第七章 微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=
5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程；
教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§7. 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.
例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)
x dx
dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:
x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)
把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)
?=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)
其中C 是任意常数.
把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得
2=12+C ,
由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式
4.02
2-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:
t =0时, s =0, 20==
dt
ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)
把(4)式两端积分一次, 得
14.0C t dt
ds v +-==; (6) 再积分一次, 得
s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)
这里C 1, C 2都是任意常数.
把条件v |t =0=20代入(6)得
20=C 1;
把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.
把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得
v =-0.4t +20, (8)
s =-0.2t 2+20t . (9)
在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
504
.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程
s =-0.2?502+20?50=500(m ).
几个概念:
微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.
偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,
y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,
y (n ) +1=0,
一般n 阶微分方程:
F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0.
y (n )=f (x , y , y ', ? ? ? , y (n -1) ) .
微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =?(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,
F [x , ?(x ), ?'(x ), ? ? ?, ?(n ) (x )]=0,
那么函数y =?(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ? ? ?, y (n ) )=0在区间I 上的解.
通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.
初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如
x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .
一般写成
00y y x x ==, 0
0y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.
如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为
?
??=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.
例3 验证: 函数 x =C 1cos kt +C 2 sin kt 是微分方程 022
2=+x k dt x d 的解. 解 求所给函数的导数:
kt kC kt kC dt
dx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 21222122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dt
x d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.
这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程
022
2=+x k dt x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dt x d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0
的特解.
解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得
C 1=A .
再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得
C 2=0.
把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得
x =A cos kt .
作业：P298：4
§7. 2 可分离变量的微分方程
观察与分析:
1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得
y =x 2+C .
一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.
因为y 是未知的, 所以积分?
dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.
为求通解可将方程变为
xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C
x y +-=21, 可以验证函数C
x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成
g (y )dy =f (x )dx
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)
内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。
常微分方程教学设计 第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的
阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
微分方程教案
微分方程的基本概念 引言 大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数?Skip Record If...?，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。为此今天我们来学习微分方程的基本概念。下面我们从一张图片开始来认识他们。 一、问题的提出 我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。 案例1 (战机的安全着陆)我国新型战机——歼二十，质量为m，以速度?Skip Record If...?着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？ 要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。 解：设飞机质量为?Skip Record If...?，着陆速度为?Skip Record If...?，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为?Skip Record If...?，飞机的速度为
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2 +y 2 =a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y ' +x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程：() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§7. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ? =xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.02 2-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件: t =0时, s =0, 20== dt ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0 =20. (5)
常微分方程课程教学 大纲
常微分方程课程教学大纲 英文名称：Ordinary differential equation 课程类 型： 专业基础课 理论学时：64实验学 时： 学分： 4 开课学 期： 第3学期 适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方 式： 考试 先修课 程： 数学分析、高等代数与解析几何 一、课程简介 常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程. 二、课程教学目标 本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 第一章绪论 主要内容： 1、常微分方程基本概念; 2、导出微分方程的实例; 3、微分方程的几何意义。 基本要求和教学重点：
1、了解常微分方程的基本概念； 2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容； 3、了解常微分方程的实际背景及应用。 第二章初等积分法 主要内容： 1、变量分离方程； 2、齐次方程； 3、一阶线性方程与常数变易法； 4、全微分方程与积分因子； 5、一阶隐式微分方程。 基本要求和教学重点： 1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法. 2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力； 3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。 第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容： 1、解的存在性与唯一性定理 2、解的延拓 3、解对初值和参数的连续依赖性 4、解对初值和参数的可微性 基本要求和教学重点： 1、熟悉和理解定理证明方法； 2、掌握逐步逼近法。 第四章高阶线性微分方程 主要内容： 1、高阶线性微分方程的一般理论； 2、高阶常系数线性齐次方程的解法； 3、高阶常系数线性非齐次方程的解法； 4、变系数线性微分方程。 5、幂级数解法 基本要求和教学重点： 1、理解和掌握关于线性方程解的基本性质；
第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？
微分方程的基本概念 引言 大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数()f x ，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。为此今天我们来学习微分方程的基本概念。下面我们从一张图片开始来认识他们。 一、 问题的提出 我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。 案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼二十，质量为m ，以速度0v 着陆 降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？ 要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。 解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机 的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻力为()kv t ，其中k 为阻力系数。
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
常微分方程第三版答 案
习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）
常微分方程课程教学大纲 英文名称：Ordinary differential equation 课程类型：专业基础课 理论学时：64实验学时：0 学分： 4 开课学期：第3学期 适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方式：考试 先修课程：数学分析、高等代数与解析几何 一、课程简介 常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程. 二、课程教学目标 本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 第一章绪论 主要内容： 1、常微分方程基本概念; 2、导出微分方程的实例; 3、微分方程的几何意义。
基本要求和教学重点： 1、了解常微分方程的基本概念； 2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容； 3、了解常微分方程的实际背景及应用。 第二章初等积分法 主要内容： 1、变量分离方程； 2、齐次方程； 3、一阶线性方程与常数变易法； 4、全微分方程与积分因子； 5、一阶隐式微分方程。 基本要求和教学重点： 1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法. 2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力； 3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。 第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容： 1、解的存在性与唯一性定理 2、解的延拓 3、解对初值和参数的连续依赖性 4、解对初值和参数的可微性 基本要求和教学重点： 1、熟悉和理解定理证明方法； 2、掌握逐步逼近法。
云南师大数学学院 数学与应用数学专业课程教学大纲 [课程名称] 常微分方程（Ordinary Differential Equation） [课程编码] 08T103070 [课程类别] 学科基础课程 [课时] 51 [学分] 3 [课程性质、目标和要求] 《常微分方程》是云南师范大学数学与应用数学专业本科必修课中的一门学科基础课程。该课程针对云南师范大学数学与应用数学所有专业的本科学生。本课程是微分方程学科的基础，是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，是一门理论和应用紧密结合的重要课程。本课程是常微分方程稳定性理论、偏微分方程、微分方程数值解法、数学模型等应用数学各后继课程的基础。要求先修数学分析，高等代数和解析几何三门课程。 《常微分方程》的教学目的是：通过该课程的教学，使学生掌握常微分方程的基本概念，基本理论和求解的基本方法，让学生学习建立和解决微分方程模型的思想方法，从而训练其数学思维、应用意识和分析解决实际问题的能力。 《常微分方程》的教学要求是：重点讲授一阶方程的初等积分法，线性方程和方程组解的基本理论与方法，证明一阶方程初值问题解的存在唯一性的逐次逼近法思想。 [教学时间安排] 本课程计 3 学分，51学时，学时分配如下：
[教学内容要点] 第一章绪论 一、学习目的要求 初步了解常微分方程的物理背景和其它实际背景，掌握方程建立的基本步骤和基本概念；了解常微分方程课程要讨论的基本问题和任务。 二、主要教学内容 1. 微分方程：某些物理过程的数学模型 2. 基本概念 三、课堂讨论选题 无 四、课外作业选题 1．习题1.2 ： 1—9题 2．习题2.5 ： 33题 第二章一阶微分方程的初等解法 一、学习目的要求 掌握一阶微分方程的初等积分法，熟练掌握：分离变量法、常数变易法和积分因子法；掌握特殊的一阶隐式方程的解法；会用已有知识建立常微分方程模型，并利用数学软件解决一些简单的问题。 二、主要教学内容
教学大纲 一、教学目的、任务 常微分方程历来是综合性大学数学系各专业的核心基础课程，不仅是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用. 通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力. 实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析，培养学生的动手能力和创新意识. 二、教学内容的结构 分为六章内容讲解，具体地： 1.微分方程建模（8学时）; 2.初等积分法(12学时); 3.线性系统(8学时); 4.常系数线性系统(12学时，包括若干振动问题4学时); 5.一般理论(12学时); 6.定性理论初步(12学时). 三、单元教学目标与任务 第一章绪论 1、基本内容 (1) 常微分方程模型（含Duffing机械振动、Van de Pol电磁震荡、天 文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）; (2) 微分方程求解思想（解的定义、高阶方程与一阶方程组的互化， 微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）; (3) 微分方程的基本问题（通解的概念，“线性”与“非线性”微分方程）. 2、基本要求 (1) 了解微分方程的背景和建模过程; (2) 理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件;
(3) 掌握高阶方程与一阶方程组的互化; (4) 理解等倾线与方向场与解的关系. 3、建议课时（8学时） (1) 常微分方程模型(2学时); (2) 微分方程求解思想(4学时); (3) 基本问题(1学时); (4) 习题课(1学时). 第二章初等积分法 1、基本内容 (1) 变量分离形式（含初等变换应用、一阶线性方程、伯努里方程、 齐次方程和线性分式方程求解）; (2) 恰当方程形式（对恰当方程求通积分，以及积分因子法）; (3) 隐式方程（微分法与参数法）; (4) 初等积分法的一些应用（奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问 题，Clairaut方程，高阶微分方程，平面保守系统，Riccati方程）. 2、基本要求 (1) 掌握分离变量法和积分因子法; (2) 理解恰当方程的条件; (3) 掌握一阶线性方程和伯努里方程求解，掌握求解隐式微分方程微 分法与参数法; (4) 了解奇解与包络. 3、建议课时（12学时） (1) 变量分离形式及习题课(4学时); (2) 恰当方程形式及习题课(3学时); (3) 隐式方程(2学时); (4) 初等积分法的一些应用及习题课(3学时). 第三章线性方程 1、基本内容 (1) 存在性与唯一性; (2) 齐次线性方程组的通解结构（含叠加原理、Wronsky行列式及 Liouville定理）;