第七章 微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程：()
()n y
f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=
5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程()
()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；
教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§7. 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律
性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.
例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)
x dx
dy
2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:
x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)
?
=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.
把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C ,
由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式
4.02
2-=dt
s d . (4)
此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件: t =0时, s =0, 20==
dt
ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0
=20. (5)
把(4)式两端积分一次, 得 1
4.0C t dt
ds v +-==
; (6)
再积分一次, 得
s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7) 这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件v |t =0=20代入(6)得 20=C 1;
把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2. 把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得
v =-0.4t +20, (8) s =-0.2t 2+20t . (9) 在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504
.020==
t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s =-0.2?502+20?50=500(m ). 几个概念:
微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:
F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ? ? ? , y (n -1) ) .
微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =?(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ?(x ), ?'(x ), ? ? ?, ?(n ) (x )]=0,
那么函数y =?(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ? ? ?, y (n ) )=0在区间I 上的解.
通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.
初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成
00y y x x ==, 0
0y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为
?
??=='=00)
,(y y y x f y x x .
积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.
例3 验证: 函数 x =C 1cos kt +C 2 sin kt 是微分方程
022
2=+x k dt x d 的解.
解 求所给函数的导数:
kt kC kt kC dt
dx cos sin 2
1+-=,
)sin cos (sin cos 2
1222122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=.
将22dt
x d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.
这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt
x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dt
x d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0 的特解.
解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得 C 1=A .
再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得 C 2=0.
把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得
x =A cos kt . 作业：P298：4
§7. 2 可分离变量的微分方程
观察与分析:
1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C .
一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?
)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.
因为y 是未知的, 所以积分?
dx xy 22无法进行, 方程两边直
接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为xdx dy y 212
=, 两边积分, 得
C x y +=-
21, 或
C
x y +-=21,
可以验证函数C
x y +-
=21是原方程的通解.
一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx
形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C ,
由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程:
一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0
在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.
若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有
),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有
)
,(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y ))
的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.
讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.
(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x
y y x y +=
'. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:
第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;
第二步 两端积分:?
?=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )
G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程
xy dx
dy
2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
xdx dy y
21=, 两边积分得
即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2
11
2
x C C x
e e e y ±=±=+.
因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2
x Ce y =.
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数
dt
dM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程
M dt
dM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0 dM . 由题意, 初始条件为 M |t =0=M 0. 将方程分离变量得 dt M dM λ-=. 两边积分, 得 ? ?-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C , 所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt . 例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为 kv mg dt dv m -=, 初始条件为 v |t =0=0. 方程分离变量, 得 两边积分, 得 ??=-m dt kv mg dv , 1 )ln(1C m t kv mg k += --, 即 t m k Ce k mg v -+=(k e C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k mg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k mg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dx dy +++=的通解. 解 方程可化为 )1)(1(2y x dx dy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112 +=+, 两边积分得 ??+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=22 1arctan . 于是原方程的通解为)2 1tan(2C x x y ++=. 作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 §7. 3 齐次方程 齐次方程: 如果一阶微分方程 ),(y x f dx dy =中的函数f (x , y )可写成 x y 的函数, 即)(),(x y y x f ?=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？ (1)022=---'x y y y x 是齐次方程.1)(22 2-+=?-+=?x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2 2 11y y x -='-不是齐次方程.2 2 11x y dx dy --=?. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0 是齐次方程. x y y x dx dy xy y x dx dy +=?+=?22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.1 4 2-+-+- =? y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy x y x dx x y y x y x 是齐次方程. x y x y dx dy x y x x y y x y x dx dy +=?+=? th 32ch 3ch 3sh 2 齐次方程的解法: 在齐次方程)(x y dx dy ?=中, 令x y u =, 即y =ux , 有 )(u dx du x u ?=+, 分离变量, 得 x dx u u du =-)(?. 两端积分, 得 ??=-x dx u u du )(?. 求出积分后, 再用x y 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成 1)(222 -=-=x y x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令u x y =, 则 y =ux , dx du x u dx dy +=, 于是原方程变为 12-=+u u dx du x u , 即 1 -=u u dx du x . 分离变量, 得 x dx du u = -)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |, 或写成ln|xu |=u +C . 以 x y 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C x y y += ||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程. 解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM , 因为 x y y OP PM OP AP OA -' =-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程 22y x x y y +=-' , 整理得 1)(2++=y x y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程 1)(2++=y x y x dy dx . 令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dy dv y , 分离变量, 得 y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v = ++?12, 1)(22+=-?v v C y , 1222=-C yv C y , 以yv =x 代入上式, 得)2 (22C x C y + =. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 )2 (222C x C z y + =+. 这就是所求的旋转曲面方程. 例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度 ) ,( ) ,(dt dy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =. 另一方面, ) ,( )0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2 222y x by y x bx a +-+-=v . 因此 y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即 y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程 y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令 u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u b a dy du y , 分离变量, 得 dy by a u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y a b u +-=, 将y x u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy C x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得h C 1= , 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a h y h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y a b u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y a b y x +-= a b Cy y x -=?)ln(sh ])()[(2 1a b a b Cy Cy y x -=?- ])()[(2 a b a b Cy Cy y x -=?-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=?. 作业：P309：1（1）（3）（5），2 §7.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程 )()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程 0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?02 1=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4) y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32 =++x dx dy y ?0)1(23=+- y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-) 2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy , 两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为 y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ? ='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +? =? )()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +?? =? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+? =--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25 )1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程01 2=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得 25 22 )1()1(1 2)1(2)1(+=+?+- +?++?'x x u x x u x u 2 1 )1(+='x u , 两边积分, 得 C x u ++=23 )1(3 2. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(3 2[)1(23 2 C x x y +++=. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ). 解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L -. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di L E , 即 L E i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得 t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为 i |t =0=0. 方程t L E i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得 ] )([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +??=?-) sin ( C dt e t L E e dt L R m dt L R +? ?=?-ω )sin (C dt te e L E t L R t L R m +=?-ω t L R m Ce t L t R L R E -+-+=) cos sin (2 22ωωωω. 其中C 为任意常数. 将初始条件i |t =0=0代入通解, 得2 22 L R LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为 ) cos sin ( )(2 22222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 n y x Q y x P dx dy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程. 下列方程是什么类型方程？ (1)4)21(31 31y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ?5xy y dx dy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ?11-=-'xy y x y , 是伯努利方程. (4) x xy dx dy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 例4 求方程 2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得 x a y x dx dy y ln 11 2 =+--, 即 x a y x dx y d ln 1)(1 1=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为 x a z x dx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2 [2x a C x z -=. 以y -1代z , 得所求方程的通解为 1])(ln 2 [2=-x a C yx . 经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程 y x dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为 y x dy dx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为 u dx du 11=-, 即u u dx du 1+=. 分离变量, 得 dx du u u =+1 , 两端积分得 u -ln|u +1|=x -ln|C |. 以u =x +y 代入上式, 得 y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1. 作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2） §7. 5可降阶的高阶微分方程 一、y (n )=f (x )型的微分方程 解法: 积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=? -, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=?? -, ? ? ?. 例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解. 解 对所给方程接连积分三次, 得 12sin 2 1C x e y x +-='', 212cos 4 1C x C x e y x +++=', 322122 1sin 81C x C x C x e y x ++++=, 这就是所给方程的通解. 或 122sin 2 1C x e y x +-='', 2122cos 4 1C x C x e y x +++=', 32212sin 8 1C x C x C x e y x ++++=, 这就是所给方程的通解. 例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律. 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为 )(22t F dt x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而 )1()(0T t F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为 )1(022T t m F dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0 ==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得 120)2(C T t t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得 213 20)621(C t C T t t m F x ++-=. 由初始条件x |t =0=0, 0|0 ==t dt dx , 得C 1=C 2=0. 于是所求质点的运动规律为 )621(3 20T t t m F x -=, 0≤t ≤T . 二、y ''= f (x , y ')型的微分方程 解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ). 设p '=f (x , p )的通解为p =?(x ,C 1), 则 ),(1C x dx dy ?=. 原方程的通解为 21),(C dx C x y += ??. 例3 求微分方程 (1+x 2)y ''=2xy ' 满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3 的特解. 解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有 dx x x p dp 212+=. 两边积分, 得 ln|p |=ln(1+x 2)+C , 即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ). 由条件y '|x =0=3, 得C 1=3, 所以 y '=3(1+x 2). 两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2. 又由条件y |x =0=1, 得C 2=1, 于是所求的特解为 y =x 3+3x +1. 例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 三、y ''=f (y , y ')型的微分方程 解法: 设y '=p ,有 dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''. 原方程化为 ),(p y f dy dp p =. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =?(y , C 1), 则原方程的通解为 21),(C x C y dy +=??. 例5 求微分yy ''-y '2=0的通解. 解 设y '=p , 则dy dp p y ='', 代入方程, 得 02 =-p dy dp yp . 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得 y dy p dp =. 两边积分得 ln|p |=ln|y |+ln c , 即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ). 再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为 ln|y |=Cx +ln c 1, 或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1). 作业：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5） §7. 6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点. 给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ). 设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .
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