北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体
几何
一、选择题
1．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表
面积是
（ ）
A
．16+
B
．12+C
．8+D
．4+2．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）
等腰直角三角
形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 （ ）
A
B
．C ．1
D ．2
3．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图
中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
（ ）
A
．10+B
．10+C
．
14+
正（主）视图 侧（左）视图
俯视图
D ．14+4．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，
其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
（ ）
A B C ．
3
4
D ．1
5．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，
点1P ，2P 分别是线段
AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 （ ）
A ．
1
24
B ．
112 C ．
16
D ．
12
6．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的
平面，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ
C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β
D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ
7．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥
的体积是 （ ）
A ．
38
B ．
4 C ．2 D ．
3
4
8．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的
表面积是
（ ）
A
B
C
．6+
D
．6+
二、填空题
9．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四
面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.
10．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何
体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
为 ．
11．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图
和左视图如图所示，则棱BD 的长为
_________.
12．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，
动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =
（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，
则1
()2
f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
三、解答题
13．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；
（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．
14．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，
NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求ME
MN
的值. .
15．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ?是正三角形，AC
与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB
上，且PN =
（Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．
16．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，
60=∠ABC ，侧
面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD . (Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角
C B
D M --的大小为
60，求CP
CM
的值.
17．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，
AB //CD ，BC AB 2=，
60ABC ?∠=，AC FB ⊥．
（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；
（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC
18．（2013届东城区一模理科）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，
90BAC ACD ∠=∠=?，AB AC AE ==2=，1
2
ED AB =
， P 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；
（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．
19．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥
底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=?，
1
12
BC CD AD ==
=，PA PD =，E F ,为AD PC ,的中点． （Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；
（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45?，求PE 的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．
20．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12
AD BC =
，60ABC ∠= ，N 是BC 的
中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面AD D '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．
21．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在
四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，
F G 、分别为CD AP 、的中点．
（1）求证：PC AD ⊥；
（2）求证：//FG 平面BCP ；
（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．
D
F
E
C
B
A
P
A
C
D
B N D '
C '
F G P D C
B A
22．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，
其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;
（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.
23．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=
，E 是
AB 的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形
ADNM 中，2AD =
，AM =
（Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；
（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.
24．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD
所
侧视图
俯视图
正视图
A
B
C
D
E
N
M
在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。 （Ⅰ）求证：DE A BD 11//平面 (Ⅱ) 求证：D A E D 11⊥
（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为6
π
？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
25．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正
方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，
E 为棱PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；
（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．
26．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面
ABC ，AC =BC =2
，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥AM ； （Ⅱ）若N 是AB 上一点，且1
AN CM
AB CC =
，求证： CN //平面AB 1M ； （Ⅲ）若5
2
CM =，求二面角A -MB 1-C 的大小．
D 1
E
B
D
C
A
A
1
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
N
O
F
E
D
C
B
A
27．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥
P-ABC 中，P A=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面P AB ⊥平面
ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小.
28．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，
底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；
（Ⅱ）求证：BD AE ^；
（Ⅲ）若,AB =
在线段EO 上是否存在点G ，使
CG BDE 平面^？若存在，求出
EG
EO
的值，若不存在，请说明理
由．
29．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体
1111ABCD-A BC D 中，
A 1
B 1
E
C
B
D 1
C 1
A
D
1
2AA=AD=，点E 在棱CD 上，且1
3
CE=CD ． （Ⅰ）求证：1AD ⊥
平面11A B D ；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面1B AE ？ 若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角11A-B E-A 的余弦值为6
，求棱AB 的 长．
30．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，
90BAC ∠=?，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
31．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，
36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位
置，使1A D CD ⊥，如图2．
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；
（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．
32．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体1111
ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点. （Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；
（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.
图1
图2
A 1
B
C
D
E
D 1
C 1
B 1
A 1
E
D C
B
A
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何参考答案 一、选择题 1. 【答案】B
【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高
为2，所以该几何体的底面积为1
22242
?
??=，侧面积为(2228++?=+所以表面积为
8412+=+ B.
2. 【答案】A
解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，
,所以四个面中面积最大的为BCD ?，且BCD ?是边长为为2的正三角形，
所以1222BCD S ?=
??= A. 3. 【答案】B
解：
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥
其中ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB=AD=2，BC=4，即PA ⊥平面ABCD ，PA=2。且CD =，
PD =,PB =,,PC =,底面梯形的面积为
(24)2
62
+?=，1
2222PAB S ?=??=,12222PAD S ?=??=,1
42
PBC S ?=?=,侧面三角形DPC 中的高
DO ==
所以
1232
P D
C S ?=?=，所
以该几何体的总面积为
62210+++=+，选B.
4. 【答案】C
解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为
13224
?=。选C. 5. 【答案】A
解：过2P 做2PO ⊥底面于O,连结1OP , 则1OP AB ⊥，即1OP 为三棱锥211P
PAB -的高，设101AP x x =<<，，则由题意知1//OP AD ,所以有
1
1OP BP AD AB =，即11OP x =-。三角形1112
AP B S x ?=，所以四面体121PP AB 的体积为11211111111(1)(1)()33266224
AP B x x S OP x x x x ?+-?=?-=-≤=，当且仅当1x x =-，即12x =时，取等号，所以四面体121
PP AB 的体积的最大值为1
24
，选A.
6. 【答案】C
解：C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α?当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
7. 【答案】B
解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为
14362??=，所以该几何体的体积为1
6243
??=，选B. 8. D 二、填空题
9. 2
10.
【答案】75+
解：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5
，腰CD=,所以梯形的面积为
(45)327
22
S
+?
==，梯形
的周长为34512
++=
，所以四个侧面积为12)448
?=，所以该几何体的
表面积为
27
48275
2
+?=+
11.
【答案】
解：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知,
BE AC BE DE
⊥⊥.DC ABC
⊥
且4,2
DC BE AE EC
====.所
以164
B C=+=
，
即2342
B D==
。
12. 【答案】3
π; 0,2,3,4 4
解：由定义可知当
1
2
PA=，点P的轨迹是半径为
1
2
的
1
4
圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所
以
1113
()3(2)
2424
fππ
=??=。由正方体可知，当01
r
≤≤，点P在三个面上运动，此时()
f r
递增，当
1r
<<()
f r
r
<<()
f r
r
≤<()
f r递减，如草图，
所以方程()f r k =的解的个数可能为0,2,3,4个。
三、解答题
13.证明：（I ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11A ACC 是矩形。
连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在1ADC ?中，1//OD A B 。 因为1A B ?平面1ADC ，OD ?平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC 。
（II ）因为ABC ?是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥。以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -。由已知12AB BB ==，得：
(0,0,0)D
，A
，1A ，1(0,1,2)C -.
则DA = ，1(0,1,2)DC =- ，设平面1ADC 的法向量为(,,)n x y z =
。
由100
n DA n DC ??=?
??=??
，得到020y z =-+=??，令1z =，则0x =，2y =，所以(0,2,1)n = .
又1DA =
，得1020122n DA ?=?+?=
。
所以1cos ,DA n <>=
=
设1A D 与平面1ADC 所成角为θ
，则1sin |cos |DA n θ=<>= 。
所以1A D 与平面1ADC
。 14.解：（Ⅰ）∵ABCD 是正方形,
∴BC ∥AD.
∵BC ?平面AMD,AD ?平面AMD, ∴BC ∥平面AMD. ∵NB ∥MD,
∵NB ?平面AMD,MD ?平面AMD, ∴NB ∥平面AMD.
∵NB BC=B,NB ?平面BCN, BC ?平面BCN,
∴平面AMD ∥平面BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM ?平面AMD,
∴AM ∥平面BCN …………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分)
（Ⅱ） ⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N .
∴)1,2,0(=, ……………………………………
…6分
)1,2,2(-=MN ，)2,2,0(-=MC ,
设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,
则?
??=-=-+0220
22z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =- (7)
分
设AN 与平面MNC 所成角为θ,
∴55
23
52122cos sin =
??+?=
=θ. ……9分
（Ⅲ）设(,,)E x y z ，ME
MN
λ=，ME MN λ∴= ，
又(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-
，
∴E 点的坐标为(2,2,2)λλλ-， …………………………………………………………………11分
AD ⊥ 面MDC,AD MC ∴⊥，
欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，
(22,2,2),AE λλλ=-- (0,2,2)MC =-
，0AE MC ?= 42(2)0λλ∴--=，
23λ∴=
∴2
3
ME MN =. ………………………………………………………………………………14分 15.证明：(I) 因为ABC ?是正三角形，M 是AC 中点，
所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分
又因为PA ABCD ⊥平面，BD ?平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ………………3分
又PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC
中，
BM =5分
在ACD ?中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =
120CDA ∠=
，所以DM =
:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==
，PB =
所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ?平面PDC ，PD ?平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，
所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z
轴建立
如图的空间直角坐标系，
所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P
由（Ⅱ）可知，
(4,,0)3
DB =- 为平面PAC 的法向量………………10分
4)PC =- ，(4,0,4)PB =-
y
x
设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =
,
则00
n PC n PB ??=???=??
，即240440x z x z ?+-=??-=??， 令3,z =则平面PBC
的一个法向量为n =
………………12分
设二面角A PC B --的大小为θ，
则cos n DB n DB θ?==?
所以二面角A PC B --
余弦值为………………14分
16. (Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥，
因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，?PQ 侧面PAB ，
所以⊥PQ 平面ABCD . ………3分（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -，
则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,2
1
,23(
-P ，………5分 )3,2
1,233(--
=,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
， 设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，
则1030
34
1
4273|
|||||,cos |sin =++==><=PD m m
α. ………8分 （Ⅲ）设t =)3,23,23(
t t t -=，则M )3,12
3
,23(t t t +-， =)3,12
3
,323(
t t t +--，)0,0,1(32=， ………10分 设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =
，则00·=?=?⊥x n n
， ?=?⊥0·n n 03)12
3
()323(=++-+-tz y t x t ，
取3=z ，得)3,2
36,
0(-=t t n
，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
………12分
所以|60cos ||,cos |||
||·|
=><=n m n m n m ，所以
21
)
2
36(332=-+t t ，
解得2=t （舍去）或5
2=
t .所以，此时CP CM 52=. ………14分
17. （Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ?
∠=，
在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=， 所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，
所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分
所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形
ABCD 中，可得 CB CD =．
设1BC =
，所以11
(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22
C A B
D
E --． 所以 )1,2
1
,23(
-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
CE CA ??=???=??
n n 所以
1
0,2
0.x y z -+== 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则
||sin |cos ,|5||||
CB CB CB ?=??==
θn n n 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为
5
5
2． ………………9分 （Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分
假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(
t Q - )10(≤≤t ，所以),2
1
,23(t -=．
设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,
0.
CB CQ ??=???=??
m m 所以
0,
1
0.
2
b a b t
c =?-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=?n m ， ………………13分
即
002110?+?+?=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分
18.证明（Ⅰ）取AB 的中点F ，连结PF ，EF ．
因为P 是BC 的中点，
所以AC FP //，AC FP 21
=． 因为//ED AC ，且11
22
ED AB AC ==，
所以FP ED //，且ED FP =， 所以四边形EFPD 是平行四边形．
所以EF DP //．
因为EF ?平面EAB ，DP ?平面EAB ， 所以//DP 平面EAB ．
（Ⅱ）因为90BAC ∠=?，平面EACD ⊥平面ABC ，
所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内．
由已知可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B
，(0,1,E
，(0,2,D ．
所以(2,1,EB =- ，(0,1,0)ED =
，
设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0.EB ED ??=???=?? n n
所以20,0.
x y y ?--=??=??
取2z =，
所以
,0,2)=n ．
又因为平面ABC 的一个法向量为
(0,0,1)=m ．
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；
2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g.
立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A．①②B．①③C．①④D．②④ 3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④ 4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15 5．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233 D ．4π＋23 3 二、填空题 6．在下列图的几何体中，有________个是柱体． 7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________． 8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________． 三、解答题 9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长． 10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积． 参考答案 1．C 2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.
2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为
A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．
新课标三高考数学试题目分类解析立体几何
2007——2009新课标三年高考数学试题分类解析 立体几何 一、选择题 1．（2007·广东文6）若,,l m n是互不相同的空 间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题 中为真命题的是 A．若α∥β，lα?，nβ?，则l∥n B．若α⊥β，lα ?，则lβ⊥ C．若l n⊥，m n⊥，则l∥m D．若l⊥β，l∥β，则αβ⊥ 解析：逐一判除,易得答案(D). 2．（2007·山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）D B A 1 B 1 D 1 A ①正②圆③三④正
P D B A A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 答案：D 【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D 。 2．（2007·海、宁理文8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几 何体的体积是（ ） Ａ．3 4000cm 3 Ｂ．3 8000cm 3 Ｃ．3 2000cm Ｄ．3 4000cm 答案：：B 解析：如图，18000 202020.33 V =???= 3．（2007·海、宁理12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 22 正视 2侧视 112俯视
h 1 h(h 2) P D B A E A O S C B 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1 h ，2 h ，h ， 则1 2 ::h h h =（ ） 3 32:2 322 323 答案：：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -棱长为a ， 则四棱锥P ABCD -的各棱 长也为a ， 于是221 22 ( ),2h a a = -= 222326( ),232 h a a h =-?== 1 2 ::32:2. h h h ∴= 4．（2007·海、宁文11）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为 r 的球面上， 球心O 在AB 上，SO ⊥底 面ABC ，2AC r =， 则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π
2015 年高考立体几何大题试卷 1. 【 2015 高考新课标 2，理 19】 如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 ， BC =10， AA 1 8，点E ，F 分别在 A 1B 1， C 1 D 1上， A 1 E D 1 F 4．过点 E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形． （ 1 题图） Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值． 2. 【 2015江苏高考， 16】 如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ， BC CC 1，设 AB 1的中点为 D ， B 1C BC 1 E .求证：（1） DE //平面AA 1C 1C ； 2) BC 1 AB 1 . 3 题图） 3. 【2015 高考安徽，理 19】如图所示，在多面体 A 1B 1D 1DCBA ，四边形 2 题图） A B C
AA1B1B ， ADD1 A1 , ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D, E的平面交CD1于 F.
4. 【2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形， ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； 2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 面 BEC ，BE ^ EC ，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线 段 （ Ⅰ ） 求证： GF // 平面 ADE ； （ Ⅱ）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中， BAC 90 ， AB AC 2，A 1A 4 ， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为B 1C 1的中点. （1）证明： A 1D 平面 A 1B C ； （2）求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 . Ⅰ）证明： EF //B 1C ； Ⅱ）求二面角 E A 1D B 1余弦值 . 4 题图） 5 题图） 5 .【 2015 高考福建， 理 17】如图， 在几何体 ABCDE 中， 四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平 BE ， DC 的中点 . B C D B
2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 （A ）12+π33 （B ）1+π33 （C ）1+π36 （D ）1+π6 2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
【答案】B 4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A B C （D ）13 【答案】A
6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 【答案】C 7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A）18+（B）54+（C）90 （D）81 【答案】B 8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C
2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9．【2018年天津卷文】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________． 10．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A ． 1 4 B ． 1 2 C ． 1 4 D ． 1 2 10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π， 1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∠CAE =30°，则cos ∠FCB = . 18．（12分） 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是 底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO ．
（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值． 3．C 10．A 16．14 - 18．解：（1）设DO a =，由题设可得,,63 PO a AO a AB a = ==， 2 PA PB PC === . 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，从而PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC . （2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)22 E A C P -. 所以31(,,0),(0,2EC EP =- -=-.
2016 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （13立体几何） 一、选择题 1.（2016北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱 锥P ABC -，其体积 111 111 326 V=????=，故选A. 考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算. 【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱. 2.（2016全国Ⅰ文、理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 π ,则它的表面积是( ) （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π 【答案】A 【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1 8 ,设球的半径为R,则3 7428 V R 833 π π =?=,解得R2 =,所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和
2271 =42+32=1784 S πππ????故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以 三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三 视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 3.（2016全国Ⅰ文、理）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面，则m 、n 所成角的正弦值为 ( ) (A) 3 (B )2 (C)3 (D)13 【答案】A 【解析】试题分析：如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m , 平面11 CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D , 所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm , 同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成 的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n 所成角的 正弦值为 3 2 ,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补. 4.（2016全国Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） （A ）12π （B ） 32 3π （C ）8π （D ）4π 【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ?=，故选A. 考点： 正方体的性质，球的表面积. 【名师点睛】棱长为a 的正方体中有三个球： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球.其半径分别为 3a 、2 a 和22a .
全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案） 类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC； (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面面ABCD ，AD ∥BC ， 3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，1 2 AB BC AD == ，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明的条件。第（Ⅱ）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。 6.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ； (Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.
图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 12013年高考文科数学立体几何试题集锦 1.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ． 1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 2 B.1 C. 21 2 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 3172 B ．210 C ．13 2 D ．310
7. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 2 3 （B ）33 （C ）23 （D ）13 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台 9. （全国新课标9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） (A) (B) (C) (D) 10.（浙江卷4）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， A 、若m ∥α，n ∥α,则m ∥n B 、若m ∥α，m ∥β,则α∥β C 、若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥α D 、若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β 11.（浙江卷5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A 、108cm 3 B 、100 cm 3 C 、92cm 3 D 、84cm 3 12. （重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240
2012年高考真题理科数学解析分类汇编7 立体几何 一、选择题 1.【2012高考新课标理7】如图，网格纸上小正方形 的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几 何体的体积为（ ） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18 【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是 俯视图，高为3，所以几何体的体积为 93362 131=????=V ,选B. 2.【2012高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。 A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直. D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的． 3.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） ()A ()B ()C ()D 【答案】A 【解析】ABC ?的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2d = 此棱锥的体积为11233ABC V S d ?= ?==
另：1236 ABC V S R ?
2016年文科数学立体几何高考题汇总 1.（2016北京文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________. 2.（2016北京文18）（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面； (III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由. 3.（2016天津文17） (本小题满分13分) 如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，6，DE=3，∠BAD=60o，G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证：FG||平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ； (Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ） 65 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD 的中点为O ，可证四边形OGFE 是平行四边形，从而得出OE FG //（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出0 90=∠ADB ，即AD BD ⊥（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点A 作DE AH ⊥于点H ，则⊥AH 平面BED ，从而直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.再结合三角形可求得正弦值