第一章数字信号处理概述
简答题：
1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？
答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：
2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）
答：错。需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）
答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频
率。
（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。
采样（T）
()
n h ()
n x ()
t x ()
n y D/A
理想低通T
c πω=()
t y
解 （a ）因为当0)(8=≥ω
πωj e H rad 时，在数 — 模变换中
)(1)(1)(T
j X T
j X T
e Y a a j ωω=Ω=
所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为
8
π
=
ΩT c
因此 Hz T
f c c 625161
2==Ω=
π
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为
T
π
，因此对T 8π没有影
响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz T
f c 1250161==
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列)(n x 的傅氏变换为
)(ω
j e X ，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）)2(n x （2）)(*n x （共轭） 解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞
-∞
=-=
=n n
j j e
n x e X n x ωω)(()]([)
可以得到
DTFT 2
)()2()]2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2
)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
（2）)(*n x （共轭）
解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω
j n n jn jn e X e n x e
n x n x -∞
-∞
=∞
-∞
=-===
∑
∑
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ （d ）n
n )
21(
解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ω
ωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
=
（b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2
)41(]2[41)(n n j n n
j n n e e n u X ωωω）（ ωω
ωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116)41(20
)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n
j n
j n e e
n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞==-=
=
∑∑
（d ）]12
111
2111[21)(?--+-==--∞
-∞=∑ω
ωωωj j n j n n e e e X
）（ 利用频率微分特性，可得
22)2
11(121)211(121)
()(ωω
ωωω
ωωj j j j e e e e d X d j
X ---+--=-=
3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*
n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx
解： （1）)(*])([)(*)
(*
jw n n jw n jwn
e X e
n x e
n x =-=
-∑∑∞
-∞
=--∞
-∞
=-
（2）∑∑∞
-∞
=-*-*
∞
-∞=-+=+=
n jw jw jwn n jwn
e X e X e n x
n x e
n x )]()([2
1
)]()([21
)](Re[
（3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e
n nx jw n jwn
n jwn n jwn
)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞
-∞
=-∞
-∞
=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3) )(2
n x
解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn
e X e n x e
n x e
n x -**∞
-∞
=--∞
-∞
=*
---∞
-∞
=-*
===
∑∑∑
（2）
[]
)()(2
1
)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw
n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**
∞-∞=--∞-∞=∞-∞=-*--∞
-∞=*-=
???
???????? ??-=-=--∑∑∑∑
（3）
)()(21)()(21)()(21
)()()(2
jw j w j j n n n w j j n jwn
e X e X d e X e X e n x d e X e
n x *==?
?
????=?∑?∑∑--∞
-∞=-
∞
-∞=--∞
-∞
=-θπ
π
θθπ
π
θθ
π
θπθ
π
5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用
)(jw
e X 表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）)2()(n x n g =
（2）()?
??=为奇数为偶数
n n n x n g 02)(
解：（1）∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-=
=
=
为偶数
k k w k j n jnw
n jnw
jw
e
k x e
n x e
n g e G 2
)()2()()(
[]
??????-+=??????+=+=+=-+=-∞
-∞
=--∞-∞
=-∞-∞=-∞
-∞=-∑∑∑∑)()(2121
)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2
12
2)2(2)2
(2
2
2
2w
j w j w
j w j k w
jk w j k w
jk j k w jk k w k
j k
e X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ
（2）)()()2()()(222w j r w
jr r rw
j n jnw
jw
e X e
r x e
r g e
n g e G ==
=
=
∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-
6．设序列)(n x 傅立叶变换为
)(jw
e X ，求下列序列的傅立叶变换。 （1）)(0n n x - 0n 为任意实整数 （2）()???=为奇数为偶数n n n x n g 0
2)(
（3）)2(n x
解：（1）0
)(jwn jw e e X -?
（2） )2(n x n 为偶数
=)(n g ?)(2w j e X 0 n 为奇数 （3）)()2(2
jw e X n x ?
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）{})2()3()21
(--+n u n u n （2）)2sin()718cos(
n n +π
（3）??
??
?≤≤=其它－04
1)3cos()(n n n x π 【解】（1）{}∑∞
-∞=---+=n kn N j n e n u n u k X π
2)2()3()2
1
()(
∑∑∞=-∞
-=--=2232)2
1()21(n kn
N j n n kn N j n e
e π
π k N
j k N j k N
j k N j e e
e e
ππππ
222
223
2
114
12
118-----
-=
k N
j k
N j k
N j e e e ππ
π2255232
11)21(18----= （2）假定)718cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2k X ，则
∑∞
-∞
=??
????
--+--
=k k k N k k N
k X )27182()27182()(1πππδπππ
δπ
∑∞
-∞=??
?
???-++--=
k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ
所以 )()()(21k X k X k X +=
∑∞
-∞=???
??
?-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ
（3）∑-=-=
4
4
23cos )(n k N
jn
ne
k X π
π
∑-=--+=4
423
3)(2
1n k N jn n j n
j e e
e π
π
π
∑∑=++=--+=90
)23()32(490)23()32(42121n n
N j k N j n n k N j k N j e e e e π
πππππππ
)23()23()
3
2(4)23()23()
3
2(4112
11121
9
9k N
j k N j k N j k N
j k N j k N j e
e e e
e e
πππππππππ
πππ+++---+-++-=
8．求下列序列的时域离散傅里叶变换
)(n x -*， [])(Re n x ， )(0n x
解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **
∞∞---∞
∞-*
=??
?
??-=-∑∑
[]()()
)()()(2
1
)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞
∞
--*∞∞-∑
∑ ()[]
)(Im )()(21)(0ωωω
j n j j e X j e n x n x e
n x =--=∑∑∞
∞
--*∞
∞
--
三、离散时间系统系统函数
填空题：
1．设)(z H 是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中的3个零点分别为1，0.8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。
解：由线性相位系统零点的特性可知，1=z 的零点可单独出现，
8.0=z 的零点需成对出现，j z +=1的零点需4个1组，所以系统至
少为7阶。 简答题：
2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(min Z H 有何特点？ 解：一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
∑∑=-=--==
N k k
k M
r r
r Z a Z
b Z Q Z P Z H 1
01)
()
()(，他的所有极点都应在单位圆内，即
1 k α。但零点可以位于Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约
束一个系统，使它的逆系统)(1)(Z H Z G =也是稳定因果的。这就需要
)(Z H 的零点也位于单位圆内，即1 r β。一个稳定因果的滤波器，如
果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。
一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jw e H 唯一确定。从jw e 求)(Z H 的过程如下：给定jw e ，先求2
jw e ，它是)cos(kw 的函数。然后，用
)(2
1k k
Z Z -+替代)cos(kw ，我们得到)()()(1-=Z H Z H Z G 。最后，最小相位系统由单位圆内的)(Z G 的极、零
点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
)()()(min Z H Z H Z H ap =
完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(Z H 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(min Z H 是最小相位的。然后，选择全通滤波器)(Z H ap ，把与之对应的
)(min Z H 中的零点映射回单位圆外。
3．何谓全通系统？全通系统的系统函数
)
(Z H ap 有何特点？
解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(Z H ap 对应的傅里叶变换幅值1)(=jw e H ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
∏∑∑=-*
-=-=---=-=
=N
k k k
N k k
k M
r r
r ap Z Z Z a Z
b Z Q Z P Z H 11
11
011)
()
()(αα。因而，如果在k Z α=处有一个极点，则在其共轭倒数点*=k
Z α1处必须有一个零点。
4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。
()
n h ()
n x ()
n y
解：频率响应：∑∞
∞
--=n
j j e n h e H ωω
)()(
系统函数：∑∞
∞
--=n Z n h Z H )()(
差分方程：?
?
?
?
??-)()(1Z X Z Y Z 卷积关系：∑∞
∞
-*=)()()(n x n h n y
第三章 离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果)(~
n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有
)(~)(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有
)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~
表示）（k X 2~。
解： ∑∑-=-=-==10
10
21)(~)(~)(~N n N n kn N j kn N e n x W n x k X π
n k
N j N N
n N n N n n k N j kn N e n x e n x W n x k X 2
212120
10
2222)(~)(~)(~)(~ππ--=-=-=-∑∑∑+==
对后一项令N n n -='，则
∑∑-=-='+'--+'+=10
10
)(22222)(~)(~)(~N n N n N n k
N j n k
N j e N n x e n x k X ππ
)
2
(~)1()(~)1(1
2
2k
X e e
n x e
jk N n n k
N j
jk πππ
--=--+=+=∑
所以?????=0
)2(~2)(12k X k X 为奇数为偶数k k
二、离散傅立叶变换定义
填空题
2．某DFT 的表达式是∑-==1
0)()(N k kl
M W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两
个频率样点之间的间隔是（ ）。 解：M π2
3．某序列DFT 的表达式是∑-==1
0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的
时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 解：N M π2
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ 纯实数、偶对称 ）。 解：纯实数、偶对称
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是（延时一个采样周期T=1/F ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（nT=n/F ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（k N
k π
ω2=
）。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N
k πω2=
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域抽样点之间的频率间隔f ?为8000/512,数字角频率间隔w ?为 2pi/512和模拟角频率间隔?Ω 8000*0.0123。 解：15.625，0.0123rad ，98.4rad/s 判断说明题：
7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ） 解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。 计算题
8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换DFT 得到一序列
)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
解：∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=??
????'==101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N nk N N k N n n k N N k nk N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+?
??=1
)
(0N k n n k N
N
W
其他Nl n n ='+ 所以
∑-'-=+-=1
1)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
9．序列}{
0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )
(k x 如下图所示。现将)(n x 按下列
（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）
()
n x n
()
k X k
（1）
??
?-=)4()
()(1n x n x n y 7~43~0==n n （2）
??
?=0)
()(2n x n y 7~43~0==n n （3）
????
?=0)
2()(3n x n y 奇数偶数==n n 解：（1）
()()()0
1230,2211=+≤≤=k Y k k X k Y
（2）()()30,70,2,211112≤≤≤≤==??
?
??=k k k k k X k X k Y （3）
()()()()4
mod ,30,70114113k k k k k X k X k Y =≤≤≤≤==
10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质： )()(n x N n x =+
另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
解： ()??
?
??=221k X k X 推导过程略
11．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式） （1）)()(n R a n x N n = （2）)()(n nR n x N = 解：（1）因为)()(n R a n x N n =，所以
k N
j N N n nk N
j
n ae
a e
a k X ππ
21
211)(--=---=
=∑
（2）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
0)()(N n N nk
N k R nW k X
∑-=+=1
)1()()(N n N k
n N k N
k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1
)1(1
)()()1)((N n N k
n N N n nk N
k N
k R nW nW
W k X []
)
())1(()()1)2(2()1(321
1
)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k
N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++= )()(11)1(k NR k R W W N N N
k N k N -=?????
?--+--= 所以
)(1)(k R W N
k X N k
N
--=
12．计算下列序列的N 点DFT ：()116P （1）10,)(-≤≤=N n a n x n （2）=)(n x ??
?
??nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k
N
N
k N NK N N N n nk N
n aW a aW W a W
a k X --=--==∑-=1111)(1
0，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=???
? ??+=??? ??=102221
0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π
π
π
π ????
?
??
--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N j m k j m k N j m k j e e e e π
πππ ????
? ??--+--=++-+-++-+-+-------ππ
ππππππππ)(1
)()()()()(1)()()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N
j m k j m k j e e e e e e e e
e e ()()()
???
?
????+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k
2
N
, k=m 或k=-m =
0, 其它
13．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210
k X W k Y k
=，求序列)(n y
（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求
序列)(n m 解；（1）[]∑∑-==-+==1
09
10)5(2)()()(N n n nk
nk N
W n n W
n x k X δδ =1+2k
W 510
=1+2k j
e
510
2π
-
=1+2k )1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210
k X W k Y k
=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即
())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
（3）由)()()(k Y k X k M =可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(n y n x n m
一种方法是先计算的线性卷积与)()(n y n x ∑∞
-∞
=-=
*=l l n y l x n y n x n u )()()()()(
={}4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到10点循环卷积
{})7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10-+-==??
?
???-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ
另一种方法是先计算)(n y 的10点离散傅立叶变换
()()[]k
k n nk N n nk
N
W W W n n W
n y k Y 7102109
0101
02722)()(+=-+-==∑∑=-=δδ 再计算乘积
()()
k
k k W W W k Y k X k M 710210510221)()()(++== k
k k k W W W W 1210710710210422+++= k k W W 71021045+=
由上式得到 ()()7425)(-+-=n n n m δδ 14．（1）已知序列：102sin )(-≤≤??
? ??=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。
（2）已知序列：{
2,1,010)(==
n n x ，，其它
，则)(n x 的9点DFT 是
8,...,2,1,09sin 3sin )(9
2=??
? ???
?? ??=-k k k e
k X k j ，πππ
正确否？用演算来证明你的结论。()345P
解：（1）)(k X kn
N j N n e n N π
π21
2sin --=∑??? ??=
∑-=--???? ??-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π
π
π
∑-=+--???
? ??-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π
π
1,2
=-k N
j
= 1,2
-=k N
j
0， 其它
（2）?
??
? ??-???? ??-=--=
=------=-∑k j k j k j k j k j k j k j
k j
n kn
j e e e e e e e
e e
k X 999333
9
2962
9
211)(ππππ
π
π
πππ 8,...,1,09sin 3sin 9
2=??
? ???
?? ??-K k k e
k j
，πππ 可见，题给答案是正确的。
15．一个8点序列)(n x 的8点离散傅里叶变换)(k X 如图5.29所示。在)(n x 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列
)(n y ，即
??
?
??2n x ，n 为偶数
=)(n y
，n 为奇数
（1）求)(n y 的16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 的图形。
（2）设)(k X 的长度N 为偶数，且有12,...,1,0),1()(-=--=N
k k N X k X ，求??
? ??2N x 。
12
3
45
6
7
-1()k X 1234
解：（1）因n 为奇数时0)(=n y ，故
∑
∑=-??? ??=
=14
,...
2,01615
016
2)()(n nk n nk W n x W
n y k Y ∑==7
8)(m mk W m x ， 150≤≤k
另一方面 ?????≤≤=∑=其它,07
0,)()(7
08k W m x k X m mk
因此 ?????≤≤=-∑=-其它,015
8,)()8(7
0)8(8k W m x k X m k m
?????≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
所以 )(k Y ??
???≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
??
?
??≤≤-≤≤=其它,015
8),8(70),(k k X k k X
按照上式可画出)(k Y 的图形，如图5.34所示。
)
(k Y
16．计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。
（1）n
a n x =)( 10-≤≤N n
（2）{
}1,3,2,1)(--=n x 解：（1）()
∑∑-=-===1
1
)(N n n
k
N N n nk
N
n
aW W
a k X
()
k
N
N
k
N
N
k
N
aW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==3
4)()(n nk W n x k X
k k k k k k W
W W W W W W 34
2
4
342440432132--+=--+=
k k k j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k
17．长度为8的有限长序列)(n x 的8点DFT 为)(k X ，长度为16的一个新序列定义为 )2
(n
x 14,...2,0=n =)(n y
0 15,...,
3,1=n 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。
解：∑==15
016)()(n nk
W n y k Y