第五章 相似矩阵及二次型
讲授内容：§5.1向量的内积
教学目的和要求：理解向量的内积，长度，角度，基的Schmidt 正交化过程 教学重点：向量的内积的运算及性质 教学难点：基的Schmidt 正交化过程。 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程：
本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.
定义1.内积：设实向量),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, 称实数 n n b a b a b a +++= 2211],[βα为α与β的内积．
算律：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ (1) ],[],[αββα=
(2) ],[],[βαβαk k = （k 为常数） (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+
(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα．
(5) ],[],[],[2
ββααβα?≤
证(5) R ∈?t , 由0],[≥++βαβαt t 可得 0],[],[2],[2
≥++t t βββααα ?≤?00],[],[4],[42
≤?-ββααβα ],[],[],[2
ββααβα?≤?
2．范数：设实向量α, 称实数 ],[ααα=
为α的范数．
性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α． (2) αα?=k k )R (∈?k
(3) βαβα+≤+
(4) βαβ
α-≤-
证(3) ],[],[2],[],[2
βββαααβαβαβα++=++=+
()
2
2
2
2β
α
β
βαα+=
++≤
证(4) )(,γαβγβαβαγ-+=+=?-=
γβαγβα≤-?+≤
γβαγαβ-≥-?-+≤)(
3．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 β
αβα?]
,[arccos = )0(π?≤≤ 为α与β之间
的夹角．
正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥． (1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2
π
?=
?；
(2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而?无意义． 单位化：若θα≠, 称αα
α1
0=
为与α同方向的单位向量．
定义2. 当=0时，称向量与正交．（显然，若
=0，则
与任何向量都正交）．
向量的正交性可推广到多个向量的情形.
定义 3. 已知
个非零向量，若
=0
，则称
为正交向量组．
定义4. 若向量组
为正交向量组，且|
|=1，则称
为标准正交向量组．
例如，维单位向量组=
，
，
是正交向量组．
正交向量组有下述重要性质：
定理1 正交向量组是线性无关的向量组．
定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 4．正交基：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα, 称r αα,,1 为V 的
正交基；若还有),,2,1(1
r i i ==α,称r αα,,1 为V 的标准正交基．
例如：n
R 的标准正交基为n e e ,,1 ．
特点：向量空间V 的正交基为r αα,,1 , 对于V ∈?α, 有 r r x x ααα++= 11：),,2,1(]
,[],[r i x i i i i ==
αααα
当r αα,,1 为标准正交基时, 有 r r x x ααα++= 11：),,2,1(],[r i x i i ==αα
6．Schmidt 正交化过程：
定理2 设向量组
线性无关，由此可作出含有
个向量的正交向量组
，其中，
，
，
……
.
再取
则
为标准正交向量组．
上述从线性无关向量组
导出正交向量组
的过程称为施密
特（Schimidt ）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任
何
，向量组
与
等价．
设向量空间V 的基为r αα,,1 , 令 11αβ=, 01≠β
12122βαβk +=, 02≠β （否则21,αα线性相关）
]
,[],[0],[11122112βββαββ-
=?=k
13123233ββαβk k ++=, 03≠β （否则321,,ααα线性相关）
]
,[],[0],[11133113βββαββ-
=?=k
]
,[],[0],[22233223βββαββ-
=?=k
………………
1111,ββαβr r r r r r k k +++=-- , 0≠r β （否则r αα,,1 线性相关）
)1,,2,1(]
,[],[0],[-=-
=?=r j k j j j r rj j r βββαββ
结论：r βββ,,,21 两两正交且非零?r βββ,,,21 线性无关 ?r βββ,,,21 是V 的正交基 ?令j j
j u ββ1
=
, 则r u u u ,,,21 是V 的标准正交基
例1 把向量组=（1，1，0，0），
=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准
正交向量组． 解 容易验证
，
，
是线性无关的.
将
，，正交化，令
=，
=
，
再把
单位化
，
则
即为所求的标准正交向量组． 定理3 若
是维正交向量组，，则必有维非零向量，使
，
成为正交向量组．
例2 已知T
)1,1,1(1=α，求一组非零向量
，使，，成为正交向量组.
解 应满足方程=0，即
.
它的基础解系为
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
其中
于是得
推论 含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维
非零向量，构成含有个向量的维正交向量组． 例3 已知向量空间3V 的基为
)0,0,1,1(1=α, )0,1,0,1(2=α, )1,0,0,1(3-=α求3V 的一组正交基． 解 )0,0,1,1(11==αβ )0,1,21,21()21(1212122-=-
+=+=βαβαβk
)1,3
1
,31,31(213
112213123233-
=++
=++=ββαββαβk k 故3
V 的一组正交基为321,,βββ．
定义5 如果阶矩阵满足（即
），那么称为正交矩阵．
正交矩阵具有如下性质：
（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；
（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；
（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵； （4）正交矩阵是满秩的，且|
=1或
．
由等式
可知，正交矩阵的元素满足关系式
（其中）
可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有
定理4 一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交
向量组．
思考与作业：习题五P138:1, 2, 3
讲授内容：§5.2矩阵的特征值和特征向量
教学目的和要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．
教学重点：求矩阵的特征值与特征向量.
教学难点：矩阵的特征值与特征向量的求解过程. 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程：
定义1 对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量．
特征方程：0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ
0)(d e t =-?A E λ (1) 特征矩阵：E A λ- 或者 A E -λ
特征多项式：λ
λλ
λλ?---=
-=nn n n n n a a a a a a a a a E A
2
1
2222111211)(det )(
])1([011
10n
n n n n a a a a a -=++++=--λλλ
显然，
的特征值就是特征方程(1)的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程
的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵
有个特征值．
定理1 设n n ij a A ?=)(的特征值n λλλ,,,21 , nn a a a A +++= 2211tr , 则 (1) n A λλλ+++= 21tr ； (2) n A λλλ 21det =． 证 由特征值的定义可得
λ
λλ
λλ?---=-=nn n n n n a a a a a a a a a E A
2
1
2222111211)(det )(
)()())((22211λλλλ-+---=n nn f a a a
)()()()1()1(22122111λλλλ----+++++-+-=n n n nn n n n f g a a a 其中)(,)(22λλ--n n f g 都是次数不超过2-n 的多项式．由题设, 又有 )())(()(det )(21λλλλλλλλ?---=-=n E A
()()
1()1(211
211
n n n n n
n
λλλλ
λλλλ +++++-+-=--
比较多项式同次幂的系数可得
n nn a a a λλλ+++=+++ 212211 n A λλλ? 21)0(d e t == 推论 ?=0det A 0是A 的特征值．
若
为
的一个特征值，则
一定是方程0||=-E A λ的根, 因此又称特征根，若λ
为方程0||=-E A λ的i n 重根，则λ
称为
的i n 重特征根．方程 0)(=-X E A λ的每一
个非零解向量都是相应于λ
的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征
向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式||E A λ-；
第二步：求出特征方程0||=-E A λ的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值λ，求出齐次线性方程组： 0)(=-X E A λ
的一个基础解系,,,21s ξξξ???，
则的属于特征值λ的全部特征向量是
,2211s ks k k ξξξ+???++（其中,,,21ks k k ???是不全为零的任意实数）
． 例1 求???
??
???
??=12
2
212
221A 的特征值与特征向量． 解 2
)1)(5(12
2
212221)(+-=---=λλλ
λλ
λ?
0)(=λ??1,5321-===λλλ 求51=λ的特征向量： ??????????---=-42
2
2422245E A ???????
???--→00
110101
行, ??
??
?
?????=1111p )0(111≠=k p k x
求132-==λλ的特征向量：
????????
??=--22
2
222
222)1(E A ????
???
???→00
000111
行, ??????????-=
0112p , ??
?
??
?????-=1013p 3322p k p k x += （32,k k 不同时为0） 例2求???
?
?
???
??--=20
1
034
011
A 的特征值与特征向量． 解 2
)1)(2(20
1
034011)(--=-----=λλλ
λλ
λ?
0)(=λ??1,2321===λλλ 求21=λ的特征向量： ??
?
?????
??--=-00
1
014
0132E A ??????????→00
010
001
行
, ??
??
?
?????=1001p )0(111≠=k p k x
求132==λλ的特征向量： ????????
??--=-10
1
024
012
1E A ????
???
???→00
210101
行, ??
???
?????--=1212p )0(222≠=k p k x
[注] 在例1中, 对应2重特征值1-=λ有两个线性无关的特征向量； 在例2中, 对应2重特征值1=λ只有一个线性无关的特征向量． 若ξ是
的属于λ的特征向量，则)0(≠k k ξ也是对应于λ的特征向量，因而特征向量
不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只
能属于一个特征值.
一般结论：对应r 重特征值λ的线性无关的特征向量的个数r ≤．
例3 求矩阵A 的特征值和特征向量，其中.
解
的特征多项式为
=
=
，
所以的特征值为=
=2（二重根），
. 对于
=
=2，解齐次线性方程组
．由
，
得基础解系为：
因此，属于=
=2的全部特征向量为：
不同时为零.
对于
，解齐次线性方程组
．由
，
得基础解系为：
因此，属于
的全部特征向量为：
由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：
定理1 设n n A ?的互异特征值为m λλλ,,,21 , 对应的特征向量依次为 m p p p ,,,21 , 则向量组m p p p ,,,21 线性无关． 证 采用数学归纳法． 1=m 时, 110p p ?≠线性无关．
设l m =时, l p p ,,1 线性无关, 下面证明11,,,+l l p p p 线性无关． 设数组11,,,+l l k k k 使得 01111=+++++l l l l p k p k p k )1(
左乘A , 利用i i i p Ap λ=可得
0111111=++++++l l l l l l p k p k p k λλλ )2( )1()2(1+-l λ： 0)()(11111=-++-++l l l l l p k p k λλλλ 因为l p p ,,1 线性无关（归纳法假设）, 所以
0)(,,0)(1111=-=-++l l l l k k λλλλ 0,,01==?l k k 代入)1(可得 00111=?=+++l l l k p k ．故11,,,+l l p p p 线性无关． 根据归纳法原理, 对于任意正整数m , 结论成立． 一元多项式：m
m t c t c t c c t f ++++= 2
210)(
矩阵多项式：m
m A c A c A c E c A f ++++= 2
210)( ),(n n n E A ? 定理2 设)0(≠=x x
x A λ, 则
(1) x f x A f )()(λ=； (2) 0)()(=?=λf O A f ．
证 (1) 因为 x x A x x A k
k λλ=?= （ ,2,1=k ） 所以 x A c x A c x A c x E c x A f m
m ++++= 2
210)( x f x c x c x c x c m
m )(2
210λλλλ=++++=
(2) 0)(0)()()(=?===?=λλf x O x A f x f O A f )0(≠x
[注] 一般结论：若A 的全体特征值为n λλλ,,,21 ,则)(A f 的全体特征值 为)(,),(),(21n f f f λλλ ．
例4 设33?A 的特征值为3,2,1321-===λλλ, 求 )3(det 3
E A A +-．
解 设13)(3+-=t t t f , 则E A A A f +-=3)(3
的特征值为 17)(,3)(,1)(321-==-=λλλf f f 故 51)17(3)1()3(det 3
=-??-=+-E A A
定理3 设n n A ?的互异特征值为m λλλ,,,21 , 重数依次为m r r r ,,,21 ,
对应i λ的线性无关的特征向量为)
()(2)(1,,,i l i i i
p p p ),,2,1(m i =,
则向量组)
()(1)1()1(1,,,,,,1
m l m l m
p p p p 线性无关．（自证）
思考与作业：习题五 P138:4, 5, 6
讲授内容：§5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的对角化
教学目的和要求：理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵；理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 教学重点：相似对角矩阵；对称矩阵的对角化 教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：4课时 教学过程： 一、相似矩阵： 定义2 设
、
都是阶方阵，若存在满秩矩阵
， 使得
则称与相似，记作
，且满秩矩阵
称为将
变为
的相似变换矩阵．
“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：
⑴ 反身性：～ ；
⑵ 对称性：若
～
，则
～
；
⑶ 传递性：若～， ～
，则
～
．
相似矩阵还具有下列性质：
性质1 B A B A det det ~=?．
性质2 A 可逆, ?B A ~B 可逆, 且1
1~--B A ．
性质3 m
m B A kB kA B A ~,~~? （m 为正整数）． 性质4 )(t f 为多项式, )(~)(~B f A f B A ?．
定理2 )(det )(det ~E B E A B A λλ-=-? ?A 与B 的特征值相同
证 由B AP P =-1
可得 P E A P E AP P E B )(1
1λλλ-=-=---
P E A P
E B d e t )d e t (d e t )(d e t 1
?-?=--λλ
)d e t (d e t )d e t ()d e t (1
E A P E A P λλ-=?-?=- 推论 若阶矩阵
与对角矩阵
相似，则n λλλ,,,21???即是的个特征值．
定理 3 设ξ是矩阵
的属于特征值0λ的特征向量,且
~
,即存在满秩矩阵
使
,则ξη1
-=P 是矩阵
的属于0λ的特征向量．
证明 因ξ是矩阵
的属于特征值0λ的特征向量，则有
于是
所以ξη1-=P 是矩阵
的属于0λ的特征向量．
二、相似对角化：
若方阵A 能够与一个对角矩阵相似, 称A 可对角化． 下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵
，使
为对
角矩阵，这就称为把方阵对角化．
定理4
阶矩阵
与对角矩阵),,,(21n diag λλλ???=Λ相似的充分必要条件是：矩阵
有
个线性无关的分别属于特征值n λλλ,,,21???的特征向量（n λλλ,,,21???中可以有相同的值）． 证明 必要性
设
与对角矩阵),,,(21n diag λλλ???=Λ相似，则存在满秩矩阵
，使
AP P 1
-= ),,,(21n diag λλλ???=Λ 设),,,(21n P ξξξ???=则由上式得
即
，
因此
所以i λ是的特征值，i ξ是
的属于i λ的特征向量，又因
是满秩的，
故 n ξξξ,,,21???线性无关.
充分性 如果有个线性无关的分别属于特征值n λλλ,,,21???的特征向量n ξξξ,,,21???，
则有
设
则
是满秩的，于是
，
即
AP P 1
-=),,,(21n diag λλλ???=Λ
[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．
（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.
（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个i n 重特征值的基础解系含有i n 个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．
可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这
个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对
角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值． 例1：判断下列矩阵可否对角化： (1)??????????---=611
6
100010A , (2)????
???
???=12
2
212221
A , (3)????
?
??
???--=20
1034011
A 解 (1) )3)(2)(1()(+++-=λλλλ? A 有3个互异特征值 A ?可对角化
对应于3,2,1321-=-=-=λλλ的特征向量依次为 ??????????-=1111p , ??????????-=4212p , ??
?
??
?????-=9313p
构造矩阵 ????????
??---=94
1
321
111
P , ????
?
??
??
?---=Λ32
1
则有 Λ=-AP P 1
． (2) 2
)1)(5()(+--=λλλ?
例1求得A 有3个线性无关的特征向量 A ?可对角化 对应于1,5321-===λλλ的特征向量依次为 ??????????=1111p , ??????????-=
0112p , ??
?
??
?????-=1013p 构造矩阵 ????
????
??--=10
1
011
111
P , ????
?
??
???--=Λ11
5
则有 Λ=-AP P 1
．
(3) 2
)1)(2()(---=λλλ?, 例2求得, 对应于2重特征值132==λλ,
A 只有1个线性无关的特征向量 A ?不可对角化．
例2 设矩阵???
?
?
???
??=31
130
004A ，求一个
满秩矩阵，使为对角矩阵．
解
的特征多项式为
所以
的特征值为
.
对于
解齐次线性方程组
，得基础解系
，即为
的两个特征向量
对于=2，解齐次线性方程组
，得基础解系
，即为
的一个特征向量
. 显然
是线性无关的，取???
?
?
???
??-=11
110
001
P 即有
.
例5 设???
?
?
???
??=12
2
212
221
A , 求),3,2( =k A k ． 解 例4求得 ????
????
??--=10
1
011
111
P , ???
?
?
??
???--=Λ11
5
, 使得 Λ=-AP P 1
：1
1,--Λ=Λ=P P A P P A k k
故 ????
?
?????----??????
????
?--???????????--=21
1
121111
31)1()
1(5
10
1
011
111k
k
k
k
A ????
?
????
?+---+---+=δδ
δδδδ
δδδ
2555525555253
1k
k k k
k
k
k
k
k
（k )1(-=δ） 三、对称矩阵的相似对角化
定理5 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量． 定理6 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．
证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即
．
是分别属于的特征向量，则
，
根据内积的性质有
，
又
所以
，
因，故，即与正交.
定理7
设为阶对称矩阵
，
是的特征方程的重根，则矩
阵的
秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．
定理8设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，
使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．
例6设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
3
1
1
3
4
A 求一个正交矩阵，使为对角矩阵.
解
，
所以的特征值，.
对于，解齐次线性方程组，得基础解系
，
因此属于的标准特征向量为
.
对于，解齐次线性方程组，得基础解系
这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量
， .
于是得正交矩阵
易验证
.
思考与作业：习题五P138:14，15，16
讲授内容：§5.5 二次型及其标准形
教学目的和要求：理解二次型及其标准形，合同矩阵. 教学重点：二次型的矩阵表示, 二次型的标准形.. 教学难点：将二次型化为标准形..
教学方法与手段：掌握矩阵的特征值与特征向量的求法及矩阵相似的概念便可将对称矩阵对角化，而用正交变换把实二次型化为标准形只不过是对称矩阵的正交对角化在实二次型中的应用．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程： 一、二次型的定义
变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式
n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122
11121222),,,(++++=
222232232
222n n x x a x x a x a ++++ +2
n nn x a +
称为n 元二次型, 简称为二次型．
R ∈ij a ：称),,,(21n x x x f 为实二次型（本章只讨论实二次型）
C ∈ij a ：称),,,(21n x x x f 为复二次型
二、二次型的表示
1．矩阵表示：令)(i j a a ij ji >=, 则有 n n x x a x x a x x a x x a f 11311321121111++++=
n n x x a x x a x x a x x a 22322322221221+++++ +
n n nn n n n n n n x x a x x a x x a x x a +++++ 332211 ??
?
?
?
=
∑
∑==j i n
i n
j ij x x a 1
1 )(131********n n x a x a x a x a x ++++=
)(23232221212n n x a x a x a x a x +++++
+ )(332211n nn n n n n x a x a x a x a x +++++ ??????
???
???+++++++++=n nn n n n
n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221
12222121121211121),,,(
?????
????????????????
???=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x
2
12
122221
1121121),,,(Ax x T = 其中 ??
??????????=nn n n n n a a a a a a a a a A
2
1
2222111211 , ?????
???????=n x x
x x 21
(1) ),,,(21n x x x f 与A 是一一对应关系, 且A A =T
． (2) 称A 为f 的矩阵, 称f 为A 对应的二次型．
(3) 称A 的秩为f 的秩, 即 A x x x f n rank ),,,(rank 21= ． 2．标准形：找可逆线性变换y C x =, 即
?????
???????????????????=????????????n nn n n n n n y y
y c c c c c c c c c x x x
212
1
2222111211
21 )0d e t (≠C 使得 2
2
222
1121),,,(n n n y d y d y d x x x f +++= 将二次型),,,(21n x x x f 的标准形写为矩阵形式 y D y f T
=, ????
?
????
?=
n d d D
1 y C A C y y C A y C x A x f )()()(T
T
T
T
===
矩阵描述：对实对称矩阵A , 找可逆矩阵C , 使得D C A C =T
． 3．合同矩阵：对于n n n n B A ??,, 若有可逆矩阵n n C ?使得B C A C =T
, 称A 合同于B ． (1) A 合同于A ： A AE E =T
(2) A 合同于B ?B 合同于A ： A C B C =--)()(1
T
1
(3) A 合同于B , B 合同于S ?A 合同于S
定理1 A 合同于B ?B A rank rank =．
证 B C A C =T A AC C B rank )(rank rank T ≤=?
A C
B
C =--)()(1T 1B C B C A r a n k )]()(rank[rank 1T 1≤=?--，故 B A rank rank =．
三、化二次型为标准形 1．正交变换法
设n n A ?实对称, 特征值为n λλλ,,,21 , 则存在正交矩阵Q , 使得 ????
?
????
?=
Λ=n AQ Q λλ
1T
作正交变换y Q x =, 可得
y y y Q A Q y y Q A y Q x A x f Λ====T T T T T )()()( 2
2
222
11n n y y y λλλ+++=
例1 3231212
32
22
1321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
用正交变换化),,(321x x x f 为标准形．
解 f 的矩阵 ????
?
?????----=54
2
452222
A A 的特征多项式 )10()1()(2
---=λλλ?
121==λλ的两个正交的特征向量 ??????????=1101p , ??
?
??
?????-=1142p
103=λ的特征向量 ????
????
??
-=
2213p 正交矩阵 ?
???
?
???
?
?
--=322
312
13223121
312340Q 正交变换y Q x =：标准形2
32
22
110y y y f ++=
例2 43423241312141222222),,(x x x x x x x x x x x x x x f ++--+=
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研 究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector
1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X
第五章：相似矩阵及二次型 本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。 2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。 3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。 4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。 5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。 §1 向量的内积、长度及正交性 内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2 ≤；n 维向量x 与y 的夹角[] y x y x ,arccos =θ ；正交；正交 的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。 重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。 §2 方阵的特征值与特征向量 内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解； A 的特征多项式 ()λ λλ λ---= nn n n n n a a a a a a a a a f 2 1 2222111211；
若λ是 A 的特征值，则 ()λ?也是()A ?的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 §3 相 似 矩 阵 内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同； 设???? ?? ? ? ?=Λn λλλ 2 1 ，则有 1）,2 1???? ?? ? ? ?=Λk n k k k λλλ ()()() ().21?????? ? ? ?=Λn λ?λ?λ?? 2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。 重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。 §4 实对称矩阵的对角化 内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。 重点：实对称阵 A 对角化的步骤：
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要 条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的 运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算:. ,,,,2 X A X A AX k
为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使 X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为 A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λ λλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([011 10n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2) A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ????????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.
第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时，
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ??==11111a b , ???? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ? ? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ? ??-==110111a b ? ? ?? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ? ? ?? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1 A T B 1 B T (AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵.
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.; .; .; .1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关 条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=10 01,10 01 B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特 征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。
§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ???'+'='-'=θθθ θcos sin sin cos y x y y x x 把方程化为标准形式 122='+'y c x m . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 分布图示 ★ 引言 ★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 n n n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122 222221112122222),,,(--+++++++++++= 称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 2 222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式). 二、二次型的矩阵 取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是 ∑== ++++++++++++=n j i j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1 ,22211222 22212211121122 11121),,,( 第五章 相似矩阵 自测题 一、选择题 1．矩阵1111??= ??? A 的非零特征值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.-1 2．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则321λλλ=（ ） A. -4 B. 0 C.2 D. 4 3．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则123λ+λ+λ=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4．若矩阵A 与B 相似，则下列说法错误的是（ ） A. A 与B 等价 B. A 与B 合同 C. ||||=A B D. A 与B 有相同的特征值 5．设矩阵??? ? ??=2123A ，则下列向量中是A 的特征向量的是（ ） A. ???? ??-10 B. ???? ??12 C. ???? ??00 D. ??? ? ??-k k 6. 矩阵A 与B 相似，则说法错误的是（ ） A.有相同的特征多项式 B. 有相同的特征值 C. 有相同的特征向量 D. =A B 7.设n 阶矩阵A 满足20+=E A ,则A 必有一个特征值等于( ) A. 2 B. -2 C. 1/2 D. -1/2 8.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是（ ） A. A 有n 个不同的特征值 B. A 为实对称矩阵 C. A 有n 个不同的特征向量 D. A 有n 个线性无关的特征向量 9. 对于n 阶方阵A 与B 相似，下列命题错误的是（ ） A. A 与B 的特征值相同 B. 存在可逆矩阵Q P , ，使得B PAQ = C. A 与B 的行列式相同 D. 存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1 二、填空题 1．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =___________ 线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3 班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 3 2 1 4 第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1) (a 1, a 2, a 3) 1 1 1 1 2 4 1 3 9 解 根据施密特正交化方法 1 b 1 a 1 1 1 [b ,a ] 1 b a 1 2 b 0 2 2 [b ,b ] 1 1 1 1 1 b a [b 1,a 3] [b 2,a 3]b 1 2 3 3 [b ,b ] 1 [b ,b ] 2 3 1 1 1 2 2 (2) (a 1, a 2, a 3) 解 根据施密特正交化方法 1 0 b 1 a 1 1 1 b 2 a 2 [b 1,a 2]b [b ,b ] 1 1 1 b a [b 1,a 3]b 1 [b 2,a 3] 1 3 3 3 [b ,b ] 1 b [b ,b ] 2 5 3 1 1 2 2 1 8 4 9 9 9 8 1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9 2 下列矩阵是不是正交阵: 1 1 1 2 3 (1) 1 1 2 1 2 ; 1 1 1 3 2 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2) 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为 正交阵 3 设 x 为 n 维列向量 x T x 1 令 H E 2xx T 证明 H 是对称 的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以 H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以 H 是正交矩阵 4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A 1 A T B 1 B T 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩 阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使 X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征 向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算: .,,,,2 X A X A AX k 为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λλλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([01110n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2)A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ??? ?????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页. 2. 特征向量的性质 方阵A 关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A 关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性 相关性。 定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量， 则r X X X ,21，是线性无关的。 定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征 向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中 线性无关的最大个数.t ≤ 由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅 对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 第五章 相似矩阵及二次型 讲授内容：§5.1向量的内积 教学目的和要求：理解向量的内积，长度，角度，基的Schmidt 正交化过程 教学重点：向量的内积的运算及性质 教学难点：基的Schmidt 正交化过程。 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. 定义1.内积：设实向量),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, 称实数 n n b a b a b a +++= 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ (1) ],[],[αββα= (2) ],[],[βαβαk k = （k 为常数） (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+ (4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5) ],[],[],[2 ββααβα?≤ 证(5) R ∈?t , 由0],[≥++βαβαt t 可得 0],[],[2],[2 ≥++t t βββααα ?≤?00],[],[4],[42 ≤?-ββααβα ],[],[],[2 ββααβα?≤? 2．范数：设实向量α, 称实数 ],[ααα= 为α的范数． 性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α． (2) αα?=k k )R (∈?k (3) βαβα+≤+ (4) βαβ α-≤- 证(3) ],[],[2],[],[2 βββαααβαβαβα++=++=+ () 2 2 2 2β α β βαα+= ++≤ 证(4) )(,γαβγβαβαγ-+=+=?-= γβαγβα≤-?+≤ γβαγαβ-≥-?-+≤)( 3．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 β αβα?] ,[arccos = )0(π?≤≤ 为α与β之间 的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥． (1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2 π ?= ?； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而?无意义． 单位化：若θα≠, 称αα α1 0= 为与α同方向的单位向量． 定义2. 当=0时，称向量与正交．（显然，若 =0，则 与任何向量都正交）． 向量的正交性可推广到多个向量的情形. 定义 3. 已知 个非零向量，若 =0 ，则称 为正交向量组． 定义4. 若向量组 为正交向量组，且| |=1，则称 为标准正交向量组． 例如，维单位向量组= ， ， 是正交向量组． 正交向量组有下述重要性质： 定理1 正交向量组是线性无关的向量组． 定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 4．正交基：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα, 称r αα,,1 为V 的 正交基；若还有),,2,1(1 r i i ==α,称r αα,,1 为V 的标准正交基． 例如：n R 的标准正交基为n e e ,,1 ． 5-1向量的内积与方阵的特征值 1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d 3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=?k k d 4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5、设矩阵???? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量、 6.试用施密特法把向量组????? ???????---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。 8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。 9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。 习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。 .a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件 2、对实对称阵?? ????-=??????=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交 3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。 a 、 矩阵A 有n 个特征值; b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; c 、 矩阵A 的行列式0≠A ; d 、 矩阵A 的特征多项式有重根 4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。 a 、A 与B 正交; b 、 A 与B 有相同的特征向量; c 、 A 与B 等价; d 、 A 与B 相同的特征值。 5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。 6、设方阵??????????------=12422421x A 与????????? ?-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2 35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵?? ????--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。二次型及其矩阵
第五章 相似矩阵 试题
线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型
第五章相似矩阵及二次型
第五章 相似矩阵
二次型及其矩阵表示
第五章 相似矩阵及二次型
线性代数习题 第五章 相似矩阵及二次型
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