2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考
高中 二 年 数学（理）科试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求.）
1．命题：“若21x >，则1x <-或1x >”的逆否命题是（ ）
A ．若21x >，则11x -≤≤
B ．若11x -≤≤，则21x ≤
C ．若11x -<<，则21x <
D ．若1x <-或1x >，则21x >
2．双曲线22
22
154x y m m -=+-的焦距是（ ）
A ．4 B. C. 6
D.与m 有关
3．以正方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点O ，如图建立空间直角坐标系，
则与1DB
共线的向量的坐标可以是（ ）
A ．()2,2,2-
B ．()2,2,2--
C ．()2,2,2-
D ．()2,2,2---
4．直线:220l x y -+=过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
15 B ．2
5
C D
5．“点P 的轨迹方程为y x =”是“点P 到两条坐标轴距离相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件
6．已知(0,0,0)O ，(2,1,1)A ，(1,1,1)B -，点(,1,3)P λ在平面OAB 内，则λ=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过
2米”， 命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p q ∨表示（ ） A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
8．双曲线2
2
1x y -=的两条渐近线与抛物线2
4y x =交于,,O A B 三点，O 为坐标原点，
则AB 等于（ ） A ． 4
B ．6
C ．8
D ．16
9．在空间直角坐标系O xyz -中，平面OAB 的法向量为()2,2,1n =-
,O 为坐标原点.
已知()1,3,8P --，则P 到平面OAB 的距离等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．3
D ．1
10．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与
抛物线C 的一个交点，若4PF QF =
，则QF =（ ）
A ．
34 B ．3
2
C ．3
D ．6
11．如图，在正三棱柱ABC A B C '''-中，若2AA AB '=， 则异面直线AB '与BC '所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ． 38 C ．35 D ．710
12．已知集合22(,)143x y D x y ????
=+=??????
，有下面四个命题：
1:(,)3p x y D ?∈≥ 2:(,)1p x y D ?∈<
3:(,)4p x y D ?∈< 4:(,)2p x y D ?∈≥ 其中的真命题是（ ）
A ． 1,p 3p
B ．1,p 4p
C ．2,p 3p
D ．2,p 4p
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -错误！未找到引用源。中，AC 与BD 的交点为点M .
设11C D a = ，11C B b = ，1C C c = ，用a ，b ，c
表示向量1MB ，
则1MB
＝___________
14．已知:(2)(3)0,:12p x x q x +-≤+≥，命题“p q ∧”为真， 则实数x 的取值范围是_________
15．直线():1l y k x =+与抛物线2
y x =只有一个公共点，则实数k 的值为
16．椭圆19
252
2=+y x 的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆(2
21
x y +-=上的
动点，则1PM PF +的最大值是
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分）
已知命题:p 关于x 的方程230x ax a -++=有实数根， 命题:11q m a m -≤≤+．
(Ⅰ) 若p ?是真命题，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ) 若p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围.
18．（本题满分12分）
已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>，虚轴长为4．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，
求OAB ?的面积．
19．（本题满分12分）
如图所示，DC ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形， 四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==． (Ⅰ) 求证：//AF 平面CDE ；
(Ⅱ) 求平面AEF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．
20．（本题满分12分）
点P 在圆22:8O x y +=上运动，PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上，
满足PM MD = ．
(Ⅰ) 求点M 的轨迹方程；
(Ⅱ) 过点11,2Q ?? ???
作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 为弦AB 的中点，
求直线l 的方程．
21.（本题满分12分）
如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12AA AB AC ===，
BC =
M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ=
． (Ⅰ)证明：无论λ取何值，总有AM PN ⊥；
(Ⅱ)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正
切值．
22．（本题满分12分）
已知抛物线2
:C y x =，过点(2,0)M 作直线:2l x ny =+与抛物线C 交于,A B 两点， 点N 是定直线2x =-上的任意一点，分别记直线AN ，MN ，BN 的斜率为1k ，2k ，
3k ．
(Ⅰ) 求OA OB ?
的值；
(Ⅱ) 试探求1k ，2k ，3k 之间的关系，并给出证明．
2015---2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考
高中 二 年 数学（理科） 试卷参考答案
一、选择题:（每题 5 分，共 60 分）
二、填空题:（每小题 5分，共 20分）
13． 1122a b c -+- 14． [1,3] 15． 0或1
2
± 16．17
三、解答题:(共70分) 17. （本题满分10分）
解法一：(Ⅰ) 当命题p 是真命题时，满足0?≥
则 24(3)0a a -+≥
解得 2a ≤-或6a ≥ ………………………………3分
p ? 是真命题，则p 是假命题 即 26a -<<
∴实数a 的取值范围是(2,6)-. ………………………………5分
(Ⅱ) p 是q 的必要非充分条件 则 [1,1]m m -+是(][),26,-∞-?+∞的真子集
即 12m +≤-或16m -≥ …………………8分 解得 3m ≤-或7m ≥
∴实数m 的取值范围是(][),37,-∞-?+∞. ………………10分
解法二：(Ⅰ) 命题p ?：关于x 的方程230x ax a -++=没有实数根 p ? 是真命题，则满足0?<
即 24(3)0a a -+< ………………3分 解得 26a -<<
∴实数a 的取值范围是(2,6)-. ………………5分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ)可得 当命题p 是真命题时， 实数a 的取值范围是(][),26,-∞-?+∞ p 是q 的必要非充分条件
则 [1,1]m m -+是(][),26,-∞-?+∞的真子集
即 12m +≤-或16m -≥ …………………8分 解得 3m ≤-或7m ≥
∴实数m 的取值范围是(][),37,-∞-?+∞. ………………10分
18. （本题满分12分）
解：(Ⅰ)依题意可得
22224c
a b c a b ?=??
=??=+??
………………3分
解得
1,2,a b c ===
∴双曲线的标准方程为2
2
14
y x -=． ………………5分 (Ⅱ)直线l 的方程为1y x =+ 设11(,)A x y 、22(,)B x y
由22
144
y x x y =+??-=?可得2
3250x x --= 由韦达定理可得 1223x x +=，125
3
x x =- ………………8分
==
原点到直线l的距离为d=………………10分
于是
114
223
OAB
S AB d
?
=??==
∴OAB
?的面积为
4
3
．………………12分19.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，
CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意,可得以下点的坐标：
(0,0,0)
C，(2,0,0)
B，(0,0,4)
D，(0,4,0)
E，
(2,0,4)
A，(2,2,0)
F
则(0,2,4)
AF=-
，(2,0,0)
CB=
．
(2,0,0)
CB=
为平面CDE的一个法向量．………………3分
又0220(4)00
AF CB
?=?+?+-?=
，AF?平面CDE
//
AF
∴平面CDE．………………5分
（其它方法，请酌情给分！）
（Ⅱ）设平面AEF的一个法向量为
1111
(,,)
n x y z
=
，则1
1
n AE
n AF
??=
?
?
?=
??
(2,4,4),(0,2,4)
AE AF
=--=-
111
11
2440
240
x y z
y z
-+-=
?
?
-=
?
，取
1
1
z=，得
1
(2,2,1)
n=
．………………8分又CE⊥
平面ABCD，∴平面ABCD一个法向量为
2
(0,4,0)
n CE
==
，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，
则12
11
242
cos
343
n n
n n
α
??
===
?
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为
2
3
．………………12分
20. （本题满分12分）
解：(Ⅰ) 点M在线段PD上，满足PM MD
=
∴点M是线段PD的中点
设(,)
M x y，则(,2)
P x y………………2分 点P在圆22
:8
O x y
+=上运动
则()2
228
x y
+=即
2
2
1
82
y
x+=
∴点M的轨迹方程为
2
2
1
82
y
x+=．………………4分
(Ⅱ) 方法一：
当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是 点Q ，这种情况不满足题意． ………………5分 设直线l 的方程为1
(1)2
y k x -
=-， 由 221()
2
48y kx k x y ?
=+-???+=?
可得 22211
(14)8()4()8022
k x k k x k ++-+--=
由韦达定理可得 122
18()
214k k x x k -+=-+ ………………9分 由AB 的中点为11,2Q ?? ???
，可得2
18()
2214k k k --=+ 解得1
2
k =-
即直线l 的方程为11
(1)22
y x -=--
∴直线l 的方程为220x y +-=． ………………12分
方法二：
当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是
点Q ，这种情况不满足题意． ………………5分 设11(,)A x y 、22(,)B x y
A 、
B 两点在椭圆上，满足 22
1122
221(1)821(2)82
x y x y ?+=????+=?? 由(1)(2)-可得 2222
1212082
x x y y --+=
则 1212
121214
y y y y x x x x -+?=--+ ………………9分
由AB 的中点为11,2Q ?? ???，可得12122,1x x y y +=+=，代入上式 12
1212
AB y y k x x -==--
即直线l 的方程为11
(1)22
y x -=--
∴直线l 的方程为220x y +-=． ………………12分
21.（本题满分12分）
证明：由2AB AC ==，BC =222AB AC BC +=
则 AB AC ⊥ 即 AB 、AC 、1AA 两两相互垂直 ………………………2分 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则A 1（0，0，2）， B 1（2，0，2）， M （0，2，1），N （1,1，0）
111(2,0,0)(2,0,0)A P A B λλλ===
，
11(2,0,2)AP AA A P λ=+=
，可得(2,0,2)P λ
(12,1,2)PN λ=--
………………………………4分
（其它方法，请酌情给分！）
（Ⅰ）∵(0,2,1)AM =
， ∴()(12)012210AM PN λ?=-?+?+-?=
∴无论λ取何值，AM PN ⊥ …………………………6分
（Ⅱ）∵=m （0，0，1）是平面ABC 的一个法向量.
∴sin cos ,m
θ=<
=
…………9分
∴当λ＝
21
时，θ取得最大值， 此时sin θ
cos θtan 2θ= …………12分
22．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)设11(,)A x y 、22(,)B x y 由 2
2
x ny y x
=+??
=? 可得 2
20y ny --=
由韦达定理可得 1212,
2y y n y y +==- ……………3分
即 2212121212422OA OB x x y y y y y y ?=+=+=-=
2OA OB ∴?=
(5)
分
(Ⅱ)当0
n =时，A 、(2,
B 不妨取(2,2)N -，则1k
=
22
4
k =-，3k = 易得 1222k k k += ……………7分
（其它方法，请酌情给分！）
设0(2,)N y -，024
y k =- 10201020
1212122244
y y y y y y y y k k x x ny ny ----+=+=+
++++ ……………9分 ()()()()()()
102201124444y y ny y y ny ny ny -++-+=++
120120
212122(4)()84()16ny y ny y y y n y y n y y +-+-=
+++
00
224(4)82416
n ny n y n n -+--=-++
C N
200
2
8216n y y n --=+ ()20202
821622y n n y
k -+=
+=-=
1222k k k ∴+=，1k ，2k ，3k 成等差数列． ……………12分
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1) 一、选择题 1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795 B ．0780 C ．0810 D ．0815 2．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、 253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ） A ．1-，36 B ．1-，41 C ．1，72 D ．10-，144 3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 4．下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝1 5．把化为五进制数是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ． 23 B ． 34 C ． 25 D ． 13 7．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )
A ．5k <？ B ．5k ≥？ C ．6k <？ D ．6k ≥？ 8．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( ) A ． 1636 B ． 1736 C ． 12 D ． 1936 9．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表可得回归直线方程???y bx a =+，其中0.78b ∧ =，a y b x ∧ ∧ =-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元 B ．13.88万元 C ．12.78万元 D ．14.28万元 10．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示： x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 若,x y 满足回归方程 1.5??y x a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5)
高二数学期末考试试卷 出题人：冯亚如 一．选择题（40分） 1.由数列1,10,100,1000，……猜测该数列的第n 项是（ ） A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ） A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有（ ） A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员，要从中选出6人调查学习负担情况，调查应采取的抽样方法是（ ） A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3，-2)，B(2，3)则直线AB 的倾斜角为（ ） A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A ．3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系（ ） A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中，有4张中奖卷，从中任取1张，中奖的概率是
（ ） A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥，其底面边长是1，则棱锥的高是 （ ） A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆（x-1）2+（y+3）2=9的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二．填空题（20分） 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________； 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________； 13.一条直线l 与平面α平行，直线m 在面α内，则l 与m 的位置关系是_______________； 14.正三棱锥的底面边长是4cm ，高是33cm ，则此棱锥的体积为________________； 15.已知球的半径r=3，则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三．解答题（60分） 16.光线从点M(-2, 3)出发，射到P(1, 0)，求反射直线的方程并判断点N(4，3)是否在反射光线上。（10分）