890
第
章 信号工具箱
◆ 产生信号
◆ 随机信号处理 ◆ 模拟滤波器设计
◆ 数字滤波器设计
信号是现代工程中经常处理的对象，在通信、机械等领域有大量的应用。在MATLAB 中，信号处理工具箱可以看作工具集合，包含生成波形、设计滤波器、参数模型以及频谱分析等多个常见功能。同时，信号工具箱中还包含了各种信号处理的函数，通过了解本章这些函数，可以很方便地进行各种信号处理。
25.1 产生信号
在MATLAB 信号工具箱中，信号主要分为连续信号和数字信号两种。连续信号是指时间和幅度连续的信号，也被称为模拟信号。相反，数字信号是指时间和幅度离散的信号。从原理上讲，计算机只能处理数字信号。模拟信号必须经过采样和量化后变为数字信号，才能够被计算机处理。在MATLAB 信号工具箱中，提供了多种产生信号的函数。利用这些函数，可以很方便地产生多种常见信号。下面详细介绍各种常见信号的产生。
25.1.1 周期方波和锯齿波
MATLAB 信号处理工具箱中的square 命令可以生成方波，sawtooth 命令可以生成锯齿波。该命令的调用格式如下：
square(T)：产生周期为2π，幅值为1的方波。
square(T，DUTY)：产生给定占空比，周期为2π，幅值为1的方波，占空比是1~100之
间的数。
sawtooth(T)：产生周期为2π，幅值为1的三角波。
sawtooth(T，WIDTH)：产生三角波，WIDTH 指定最大值出现的地方，其取值为0～1。当
T 由0增大到WIDTH*2π时，函数值由-1增大到1。
例25.1 生成周期方波。
在MATLAB 的命令窗口中输入下面的命令：
>>t = 0:.0001:.1125;
>>y = SQUARE(2*pi*25*t);
>> plot(t,y,'-k','LineWidth',2)
891
得到的结果如图25.1
所示。
例25.2 生长周期锯齿波。
在MATLAB 的命令窗口中输入下面的命令：
>> t = 0:.0001:.25;
>> y = SAWTOOTH(2*pi*25*t,.5); >> plot(t,y,'-k','LineWidth',2) >>axis([0 0.25 -1.5 1.5]) >>grid on
得到的结果如图25.2所示。
图25.1 周期方波 图25.2 生成周期锯齿波
25.1.2 周期sinc 波
在MATLAB 中，用户可以使用diric 命令实现周期sinc 函数，又被称为Dirichlet 函数。Dirichlet 函数的定义是d(x)=sin(N*x/2)./(N*sin(x/2))。diric 函数的调用格式为：
Y=diric(X ，N)
函数返回大小与X 相同的矩阵，元素为Dirichlet 函数值。N 必须为正整数，该函数将0到2π等间隔的分成N 等份。
例25.3 生成sinc 波。
在MATLAB 的命令窗口中输入下面的命令：
>> x=0:0.01:4*pi;
>> y1=diric(x,4); >> y2=diric(x,7);
>> plot(x,y1,'-k',x,y2,'-r','LineWidth',2) >> grid on
>> axis([0 12 -1.2 1.2])
892
得到的结果如图25.3所示。
图25.3 周期sinc波
25.1.3 高斯调幅正弦波
在信息处理中，使载波的振幅按调制信号改变的方式叫调幅。高斯调幅正弦波是比较常见的调幅正弦波，通过高斯函数变换将正弦波的幅度进行调整。gauspuls是MATLAB信号处理工具箱提供的信号发生函数，其调用格式如下：
YI=gauspuls(T,FC,BW) 函数返回最大幅值为1的高斯函数调幅的正弦波的采样，其中心频率为FC，相对带宽为BW，时间由数组T给定。BW的值必须大于0。默认情况下，FC=1000Hz，BW=0.5。
YI=gauspuls(T,FC,BW,BWR) BWR指定可选的频带边缘处的参考水平，以相对于正常信号峰值下降了-BWR（单位为dB）为边界的频带，其相对带宽为100*BW%。默认情况下，BWR的值为-6dB。其他参数设置同上。BWR的值为负值。
TC=gauspuls(‘cutoff’,FC,BW,BWR,TPE) 返回包络相对包络峰值下降TPE（单位为dB）时的时间TC。默认情况下，TPE的值是-60dB。其他参数设置同上。TPE的值必须是负值。
例
25.4 生成一个中心频率为40kHz的高斯调幅正弦脉冲，其相对带宽为0.6。同时，在包络
相对于峰值下降30dB时截断。
在MATLAB命令窗口中输入以下命令：
>>tc = gauspuls('cutoff',40E3,.6,[],-30); >>t = -tc : 1E-6 : tc;
>>yi = gauspuls(t,40E3,.6);
>> plot(t,yi,'-r','LineWidth',2)
>> grid on
MATLAB中得到的图形结果如图25.4所示。
893
图25.4 高斯调幅正弦波
25.1.4 调频信号
和调幅类似，使载波的频率按调制信号改变的方式被称为调频。调波后的频率变化由调制信号决定，同时调波的振幅保持不变。从波形上看，调频波像被压缩得不均匀的弹簧。在MATLAB 中，chirp 函数可以获得在设定频率范围内的按照设定方式进行的扫频信号。chirp 函数调用格式如下。
Y=chirp(T,R0,T1,F1) 产生一个频率随时间线性变化信号的采样，其时间轴的设置由数组
T 定义。时刻0的瞬时频率为F0；时刻T1的瞬时频率为F1。默认情况下，F0=0Hz ，T1=1，F1=100Hz 。
Y=chirp(T,F0,T1,F1,‘method ’) method 指定改变扫频的方法。可用的方法有‘linear ’(线性
调频)、‘quadratic ’（二次调频）、‘logarithmic ’（对数调频）。默认时为‘linear ’，其他参数意义同上。
Y=chirp(T,F0,T1,F1,‘method ’,PHI) PHI 指定信号的初始相位，默认时PHI 的值为0，其
他参数意义同上。
例25.5 以500Hz 的采样频率，在5s 采样时间内，生成一个起始时刻瞬时频率是10Hz ，5s 时瞬时频率为50Hz 的线性调频信号，并画出其曲线图及光谱图。
在MATLAB 中输入以下命令：
>>fs=500;
>>t=0:1/fs:5;
>>y=chirp(t,0,1,50);
>>plot(t(1:250),y(1:250)); >> grid
得到的曲线图如图25.5所示。 在MATLAB 中输入以下命令：
>> figure;specgram(y,256,1e3,256,250)
得到的光谱图如图25.6所示。
894
图25.5 得到的曲线图 图25.6 得到的光谱图
25.1.5 高斯分布随机序列
在信号处理中，标准正态分布随机序列是重要序列。该序列可以由randn函数生成，randn函数的调用格式为：Y=randn(M,N)，将生成M行N列的均值方差为1的标准正态分布的随机数序列。本小节中，将利用具体的例子来说明如何产生高斯分布随机序列。
例25.6 产生5000个均值为150、方差为6.8
的正态分布的随机数序列，并画出其随机数发
生频率分布图。
在MATLAB中输入以下命令：
>> M=150;
>>D=6.8;
>>Y=M+sqrt(D)*randn(1,5000);
>>M1=mean(Y);
>>D1=var(Y);
>>x=120:0.1:170;
>>hist(Y,x)
查看绘制的结果，以上命令得到的结果如图25.7所示。
图25.7 高斯分布随机序列
895
25.2 随机信号处理
随机信号是信号处理的重要对象，在实际处理中，随机信号不能用已知的解析表达式来描述，通常使用统计学的方法来分析其重要属性和特点。在本节中，将简单介绍随机信号的处理，以及随机信号的谱估计。
25.2.1 随机信号的互相关函数
在信号分析中，自相关函数表示同一过程不同时刻的相互依赖关系，而互相关函数是描述随机信X (t )和Y (t )在两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的相关程度。对于连续信号，互相关函数的计算公式如下：
1()[()()]d T
R T x t g t T t T =+∫
对于离散信号，互相关函数的计算公式如下：
1
1
()[()()]N R N x m y m n N
?=
+∑
在MATLAB 中，xcorr 函数是随机信号互相关估计函数，其调用格式如下：
c= xcorr(x,y,maxlags,'option')
在以上表达式中，参数x ，y 为表示随机信号序列，其长度都为N （N>1），如果两者长度不同，则短的用0补齐，使得两个信号长度一样；返回值c 表示x ，y 的互相关函数估计序列；参数maxlags 表示x 与y 之间的最大延迟；参数‘option ’指定互相关的归一化选项，它可以是下面几个常见选项：
‘biased’：计算互相关函数的有偏互相关估计。 ‘unbiased’：计算互相关函数的无偏互相关估计。 ‘coeff’：系列归一化，使零延迟的自相关为1。 ‘none’：默认状态，函数执行非归一化计算相关。
下面用具体例子说明如何计算随机信号的互相关函数。
例25.7 已知两个信号的表达式为()cos(2)x t ft =π，()sin(2)y t k ft w =π+，其中，f 为10Hz ，k 为3，ω为
3
π
。求这两个信号的自相关函数()x R τ、()y R τ以及互相关函数()xy R τ。
在MATLAB 中输入以下命令：
>> Fs=2000; >>N=2000; >>n=0:N-1; >>t=n/Fs; >>Lag=200; >>f=10; >>k=3; >>w=pi/3;
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>>x=cos(2*pi*f*t);%信号
x(t) >>y=k*sin(2*pi*f*t+w);
>>[cx,lagsx]=xcorr(x,Lag,'unbiased');
>>[cy,lagsy]=xcorr(y,Lag,'unbiased'); >>[c,lags]=xcorr(x,y,Lag,'unbiased'); >>subplot(311);
>>plot(lagsx/Fs,cx,'r'); >>xlabel('t');
>>ylabel('Rx(t)');
>>title('信号x 自相关函数'); >>subplot(312)
>>plot(lagsy/Fs,cy,'b'); >>xlabel('t');
>>ylabel('Ry(t)');
>>title('信号y 自相关函数'); >>subplot(313);
>>plot(lags/Fs,c,'r'); >>xlabel('t');
>>ylabel('Rxy(t)'); >>title('互相关函数'); >>grid;
以上命令得到的结果如图25.8所示。
图25.8 信号的相关函数
可以修改上面两个信号的频率、振幅等参数，来查看相关系数的变动情况。
25.2.2 随机信号的互协方差函数
在信号处理中，互协方差是两个信号间相似性的度量，也称为“互相关”。互协方差用于通过与已知信号比较来寻找未知信号。从表示式角度，互协方差函数是信号之间相对于时间的函数。从本质上讲，互协方差类似于两个函数的卷积。
两个随机信号()X t 和()Y t 的互协方差函数的表达式如下：
897
121122(,)([()()][()()])xy x y C t t E X t m t Y t m t =??
12122112[()()]()[()]()[()]()()x y x y E X t Y t m t E Y t m t E X t m t m t =??+ 1212[()()]()()x y E X t Y t m t m t =? 1212(,)()()xy x y R t t m t m t =?
在这个表达式中，()x m t 和()y m t 分别表示两个随机信号的均值。 在MATLAB 中，xcov 函数是互协方差估计函数，其调用格式如下：
[c,lags]=xcov(x,y,maxlags,'option')
这个表达式中参数的含义和函数xcorr 的含义类似。
例25.8 估计一个正态分布白噪声信号x 的自协方差cx (n )，假设最大延迟设置为100。
在MATLAB 中输入以下命令：
>> x=randn(1,6000);
>> [cov_x,lags]=xcov(x,100,'coeff'); >> stem(lags,cov_x)
得到的结果如图25.9所示。
图25.9 自协方差函数
读者可以根据xcov 所提供的归一化方法，修改归一化方法的参数，查看不同的结果。
25.2.3 谱分析——psd 函数
前面讲过，随机信号没有对应的解析表达式，但是存在相关函数。对于平稳信号，相关函数的傅里叶变换函数就是功率谱密度函数。功率谱反映了单位频带内随机信号功率的大小。在MATLAB 信号处理工具箱中，最常用的功率谱函数是psd 和pwelch 。功率谱密度估计函数（psd 函数）的调用格式如下。
Pxx=psd(X,NFFT,Fs,WINDOW) 返回信号向量X 的功率谱密度估计，使用Welch 平均周
898
期图法。各段NFFT 点DFT 的幅值的平方的平均值即为Pxx 。Pxx 的长度：当NFFT 为偶数时，其值为NFFT/2+1；当NFFT 为奇数时，其值为（NFFT+1）/2；当NFFT 为复数时，为NFFT 。当WINDOW 为一数值n 时，则采用n 点长的Hanning 窗加窗。
[Pxx，F]=psd(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP) 返回由频率点组成的向量F ，Pxx 为
点上的估值，X 在分段时相邻两段有NOVERLAP 点重叠。其他参数同上。
[Pxx，Pxxc，F]=psd(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP,P) 返回Pxx 的P*100%置信区
间Pxxc ，其中参数P 在0~1间取值。其他参数同上。
psd(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP,P,DFLAG) 参数DFLAG 可选：‘linear’、‘mean’、
‘none’。DFLAG 指明了在对各段加窗后进行趋势去除时使用的方式。默认或为空矩阵的情况下，NFFT 为256，若X 的长度小于256时为X 的长度；NOVERLAP 为0；WINDOW 为Hanning ，数值表述为NFFT ；FS 为2；P 为0.95；DFLAG 为‘none ’。其他参数同上。
例25.9 采用采样频率为2000Hz 、长度为2048点、相邻两段重叠点数为256，窗函数为默认值的Welch 方法对信号12()cos 2sin 2()x t k f t f t n t =π+π+进行功率谱估计，其中n (t )正态分布白噪声，1300f
=Hz ，2400f =Hz ，k =3。
在MATLAB 中输入以下命令：
>>fs=2000; >>t=0:1/fs:1;
>>f1=300; >>f2=400; >>k=3;
>>x=k*cos(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+randn(1,length(t)); >>[p,f]=psd(x,2048,1000,[],256); >>plot(f,10*log10(p/(2048/2))); >>xlabel('freq Hz'); >>ylabel('PSD');
>>xlabel('freq(Hz)');
得到的结果如图25.10所示。
图25.10 功率估计图
899
25.2.4 谱分析——pwelch 函数
在MATLAB 中，pwelch 函数的调用格式如下。
[Pxx,w]=pwelch(x)：该函数用Welch 方法估计输入信号向量x 的功率谱密度Pxx 。向量x
被分割成8段，每段有50%的重叠，分割后的每一段都用汉明窗进行加窗，窗函数的长度和每一段的长度一样。当x 为实数时，产生单边的PSD ，当x 是复数时，产生双边的PSD 。系统默认FFT 的长度N 为256和2的整数次幂中大于分段长度的最近的数。具体规定为，当输入x 是实数时，Pxx 的长度为（N/2）+1，对应的归一化频率的范围为[0,π]；当输入x 是复数时，Pxx 的长度为N ，对应的归一化频率范围为[0,2π）
。 [Pxx,w]=pwelch(x,window)：如果参数window 是正整数，则表示Hamming 窗的长度；如
果参数window 是向量，则代表窗函数的权系数。
[Pxx,w]=pwelch(x,window,noverlap)：该调用格式指定x 分割后每一段的长度为window ，
noverlap 指定每段重叠的信号点数，noverlap 必须小于被确定的窗口长度，在默认情况下，x 被分割后的每段有50%重叠。
[Pxx,w]=pwelch(x,window,noverlap,nfft)：整数nfft 指定FFT 的长度，如果nfft 指定为空向
量，则nfft 取前面调用格式中的N 。nfft 和x 决定了Pxx 的长度和w 的频率范围，具体规定为：当输入x 为实数、nfft 为偶数时，Pxx 的长度为(nfft/2+1)，w 的范围为[0,π]；当输入x 为实数、nfft 为奇数时，Pxx 的长度为(nfft+1)/2，w 的范围为[0,π）；当输入x 为复数、nfft 为偶数或奇数时，Pxx 的长度为nfft ，w 的范围为[0,2π]。
[Pxx,f]=pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs)：整数fs 为采样频率，如果定义fs 为空向量，
则采样频率默认为1Hz 。nfft 和x 决定Pxx 的长度和f 的频率范围，具体规定为：当输入x 为实数、nfft 为偶数时，Pxx 的长度为(nfft/2+1)，f 的范围为[0,fs/2]；当输入x 为实数、nfft 为奇数时，Pxx 的长度为(nfft+1)/2，f 的范围为[0,fs/2）；当输入x 为复数、nfft 为偶数或奇数时，Pxx 的长度为nfft ，f 的范围为[0,fs)。
[...]=pwelch(x,window,noverlap,...,'range')：当x 是实数的时候，函数确定f 或w 的频率取
值范围。字符串’range’可以取’twosided’或’onesided’。’twosided’计算双边PSD ；’onesided’计算单边PSD 。
pwelch(...)：该命令在当前Figure 窗口中绘制出功率谱密度曲线，其单位为dB/Hz 。
例25.10 估计信号12()sin 2sin 2()x t f t k f t n t =π+π+的功率谱密度，显示双边PSD 。采样频率为2000Hz ，窗口长度为100点，相邻两段重叠点数为65，FFT 长度为默认值，其中n (t )正态分布白噪声，1300f =Hz ，2400f =Hz ，k =3。
在MATLAB 中输入以下命令：
>>fs=2000; >>t=0:1/fs:1; >>f1=300; >>f2=400; >>k=3;
>>x=sin(2*pi*f1*t)+k*sin(2*pi*f2*t)+randn(1,length(t)); >> pwelch(x,100,65,[],fs,'twosided')
900
得到的结果如图25.11所示。
图25.11 pwelch 函数功率谱密度估计
25.3 模拟滤波器设计
在信号领域，滤波器是非常更要的工具，其主要功能是用来区分不同频率的信号，实现各种模拟信号的处理过程。使用滤波器，可以对特定频率之外的频率进行有效滤除。本节主要介绍两种常用的模拟滤波器：即巴特沃思滤波器和切比雪夫滤波器，将对这两种滤波器的特点和功能进行详细讲解。
25.3.1 巴特沃斯滤波器
在信号领域中，巴特沃斯（Butterworth ）滤波器的主要特性是，无论通带与阻带都随频率而单调变化。巴特沃斯低通滤波器原型的平方幅频响应函数如下：
2
221
()()1()N
c
H j A ωωωω==
+， 在这个表达式中，参数c ω表示滤波器的截止频率，N 表示滤波器的阶数。N 越大，通带和阻带的近似性越好。巴特沃斯滤波器有以下特点：
当ω=c ω，2(
)/(0)1/2c A A ω=，幅度衰减3dB 衰减点。
当/c ωω<1，2()A ω有平坦的幅度特性，相应2(/)N c ωω随N 的增加而趋于0，2()A ω趋于1。
当/c ωω>1，即在过渡带和阻带中，2()A ω单调减小，因为/c ωω>>1，所以2()A ω快速下降。
在MATLAB 中，巴特沃斯模拟低通滤波器函数调用格式如下：
[Z,P,K]=buttap(N)
901
函数返回N 阶低通模拟滤波器原型的极点和增益。参数N 表示巴特沃斯滤波器的阶数；参数Z 、P 、K 分别为滤波器的零点、极点、增益。
例25.11 绘制6阶和11阶巴特沃斯低通滤波器的平方幅频响应曲线。
在MATLAB 中输入以下命令：
>> n=0:0.005:3; >> N1=6;
>> N2=11;
>> [z1,p1,k1]=buttap(N1); >> [z2,p2,k2]=buttap(N2);
>> [b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k1); >> [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k2); >> [H1,w1]=freqs(b1,a1,n); >> [H2,w2]=freqs(b2,a2,n); >> magH1=(abs(H1)).^2; >> magH2=(abs(H2)).^2;
>> plot(w1,magH1,'-k',w2,magH2,'-r','LineWidth',2); >> axis([0 2.5 -0.2 1.2]); >> grid
得到的图像如图25.12所示。
图25.12 不同N 值下的幅频响应曲线
25.3.2 切比雪夫Ｉ型滤波器
巴特沃斯滤波器虽然具有前面介绍的特点，但是在实际应用中，这种滤波器并不经济。为了克服这一缺点，在实际应用中采用了切比雪夫滤波器。切比雪夫滤波器的2
()H j ω在通带范围内是等幅起伏的，在通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃思滤波器要小。
切比雪夫I 型滤波器的平方幅频响应函数如下：
2
222
1
()()1(
)N c
H j A C ωωωεω==
+
在这个表达式中，参数ε是小于1的正数，表示通带内幅频波纹情况；参数c ω是截止频率，
902
参数N 是多项式()N c
C ωω的阶数，其中1
1cos(cos ()),,,1
()cosh(cosh ()),,,1
N N x x C x N x x ????=???
。
在MATLAB 中，调用切比雪夫I 型滤波器函数的命令如下：
[Z ，P ，K]=cheb1ap(N,Rp)
参数N 表示阶数；参数Z 、P 、K 分别为滤波器的零点、极点、增益；Rp 为通带波纹。 例25.12 绘制
9阶切比雪夫I 型模拟低通滤波器原型的平方幅频响应曲线。
在MATLAB 中输入以下命令：
>> n=0:0.01:2;
>> N=9;
>> Rp=0.7;
>> [z,p,k]=cheb1ap(N,Rp); >> [b,a]=zp2tf(z,p,k);
>> [H,w]=freqs(b,a,n); >> magH=(abs(H)).^2;
>> plot(w,magH,'LineWidth',2); >> axis([0 2 0 1.2]); >> xlabel('w/wc');
>> ylabel('|H(jw)|^2') >> grid
得到的图像如图25.13所示。
图25.13 9阶切比雪夫I 型模拟低通滤波的平方幅频响应曲线
25.3.3 切比雪夫Ⅱ型滤波器
在信号领域中，切比雪夫Ⅱ型滤波器的平方幅频响应函数如下：
2
21
221
()()1()N c H j A C ωωωεω?==
??+??
?
?
在这个表达式中，参数ε是小于1的正数，表示阻带内幅频波纹情况；参数c ω是截止频率，N
903
为多项式()N c
C ωω的阶数，其中1
1cos(cos ()),,,1
()cosh(cosh ()),1
N N x x C x N x x ????=?>??
在MATLAB 中，调用切比雪夫Ⅱ型滤波器的命令为：
[Z ，P ，K]=cheb2ap(N,Rs)
参数N 为阶数；参数Z 、P 、K 分别为滤波器的零点、极点、增益；Rs 为阻带波纹。 例25.13 画出11阶切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器原型的平方幅频响应曲线。
在MATLAB 中输入以下命令：
>>n=0:0.01:2.5;
>>N=11;
>>Rs=12;
>>[z,p,k]=cheb2ap(N,Rs); >>[b,a]=zp2tf(z,p,k);
>>[H,w]=freqs(b,a,n); >>magH=(abs(H)).^2;
>>plot(w,magH,'LineWidth',2); >>axis([0.4 2.5 0 1.1]); >>xlabel('w/wc');
>>ylabel('|H(jw)|^2') >> grid
得到的图像如图25.14所示。
图25.14 11阶切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波的平方幅频响应曲线
25.4 IIR 数字滤波器设计
数字滤波器在通信、图像、航天和军事等许多领域都有着十分广泛的应用。使用MATLAB 信号处理工具箱，可以很方便地求解数字滤波器问题，同时还可以十分便捷地在图形化界面上编辑和修改数字滤波。在MATLAB 中有许多自带的IIR 数字滤波器设计函数，下面就介绍一下这些设计函数。
904
25.4.1 巴特沃斯数字滤波器设计
在MATLAB 中，butter 函数可以用来设计数字巴特沃思滤波器。数字滤波器设计的butter 函数调用格式如下：
[b,a]=butter(n,Wn)：设计截止频率为Wn 的n 阶低通滤波器。它返回滤波器系数向量a 、
b 的长度为n+1，这些系数按z 的降幂排列为：
11()(1)(2)...(1)()()(1)(2)...(1)n
n
B z b b z b n z H z A z a a z a n z ????++++==
++++
归一化截止频率Wn 取值在[0 1]之间，这里1对应内奎斯特频率。如果Wn 是二元向量，如Wn=[w 1 w 2]，那么butter 函数返回带通为w 1<ω 为滤波器类型参数，‘high’为高通滤波器；‘stop’为带阻滤波器。 [z,p,k]=butter(n,Wn)或[z,p,k]=butter(n,Wn,‘ftype’)：这是butter 函数的零极点形式，其 返回零点和极点的n 列向量z 、p ，以及增益标量k 。其他参数同上。 [A,B,C,D]=butter(n,Wn)或[A,B,C,D]=butter(n,Wn,‘ftype’)：这是butter 函数的状态空间 形式，这里的A 、B 、C 、D 的关系如下： [1]()() []()() x n Ax n Bu n y n Cx n Du n +=+=+ 在以上表达式中，参数u 表示输入向量，y 表示输出向量，x 是状态向量。其他参数同上。 模拟滤波器设计的butter 函数调用格式如下： [b,a]=butter(n,Wn,’s’) [b,a]=butter(n,Wn,’ftype’,’s’) [z,p,k]=butter(n,Wn,’s’) [z,p,k]=butter(n,Wn,’ftype’,’s’) [A,B,C,D]=butter(n,Wn,’s’) [A,B,C,D]=butter(n,Wn,’ftype’,’s’) 例25.14 设计13阶的巴特沃思 高通滤波器，采样频率为1400Hz ，截至频率为200Hz ，并画出滤波器频率响应曲线。 在MATLAB 中输入以下命令： >>N=13; >>Wn=200/700; >>[b,a]=butter(N,Wn,'high'); >>freqz(b,a,128,1400) 得到的图像如图25.15所示。 例25.15 设计9 阶的巴特沃思带通滤波器，通带频率为300~400Hz ，并画出其脉冲响应曲线。 在MATLAB 中输入以下命令： >>n=9; >>Wn=[300 400]/500; 905 得到的图像如图25.16所示。 图25.15 巴特沃斯高通滤波器频率响应曲线 图25.16 带通滤波器脉冲响应 25.4.2 切比雪夫I 型数字滤波器设计 在MATLAB 中，cheby1函数可以用来设计四类数字切比雪夫I 型滤波器。它的特性就是通带内等波纹，阻带内单调。数字滤波器设计的cheby1函数调用格式如下。 [b ,a ]=cheby1(n ,Rp,Wn )：设计截止频率为Wn 、通带波纹为Rp （dB ）的n 阶切比雪夫低 通滤波器。它返回滤波器系数向量a 、b 的长度为n +1，这些系数按z 的降幂排列为： 1()(1)(2)...(1)()()(1)(2)...(1)n B z b b z b n z H z A z a a z a n z ??++++==++++ 归一化截止频率是滤波器的幅度响应为-Rp （dB ）时的频率，对于cheby1函数来说，归一化截止频率Wn 取值在[0 1]之间，这里1对应内奎斯特频率。如果Wn 是二元向量，如 Wn =[w 1 w 2]，那么cheby1函数返回带通为w 1<ω [b,a]=cheby1(n ,Rp,Wn , 'ftype ')：设计截止频率为Wn 、通带波纹为Rp （dB ）的高通或者带通数字滤波器，‘ftype ’为滤波器类型参数，‘high ’为高通滤波器；‘stop ’为带阻滤波器。对于带阻滤波器，如果Wn 是二元向量，如Wn =[w 1 w 2]，那么cheby1函数返回带通为w 1<ω 点形式，其返回零点和极点的n 列向量z 、p ，以及增益标量k 。其他参数同上。 [A,B,C,D]=cheby1(n ,Rp,Wn )或[A,B,C,D]=cheby1(n ,Rp,Wn , 'ftype ')：这是cheby1函数 的状态空间形式，这里的A 、B 、C 、D 的关系如下： [1]()() []()() x n Ax n Bu n y n Cx n Du n +=+=+ 在以上表达式中，参数u 表示输入向量，y 表示输出向量，x 是状态向量。其他参数同上。 906 模拟滤波器设计的cheby1函数调用格式如下： [b,a]= cheby1 (n, Rp,Wn,’s’) [b,a]= cheby1 (n, Rp,Wn,’ftype’,’s’) [z,p,k]= cheby1 (n, Rp,Wn,’s’) [z,p,k]= cheby1 (n, Rp,Wn,’ftype’,’s’) [A,B,C,D]= cheby1 (n, Rp,Wn,’s’) [A,B,C,D]= cheby1 (n, Rp,Wn,’ftype’,’s’) 例25.16 设计7阶的cheby1型低通数字滤波器，采样频率为1400Hz，Rp=0.6dB ，截止频率为400Hz，并画出滤波器频率响应曲线。 在MATLAB中输入以下命令： >>N=7; >>Wn=400/700; >>Rp=0.6; >>[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn);%切比雪夫I型低通数字滤波器函数 >>freqz(b,a,512,1400); >>axis([0 700 -300 50]); 得到的图像如图25.17所示。 例25.17 设计5阶的切 比雪夫Ⅰ型带通滤波器，通带频率为300~400Hz，Rp=0.5dB，并画出其脉冲响应曲线。 在MATLAB中输入以下命令： >> n=5; >>Wn=[300 400]/700; >> Rp=0.5; >>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn); >>[y,t]=impz(b,a,101); >>stem(t,y) 得到的图像如图25.18所示。 图25.17 切比雪夫I型低通滤波器频率响应曲线 图25.18 5阶切比雪夫I型带通滤波器脉冲响应 907 25.4.3 切比雪夫II 型数字滤波器设计 在MATLAB 中，cheby2函数可以用来设计数字切比雪夫Ⅱ型滤波器。它的特性就是通带内单调，阻带内等波纹。数字滤波器设计的cheby2函数调用格式为： [b,a]= cheby2(n, Rs,Wn) [b,a]= cheby2(n, Rs,Wn,'ftype') [z,p,k]= cheby2(n, Rs,Wn) [z,p,k]= cheby2(n, Rs,Wn,'ftype') [A,B,C,D]= cheby2(n, Rs,Wn) [A,B,C,D]= cheby2(n, Rs,Wn,'ftype') 数字滤波器设计cheby2函数的用法参见cheby1函数。模拟滤波器设计的cheby2函数调用格式为： [b,a]= cheby2(n, Rs,Wn,'s') [b,a]= cheby2(n, Rs,Wn,'ftype','s') [z,p,k]= cheby2(n, Rs,Wn,'s') [z,p,k]= cheby2(n, Rs,Wn,'ftype','s') [A,B,C,D]= cheby2(n, Rs,Wn,'s') [A,B,C,D]= cheby2(n, Rs,Wn,'ftype','s') 例25.18 设计7阶的cheby2型低通数字滤波器，采样频率为1400Hz ，Rs=25dB ，截止频 率为200Hz ，并画出滤波器频率响应曲线。 在MATLAB 中输入以下命令： >>N=7; >>Wn=200/700; >>Rs=25; >>[b,a]=cheby2(N,Rs,Wn); >>freqz(b,a,512,1400); >>axis([0 700 -80 50]) 得到的图像如图25.19所示。 例25.19 设计7阶的切比雪夫Ⅱ型带通滤波器，通带频率为300~500Hz ，Rs=35dB ，并画出其脉冲响应曲线。 在MATLAB 中输入以下命令： >> n=7; >>Wn=[300 500]/700; >>Rs=35; >>[b,a]=cheby2(n,Rs,Wn); >>[y,t]=impz(b,a,101); >>stem(t,y) >> grid 得到的图像如图25.20所示。 908 图25.19 切比雪夫Ⅱ型低通滤波器频率响应曲线 图25.20 7阶切比雪夫Ⅱ型带通滤波器脉冲响应 25.5 小结 本章讲解了MATLAB信号工具箱的主要应用，信号工具箱的应用十分广泛。本章重点分析了信号的产生和处理，并详细讲解了模拟滤波器和数字滤波器的应用和设计。 ◆◆◆ 数字地震信号处理试题库（客观题）选择题（单选30）： 1、地震波中某震相的周期为20秒，其频率为： A.0.05Hz B. 20Hz. C. 20秒 D. 0.05秒 ( A) 2、两个8Hz和10Hz的简谐振动合成后，其中的频率成分为： A. 8Hz, 10Hz, 18Hz, 2Hz B. 10Hz, 8Hz C. 2Hz, 18Hz D. 2Hz, 10H z (B) 3、某体波震相的频率为2Hz, 用25Hz的采样频率采样后，其周期为： A.2秒 B. 0.5秒 C. 23Hz D. 23秒 (B) 4、分析地震波中含有的频率成分的正确变换为： A. Fourier变换 B. Laplace变换 C. Z变换 D. Walsh变换（A） 5、描述模拟系统传递函数采用： A.时间域 B. 空间域 C. Z域 D. Laplace域（D） 6、描述数字系统传递函数采用： A.时间域 B. 空间域 C. Z域 D. Laplace域 (C) 7、将时间域中的数字信号进行移位，频率域中改变的是 A. 振幅谱 B. 相位谱 C. 功率谱 D. 高密度谱 (B) 8、以20Hz的采样频率对最高频率为5Hz的信号进行采样，其Nyquist频率为： A. 20Hz B. 10Hz C. 5Hz D. 15Hz (B) 9、以10Hz的采样频率对频率为8Hz的信号采样后，数字信号频率为： A. 10Hz B. 8Hz C. 2Hz D. 18Hz (C) 10、以10Hz的采样频率对频率为12Hz的信号采样后，数字信号频率为： A. 10Hz B. 8Hz C. 2Hz D. 12Hz (C) 11、下列滤波器中，具有最优的线性相频的是： A. 椭圆滤波器 B. Bessel 滤波器 C. Chebyshev滤波器 D. Butter worth滤波器（B） 12、在相同的设计阶数下，下列滤波器过渡带要求最窄的为： A. 椭圆滤波器 B. Bessel 滤波器 C. Chebyshev滤波器 D. Butter worth滤波器 (A) 13、要求去除信号中的低频干扰成分，采用的滤波器为： A.高通滤波器 B.低通滤波器 C带通滤波器 D.带阻滤波器（A） 14、通带内具有最大平坦的频率特性的滤波器为： A. 椭圆滤波器 B. Chebyshev I 滤波器 C. ChebyshevII滤波器 D. Butterworth滤波器（D） 15、完全线性相位的滤波器为： A. Bessel 滤波器 B. FIR滤波器 C. IIR滤波器 D椭圆滤波 器 (B) 16、计算机不可能处理无限长数据，将截断数据进行分析相当于将无限长 数据加上 A:Bartlett窗 B. 三角窗 C. Kaiser窗 D. 矩形窗（D） 17、宽带地震仪的“宽带”是指： A. 通带范围大 B.阻带范围大 C.动态范围大 D. 过渡带宽（A） 18、要保留某数字信号的2Hz~5Hz之间的频率成分，而滤掉其他频率成分， 滤波器选择的通带范围为： 1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2) (3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2) (3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3) 解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统 (5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3） 1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3) 第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处 理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 《数字信号处理》试题库 一. 填空题（每题2分） 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为；输入为x（n-3）时，输出为。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率f s 关系为：。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的点等间隔。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的失真现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是。7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较，阻带衰减比较。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈，因此是______型的 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 。 11、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的______有关，还与窗的______有关 12．已知因果序列x(n)的Z变换为X(z)=e1/z，则x(0)=__________。 13．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x2(n)中包含的频率为 __________。 14．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的__________，而周期序列可以看成有限长序列的__________。 15．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用xm(n)表示，其数学表达式为 xm(n)=__________,它是__________序列。 16．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，即__________便得到按频率抽取的基2-FFT流图。 数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )， y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ， 所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ， 所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频 率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=? ?? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211 ======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号 一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为 x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。 Matlab数理统计工具箱应用简介 1．概述 Matlab的数理统计工具箱是Matlab工具箱中较为简单的一个，其牵扯的数学知识是大家都很熟悉的数理统计，因此在本文中，我们将不再对数理统计的知识进行重复，仅仅列出数理统计工具箱的一些函数，这些函数的意义都很明确，使用也很简单，为了进一步简明，本文也仅仅给出了函数的名称，没有列出函数的参数以及使用方法，大家只需简单的在Matlab工作空间中输入“help 函数名”，便可以得到这些函数详细的使用方法。 2．参数估计 betafit 区间 3．累积分布函数 betacdf β累积分布函数 binocdf 二项累积分布函数 cdf 计算选定的累积分布函数 chi2cdf 累积分布函数2χ expcdf 指数累积分布函数 fcdf F累积分布函数 gamcdf γ累积分布函数 geocdf 几何累积分布函数 hygecdf 超几何累积分布函数 logncdf 对数正态累积分布函数 nbincdf 负二项累积分布函数 ncfcdf 偏F累积分布函数 nctcdf 偏t累积分布函数 ncx2cdf 偏累积分布函数2χ normcdf 正态累积分布函数 poisscdf 泊松累积分布函数 raylcdf Reyleigh累积分布函数 tcdf t 累积分布函数 unidcdf 离散均匀分布累积分布函数 unifcdf 连续均匀分布累积分布函数 weibcdf Weibull累积分布函数 4．概率密度函数 betapdf β概率密度函数 binopdf 二项概率密度函数 chi2pdf 概率密度函数2χ exppdf 指数概率密度函数 fpdf F概率密度函数 gampdf γ概率密度函数 geopdf 几何概率密度函数 hygepdf 超几何概率密度函数 lognpdf 对数正态概率密度函数 nbinpdf 负二项概率密度函数 ncfpdf 偏F概率密度函数 nctpdf 偏t概率密度函数 ncx2pdf 偏概率密度函数2χ normpdf 正态分布概率密度函数 pdf 指定分布的概率密度函数 poisspdf 泊松分布的概率密度函数 raylpdf Rayleigh概率密度函数 tpdf t概率密度函数 unidpdf 离散均匀分布概率密度函数unifpdf 连续均匀分布概率密度函数weibpdf Weibull概率密度函数5．逆累积分布函数 Betainv 逆β累积分布函数 binoinv 逆二项累积分布函数 chi2inv 逆累积分布函数2χ expinv 逆指数累积分布函数 finv 逆F累积分布函数 gaminv 逆γ累积分布函数 geoinv 逆几何累积分布函数 hygeinv 逆超几何累积分布函数 logninv 逆对数正态累积分布函数 nbininv 逆负二项累积分布函数 ncfinv 逆偏F累积分布函数 nctinv 逆偏t累积分布函数 ncx2inv 逆偏累积分布函数2χ norminv 逆正态累积分布函数 possinv 逆正态累积分布函数 raylinv 逆Rayleigh累积分布函数 tinv 逆t累积分布函数 unidinv 逆离散均匀累积分布函数 unifinv 逆连续均匀累积分布函数 weibinv 逆Weibull累积分布函数 Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、3 5000π=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S ===μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.6 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 数字信号处理基础书后题答案中文版 Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、35000π =ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π =ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S === μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数 倍 -200 200 400 600 800 1000 1200 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91 幅度 频 一、单项选择题 1. 序列x(n)=Re(e jn π/12 )+I m (e jn π/18 ),周期为( )。 A. 18π B. 72 C. 18π D. 36 2. 设C 为Z 变换X(z)收敛域的一条包围原点的闭曲线，F(z)=X(z)z n-1 ,用留数法求X(z)的反变换时( )。 A. 只能用F(z)在C 的全部极点 B. 只能用F(z)在C 外的全部极点 C. 必须用收敛域的全部极点 D. 用F(z)在C 的全部极点或C 外的全部极点 3. 有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ= 2 1 -N 偶对称的条件是( )。 A. h(n)=h(N-n) B. h(n)=h(N-n-1) C. h(n)=h(-n) D. h(n)=h(N+n-1) 4. 对于x(n)= n )21(u(n)的Z 变换，( )。 A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=21 C. 零点为z=21，极点为z=1 D. 零点为z=2 1 ，极点为z=2 5、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 表Ⅰ-11 线性模型函数 函数描述 anova1 单因子方差分析 anova2 双因子方差分析 anovan 多因子方差分析 aoctool 协方差分析交互工具 dummyvar 拟变量编码 friedman Friedman检验 glmfit 一般线性模型拟合 kruskalwallis Kruskalwallis检验 leverage 中心化杠杆值 lscov 已知协方差矩阵的最小二乘估计manova1 单因素多元方差分析manovacluster 多元聚类并用冰柱图表示multcompare 多元比较 多项式评价及误差区间估计 polyfit 最小二乘多项式拟合 polyval 多项式函数的预测值 polyconf 残差个案次序图 regress 多元线性回归 regstats 回归统计量诊断 续表 函数描述 Ridge 岭回归 rstool 多维响应面可视化 robustfit 稳健回归模型拟合 stepwise 逐步回归 x2fx 用于设计矩阵的因子设置矩阵 表Ⅰ-12 非线性回归函数 函数描述 nlinfit 非线性最小二乘数据拟合（牛顿法）nlintool 非线性模型拟合的交互式图形工具nlparci 参数的置信区间 nlpredci 预测值的置信区间 nnls 非负最小二乘 表Ⅰ-13 试验设计函数 函数描述 cordexch D-优化设计（列交换算法）daugment 递增D-优化设计 dcovary 固定协方差的D-优化设计ff2n 二水平完全析因设计 fracfact 二水平部分析因设计 fullfact 混合水平的完全析因设计hadamard Hadamard矩阵（正交数组）rowexch D-优化设计（行交换算法） 表Ⅰ-14 主成分分析函数 函数描述 barttest Barttest检验 pcacov 源于协方差矩阵的主成分pcares 源于主成分的方差 princomp 根据原始数据进行主成分分析 表Ⅰ-15 多元统计函数 函数描述 classify 聚类分析 mahal 马氏距离 manova1 单因素多元方差分析manovacluster 多元聚类分析 表Ⅰ-16 假设检验函数 函数描述 ranksum 秩和检验 signrank 符号秩检验 signtest 符号检验 ttest 单样本t检验 ttest2 双样本t检验 ztest z检验 表Ⅰ-17 分布检验函数 函数描述 jbtest 正态性的Jarque-Bera检验kstest 单样本Kolmogorov-Smirnov检验kstest2 双样本Kolmogorov-Smirnov检验lillietest 正态性的Lilliefors检验 表Ⅰ-18 非参数函数 函数描述 friedman Friedman检验 kruskalwallis Kruskalwallis检验ranksum 秩和检验 signrank 符号秩检验 signtest 符号检验 第一章数字信号处理概述简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字 长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 数字信号处理期末复习题 一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分） 1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。 (Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 ①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。 ①Ωs ②.Ωc ③.Ωc/2 ④.Ωs/2 3.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。 ①.R3(n) ②.R2(n) ③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1) 4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。 ①.有限长序列②.右边序列 ③.左边序列④.双边序列 5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。 ①当｜a｜<1时，系统呈低通特性 ②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性 ③.当0 6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。 ①.2 ②.3 ③.4 ④.5 7.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。 ①.FFT是一种新的变换 ②.FFT是DFT的快速算法 ③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 ④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数) 8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。 ①.横截型②.级联型 ③.并联型④.频率抽样型 9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ① )。 ①.h［n］=-h［M-n］ ②.h［n］=h［M+n］ ③.h［n］=-h［M-n+1］ ④.h［n］=h［M-n+1］ 10.下列关于用冲激响应不变法设计IIR滤波器的说法中错误的是( ④ )。 ①.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 ②.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 ③.容易出现频率混叠效应 ④.可以用于设计高通和带阻滤波器 11.利用矩形窗函数法设计FIR滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( ① )。 ①.窗函数幅度函数的主瓣宽度 ②.窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试 成功！！ 电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+ 故该系统是线性系统。数字信号处理客观题试题库
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