1
1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 0
1
1 3
3 2 1
4
第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化
(1) (a 1, a 2, a 3) 1 1 1
1 2 4
1 3 9
解 根据施密特正交化方法
1 b 1 a 1
1 1
[b ,a ] 1 b a 1 2
b 0 2 2 [b ,b ] 1
1
1 1
1 b a [b 1,a 3] [b 2,a 3]b 1
2
3 3 [b ,b ] 1 [b ,b ] 2
3 1 1 1 2 2
(2) (a 1, a 2, a 3)
解 根据施密特正交化方法
1 0 b 1 a 1
1 1
b 2 a 2
[b 1,a 2]b [b ,b ] 1
1 1
b a [b 1,a 3]b 1
[b 2,a 3] 1 3
3 3
[b ,b ] 1 b [b ,b ]
2 5
3 1 1 2 2
1 8 4 9 9 9 8
1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9
2 下列矩阵是不是正交阵:
1
1 1
2 3
(1) 1 1 2 1 2 ; 1 1 1
3 2
解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵
(2)
解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为 正交阵
3 设 x 为 n 维列向量 x T x 1 令 H E 2xx T 证明 H 是对称 的正交阵
证明 因为
H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T
E 2(x T )T x T E 2xx T
所以 H 是对称矩阵
因为
H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T )
E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T
E
所以 H 是正交矩阵
4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵
证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A 1 A T B 1 B T
(AB)T(AB) B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:
2 1 2
(1) 5 3 3 ;
1 0 2
2 l 1 2
解| A lE | 5 3 l 3 (l 1)3
1 0
2 l
故A 的特征值为l 1(三重)
对于特征值l 1 由
3 A E 5
1
1 2
2 3 ~
0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得方程(A E)x 0 的基础解系p1 (1 1 1)T 向量p1 就是对应于特征值l 1 的特征值向量.
(2) 1 2 3
2 1
3 ;
3 3 6
1 l
2 3
解| A lE | 2 1 l 3
3 3 6 l
l(l1)(l 9) 故A 的特征值为l1 0 l2 1 l3 9
对于特征值l1 0 由
1 2 3
A 2 1 3 ~
3 3 6 1 2 3 0 1 1 0 0 0
得方程A x 0 的基础解系p1 ( 1 1 1)T 向量p1 是对应于特征值l1 0 的特征值向量.
对于特征值l2 1, 由
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
对于特征值l3 l4 1 由
1 0 0 1
A E 0 1 1 0
0 ~
2 2 3
A E 2 2 3 ~
3 3 7 2 2 3 0 0 1 0 0 0
得方程(A E)x 0 的基础解系p2 ( 1 1 0)T 向量p2 就是对应于特征值l2 1 的特征值向量
对于特征值l3 9 由
A 9E 8 2 3 1 1 1
2 8
3 ~ 0 1 1
3 3 3 0 0 2
得方程(A 9E)x 0 的基础解系p3 (1/2 1/2 1)T 向量p3 就是对应于特征值l3 9 的特征值向量
(3) .
解| A lE |l 0 0 1
0 l 1 0
0 1 l 0
1 0 0 l
(l 1)2(l1)2
故A 的特征值为l1 l2 1 l3 l4 1 对于特征值l1 l2 1 由
A E ~ 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
得方程(A E)x 0 的基础解系p1 (1 0 0 1)T p2 (0 1 1 0)T 向量p1 和p2 是对应于特征值l1 l2 1 的线性无关特征值向量
0 1 1
1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
得方程(A E)x 0 的基础解系p3 (1 0 0 1)T p4 (0 1 1 0)T 向量p3 和p4 是对应于特征值l3 l4 1 的线性无关特征值向量
6 设A 为n 阶矩阵证明A T 与A 的特征值相同
证明因为
|A T lE| |(A lE)T| |A lE|T |A lE|
所以A T 与A 的特征多项式相同从而A T 与A 的特征值相同
7 设n 阶矩阵A、B 满足R(A) R(B) n 证明A 与B 有公共的特征值有公共的特征向量
证明设R(A) r R(B) t 则r t n
若a1 a2 a n r是齐次方程组A x 0 的基础解系显然它们是A 的对应于特征值l 0 的线性无关的特征向量
类似地设b1 b2 b n t 是齐次方程组B x 0 的基础解系则它们是B 的对应于特征值l 0 的线性无关的特征向量
由于(n r) (n t) n (n r t) n 故a1 a2 a n r b1 b2 b n t 必线性相关于是有不全为0 的数k1 k2 k n r l1 l2 l n t 使
k1a1 k2a2 k n r a n r l1b1 l2b2 l n r b n r 0
记g k1a1 k2a2 k n r a n r (l1b1 l2b2 l n r b n r)
则k1 k2 k n r 不全为0 否则l1 l2 l n t 不全为0 而
l1b1 l2b2 l n r b n r 0
与b1 b2 b n t 线性无关相矛盾
因此g 0 g是A 的也是B 的关于l 0 的特征向量所以A 与B 有公共的特征值有公共的特征向量
8 设A2 3A 2E O 证明A 的特征值只能取1 或2
证明设l是A 的任意一个特征值x 是A 的对应于l的特征
向量则
(A2 3A 2E)x l2x 3l x 2x (l2 3l 2)x 0
因为x 0 所以l2 3l 2 0 即l是方程l2 3l 2 0 的根也就是说l 1 或l 2
9 设A 为正交阵且|A| 1 证明l 1 是A 的特征值证明
因为A 为正交矩阵所以A 的特征值为1 或1 因为|A|等于所有特征值之积又|A| 1 所以必有奇数个特征值为1 即l 1 是A 的特征值
10 设l 0 是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值证明l也是n 阶矩阵BA 的特征值
证明设x 是AB 的对应于l 0 的特征向量则有
(AB)x l x
于是B(AB)x B(l x)
或BA(B x) l(B x)
从而l是BA 的特征值且B x 是BA 的对应于l的特征向量
11 已知3 阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A3 5A2 7A|
解令j(l) l3 5l2 7l 则j(1) 3 j(2) 2 j(3) 3 是j(A)的特征值故
|A3 5A2 7A| |j(A)| j(1) j(2) j(3) 3 2 3 18
12 已知3 阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A* 3A 2E|
解因为|A| 1 2 ( 3) 6 0 所以A 可逆故
A* |A|A 1 6A 1
A* 3A 2E 6A 1 3A 2E
令j(l) 6l 1 3l2 2 则j(1) 1 j(2) 5 j( 3) 5 是j(A)的特征值故
|A* 3A 2E| | 6A 1 3A 2E| |j(A)|
1 0 1 r 1 0 1
( A E ) 3 0 x ~ 0 0 x 4 0 4 0 0 0
j (1) j (2) j ( 3)
1 5 ( 5) 25
13 设 A 、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相
似
证明 取 P A 则
P 1ABP A 1ABA BA
即 AB 与 BA 相似
14 设矩阵 A
解 由
2 0 1
3 1 x
4 0 5
可相似对角化 求 x
| A lE | 2 l 0 1
3 1 l x
4 0
5 l
(l 1)2(l 6)
得 A 的特征值为 l 1 6 l 2 l 3 1
因为 A 可相似对角化 所以对于 l 2 l 3 1
齐次线性方程组
(A E )x 0 有两个线性无关的解 因此 R (A E ) 1 由
3
知当 x 3 时 R (A E ) 1 即 x 3 为所求
15 已知 p (1 1
1)T 是矩阵 A
量
2 1 2 5 a
3 1 b 2
的一个特征向
(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值
解 设 l 是特征向量 p 所对应的特征值 则
2 l 1
2
1
0 (A lE )p 0 即 5 a l 3 1 0 1 b 2 l 1 0
1 1
2 r 1 0 1
A E
5 2 3 ~ 0 1
1 b 1 0 0 0
解之得 l 1 a 3 b 0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
解 由
2 l
1 2
| A lE | 5
3 l 3
(l 1)3
1
0 2 l
得 A 的特征值为l 1 l 2 l 3 1
由
1
知 R (A E ) 2 所以齐次线性方程组(A E )x 0 的基础解系只有一
个解向量 因此 A 不能相似对角化
16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角
阵:
(1)
2 2 0 2 1 2 ;
0 2 0
解 将所给矩阵记为 A 由
A lE 2 l 2 2 1 l 0 2 0
2 (1 l )(l 4)(l 2)
l
得矩阵 A 的特征值为l 1 2 l 2 1 l 3 4
对于l 1 2 解方程(A 2E )x 0 即
4 2 0 x 1
2 3 2 x 2 0
0 2 2 x 3
得特征向量(1 2 2)T 单位化得 p
(1, 2 , 2)T
1
3 3 3
对于l 2 1, 解方程(A E )x 0 即
1 2 0 x 1 2 0 2 x 2 0 2 1 x 3
得特征向量(2 1 2)
T
单位化得 p (2 , 1, 2T
2
3 3 3 对于l 3 4, 解方程(A 4E )x 0 即
2 2 0 x 1 2
3 2 x 2 0
0 2 4 x 3
得特征向量(2 2 1)T 单位化得 p
(2 ,
2 , 1)T
3
3 3 3
于是有正交阵 P (p 1 p 2 p 3) 使 P 1AP diag( 2 1 4)
(2) 2 2 2 2 5 4
2 4 5
解 将所给矩阵记为 A 由
A lE 2 l 2 2
2 5 l 4
(l 1)2(l 10)
2 4 5 l
得矩阵 A 的特征值为l 1 l 2 1 l 3 10
对于l 1 l 2 1 解方程(A E )x 0 即
1 2 2 x 1 0 2 4 4 x 2 0 2 4 4 x 3
得线性无关特征向量( 2 1 0)T 和(2 0 1)T 将它们正交化、单位 化得
p 1 ( 1
5
2, 1, 0)T
p 1 2
3 5
(2, 4, 5)T
对于l 3 10, 解方程(A 10E )x 0 即
8 2 2 x 1 0 2 5 4 x 2 0 2 4 5 x 3
3
得特征向量( 1 2 2)
T
单位化得 p 1 ( 1, 3
2, 2)T
于是有正交阵 P (p 1 p 2 p 3) 使 P 1AP diag(1 1 10)
17 设矩阵 A
1 2 4 2 x 2 与 4 2 1
5
4 相似 求 x y 并
y
求一个正交阵 P 使 P 1AP
解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然l 5 l 4 l y 是
的特征值 故它们也是 A 的特征值 因为l 4 是 A 的特征值 所
以
解之得 x 4
| A 4E | 5 2 4 2 x 4 2 4 2 5
9(x
4) 0
已知相似矩阵的行列式相同 因为
1 2 4 | A | 2 4 2
4 2 1
5
100 | |
4 y
20 y
所以 20y 100 y 5
对于l 5 解方程(A 5E )x 0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (1 2 0)T 将它们正交化、单位化得
p 1 (1, 0, 1
2
1)T
p 1 2
3 2
(1,
4, 1)T
得 p 3 对于l 4 解方程(A 4E )x 0 得特征向量(2 1 2)T 单位化
1 (2, 1, 2)T
3
1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1
0 1 1 2 0 0 1 1 0 1 3 3 1 1 1 0 2 0 1 1 1 4
5 3
2
于是有正交矩阵 P
3 0 1
4 3 3 2
使 P 1AP
2 3
18 设 3 阶方阵 A 的特征值为l 1 2 l 2 2 l 3 1 对应的特征 向量依次为 p 1 (0 1 1)T p 2 (1 1 1)T p 3 (1 1 0)T 求 A .
解 令 P (p 1 p 2 p 3) 则 P 1AP diag(2 2 1) A P P 1
因为
0 1 1 1
P
1
1 1 0
所以 A P P
1
1 1 0
0 0 1 0 1 1
4 4 2
19 设 3 阶对称阵 A 的特征值为l 1 1 l 2
1 l 3 0 对应l 1、
l 2 的特征向量依次为 p 1 (1 2 2)T p 2 (2 1
2)T 求 A
解 设 A
x 1 x 2 x 3
x 2 x 4 x 5 x 3 x 5 x 6
则 A p 1 2p 1 A p 2 2p 2 即
x 1 x 2 x 3
2x 1 2x 2 2x 3 再由特征值的性质 有
2x 2 2x 4 2x 5
x 2 x 4 x 5 2x 3 1 2x 5 2 ①
2x 6 2
2x 3 2 2x 5 1 ②
2x 6 2
由①②③解得
x 1 x 4 x 6 l 1 l 2 l 3 0
③
x 1 1 x
x 1 x
x 2 1 x
1
3 2 6 2 2 6 3 3
4 6
x 1 1 x x 2 1 x 4
3 2 6 1 5 3
4 6
2 1 2
令 x 6 0 得 x 1 3 x 2 0 x 3
3x 4 3 x 5 3
因此 A
1 0 2
1 0 1 2
3 2 2 0
20 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值l 1 6 l 2 3 l 3 3 与特征值
l 1 6 对应的特征向量为 p 1 (1 1 1)T 求 A .
解 设 A
x 1 x 2 x 3 x 2 x 4 x 5 x 3 x 5 x 6
因为l 1 6 对应的特征向量为 p 1 (1 1 1)T 所以有
1 1
A 1 6 1 1 1
x 1 x 2 即 x 2 x 4 x 3 x 5
x 3 6 x 5 6 ①
x 6 6
l 2 l 3 3 是 A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知
R (A 3E ) 1 利用①可推出
A 3E x 1 3 x 2 x 3 x 2 x 4 3 x 5 x 3 x 5 ~ x 6 3 1 1 x 2 x 4 3 x 3 x 5 1
x 5
x 6 3
因为 R (A 3E ) 1 所以 x 2 x 4 3 x 5 且 x 3 x 5 x 6 3 解之得
x 2 x 3 x 5 1 x 1 x 4 x 6 4
因此
A
4 1 1
1 4 1
1 1 4
21 设 a (a 1 a 2 a n )T a 1 0 A aa T (1)证明l 0 是 A 的 n 1 重特征值
证明 设l 是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于l 的特征 向量 则有
A x l x
l2x A2x aa T aa T x a T a A x l a T ax
于是可得l2 l a T a 从而l 0 或l a T a
设l1 l2 l n 是A 的所有特征值因为A aa T 的主对角线性上的元素为a12 a22 a n2 所以
a12 a22 a n2 a T a l1 l2 l n
这说明在l1 l2 l n 中有且只有一个等于a T a 而其余n 1 个全为0 即l 0 是A 的n 1 重特征值
(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量
解设l1 a T a l2 l n 0
因为A a aa T a (a T a)a l1a 所以p1 a 是对应于l1 a T a 的特征向量
对于l2 l n 0 解方程A x 0 即aa T x 0 因为a 0 所以a T x 0 即a1x1 a2x2 a n x n 0 其线性无关解为
p2 ( a2 a1 0 0)T
p3 ( a3 0 a1 0)T
p n ( a n 0 0 a1)T
因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为
( p , p ,, p )a
1
a
2
a
n a
2
a
1
1 2 1 4 2n
a
n
0 a
1
22 设A 解由0 3 4
0 4 3
求A100
1 l
| A lE |0
4 2
3 l 4
4 3 l
(l 1)(l5)(l 5)
得A 的特征值为l1 1 l2 5 l3 5
对于l1 1 解方程(A E)x 0 得特征向量p1 (1 0 0)T 对于l1 5 解方程(A 5E)x 0 得特征向量p2 (2 1 2)T 对于l1 5 解方程(A 5E)x 0 得特征向量p3 (1 2 1)T 令P (p1 p2 p3) 则
P 1AP diag(1 5 5)
A P P 1
A100 P 100P 1
因为
100 diag(1 5100 5100)
1 2 1 1
P 1 0 1 2
0 2 1 所以
5 0 5 1 0 1 2
5 0 2 1
A100
1 2
1 0 1
5 0 2
1 0
1
2
1
5100
1
5100
1
5100
5 0 5
0 1 2
0 2 1
0 5100
0 0
5100
23 在某国每年有比例为p 的农村居民移居城镇有比例为q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变且上述人口迁移的规律也不变把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n(x n y n 1)
(1)求关系式x n 1
y
n 1A x n
y
n
中的矩阵A
解由题意知
x n 1 x n qy n px n (1 p)x n qy n
y n 1 y n px n qy n px n (1 q)y n
则 1
可用矩阵表示为
x n 1 y n 1
1 p q x n p 1 q y n
因此
A
1 p q
p 1 q
x
0.5 (2) 设 目 前 农 村人口 与 城 镇人口 相等 即 0
y 0
x n y n
0.5
求
解 由 x n 1
y n 1
| A lE | A x n y n
1 p p 可知 x
n
y n
l q
1 q l
A n x 0
由
y 0
(l 1)(l 1
p q )
得 A 的特征值为l 1 1 l 2 r 其中 r 1 p q
对于l 1 1 解方程(A E )x 0 得特征向量 p 1 (q p )T
对于l 1 r 解方程(A rE )x 0 得特征向量 p 2 ( 1 1)T
q 1
令 P ( p 1, p 2)
p 1
P 1AP diag(1 r ) A P P 1
A n P n P 1
于是
A n
q 1 1 0 n
q 1 p 1 0 r
p 1
1 q 1 1 0 1 1 p q p 1 0 r n
p q
1 q pr n q qr n p q p pr n p qr n
x n 1 q pr n q qr n 0.5 y n
p q p pr n p qr n 0.5
1 2q( p q)r n
2( p q) 2 p(q
3 2p)r n
10 9
24 (1)设A 解由
2 3
求j(A) A 5A
| A lE | 3 l 2
2 3 l
(l 1)(l 5)
得A 的特征值为l1 1 l2 5
对于l1 1 解方程(A E)x 0 得单位特征向量1 (1, 1)T
2对于l1 5 解方程(A 5E)x 0 得单位特征向量1 (
2
1, 1)T
于是有正交矩阵P
1
1 1
使得P1AP diag(1 5)
从而A P P 1 A k P k P 1 因此
j(A) Pj( )P 1 P( 10 5 9)P 1
P[diag(1 510) 5diag(1 59)]P 1
P diag( 4 0)P 1
1
4 1 1
110 0 1 1
2 2
2 2
2 1 2
2 1 1
1 1
(2)设A 1 2 2
2 2 1
, 求j(A) A10 6A9 5A8解求得正交矩阵为
1 3 2
P 1 1 3 2
6 2 0 2 使得P 1AP diag( 1 1 5) A P P 1 于是j(A) Pj( )P 1 P( 10 6 9 5 8)P 1
1 1
2 x
x 3 2x 1x 解 f (x , y , z ) 1 1 2 y 2 2 7 z (3) f x 12 x 2 x 2 x 2
2 3 4
2x 1x 2 4x 1
1 1 2
1 x 1
1
1 3
2 x 2 解 f (x 1, x 2, x 3, x 4) 2
3 1 0 x 3 1
2 0 1
x 4
P [ 8( E )( 5E )]P 1
P diag(1 1 58)diag( 2 0 4)diag( 6 4 0)P 1
P diag(12 0 0)P 1
1 3 1 1 3 6
2 0
2 12 2 0 2 0
1 1
2
3 3 0 2 2 2
1 1
2 2 1 1 2
2 2 4
25 用矩阵记号表示下列二次型:
(1) f x 2 4xy 4y 2 2xz z 2 4yz
1 2 1 x
解 f (x , y , z ) 2 4 2 y
1 2 1 z
(2) f x 2 y 2 7z 2 2xy 4xz 4yz
4 6x 2x 3 4x 2x 4
26 写出下列二次型的矩阵
2 1 (1) f (x ) x T
3 1 x
2 1
解 二次型的矩阵为 A 3 1
(2) f (x ) 1 2 3
x T 4 5 6 x
7 8 9
2 2
3
2
1 2 3
解 二次型的矩阵为 A 4 5 6 7 8 9
27 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
(1) f 2x 1
2
3x 2
3x 33
4x 2x 3
2 0 0
解 二次型的矩阵为 A 0 3 2 由
0 2 3
A lE 2 l 0 0 0 3 l 2 0 2 3 l
(2 l )(5
l )(1 l )
得 A 的特征值为l 1 2 l 2 5 l 3 1
当l 1 2 时, 解方程(A 2E )x 0 由
0 0 0 0 1 2
A 2E 0 1 2 ~ 0 0 1
0 2 1 0 0 0
得特征向量(1 0 0)T 取 p 1 (1 0 0)T
当l 2 5 时 解方程(A 5E )x 0 由
A 5E
3 0 0 1 0 0 0 2 2 ~ 0 1 1 0 2 2 0 0 0
得特征向量(0 1 1)T 取 p (0, 1 , 2 1 )T
2
当l 3 1 时 解方程(A E )x 0 由
1 0 0 A E
0 2 2 ~ 0 2 2
1 0 0 0 1 1
0 0 0
得特征向量(0 1 1)
T
取 p
(0, 1 , 1 )T 2 2
于是有正交矩阵 T (p 1 p 2 p 3)和正交变换 x T y 使
2 2 2
f 2y 12 5y 2
y 32
(2) f x 1
2
x 2 x 3 x 4 2x 1x 2 2x 1x 4 2x 2x 3 2x 3x 4
0 1 1 1
1 0
1 1
1 l 1 0 1 1 1 l 1 0 0 1 1 l 1
2
1 1 0 1 1 1 1 0 解 二次型矩阵为 A
由
A lE 1 0 1 (l 1)(l
1 l
3)(l 1)2
得 A 的特征值为l 1 1 l 2 3 l 3 l 4 1
当l 1 1 时 可得单位特征向量 p
(1 , 1 ,
1 , 1)T
当l 2 3 时 可得单位特征向量 p 1
2
(1 , 1 , 2 2 2
1 , 1)T
2
2 2 2 2
当l 3 l 4 1 时 可得线性无关的单位特征向量
p 3 (
1 2
1 , 0)T
2
p 4 (0, 1 , 0, 2
1 )T
2 于是有正交矩阵 T ( p 1 p 2 p
3 p 4)和正交变换 x T y 使
f y 12 3y 2
y 32
y 42
28 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x 2 5y 2 5z 2 4xy 4xz 10yz 1
化成标准方程
解 二次型的矩阵为 A
3 2 2 2 5 5 2 5 5
由| A
lE | 3 l 2 2
2 5 l 5
l (l
2)(l
11)
得 A 的特征值
2 为l 1 2 l 2 11 l
3 0
5 5 l
对于l 1 2 解方程(A 2E )x 0 得特征向量(4 1 1)T 单位
化得 p 1
( 4 , 3 2
1 , 1 )
3 2 3 2
对于l 2 11 解方程(A 11E )x 0 得特征向量(1 2 2)T 单位
2
3 n
2 n 1 2 2 化得 p 2
( , , )
3 3 3
对于l 3 0 解方程 A x 0 得特征向量(0 1 1)T 单位化得
p 3 (0,
1 , 1 )
2 2
于是有正交矩阵 P (p 1 p 2 p 3) 使 P 1AP diag(2 11 0) 从而 有正交变换
1 0 x 3 u y
2 v z
3 w
使原二次方程变为标准方程
2u 2 11v 2 1
29 明 二次型 f x T A x 在||x || 1 时的最大值为矩阵 A 的最大 特征值.
证明 A 为实对称矩阵 则有一正交矩阵 T 使得
TAT 1 diag(l 1 l 2
l n )
成立 其中l 1 l 2 l n 为 A 的特征值 不妨设l 1 最大
作正交变换 y T x 即 x T T y 注意到 T 1 T T 有
f x T A x y T TAT T y y T y l 1y 12 l 2y 22
l n y n 2
因为 y T x 正交变换 所以当||x || 1 时 有
||y || ||x || 1 即 y 12 y 22 y 2 1 因此
f l 1y 1
2
l 2y 2
l n y 2
l 1
又当 y 1 1 y 2 y 3 y n 0 时 f l 1 所以 f max l 1
30 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal
线性代数习题标准答案(IMUST 版)__相似矩阵及二次型[]
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第五章 相似矩阵及二次型 一、计算题 1.解：[1a ,2a ]=1?2+2?3+3?（-1）+（-4）?4=-11 单位化如下： 1a 单位化：() 1111 1112 1,2,3,4( ,,,)3030151015 T T a b a = =-=- 2a 单位化：() 2221 11122,3,1,4( ,,,)30 15103015 T T a b a = =-=- 2、解：先正交化：取11b a =，2122111020[,]0101[,]4101a b b a b b b ?????? ? ? ? =-=-= ? ? ? ? ? ? --??????， 1323331211225200[,][,]1066013[,][,]220013b a b a b a b b b b b b ???????? ? ? ? ? =--=--= ? ? ? ? ? ? ? ? --???????? 单位化：取111100b e b ?? ? == ? ???，22201121b e b ?? ?== ? ?-??，333 00113118231b e b ???? ? ?=== ? ? ? ????? 3． 解：先正交化：取11b a =，2122111423[,] 1825343[,]2525a b b a b b b ?? - ?????=-=-= ? ? ? ????? ???
测试题五（相似矩阵与二次型） 一．单项选择题 1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21 (-A 有一特征值为( C ). (A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有( A )个线性无关. (A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 3. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量，则矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为( A ). (A)α1-P ； (B)αP ； (C)αT P ； (D)α . 4. 若A 为n 阶实对称矩阵，且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定，则下列结论不正确的是 ( D ) . (A) A 的特征值全为正；(B) A 的一切顺序主子式全为正； (C) A 的主对角线上的元素全为正； (D)对一切n 维列向量x ，Ax x T 全为正. 5. 设B A ,为n 阶矩阵，那么( B ). (A) 若B A ,合同，则B A ,相似；(B) 若B A ,相似，则B A ,等价； (C) 若B A ,等价，则B A ,合同；(D) 若B A ,相似，则B A ,合同. 二. 填空题 1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A 1 . 2. 已知??? ? ? ? ?=x A 0 0110 002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则 =x -1，-2 3. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1，则2004A = E . 4. n 阶方阵A 的特征值均非负，且E A =2，则其特征值必为 1 5. 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2，则=a 0 .
第五章：相似矩阵及二次型 本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。 2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。 3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。 4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。 5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。 §1 向量的内积、长度及正交性 内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2 ≤；n 维向量x 与y 的夹角[] y x y x ,arccos =θ ；正交；正交 的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。 重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。 §2 方阵的特征值与特征向量 内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解； A 的特征多项式 ()λ λλ λ---= nn n n n n a a a a a a a a a f 2 1 2222111211；
若λ是 A 的特征值，则 ()λ?也是()A ?的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 §3 相 似 矩 阵 内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同； 设???? ?? ? ? ?=Λn λλλ 2 1 ，则有 1）,2 1???? ?? ? ? ?=Λk n k k k λλλ ()()() ().21?????? ? ? ?=Λn λ?λ?λ?? 2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。 重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。 §4 实对称矩阵的对角化 内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。 重点：实对称阵 A 对角化的步骤：
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要 条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的 运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算:. ,,,,2 X A X A AX k
为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使 X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为 A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λ λλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([011 10n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2) A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ????????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.
第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时，
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=1001,1001B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。 6.设方阵??????????------=12 4 22421x A 与?? ?? ? ???? ?-=Λ45 y 相似，求x 与y 。
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ??==11111a b , ???? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ? ? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ? ??-==110111a b ? ? ?? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ? ? ?? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1 A T B 1 B T (AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵.
§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3 班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。 第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ???'+'='-'=θθθ θcos sin sin cos y x y y x x 把方程化为标准形式 122='+'y c x m . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 分布图示 ★ 引言 ★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 n n n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122 222221112122222),,,(--+++++++++++= 称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 2 222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式). 二、二次型的矩阵 取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是 ∑== ++++++++++++=n j i j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1 ,22211222 22212211121122 11121),,,( 第五章 相似矩阵 自测题 一、选择题 1．矩阵1111??= ??? A 的非零特征值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.-1 2．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则321λλλ=（ ） A. -4 B. 0 C.2 D. 4 3．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则123λ+λ+λ=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4．若矩阵A 与B 相似，则下列说法错误的是（ ） A. A 与B 等价 B. A 与B 合同 C. ||||=A B D. A 与B 有相同的特征值 5．设矩阵??? ? ??=2123A ，则下列向量中是A 的特征向量的是（ ） A. ???? ??-10 B. ???? ??12 C. ???? ??00 D. ??? ? ??-k k 6. 矩阵A 与B 相似，则说法错误的是（ ） A.有相同的特征多项式 B. 有相同的特征值 C. 有相同的特征向量 D. =A B 7.设n 阶矩阵A 满足20+=E A ,则A 必有一个特征值等于( ) A. 2 B. -2 C. 1/2 D. -1/2 8.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是（ ） A. A 有n 个不同的特征值 B. A 为实对称矩阵 C. A 有n 个不同的特征向量 D. A 有n 个线性无关的特征向量 9. 对于n 阶方阵A 与B 相似，下列命题错误的是（ ） A. A 与B 的特征值相同 B. 存在可逆矩阵Q P , ，使得B PAQ = C. A 与B 的行列式相同 D. 存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1 二、填空题 1．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =___________ 第五章 相似矩阵及二次型 讲授内容：§5.1向量的内积 教学目的和要求：理解向量的内积，长度，角度，基的Schmidt 正交化过程 教学重点：向量的内积的运算及性质 教学难点：基的Schmidt 正交化过程。 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. 定义1.内积：设实向量),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, 称实数 n n b a b a b a +++= 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ (1) ],[],[αββα= (2) ],[],[βαβαk k = （k 为常数） (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+ (4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5) ],[],[],[2 ββααβα?≤ 证(5) R ∈?t , 由0],[≥++βαβαt t 可得 0],[],[2],[2 ≥++t t βββααα ?≤?00],[],[4],[42 ≤?-ββααβα ],[],[],[2 ββααβα?≤? 2．范数：设实向量α, 称实数 ],[ααα= 为α的范数． 性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α． (2) αα?=k k )R (∈?k (3) βαβα+≤+ (4) βαβ α-≤- 证(3) ],[],[2],[],[2 βββαααβαβαβα++=++=+ () 2 2 2 2β α β βαα+= ++≤ 证(4) )(,γαβγβαβαγ-+=+=?-= γβαγβα≤-?+≤ γβαγαβ-≥-?-+≤)( 3．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 β αβα?] ,[arccos = )0(π?≤≤ 为α与β之间 的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥． (1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2 π ?= ?； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而?无意义． 单位化：若θα≠, 称αα α1 0= 为与α同方向的单位向量． 定义2. 当=0时，称向量与正交．（显然，若 =0，则 与任何向量都正交）． 向量的正交性可推广到多个向量的情形. 定义 3. 已知 个非零向量，若 =0 ，则称 为正交向量组． 定义4. 若向量组 为正交向量组，且| |=1，则称 为标准正交向量组． 例如，维单位向量组= ， ， 是正交向量组． 正交向量组有下述重要性质： 定理1 正交向量组是线性无关的向量组． 定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 4．正交基：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα, 称r αα,,1 为V 的 正交基；若还有),,2,1(1 r i i ==α,称r αα,,1 为V 的标准正交基． 例如：n R 的标准正交基为n e e ,,1 ． 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 3 2 1 4 第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1) (a 1, a 2, a 3) 1 1 1 1 2 4 1 3 9 解 根据施密特正交化方法 1 b 1 a 1 1 1 [b ,a ] 1 b a 1 2 b 0 2 2 [b ,b ] 1 1 1 1 1 b a [b 1,a 3] [b 2,a 3]b 1 2 3 3 [b ,b ] 1 [b ,b ] 2 3 1 1 1 2 2 (2) (a 1, a 2, a 3) 解 根据施密特正交化方法 1 0 b 1 a 1 1 1 b 2 a 2 [b 1,a 2]b [b ,b ] 1 1 1 b a [b 1,a 3]b 1 [b 2,a 3] 1 3 3 3 [b ,b ] 1 b [b ,b ] 2 5 3 1 1 2 2 1 8 4 9 9 9 8 1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9 2 下列矩阵是不是正交阵: 1 1 1 2 3 (1) 1 1 2 1 2 ; 1 1 1 3 2 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2) 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为 正交阵 3 设 x 为 n 维列向量 x T x 1 令 H E 2xx T 证明 H 是对称 的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以 H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以 H 是正交矩阵 4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A 1 A T B 1 B T 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩 阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使 X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征 向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算: .,,,,2 X A X A AX k 为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λλλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([01110n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2)A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ??? ?????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页. 2. 特征向量的性质 方阵A 关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A 关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性 相关性。 定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量， 则r X X X ,21，是线性无关的。 定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征 向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中 线性无关的最大个数.t ≤ 由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅 对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。 第五章 相似矩阵及二次型 1、设a=(1 0?2),b=(?423 ),c 与a 正交，且b=λa+c,求λ和c 2. 试用施密特法把下列向量组正交化，然后再单位化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ?? ?? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ???? ? ??-= --=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 3. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 4. （1）设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x(x T x)x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. （2）. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1 =A T , B -1 =B T , (AB)T (AB)=B T A T AB =B -1 A -1 AB =E , 故AB 也是正交阵. 5.设a 1,a 2,a 3,为两两正交的单位向量组，b 1=1 3a 1+2 3a 2+2 3a 3, b 2=2 3a 1+2 3a 2-1 3a 3,b 3=-2 3a 1+1 3a 2-2 3a 3,证明b 1,b 2,b 3,也是两两正交的单位向量组。 6. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ? ??----201335212; 矩阵的相似与合同及其等价条件研究 （数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. 1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 1.1矩阵等价的定义[1] 定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述： 定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得 B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B . 1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C . 性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （2 1,k k 是任意常数）线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型
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2020年同济大学线性代数第六版第五章《相似矩阵及二次型》同步练习与解析
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