx y iy a ++= +； 证明： ()()()()()()111111111111m m m m n n n n v i a x v xiv xiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-?-+?==?=----+?∴==?++-?==?=-??&&& & 5、证明：2322.. .. .. 1 .. .. .. n n n n n n s s s s s s + - =; 证明：

()()()()()()()()()() 2323222222111111 111111111111 11 n n n n n n n n n n n n n n n n s s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+ -=+-+-+-+-??+-+?? =+++ =+-&&&&&&&&&&&& 6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与 b 相等，知道=0.5，计算k 解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v =0.5 解答得k=1800 7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。设年利率为4.5%计算n 及超出或者不足2000的差额 解:50n s 2+50n s =2000 解答得n=9.3995 所以n=9 （5018s +509s ）()i +1+x=2000 解答得 x=32.4 8 从1998年起，知道1998年底，默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项，七月一号的存款要比一月一号的多10.25%，并且与下一年的一月一号相等，每年计息两次且年名义利率为