2020年高考试题分类汇编（立体几何）
考法1空间中的点、线、面的位置关系
1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状科视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高于底面正方形的边长的比值为
A ．51
4
-
B
．
51
2
-
C．
51
4
+
D．
51
2
+
2.（2020·全国卷Ⅰ·理科）如图，在三棱锥P ABC
-的平面展开图中，1
AC=，3
AB AD
==，AB AC
⊥，AB AD
⊥,30
CAE
∠=，则cos FCB
∠= .
3.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）设有下列四个命题：
1
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
2
p：过空间任意三点有且仅有一个平面.
3
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
4
p：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则l m
⊥.
则下列命题中所以真命题的序号是 .
①
14
p p
∧②
12
p p
∧③
23
()
p p
?∨④
34
()()
p p
?∨?
4.（2020·浙江卷）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，
A B
C
D(P)
E(P)F(P)
l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 考法2三视图
1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）右图是一个多面体的三视图，这个多面体某天棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
2.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A ．642+
B ．442+
C ．623+
D ．423+
3.（2020·浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几 何体的体积（单位：3cm ）是
A ．73
B ．14
3
C ．3
D ．6
4.（2020·北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱
M N E
F G
H
2
2
2
的表面积为
A．63
+ B
．623
+ C．123
+ D．1223
+
考法3与球的组合体
1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）已知A，B，C为球O的球面上三点，
1
O为ABC
?
的外接圆，若
1
O的面积为4π，
1
AB BC AC OO
===，则球O的表面积为A．64π B．48π C．36π D．32π
2.（2020·山东卷）日冕是中国古代用来测定时间的仪器，利用与冕面垂直的冕针投射到冕面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成的角，点A处的水平面是指过点A 且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日冕，若冕面与赤道所在的平面平行，点A的纬度为北纬40，则冕针与点A处的水平面所成的角为
A．20 B．40 C．50 D．90
3.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）已知ABC
?是面积为
93
的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的面积
1 1
2
正（主）视图侧（左）视图
俯视图
A
B ．
3
2
C ．1 D
．2
4.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
5.（2020·山东卷）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=．
以1D
11BCC B 的交线长为 ．
6.（2020·天津卷）
若棱长为则该球的表面积为
A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．144π
考法4解答题
1.（2020·全国卷Ⅰ·理科）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.
ABC ?是底面的内角正三角形，P 为DO
上一点，6
PO DO =. （Ⅰ）证明：PA ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角B PC E --的余弦值
.
2.（2020·全国卷Ⅰ·文科）
如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ?是底面的内角正三角形，
P 为DO 上一点，90ABC ∠=. （Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积.
P A
B
O E C
D
P A
B
O C D
3.（2020·全国卷Ⅱ·理科）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BCC B 是矩形，M ，N 分别为的BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .
（Ⅰ）证明：1AA MN ∥，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；
（Ⅱ）设O 为111A B C ?的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.
4.（2020·全国卷Ⅱ·文科）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BCC B 是矩形，M ，N 分别为的BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .
（Ⅰ）证明：1AA MN ∥，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；
（Ⅱ）设O 为111A B C ?的中心，若6AO AB ==，AO ∥平面11EB C F ，且3
MPN π
∠=,
求四棱锥11B EB C F -的体积.
5.（2020·全国卷Ⅲ·理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =. （Ⅰ）证明：点1C 在平面AEF 内；
A
B
C E F O M
N
A 1
B 1
C 1
P
A
B
C E F
O M
N
A 1
B 1
C 1
P
（Ⅱ）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.
6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =
1ED ，12BF FB =.
（Ⅰ）当AB BC =时，EF AC ⊥. （Ⅱ）证明：点1C 在平面AEF 内；
7.（2020·山东卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面
ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ． （Ⅰ）证明：l ⊥平面PDC ；
（Ⅱ）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
A B
C
D
E
F A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
E
F
A 1
B 1
C 1
D 1
P
A
B
C
D
8.（2020·天津卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，
M 为棱11A B 的中点． （Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；
（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；
（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．
9.（2020·浙江卷）如图，三棱台DEF ABC -中，面ADFC ⊥面ABC ，
45ACB ACD ∠=∠=，DC =
2BC ．
（Ⅰ）证明：EF DB ⊥；
（Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
A B
C
D
E
M
B 1
A 1
C 1
A
B
C
D
E
F
10.（2020·北京卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：1BC ∥平面1AD E ；
（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．
A
B
C
D
E A 1
B 1
C 1
D 1