第一章距离空间与拓扑空间
1、
1）下面证明d 满足距离需满足的三个条件。
①0),(≥y x d 显然，且0),(=y x d 当且仅当0||sup =?y x 与0|''|sup =?y x 当且仅当在D 上y x =。
②),(),(x y d y x d =显然。③
),(),(|)
''||''sup(||)||sup(||''|sup ||sup ),(y z d z x d y z z x y z z x y x y x y x d +=?+?+?+?≤?+?=2）D 中点列}{n x 按距离收敛当且仅当}{n x 与}'{n x 一致收敛。3）设D x n ?}{，满足]1,0[C x n ∈且]1,0['C x n ∈，是Cauchy 列。
则εε??>?|)()(|],1,0[,,,,0t x t x t N n m N m n 。从而}{n x 在]1,0[上一致收敛，且其极限函数)(t x 是]1,0[上的连续函数。
同理，}'{n x 在]1,0[上一致收敛，故该函数序列}{n x 的求导运算与极限运算可交换顺序，从而)('t x 就是}'{n x 的极限函数，且)('t x 是]1,0[上的连续函数。
在不等式中令∞→m ，则
ε2|)(')('||)()(|,],1,0[≤?+?>∈?t x t x t x t x N n t n n 。即n x 在D 中趋向于x 。从而D 是完备的。
4、补充最大模原理：在区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在边界达到。
①0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当0||max ||max 1
||1
||=?=?=≤y x y x t t 当且仅当
y x =。
②),(),(x y d y x d =显然。③
)
,(),(|)
||(|max ||max ),(1
||1
||y z d z x d y z z x y x y x d t t +=?+?≤?===5、可以。
例：取}6.5,8.2,0{=X ，按照R 上的距离成为一个距离空间。显然，
)3,8.2(}6.5,8.2,0{}8.2,0{)4,0(O O =?=≠
。
6、设在距离空间),(d X 中，)3,()7,(y O x O ?。倘若)7,(\)3,(x O y O z ∈?，则有6),(),(),(≤+≤x y d y z d x z d ，这与)7,(x O z ?矛盾。
8、反例：考虑∞l 中的元}{k x ξ=集，其中k ξ为0或1。显然，这个集是有界集，但它不可分，故必不全有界（因全有界集是可分的）。
10、设完备子空间A 是距离空间),(d X 的子集，则对A 中任一Cauchy 列}{n x ，都A x ∈?0，使得0x x n →。
x
x t s A x A x n n →??∈?..,
}{显然，收敛列都是柯西列，故0
0..,
x x t s A x n →∈?由极限的唯一性知A x x ∈=0。从而A A ?，即A 是闭集。
11、X 可分，则存在可数子集X X ?0，使得X X ?0。
0__________
00)(..)(,X A X t s A A X X A ?????∩∩ 。从而A 可分。反之，倘若距离空间不可分，其子空间不一定不可分。反例：取不可分的距离空间p l l ×∞，其子空间p l ×θ是可分的。12、()y x d x x d y x d X x x ,),(),(,,221121+≤∈?。
在不等式右边取极限，得()2211),(),(x f x x d y x d +≤。再在不等式左边取极限，可得()1212),()(x f x x d x f +≤。
同理，()2211),()(x f x x d x f +≤。
从而()),(|)(|2121x x d x f x f ≤?，此即证得)(x f 是X 上的连续函数。
13、取)
,(),()
,()(211F x d F x d F x d x f +=
。
14、设}{n x 是X 中的任一柯西列。εε?||,,,,0m n x x N n m N 。由第九题知，任一柯西列都是有界集。
则l N n N n M x x k n M x x n `1`||,||,1≤?≥?……≤?≥?。显然…≥≥…≥≥l M M M 21且当N l ≥时，ε 可得闭球套…??…?),(),(11l l K x B K x B ，有非空交，设为0x 。则ε<≤?≥?N n M x x N n ||,0，从而0lim x x n n =∞ →。则X 是完备的。 15、反证。设若不存在开集U 和常数0>M ，使得M x F F U x ≤∈∈?|)(|,,F 。则集合}|)(|,|{n x F F X x X n ≤∈?∈=F 是疏集，这与n n X X ∞ ?=1∪是完备距离空间 矛盾。 16、 1）反例：x x f θ→→)1,0()1,0(:，其中10<<θ。 2）反例：x e x R R f ?+→→11 ln :。17、作映射)()(sin 2 1 ] 1,0[]1,0[:t a t x x C C T ?→→，其中]1,0[)(C t a ∈。 ]1,0[C 是完备距离空间，且 ) ,(21 ]2)()(cos 2)()(sup[sin ))] (sin )((sin 2 1 sup[),(y x d t y t x t y t x t y t x Ty Tx d ≤?+=?=从而存在唯一的]1,0[)(0C t x ∈，使得00x Tx =，即)()(sin 2 1 )(00t a t x t x ?= 。18、显然，完备距离空间X 中的闭球),0r x B 也是完备的。 定义点列}{n x 如下：n n Tx x =+1。由条件r Tx x d )1(),(00θ?<与 ),(),(y x d Ty Tx d θ≤可得： r r x x d x x d x x d x x d n n n n n ,(),()(0110110θθ θθθ从而),}{0r x B x n ?。由压缩映照定理即可得结论。 19、设)(N diam d =),(s t f 在),(00s t 的d 邻域中连续。 依题意，d 1|0),('|< ?s t f s 。作映射：))(,(] ,[],[:0000t x t f x t t C t t C T →+?→+?δδδδ，它满足： ),(2 1 ),(|),(|| ))(,())(,(|sup ),(] ,[00y x d y x d t f t y t f t x t f Ty Tx d s t t t < =?=+?∈ξδδ由压缩映照定理知，存在唯一的],[)(00δδ+?∈t t C t x ，满足))(,()(t x t f t x =。而),(000s t f s =，由唯一性知)(00t x s =。 20、作函数),()(x Tx d x f =。 ) ,(2),(),() ,(),(),(),()()(1212212212222121x x d x x d Tx Tx d Tx x d x x d x Tx d Tx Tx d x f x f <+=?++≤?即)(x f 是X 上的连续函数，又X 是紧空间，故)(min )(0x f x f X x ∈=?，必有 0),()(000==x Tx d x f 。 否则，倘若0)(0>x f ，取01Tx x =有),(),()(00111x Tx d x Tx d x f <=，这与0x 最小性矛盾。 21、 1）显然全空间和空集都在τ里，且τ对有限交和无穷并运算封闭，故τ是个拓扑。 2）因}{}{\b a X =是开集，从而}{a 是闭集。3）X 与}{b 是含b 的开集，从而X b =}{。 22、依题意，21B ,B 是21,ττ的拓扑基。必要性显然。 充分性：倘122211..,,,G G x t s G G x G ?∈∈?∈?∈?B B 1。则 α α ατG G t s G G ∪=∈?∈?..,11 B 。 对ααααG H x t s H G x ?∈∈?∈?..,2B 。 故G 可以表为αH 的并集，从而2τ∈G 。则21ττ?。24、 充分性：)(x O ?中含E 中无穷多点，取这样的)(x O n ，使得n x O diam n 1))((<，取}{\))((x E x O x n n ∩∈。如此取出一列}{n x ，x x n ≠且x x n →。 必要性：当x 是E 的极限点时，),(,0εεx O >?中总包含E 中不同于x 的点。对于x 的任意邻域)(x O ，不妨设其半径为d 。 E x d x O x ∩}){\),((1∈?，而X 是1T 的，故1d ?，使),(11d x S x ?。E x d x O x ∩}){\),((12∈?……如此取得)(x O 中的无穷多点。若X 不是1T 的，则结论不一定成立。反例：课本例题1.5.5 25、依题意，存在X 的至多可数子集族B ，使得X =)(B τ。设αα G ∪是X 的开覆盖，则)(B ταα =?X G ∪。 则n n n G G t s G n ??∈?αα..,,B 。如此在αα G ∪中取出至多可数个集n G α，它 们构成X 的开覆盖。 6.空间数据检查与拓扑处理 实验内容： 一、林业小班拓扑的建立与检查 创建拓扑的流程图 1.创建地理数据库 在ArcCatalog树中，右键单击“6.实验指导\Data”文件夹，单击新建“文件地理数据库”，输入所建的地理数据库名称“Forest.gdb”，在新建的地理数据库上右键选择新建中的要素数据集。在打开的新要素数据集对话框中，将数据集命名为Topology，导入数据集匹配坐标系统“竹园_林班.shp”。 2.向数据集中导入数据 在ArcCatalog树中，右键单击Data文件夹中的Topology数据集，单击导入，选择要素类（多个），导入“竹园_林班.shp”、“竹园_小班.shp”。 3.创建拓扑 （1）在ArcCatalog树中，右键单击Topology要素数据集，选择拓扑，打开新建拓扑对话框，设置名称和拓扑容差（拓扑容差应该根 据数据精度而尽量小，它决定着在多大范围内要素能被捕捉到一起），在下一步参与创建拓扑的要素类对话框中选择参与创建拓扑的要素类（至少两个）。继续在下一步拓扑等级数目对话框中设置等级的数目及拓扑中每个要素类的等级，这里登记相同设为1.下一步，设置拓扑规则。这里设置“竹园_小班.shp”必须被包含在““竹园_林班.shp”中，“竹园_小班.shp”自身不能重叠。单击OK，返回上级对话框，打开参数信息总结框，检查无误后，单击完成按钮，拓扑创建成功。出现一对话框，询问是立即进行拓扑检验，创建的拓扑出现在Catalog 树中，单击是按钮，出现进程条，进程结束时，拓扑检验完毕，创建的拓扑出现在Catalog中。 4.查找拓扑错误 打开ArcMap，将Topology添加到ArcMap中，查看拓扑错误，如下图所示： 空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1 空间数据的拓扑关系 1、空间数据的拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统,图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息,一类就是目标本身的位置信息;另一类就是地物间的空间关系信息。如果忽略几何目标间的空间关系信息,那么从数据结构的角度瞧,地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。也就就是说,由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息,致使地理信息系统的数据结构比较复杂。为了研究几何目标的空间关系,在此引入拓扑关系的概念。 2、拓扑的基本概念 几何信息与拓扑关系就是地理信息系统中描述地理要素的空间位置与空间关系的不可缺少的基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离与面积等信息,它通常用解析几何的方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息,它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。拓扑关系就是明确定义空间关系的一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性,并可实现相关的查询与检索。从拓扑观点出发,关心的就是空间的点、线、面之间的联接关系,而不管实际图形的几何形状。因此,几何形状相差很大的图形,它们的拓扑结构却可能相同。 图3-4(a)(b)所表示的图,其几何形状不同,但它们结点间拓扑关系就 是相同的,均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。 同样,图3-5(a)(b)所表示的图,其几何形状完全不同,但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同,如图3-5(c)邻接矩阵所示,(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。 总之,拓扑关系反映了空间实体之间的逻辑关系,它不需要坐标、距离信息,不受比例尺限制,也不随投影关系变化。因此,在地理信息系统中,了解拓扑关系对空间数据的组织,空间数据的分析与处理都具有非常重要的意义。 3.空间数据的拓扑关系 空间数据拓扑关系的表示方法主要有下述几种: 一、拓扑关联性 拓扑关联性表示空间图形中不同类型元素,如结点、弧段及多边形之间的拓扑关系。如图3-6(a)所示的图形,具有多边形与弧段之间的关联性 P1/a1,a5,a6;P2/a2,a4,a6等,如图3-6(b)所示。也有弧段与结点之间的关联性,N1/a1,a3,a5,N2/a1,a6,a2等。即从图形的拓扑关联性出发,图3-6(a)可用如图3-6(b),(c)所示的关联表来表示。 用关联表来表示图的优点就是每条弧段所包含的坐标数据点只需存储一次,如果不考虑它们之间关联性而以每个多边形的全部封闭弧段的坐标点来存储数据,不仅数据量大,还无法反映空间关系。 空间数据的拓扑关系 空间数据的拓扑关系 1.空间数据的拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统，图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息，一类是目标本身的位置信息；另一类是地物间的空间关系信息。如果忽略几何目标间的空间关系信息，那么从数据结构的角度看，地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。也就是说，由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息，致使地理信息系统的数据结构比较复杂。为了研究几何目标的空间关系，在此引入拓扑关系的概念。 2. 拓扑的基本概念 几何信息和拓扑关系是地理信息系统中描述地理要素的空间位置和空间关系的不可缺少的基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离和面积等信息，它通常用解析几何的方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息，它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。拓扑关系是明确定义空间关系的一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性，并可实现相关的查询和检索。从拓扑观点出发，关心的是空间的点、线、面之间的联接关系，而不管实际图形的几何形状。因此，几何形状相差很大的图形，它们的拓扑结构却可能相同。 图3-4(a)(b)所表示的图，其几何形状不同，但它们结点间拓扑关系是相同的，均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。 同样，图3-5(a)(b)所表示的图，其几何形状完全不同，但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同，如图3-5(c)邻接矩阵所示，(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。 1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平 ArcGIS拓扑检查、按位置选择、空间连接教程 第一部分：拓扑检查，确保数据没有重叠或交叉 1、dwg数据导入arcmap，此处以“顶层结构层.dwg”为例。 若是出现“位置的空间参考”不用管他，确定就好。 2、将导入的dwg数据转为CAD要素数据集：选中dwg中的“顶 层结构层.dwg Polygon”右键--用转换CAD要素数据集功能， 输出数据库可以自己建一个文件地理数据库专门存放相关文件。 这里输入CAD数据集不用填因为系统已经输入好了。只需要改文件 路径和名称就好了。 这是成果图展示。 3、在你存放的数据库里找到输出的CAD要素集，右键-新建-拓扑， 对照下图。 图中红色部分就是输出的CAD要素集，选中它右键—新建—拓扑。 这里拓扑名称不用改，在选择要参与到拓扑中的要素中选择polygon1. 等级数不用填，下一步到添加规则，如图确定再下一步。 新建拓扑完成后验证拓扑，这时候是不会显示拓扑错误的，需要将新建的拓扑添加到arcmap中才会显示出来。如下图： 可以直接在目录中选中拓扑，然后拉到中间。 如果是要在arcmap中找错误然后在CAD中改图层的话，对照这个在CAD中找到对应的图层改即可。若是想要在arcmap中改正这个错误，可以放大有错的部分如图。编辑器—开始编辑 双击错误处delete或者调整边界。 4、若是出现以下错误： 在拓扑引擎内检测到故障[error id:255]时，只需 要打开编辑器—开始编辑。然后放大图层，验证当前范围内的拓扑，如果还是拓扑验证失败就再放大图层，直到成功验证拓扑。 空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A 1.4 距离计算 数值距离的计算是机器学习算法中对分析结果非常重要的衡量标准。数字计算主要集中的两 个方面：一方面是距离计算；另一方面是概率计算。距离和概率是机器学习算法中最为核心 的数值，是表达信息异同相似的数值体现。 1.4.1 欧氏距离 欧氏距离（也称欧几里得度量）是一个通常采用的距离定义，指在m维空间中两点之间的真 实距离，或者向量的自然长度（即该店到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就 是两点之间的实际距离。 二维，两点P()和P()间的欧氏距离公式： 三维，两点P()和P()间的欧氏距离公式： 优点：欧氏距离是距离算法中最常用的方式，日常生活中的大部分距离都可以通过欧式距离 进行计算。 缺点：将数据的特征进行独立的计算，且差别是等同的。 1.4.2 马氏距离 马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的一种表示数值协方差距离的概念。这种协方 差距离体现的是数据样本分布的距离。与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，并且是尺度无关的，即独立于测量尺度。马氏距离可以用于计算两个未知样本信息集合的相 似度分析。 1.4.3 曼哈顿距离 曼哈顿距离是由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是一种使用在几何度量空间的几何 学用语，用以表明两个点在标准坐标系上的绝对轴距离总和。它表示的不是两点的直线距离，而是实际从A点到达B点的距离。 二维平面的两点a()和b()间的曼哈顿距离： 1.4.4 切比雪夫距离 切比雪夫距离是向量空间中的一种度量，两个点之间的距离定义为其各坐标数值差的最大值。切比雪夫距离得名自俄罗斯数学家切比雪夫。 二维两点间的切比雪夫距离： n维两点间的切比雪夫距离： 1.4.5 闵氏距离 闵氏距离又称作闵可夫斯基距离。 ARCGIS 拓扑检查步骤与修正拓扑错误技巧 将数据装载如个人地理数据库,用拓扑功能自动检查数据错误 启动ArcCatlalog; 任意选择一个本地目录,"右键"->"新建"->"创建个人personal GeoDatabase";选择刚才创建的GeoDatabase,"右键"->"新建"->"数据集dataset";设置数据集的坐标系统,如果不能确定就选择您要进行分析的数据的坐标系统; 选择刚才创建的数据集,"右键"->"导入要素类inport --feature class single",导入您要进行拓扑分析的数据; 选择刚才创建的数据集,"右键"->"新建"->"拓扑",创建拓扑,根据提示创建拓扑,添加拓扑处理规则;进行拓扑分析。 最后在arcmap中打开由拓扑规则产生的文件,利用topolopy工具条中错误记录信息进行修改将数据集导入ARCMAP中,点击edit按钮进行编辑。 打开eidt下拉菜单,选择more editing tools－－topology出现拓扑编辑工具栏。选择要拓扑的数据,点击打开error inspector按钮。 在error inspector对话框中点击search now,找出所有拓扑的错误。 对线状错误进行Mark as Exception。 对polygon错误逐个检查,首先选择错误的小班,点击右键选择zoom to,然后点击merge,选择合适的图班进行merge处理,这样不会丢失小班信息。 另一个说法: 用catalog建一个个人地理数据库,new一个featuredataset 把要修改错误的shp文件导入到featuredataset下面 然后右键点featuredataset,new一个topoloy数据层,点击下一步,勾选刚才导入的shp层,下一步,添加拓扑检查规则,这一步很重要,您要显示断线,没接上的线, 利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 . ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 空间数据拓扑关系的自动生成 空间数据拓扑关系的自动生成冯文钊拓扑空间关系是一种对空间结构进行明确定义的数学方法，具有拓扑关系的矢量数据结构就是拓扑数据结构。 矢量数据拓扑关系在空间数据的查询和分析过程中非常重要，拓扑数据结构是地理信息系统分析和应用功能所必需的，它描述了基本空间目标点、线、面之间的关联、邻接和包含关系。 拓扑空间关系信息是空间分析、辅助决策的等的基础，也是GIS区别于 CAD（计算机辅助设计）等的主要标志。 拓扑空间关系的自动建立算法是 GIS 中的关键和难点算法之一，国内外对该问题一直在进行研究。 而且，由于拓扑关系自动生成与维护的复杂性， GIS 学术界研究人员针对 GIS 是否需要拓扑关系，问题是以一种什么样的方式来进行拓扑空间关系表达。 对于拓扑关系的自动建立问题，研究的焦点是如何提高算法与过程的效率和自动化程度，本章将讲述其实现的基本步骤和要点。 拓扑关系自动生成算法的一般过程为： 1．弧段处理，使整幅图形中的所有弧段，除在端点处相交外，没有其他交点，即没有相交或自相交的弧段。 2．结点匹配，建立结点、弧段关系。 3．建立多边形，以左转算法或右转算法跟踪，生成多边形， 1 / 18 建立多边形与弧段的拓扑关系。 4．建立多边形与多边形的拓扑关系。 5．调整弧段的左右多边形标识号。 6．多边形内部标识号的自动生成。 事实上，拓扑关系的生成过程中还涉及到许多工作，例如弧 段两端角度的计算、悬挂结点和悬线的标识、多边形面积计算、点 在多边性内外的判别等。 第一节拓扑关系的计算机表达一、拓扑结点结点用来描述 如管线的交点、道路路口等现实世界的特征对象，结点可以用来检 测弧段与弧段的连接关系和多边形特征是否能正确地完成。 只与一条弧段相连接的起点或终点叫做悬挂结点。 如图 1 所示 P 点就是悬挂结点： 图 1 结点一般包括： 结点号、结点坐标、与该结点连接的弧段集合，结点的数据 结构可以表示如下： class Node { private: long _ID; //结点号 Point * _Point; //指向 结点坐标的指针 P（悬挂结点） vectorArcPoint * ArcCollection ; //与该结点相联接的弧段集合指//针 public: Node() {}; //构造函数 ~Node() {}; //析构函数 other Method; //其他公共操作 } 二、拓扑弧段 空间数据的拓扑关系 1.空间数据的拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统，图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息，一类是目标本身的位置信息；另一类是地物间的空间关系信息。如果忽略几何目标间的空间关系信息，那么从数据结构的角度看，地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。也就是说，由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息，致使地理信息系统的数据结构比较复杂。为了研究几何目标的空间关系，在此引入拓扑关系的概念。 2. 拓扑的基本概念 几何信息和拓扑关系是地理信息系统中描述地理要素的空间位置和空间关系的不可缺少的基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离和面积等信息，它通常用解析几何的方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息，它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。拓扑关系是明确定义空间关系的一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性，并可实现相关的查询和检索。从拓扑观点出发，关心的是空间的点、线、面之间的联接关系，而不管实际图形的几何形状。因此，几何形状相差很大的图形，它们的拓扑结构却可能相同。 图3-4(a)(b)所表示的图，其几何形状不同，但它们结点间拓扑关系是相同的，均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。 同样，图3-5(a)(b)所表示的图，其几何形状完全不同，但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同，如图3-5(c)邻接矩阵所示，(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。 [指南]第一章度量空间-黎永锦 第1章度量空间 在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫 地把十九世纪称为函数论的世纪. V. Volterra(伏尔泰拉) (1860-1940, 意大利数学家) 泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进 的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许 多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动 创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作 某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空 间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成 点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的 抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971) 工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的. 1. 1 度量空间 M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文 开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的 点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理. d:X，X,R定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,X 对于任意,有 x,y,X (1) 当且仅当; x,yd(x,y),0 (2) d(x,y),d(y,x); (3) . d(x,y),d(x,z)，d(y,z) X则称d为上的度量,称为度量空间. (X,d) 明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0 d因此是一个非负函数. EXX若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称(E,d) 为的度量子空间. (E,d)(X,d) R例1.1.1 若是实数集,定义,则容易看出是度量空间. d(x,y),|x,y|(R,d) X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义 ,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,,1当 x , y 时., 空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |> 计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ 空间数据拓扑关系的自动生成 冯文钊 拓扑空间关系是一种对空间结构进行明确定义的数学方法，具有拓扑关系的矢量数据结构就是拓扑数据结构。矢量数据拓扑关系在空间数据的查询和分析过程中非常重要，拓扑数据结构是地理信息系统分析和应用功能所必需的，它描述了基本空间目标点、线、面之间的关联、邻接和包含关系。拓扑空间关系信息是空间分析、辅助决策的等的基础，也是GIS 区别于CAD（计算机辅助设计）等的主要标志。拓扑空间关系的自动建立算法是GIS中的关键和难点算法之一，国内外对该问题一直在进行研究。而且，由于拓扑关系自动生成与维护的复杂性，GIS学术界研究人员针对GIS是否需要拓扑关系，问题是以一种什么样的方式来进行拓扑空间关系表达。对于拓扑关系的自动建立问题，研究的焦点是如何提高算法与过程的效率和自动化程度，本章将讲述其实现的基本步骤和要点。 拓扑关系自动生成算法的一般过程为： 1．弧段处理，使整幅图形中的所有弧段，除在端点处相交外，没有其他交点，即没有相交或自相交的弧段。 2．结点匹配，建立结点、弧段关系。 3．建立多边形，以左转算法或右转算法跟踪，生成多边形，建立多边形与弧段的拓扑关系。 4．建立多边形与多边形的拓扑关系。 5．调整弧段的左右多边形标识号。 6．多边形内部标识号的自动生成。 事实上，拓扑关系的生成过程中还涉及到许多工作，例如弧段两端角度的计算、悬挂结点和悬线的标识、多边形面积计算、点在多边性内外的判别等。 第一节拓扑关系的计算机表达 一、拓扑结点 结点用来描述如管线的交点、道路路口等现实世界的特征对象，结点可以用来检测弧段与弧段的连接关系和多边形特征是否能正确地完成。只与一条弧段相连接的起点或终点叫做悬挂结点。如图1所示P点就是悬挂结点： 图1 结点一般包括：结点号、结点坐标、与该结点连接的弧段集合，结点的数据结构可以表示如下： class Node { private: long _ID; //结点号 Point * _Point; //指向结点坐标的指针 基础训练34(A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2=P1 C.P3=P2＞P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题： ①如果直线a∥平面α，a 平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离； ②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离； ③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离； ④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等，则AC 1与平面 BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4 10 B.66 C.26 D.2 10 二、填空题 4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离的比为1∶ 2∶3，PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图，在正三棱锥P —ABC 中，侧棱长3 cm ，底面边长2 cm ，E 是BC 的中点，EF ⊥P A ，垂足为F . (1)求证：EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段； (2)求异面直线P A 与BC 间的距离. 7.如图，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等，过底面对角线 AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E . (1)求AB 与SC 所成角的大小； (2)求二面角E —AC —D 的大小； (3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小. 8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中，M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点，N 是BE 的中点， 空 间 几 何 体 柱、锥、台、球的结构特征 结 构 特 征 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱 （1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球 （1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 例题：有下列命题 （1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； （2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； （3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； （4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ） 【例】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 选D. 空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 （1）定义： 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450 （或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； 一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即2 2S S 原图直观＝ 例题：室内有一面积为3平方米的玻璃窗，一个人站在离窗子4米的地方向外看，他能看到窗前面一幢楼的面积有多大？（楼间距为20米） arcgis常见拓扑错误修改步骤 1，首先打开catalog 在一目录文件夹下新建一个 geodatabase 2，在gepdatabase下新建dataset，然后导入要进行拓扑关系检查的数据3，新建topology 加入拓扑规则，全部的拓扑规则在下面附1 4，在arcmap中打开建立的拓扑，对常见的几种进行如下附图修改 拓扑修改之前先打开editor 然后打开editor下面的more editing tools 选择topology 一、面不能相互重叠（must not overlap） 修改方法有以下几种： 1、可以直接修改要素节点去除重叠部分。 2、在错误上右键选择merge，将重叠部分合并到其中一个面里。 二、面不能有缝隙(must not have gaps) 1、可以直接修改要素节点去除重叠部分。 2、在错误上右键选择create feature，将缝隙部分生成一个新的要素，然后利用editor 下的merge把生成的面合并到相邻的一个面里。 3、task里选择auto-complete polygon，用草图工具自动完成多边形，会在缝隙区域自动生成两个多边形，然后用merge合并到相邻面里。 附1 not overlay：单要素类，多边形要素相互不能重叠 not have gaps：单要素类，连续连接的多边形区域中间不能有空白区（非数据区） point：多边形＋点，多边形要素类的每个要素的边界以内必须包含点层中至少一个点 must be covered by：多边形＋线，多边形层的边界与线层重叠（线层可以有非重叠的更多要素） be covered by feature class of：多边形＋多边形，第一个多边形层必须被第二个完全覆盖（省与全国的关系） be covered by：多边形＋多边形，第一个多边形层必须把第二个完全覆盖（全国与省的关系） not overlay with：多边形＋多边形，两个多边形层的多边形不能存在一对相互覆盖的要素 cover each other：多边形＋多边形，两个多边形的要素必须完全重叠 boundary must be covered by boundary of：多边形＋多边形，第一个多边形的各要素必须为第二个的一个或几个多边形完全覆盖 be properly inside polygons：点＋多边形，点层的要素必须全部在多边形内 be covered by boundary of：点＋多边形，点必须在多边形的边界上 线topology not have dangle：线，不能有悬挂节点 not have pseudo-node：线，不能有伪节点 not overlay：线，不能有线重合（不同要素间） 第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是（） A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是（） A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是（） A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有12条棱的是（） A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点， 有—————————个棱。 8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。 则“祝”“你”“前”分别表示正方体的————— 祝 你前程 似锦 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α 所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．6.空间数据检查与拓扑处理
空间几何中的角和距离的计算
空间数据的拓扑关系
空间数据的拓扑关系教学资料
空间角与距离求法(高二)
ArcGIS拓扑检查教程
空间角及空间距离的计算知识点
第一章 算法基础——距离计算
ARCGIS 拓扑检查步骤与修正拓扑错误技巧
利用空间向量求空间角和距离
空间数据拓扑关系的自动生成_0
空间数据的拓扑关系
[指南]第一章 度量空间-黎永锦
空间向量的应用----求空间角与距离
空间数据拓扑关系的自动生成
空间的角度与距离(附答案)
空间体第一章
arcgis拓扑错误检查及修改(1)
第一章_空间几何体练习题.
向量法求空间距离和角
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