第一周随机事件及其概率运算
1.1随机试验与随机事件
同学们好！欢迎大家参加中国大学先修课程《概率论与数理统计》的学习。我是清华大学数学科学系的教师梁恒，很高兴在今后一段时间里与大家分享一些概率论与统计学中最基本、最重要也是最常用的经典成果。概率论与统计学集中对不确定性进行定量研究，建立了描述不确定性的有效数学模型和理论方法。随着现代科学技术的发展，深刻地理解不确定性有着越来广泛和紧要的需求，概率论与统计学已经成为科学研究、工程技术、经济管理，乃至人文社科等领域不可或缺的工具。这门课程的基本内容和方法不仅是提供了一些有效工具，更反映出独特的思维模式，很好地体现了数学理论和实际应用的联系。本课程面向已经有一些微积分基础的优秀中学生，强调抽象原理与现实应用的紧密结合，希望通过深入浅出的内容，引导同学们从传统的确定性思维模式逐步熟悉和掌握随机性思维模式，当然也希望能够激发同学们的学习兴趣，提升大家的科学素养，为同学们在大学后继课的学习奠定良好的数学基础并帮助同学们适应从初等数学到高等数学，学习观念上的转变，更好地适应即将到来的大学学习和生活。第一周我们主要学习随机事件及事件的概率运算。
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偶然性与不确定性的概念几乎与人类文明本身一样的古老。人们不得不应付天气变化、传染病的侵袭、战争胜负，以及一次捕猎是否成功等等的不确定现象。很久以前，人们就对理解和运用不确定性的机理和特征产生了兴趣。早在公元前3500年左右，古埃及等地就已经出现了利用动物骨头制作的具有随机性质的游戏。
通常人们都认为近代的概率论，也就是概率的数学理论是由十七世纪法国数学家帕斯卡和费马共同开创的，他们成功地推导出一些赌博规则对应的实际概率，获得了一些有效的计算公式。从那时起，概率论得到了稳步的发展，被越来越多地应用到工程、科学、管理、医药等领域，成为与微积分、线性代数同等重要的最基础的数学工具之一。
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随机试验与样本空间
如果一个试验事先能够明确地知道试验所有可能的基本结果，在每一次观察中，不能
事先准确地预言其中哪一个基本结果会发生，并且在相同条件下可以重复进行，则称此试验为随机试验。
随机试验的每种基本结果称为一个样本点ω，全体基本结果构成的集合称为样本空间，通常记为Ω。
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例1.1.1考察下面几个随机试验的样本空间
试验1：将一枚均匀硬币抛3次，观察出现正面的次数；{}3,2,1,01=Ω；
试验2：同时掷两颗六面的色子，观察所得的点数和；{}12,,4,3,22 =Ω试验3：某网站在某一段时间内被点击的次数；{}
,3,2,1,03=Ω试验4：在一批电子器件中任意取一只，测试其寿命。{}
0|4≥=Ωt t *********************************************************
样本空间中具备某种属性的样本点的集合叫做一个随机事件，简称为事件，通常用大写字母A、B、C 等表示。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
对于Ω?A ，A w ∈?事件A 发生；A w ??事件A 未发生。
例如：掷两颗色子的随机试验中，随机事件“点数和为3的倍数”对应集合{}12963,,,=A 。
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例1.1.2考虑例1.1.1中的随机试验3，即某网站在某一段时间内被点击的次数，试写出下列事件包含的样本点：
=A {一小时内被点击次数在10到20次之间}；
{}20,,12,11,10 =A =B {一小时内被点击次数不多于7次}；
{}7,6,5,4,3,2,1,0=B =C {一小时内被点击次数为偶数次}；{}
,2,,6,4,2n C ==D {一小时内被点击次数至少为0次}；
{},,,,0123D =Ω= =E {一小时内被点击次数少于0次}.
E =Φ
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字幕(出镜)：样本空间Ω包含所有的样本点，若事件集合等于Ω本身，则在每次试验中它总是发生的，故称为必然事件；而空集Φ中不包含任何样本点，它在每次试验中都不可能发生，故称为不可能事件。为讨论方便，以及概念的完整性，虽然必然事件与不可能事件并不具有不确定性，我们仍然常常将它们作为随机事件的特例，纳入到随机事件的范畴来统一考虑。
（备注3：话音结束后，再在此画面多停留3-5秒，然后切入下一页）
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事件的示性函数
函数()?
??∈=otherwise A w w I A ,,0 1，称为事件A 的示性函数或标志函数（indicator）*********************************************************
第一章随机事件与概率 一、教材说明 本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。 1．教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算； （2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算； （3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。 本章的教学要求是： （１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念； （２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题； （３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。 ２．本章的重点与难点 本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。 二、教学内容 本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。 1.1随机事件及其运算 本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。 自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象，在一定条件下必然发生：如
自由落体，1000C 时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。 概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。 概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。 1.1.1 随机现象 １．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （２）掷一颗骰子，出现的点数； （３）一天内进入某超市的顾客数； （４）某种型号电视机的寿命； （５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。 随机现象到处可见。 ２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。 ３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的。 1.1.2 样本空间 １．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为 }{ω=Ω 其中，ω表示基本结果，称为样本点。 （１）执一枚硬币的样本空间为：},{211ωω=Ω； 两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成， 1ω=（正，正），2ω=（正，反），3ω=（反，正），4ω=（反，反），则 A=“至少出现一个正面”={123,,ωωω}；B=“最多出现一个正面”={234,,ωωω}；C=“恰好出现一个正面”={23,ωω}；D=“出现两面相同”={14,ωω}。 （２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：
《随机事件及其概率》教学设计 【教学目标】 知识与技能： 1．了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及随机事件的发生存在规律性. 2．理解随机事件的概率的统计定义. 过程与方法： 通过概率统计定义的形成过程，提高探究问题、分析问题的能力，体会归纳过程，掌握对实验数据进行有效的分析和处理的方式和方法. 情感态度价值观： 通过概念的形成过程，渗透归纳思想，优化思维品质，体会“实践出真知”的含义，了解偶然性寓于必然性之中的辩证唯物主义思想. 教学重点：了解随机现象及其概率的意义. 教学难点：概率定义的形成过程. 【教学方法】 教学方法：引导发现法直观演示法 学习指导：学会学习 【教学手段】通过多媒体辅助教学 【教学过程】 一、问题情境： （1）、生活中到处充斥着随机现象，大到国计民生，小到日常生活，如08春节雪灾、四川地震、前不久英法核潜艇相撞事故；我们身边的出行、考试合格率、掷硬币、投骰子、摸彩票等等。随机事件的结果虽然无法预知，但是如果能够通
过数据加以衡量其发生可能性的大小，就可以采取有针对性的措施，做好预案，兴利除弊。那么，可以通过什么加以衡量随机事件发生可能性的大小呢？ （2）、物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映. 引入课题：《随机事件及其概率》 例1试判断以下事件发生的可能性（必然发生?不可能发生？有可能发生？）（1）木柴燃烧，产生热量； （2）明天,地球仍会转动； （3）实心铁块丢入水中,铁块浮； （4）在标准大气压00C以下，雪融化； （5）转动转盘后，指针指向黄色区域； （6）两人各买1张彩票，均中奖. 二、概念提炼 我们将（1）（2）称作必然事件.（3）（4）称作不可能事件.（5）（6）称作随机事件.请学生归纳出这三种事件的定义.强调“在一定条件下”. 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件. 分析事件（5）的条件和结果，给出试验的定义：在数学里对于某个事件让它的条件实现一次就称为做了一次试验. 引导学生分析随机事件和试验结果的关系：一个随机事件包括试验结果的一个或多个但不是全部. 三、试验研究随机事件发生的频率
随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.
（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n =为事件A 出现的频率.
§12.1 随机事件的概率 会这样考 1.考查随机事件的概率，以选择或填空题形式出现；2.考查互斥事件、对立事件的概率；3.和统计知识相结合，考查概率与统计的综合应用． 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件． (4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S 的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C …表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3． 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． ③事件A 的对立事件一般记为A , 则P (A )＝1－P (A ) [难点正本 疑点清源] 1．频率和概率 (1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次 数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率． (2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法． 2．互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验， 结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3 7 ；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，3 7 是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两 个不同的概念． 2．在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P (A )与m n 的关系是( ) A ．P (A )≈m n B ．P (A )
第25章《随机事件的概率》单元导学计划 一、课标要求： 1．理解什么是必然事件、不可能事件和随机事件； 2．在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象发生可能性大小的数学概念，理解概率的取值范围的意义。 3.能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率； 4．能够通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。 5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。了解进行模拟实验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟实验。 二、教学目标： 1、理解什么是必然事件、不可能事件和随机事件。 2、概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法），利用频率估计概率。中心内容是体会随机观念和概率思想。 3、能够判断一个事件是必然会发生的事件、不可能发生的事件还是随机事件。 4、列表法及画树形图。 三、重点、难点： （1）注重知识间的联系与综合 从抽签和掷骰子试验出发引出概率的概念，用掷币试验介绍用频率估计概率的方法，都加强了概率与统计的联系。 （2）注重探索结论注意通过解决具体问题获得对概率的理解，掌握用列举法求概率的方法以及用频率估计概率的方法。 （3）注重联系实际
1. 从实际出发引入有关内容：概率的概念也是结合掷骰子等试验帮助学生理解的 2. 运用有关内容解决实际问题：用列举法可以求出许多实际问题中的概率，还特意安排课题学习的内容，使学生对概率的应用有进一步的体会。 第30课时 教学内容：25.1在重复试验中观察不确定现象(1) 教学目标： 知识与技能目标： 了解随机事件、必然事件、不可能事件、确定事件等基本概念 过程与方法目标： 通过事列，了解随机事件、必然事件、不可能事件、确定事件等基本概念 情感态度与价值观： 通过事列，体会学习数学的乐趣。 教学重点：随机事件、必然事件、不可能事件等基本概念。 教学难点：形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力。 教学关键：随机事件、必然事件、不可能事件等基本概念。 教学过程
《概率论与数理统计》课后练习（一） 第一章§1-1随机事件与概率 班级 姓名 学号 成绩 一．填空题（每空0.3分,共计3分） 1．十件产品中有三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录 抽取的次数；则样本空间=Ω____________________。 2．十件产品中三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录抽 取到的正品数；则样本空间=Ω_______________ 。 3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取出4 只，观察它们具有颜色的 种数。则样本空间=Ω______________________。 4. 某学生做了4道习题，以i A 表示事件“他第i 道题做对” )4,3,2,1(=i ，试用i A 表示 下列事件：=A “他至少有一道题做对”=____________________；=B “他恰好有一道题 做对”= ；=C “这4道题他没有都做对”= 或= ；=D “他至少有两道做对”= ； =E “他前两道题都做对，后两道题至少有一道做错”= 或 。 二． 单项选择题（每小题0.5,共计1.5分） 1. 从一批产品中任取5件，事件A 表示“这5件中至少有一件废品”，事件B 表示“这5 件都是合格品”，则AB 表示（ ）。 )(A 必然事件 )(B 不可能事件 )(C 抽取5件均为合格品 )(D 所抽5件均为废品 2. 以A 表示事件“甲种产品畅销或乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ ）。 （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销” （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3. 对于任意事件A 和B ，则与B B A =+不等价的是（ ）。 )(A B A ? )(B A B ? )(C φ=B A )(D φ=B A 二．证明题（本题0.5分） 1. 证明：AB A B A B A -==- 作业:一、1,4 二、2
<随机事件及其概率>教案 （一）教学目标： 1、知识目标： 使学生掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念及概率的统计定义，并了解实际生活中的随机现象，能用概率的知识初步解释这些现象 2、能力目标： 通过自主探究，动手实践的方法使学生理解相关概念，使学生学会主动探究问题，自主实践，分析问题，总结问题。 3、德育目标： 1.培养学生的辩证唯物主义观点. 2.增强学生的科学意识 （二）教学重点与难点： 重点：理解概率统计定义。 难点：认识频率与概率之间的联系与区别。 （三）教学过程： 一、引入新课： 试验1：扔钥匙，钥匙下落。 试验2：掷色子，数字几朝上。 讨论：下列事件能否发生？ (1)“导体通电时,发热”---------------必然发生(2)“抛一石块,下 落”---------------必然发生 (3)“在常温下,铁熔化” -------------不可能发生 (4)“某人射击一次，中靶” -----可能发生也可能不发生(5)“掷一枚硬币，国徽朝上” -----可能发生也可能不发生(6)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化” ---不可能发生思考： 1、“结果”是否发生与“一定条件”有无直接关系? 2、按事件发生的结果，事件可以如何来分类？ 二、新授： （一）随机事件： 定义1、在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。 定义2、在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 定义3、在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： （1）扬中明年1月1日刮西北风； x （2）当x是实数时，20 （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%。 （5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签。讨论：各举一个你生活或学习中的必然事件、不可能事件、随机事件的例子 做一做:(投币实验)抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上?（两人一组） 1.你的结果和其他同学一致吗？为什么会出现这样的情况？ 2.重复试验10次并记录结果(正面朝上的次数)。（一人试验，一人记录）
习题一随机事件与概率计算 1.写出下列随机试验的样本空间：； （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数。 2.在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示： A=“至少出现一个正面”； B=“最多出现一个正面”； C=“恰好出现一个正面”； D =“出现三面相同”。 3.对飞机进行两次射击，每次射一次弹，设A={恰有一弹击中飞机}，B={至少有一弹击中飞机}，C={两弹都击中飞机}，D={两弹都没击中飞机}。又设随机变量X为击中飞机的次数，试用X表示事件A，B，C，D。进一步问A，B，C，D中哪些是互不相容的事件？哪些是对立的事件？ 4．试问下列命题是否成立？ （1）A—（B—C）=（A—B）∪C； （2）若AB≠?且C A ,则BC=?； （3）（A∪B）—B=A； （4）（A—B）∪B=A。 5.抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率。 6.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。 7.掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7； （2）点数之和不超过5；
（3）两个点数中一个恰是另一个的两倍。 8.从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率： （1）全是黑桃； （2）同花； （3）没有两张同一花色； （4）同色。 9.设5个产品中3个合格品、2个不合格品。从中不返回地任取2个，求取出的2个全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 10.从n个数1,2，……，n中任取2个，问其中一个小于k（1 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ； （2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375 .0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72 .0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48 344=??个，所以出现奇数的概率为 48 .0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48 454542=?+?+?，所以该数大于 330的概率为 48 .0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为 33 8412 1 3 1 42 5= C C C C ； 第25章达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列事件中，是必然事件的是() A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有2个人生肖相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨 2．在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为() A.3 10 B. 1 10 C. 1 9 D. 1 8 3．已知一个布袋里装有2个红球、3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其他 都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为1 3，则a等于() A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动转盘，转盘停止后，指针落在有阴影的区域内的概率为a(若指针落在分界线上，则重转)；如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为b.关于a，b大小的正确判断是() A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不能判断 5．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是() A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率C．抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3的概率 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率 6．在数－1，1，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y＝x －2的图象上的概率是() A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 7．义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名这两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是() A.3 5 B. 7 10 C. 3 10 D. 16 25 8．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为() A.1 5 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示． 版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，， 如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义 一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时知识内容 板块二.随机事件的概率计算 就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =． 若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式： 若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++． 事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-． <教师备案> 1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断． 2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率． 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形． 主要方法： 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 学习目标： 1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念。 2.理解概率的概念和意义。 学习重点与难点：对概率定义的初步理解。 学习过程：自学指导1:看课本125页到127页问题3上面的内容。 自学检测（1）： 1、在一定条件下，有些事件____________________, 这样的事件称为必然事件。 2、在一定条件下，有些事件____________________, 这样的事件称为不可能事件。___________和____________统称为确定事件。 3、在一定条件下，有些事件__________________________________的事件，称为随机事件。 4.必然事件发生的可能性是，不可能事件发生的可能性是________,随机事件发生的可能性. 学习过程：自学指导2:看课本127页到131页问题3上面的内容 自学检测（2）： 1、对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的_________,称为随机事 件A发生的概率。 2、一般地，如果在一次试验中，有______种可能的结果，并且它们发生的可能 性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率 P(A)= 。 达标测试 1.（梅州）下列事件中，必然事件是（） Ａ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．黑暗中从一串不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门 Ｃ．通常情况下，水往低处流 Ｄ．上学的路上一定能遇到同班同学 2．(台州市)下列事件是随机事件的是（） A ．台州今年国庆节当天的最高气温是35℃ B ．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 C ．抛掷一石头，石头终将落地 D ．有一名运动员奔跑的速度是20米/秒 3.（甘肃省白银市）如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个 圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是（ ） A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 4.(湘潭) 将五张分别印有北京2008年奥运会吉祥物 “贝贝，晶晶，欢欢，迎 迎，妮妮”的卡片（卡片的形状、大小一样，质地相同）放入盒中，从中随机抽取一张卡片印有“妮妮”的概率为（ ） A. 1 2 B. 13 C. 14 D. 15 5、（宜宾市）一个口袋中装有4个红球,3个绿球,2个黄球,每个球除颜色外其它都相同,搅均后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是 ( ) A. 9 4 B. 92 C. 3 1 D. 3 2 6.（广东湛江市）从n 个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是 12 ，则n 的值是（ ） A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 1 7．数学试卷的选择题都是四选一的单项选择题，小明对某道选择题完全不会做，只能靠猜测获得结果，则小明答对的概率是 8. ( 宁夏回族自治区)从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的 九年级数学上册第25章随机事件的概率25.2随机事件的概率1概率及其意义教案（新版）华东师大版 1.概率及其意义 1．知道随机事件发生的可能性是有大小的． 2．理解、掌握概率的意义及计算． 3．会进行简单的概率计算及应用． 一、情境导入 一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是否公平． 二、合作探究 探究点一：可能性的大小 【类型一】可能性大小的意义的理解 气象台预报“本市明天降雨可能性是80%”．对此信息，下列说法正确的是( ) A．本市明天将有80%的地区降雨 B．本市明天将有80%的时间降雨 C．本市明天肯定下雨 D．本市明天降水的可能性比较大 解析：一个事件的发生的可能性的范围在0～1，80%应该是比较大，所以“本市明天降雨可能性是80%”是指“本市明天降雨的可能性比较大”．故选D. 方法总结：某事发生的可能性大小是指其发生的概率大小． 【类型二】利用面积关系判断可能性大小 在如图所示(A，B，C三个区域)的图形中随机撒一把豆子，豆子落在________区域的可能性最大(填A或B或C)． 解析：先分别算出A ，B ，C 三部分的面积，面积最大的就是豆子落入可能性最大的．S C ＝π×22＝4π，S B ＝π(42－22)＝12π，S A ＝π(62－42 )＝20π，由此可见，A 的面积最大，则豆子落入可能性最大，故填A . 探究点二：概率 【类型一】概率的简单计算 小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9 个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是( ) A. 120 B.15 C.14 D.13 解析：总共有20种情况，抽中数学题有5种可能，所以是520＝1 4，故选择C. 方法总结：等可能性事件的概率的计算公式：P (A )＝n m ，其中m 是总的结果数，n 是该事件成立包含的结果数． 【类型二】利用面积求概率 一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概 率是( ) A.13 B.12 C.34 D.23 解析：观察这个图可知：阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的13，故其概率为1 3.故选 A. 方法总结：当某一事件A 发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，概率的计算 方法是事件A 所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即 P (A )＝ 事件A 所占图形面积 总图形面积 .概率的求法关键是要找准两点：(1)全部情况的总数；(2)符合条 件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 三、板书设计 2020-2021学年人教版高一数学下册新考向多视角同步训练专项训练卷（五）随机事件的概率计算问题 试卷满分：150分考试时长：120分钟 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1．（2021·辽宁高三其他模拟（文））随着高中新课程改革的不断深入，数学高考试题的命题形式正在发生着变化，哈市某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题．每道多项选择题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．某同学遇到一道不会做的多选题，他只想选两个或三个选项，若答案恰为三个选项时，该同学做对此道题目的概率为（） A． 1 15 B． 1 11 C． 1 10 D． 1 4 2．（2021·全国高三专题练习（文））对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法.只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作.已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙，丙，丁，戊四位密切接触者，现把这四个人平均分成二组，分别送到两个医院进行隔离观察，则乙，丙两人被分到同一个医院的概率为（） A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．（2020·广东中山市·高二期末）五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是1 3 、 1 4 、 1 5 ，假定三人 的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（） A．59 60 B． 3 5 C． 1 2 D． 1 60 4．（2020·全国高三专题练习（理））某校高三年级有男生410人，学号为001，002，，410；女生290人，学号为411，412，，700.对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030）；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是（） 数学随机事件与概率知识点归纳 一、随机事件 主要掌握好（三四五） （１）事件的三种运算：并（和）、交（积）、差；注意差Ａ－Ｂ可以表示成Ａ与Ｂ的逆的积。 （２）四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 （３）事件的五种关系：包含、相等、互斥（互不相容）、对立、相互独立。 二、概率定义 （１）统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率； （２）古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件Ａ所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率； （３）几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件Ａ看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算； （４）公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到［０，１］的映射。 三、概率性质与公式 （１）加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); （２）差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果Ｂ包含于Ａ，则 P(A-B)=P(A)-P(B); （３）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果Ａ与Ｂ相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); （４）全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因； 如果一个事件Ｂ可以在多种情形（原因）A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求Ｂ发生的概率；如果事件Ｂ已经发生，要求它是由Ａj引起的概率，则用贝叶斯公式． （５）二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验（三个条件：n次重复，每次只有Ａ与Ａ的逆可能发生，各次试验结果相互独立）时，要考虑二项概率公式． 25.2.3列举所有机会均等的结果 知识点1利用树状图法求概率 1．［2017·河南］如图25－2－11是一次数学活动制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为() 1 1 1 A. B. C. D. 8 6 4 1 2 图25－2－11 2．［2017·南宁］一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5 的概率为() 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 1 2 3．［2017·泰安］袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为() 1 5 7 A. B. C. D. 4 16 16 1 2 4．［2017·德州］淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生 物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么她们两人都抽到物理 实验的概率是________． 5．小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色，1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率． 知识点2利用列表法求概率 6．［教材“问题5”变式］一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个 绿球，随机从中摸出1个球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出1个球，则两次都摸到红球的概率是() 3 9 9 A . B. C. D. 10 25 20 3 5 7．［2016·济南］某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是() 1 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
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