第 2 章：等额年金
第 2.1 节：年金的含义
本节内容：
一、年金的含义（annuity ）
年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。 二、年金的分类
1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。 本节重点：
年金的定义。 本节难点：
年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值
年金现值是一系列款项在期初的价值。 本节内容：
2.2.1 期末付定期年金的现值
假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号n i a
表示。在不引起混淆的情况下，通常简
记为
n
a 。
n
a
的计算过程图（略）
一、公式
23...n n
v v v v a
=++++
(1)11n n
v v v v i
--=
=-
二、理解
1n n v ia +=
三、例题
1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？
解：应用期末付年金现值公式：
4000 58%a
=4000×3.9927=15971
说明：
58%a
的具体数值可以通过年金现值表查到
2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：
20
1045a
a =
20101145
v v i i
--=
100.25v =
i=0.148698
2.2.2 期初付定期年金的现值
假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号n i a
表示。在不引起混淆的情况下，通常简
记为
n
a 。
n
a
的计算过程图（略）
一、公式
2311...n n
v v v v a -=+++++
(1)11n n
v v v d
--=
=-
二、
n
a
与
n
a
的关系
1、
(1)n n
i a a =+（可用公式展开证明）
2、11n
n a
a -=+ （可用图形讲述）
三、例题
1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？
解：设仓库的年租金为A ，可以建立
50000=A
8
a
，A=7596
2.2.3 期末付永续年金的现值
永续年金是指无限期支付下去的年金。因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。若用a ∞表示期末付永续年金的现值，则有
1
lim n n i a a ∞→∞==
2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式
若用
a
∞
表示期初付永续年金的现值，则有
1lim n
n d
a
a ∞
→∞
==
二、a ∞与a ∞的关系 (1)i a a ∞∞
=+
三、例题
1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？
解：设仓库的年租金为A ，可以建立
50000=A
8
a
，A=7596
2、一笔10000元的贷款，期限为10年。如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。
解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为
1010000(10.06)17909+=
因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元 （2）每年末支付的利息为100000.06600?= 因此支付的利息总额为：6000元 （3）设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =
A=1359
因此支付的利息总额为：135********?=
3、A 留下一笔十万元遗产。这笔财产头10年的利息付给收益人B ，第2个10年利息付给收益人C ，此后的均给慈善机构D 。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。
解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。
B ：7000
10
a
=7000×7.0236=49165
C ：7000（
20a -10
a ）=700010a 10v =24993 D ：7000（a ∞
-20
a
）=7000a ∞20v =25842
本节重点：
期末付定期年金的现值的计算公式。 本节难点：
公式之间的关系。
第 2.3 节：年金的终值
定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。 本节内容：
2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号n i
s
表示。
一、公式
211(1)(1)...(1)n n
i i i s
-=+++++++
1(1)(1)1
1(1)n n i i i i
-++-==-+
二、解释
1(1)n
n
i is
++=
2.3.2 期初付定期年金的终值 期初付定期年金的终值一般用符号n i s
表示。
一、公式
21(1)(1)...(1)(1)n n n
i i i i s
-=++++++++
(1)(1(1))(1)1(1)1
1(1)/1n n n i i i i i i i d
+-++-+-===-++
二、
n
s
与
n
s
的关系
1、
(1)n
n
i s s
=+ （可用公式展开证明）
2、
1
1n
n s s
+=- （可用图形讲述）
三、例题
1、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。
解：假设每年初存入A 元
1040000A s =
A=2863
2、投资者A 和投资者B 在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A 每年末抽回X 并持续15年，投资者B 每年末抽回Y 也持续15年。两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A 得年利率为8%，投资者B 的年利率为10%，求Y-X 。
解：对于投资者A ：
400.08
150.08100s Xa =
得 X=3026.54 对于投资者B ：
400.1
150.1100s
Ya =
得 Y=5818.94 Y-X=2792.40
本节重点：
期末付定期年金的终值。 本节难点：
n
s
与
n
s
的关系。
第 2.4 节：年金的现值与终值的关系
本节内容：
2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系
(1)n n n i s a =+
(1)n
n
n
i s a
=+
2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系
1
1
n
n
i
a
s
=
+
1
1
n
n
d a
s
=
+
本节重点：
年金的现值与终值之间的换算关系。 本节难点：
年金的现值与终值之间的倒数关系。
第 2.5 节：年金在任意时点上的值
本节内容：
2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值 一、延期m 个时期的期末付定期年金的现值|n
m a
。
|
(1)m m n n n m i v a a a -=+=
|
n
m n
m m a a
a +=-
二、延期m 个时期的期末付永续年金的现值|
m a
∞
|
m m v i
a
∞
=
三、期初付延期年金的现值的计算（略） 四、例题
2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值
2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值
本节重点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|n m a 。 本节难点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|
n
m a
。
第2.6节：可变利率的年金的现值与终值
本节内容：
2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算
2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算
本节重点： 本节难点：
补充：
一、非标准时期与利率 二、非复利年金
补充概念：
一、利息结转周期和年金支付周期
周期是一个时间的概念。利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。 二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。具体计算有两种思路。
第2.7节 每个利息接转周期支付m 次的年金（每年支付m 次年金） 本节内容：
一、此类问题的直接计算
例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。
解：月实际利率
1
12(10.0609)10.0049386+-=
假设每月末的付款金额为X ，则有 600.004938650000Xa =
X=965 二、新公式
n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn 表示年金的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率。 2.7.1 期末付年金
一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：
121
()1(...)n m n m
m m n
a v v v v m
-=++++ ()()1n m m n v i
a i i
-==
二、相应的，在每个支付周期末付款1/m 元，那么该年金的终值为
()()
(1)m n m n n
s i a =+
()
m n i s i
=
三、例题
1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？
解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。
(12)
(12)5512001200i s s i
==6781.37
2、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R 应该为多少。
解：每年付款总额为2R ，
(2)523000Ra =
R=342.24万元
2.7.2 期初付年金
一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：
121
()1
(1...)n m m m m n
a v v v m
-=++++ ()()1n m m n v d
a d d
-== 二、相应的，在每个支付周期初付款1/m 元，那么该年金的终值为
()()
(1)m n m n n s i a =+
()
m n d s d
=
三、转换关系 1
()
()
(1)m m m
n n a i a =+
1
()
()
(1)m m m
n
n s i s =+
四、例题
例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。
解：设每月初的付款金额为X ，那么全年付款总额为12X ，因此有
(12)
5
0.0609
5000012Xa =
X=960元
2.7.3 永续年金
一、m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元的永续年金现值为：
12()1(...)m m
m a v v m
∞
=++ ()
1m i =
二、同理，在每个支付周期初付款1/m 元的永续年金现值为：
()m a
∞
()
1m d
=
三、转换关系 1
()
()
(1)m m m
a i a ∞
∞=+
本节重点：
121()1(...)n m n m m m n
a v v v v m -=++++()()1n
m m n v i
a i i
-==的推导。 本节难点：
121()
1(...)n m n m m m
n
a v v v v m -=++++()()1n
m m n v i a i i
-==的推导。
第2.8节 连续年金
本节内容：
2.8.1连续年金的现值
一、如果总的利息结转次数为n ，每个利息结转周期的实际利率为i ，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金现值用
n
a
表示，则有：
00
11|ln n
t n n t n
n
v v v v dt v a
δδ--====
?
二、
n
a
的其他推导
三、其他关系
n
n
i
a
a
δ=
1n n
e a
δ
δ
--=
四、例题
例1、假设年实际贴现率为5%，在第5年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第2年末的现值。
解：d=0.05，则10.95d ν=-=，1
10.95
i +=
ln(1)ln(1/0.95)i δ=+=
上述款项在第5年末的现值为2
1000
a
，则在第2年末的现值为：
3210001629.73v a =
例2、假设年实际利率为6%，请计算每年连续支付500元的永续年金的现值。 解：
0.06
500
8580.91500a
δ
∞=
=
2.8.2 连续年金的终值
一、如果总的利息结转次数为n ，每个利息结转周期的实际利率为i ，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金终值用
n
s
表示，则有：
00
(1)(1)1(1)|ln(1)n
t n
t n
n
i i i dt i s
δ++-=+==+?
二、
n
s
的其他推导
三、其他关系
n
n
i
s
s
δ
=
1
n n
e s
δδ
-=
四、例题
例1、假设年实际利率为6%，在第2年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第10年末的累积值。
解：
上述款项在第7年末的累积为50.06
10005804.56s
=
则在第10年末的累积为：
35804.56(10.06)6913.33
+=