第4章 弹性力学广义变分原理
4.1 两类变量的广义势能原理
根据前面的介绍,对于最小势能原理,我们可以有以下两种理解: (1) 自变函数为位移u 。要求u 事先满足位移边界条件
u =u ，
1B 上 (4.1.1)
同时要求u 具有足够的连续（可微）性，从而可以由下式求得应变
()T =εE u ?，
Ω内 (4.1.2)
这样可得到用位移表示的应变能密度函数
()(())T U U U ==E u ?ε
用位移表示的应力
()
()T
T U ?=
=?u εσ
σε
在此条件下，弹性力学的精确解应该使下面的总势能取到最小值
2
()(())d d d T T T B U B Ω
Ω
∏=Ω-Ω-????????u E u f u p u ?
这样，由最小势能原理可以得到应力表示的平衡方程和应力边界条件
()0+=E f ?σ Ω内
()=E n p σ
2B 上
(2) 自变函数为位移u 和应变ε，但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成约束条件。这样，把原问题视为在约束条件(4.1.1) 、(4.1.2) 下，使得下列总势能
2
()()d d d T T B U B Ω
Ω
∏=Ω-Ω-????????u f u p u ε,ε
最小的问题。注意这里总势能表达式(,)∏u ε与最小势能原理中势能()∏u 的差异。
为了解除最小势能原理中这两个约束条件，引进两个Lagrange 乘子函数(向量) 6()∈x R λ， Ω内
3()∈x R μ，
1B 上
来构造一个新泛函
2
1
*(,,,)()d d d [()]d ()d T T B T T T
B U B
B
Ω
Ω
Ω
∏=Ω-Ω---Ω--?????????????u f u p u E u u u ?ελμελεμ
在新泛函中, ,,,u ελμ都是独立的自变函数，也就是说位移u 不需要事先满足边界约束条件（4.1.1）, 位移u 和应变ε之间也不需要满足变形协调条件（4.1.2）。
新泛函所对应的变分为
2
1
1
()*[()][()]d d ()d d T T T T T T
T
T
B B B U B B B
δδδδδδδδδΩ???
∏=-----Ω
?
????
----?????????f u E u E u p u u u u ??εελελεεμμ
在恒等式(3.2.1)中取=σλ，δ=u u 得到
()d [()]d [()]d T T T T B
B δδδΩ
Ω
Ω=+-Ω????????E u E n u E u ??λλλ 因此有
[]2
1
1
2
()*[()]d d ()d d [()]d [()]d ()()[()]d [()]d (T T T T T B T T T T B B B
T T T T T T B U B
B B B U B δδδδδδδδδδδδδδδΩΩ
Ω???
∏=----Ω-?
????---+-Ω?????=--+--Ω
??????
???+--???????????????????f u E u p u u u u E n u E u E f u E u E n p u u ????εελελεεμμλλελελλεελμ1
)[()]d T
B B δ??+-????-u E n u μλ
由0*=∏δ可以得到
()
0T U ?-=?ελε
， Ω内
()0+=E f ?λ，
Ω内 ()0T -=εE u ?，
Ω内
()0-=E n μλ， 1B 上
0=u -u ，
1B 上 ()0-=E n p λ，
2B 上
由此得到Lagrange 乘子λ满足
()
T
U ?=
?ελε
，
Ω内
Lagrange 乘子μ为
()()()T
U ???
==?????
E n E n εμλε
1B 上
得到Lagrange 乘子函数后, 把它们再代入新泛函的表达式中,得到两类变量(位移和应变)的广义势能为
2
1
2()
()()d d [()]d ()d ()()d T T T T
B B U U U B B Ω
Ω
Ω
?∏=Ω-Ω--Ω??--??????????
????
u f u E u p u E n u -u ?εε,εεε
εε
(4.1.3)
对于线弹性体有1()T
U =A
εεε,()
T U ?=?A εεε
,从而
[]2
1
*1
22d d ()d d ()()d T T T T T
T B B B B
ΩΩΩ
∏=-Ω-Ω+Ω
--?????????????A f u AE u p u E n A u -u ?εεεε (4.1.4)
这是关于位移和应变（两类变量）的广义势能（泛函）。 在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。
两类变量的广义势能原理(位移和应变) 弹性力学的精确解应该使得广义势能*2∏（2∏）的泛函取驻值。
下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么？计算
[][]2
1
1
*
2
()d ()d d ()d ()()d T
T
T T T T
T
T
B B B B B B
δδδδδδΩΩ
????∏=-Ω+-Ω????---????????????E u A AE f u p u E n A u u -u E n A ??εεεεε
在恒等式(3.2.1)中取=A σε，δ=u u 得到
()d [()]d [()]d T
T T T B
A B δδδΩ
Ω
Ω=+-Ω????????AE u E n u E A u ??ε
εε
因此有
[][][][][]2
1
1
1
2
*2()d ()d d ()d ()()d [()]d ()d ()d ()()d [()]d T
T
T T
T B B B T B
T
T
T
T B B A B B B
B
B B
δδδδδδδδδδδΩ
Ω
Ω
Ω
??∏=-Ω++Ω
??---+??=-Ω++Ω??-+-????????????????????????E u A E f u p u E n A u u -u E n A E n A u E u A E A f u u -u E n A E n A p u ????εεεεεεεεεεε
令*20δ∏=,根据变分引理得到(用应变表示的应力
()
()T
T U ?=
=?A εσεε
) ()T
=E u ?ε
Ω内
()()0+=+=E A f E f ??εσ Ω内
u =u
1B 上
()()==E n A E n p εσ
2B 上
也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件。再加上本构关系，就是弹性力学的所有方程。
如果用应力()T
U ???
==?????
A εσεε来替换泛函(5.1.4)中的自变函数ε(=a εσ)，得到
[][]2
1
2
1
*1221
2(,)d d [()]d d ()()d ()d d ()()d T T T T T
T B B T
T T T T T B B B B
B B Ω
Ω
Ω
Ω
∏=Ω-Ω--Ω--??=--Ω--???????????
???????????u a f u a E u p u E n u -u E u a f u p u E n u -u ?? σσσσσσσσσσ(4.1.5)
这是关于位移和应力(包括边界1B 上的约束力p )的两类变量广义势能泛函。上述泛函称为Hellinger-Reissner 泛函，是Hellinger 和Reissner 分别于1953年和1954年提出来。
用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner 两类变量广义变分原理） 弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函（4.1.5）取驻值。
下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么
[][]2
1
1
*2()()d d ()d ()()d T T T T T T T T
T B B B B B B
δδδδδδδδΩ
??∏=+--Ω
??---?????????E u E u a f u p u E n u E n u -u ??σσσσσσ
在恒等式（3.2.1）中取=σσ，δ=u u 得到
()d [()]d [()]d T T T T
B
B δδδΩ
Ω
Ω=+-Ω????????E u E n u E u ??σσσ 因此有
1
2
*2[()]()d ()d [()]d T T T T T T T
B B B B
δδδδδδδΩ
??∏=-+--Ω
??-+-???????E u E u a f u p u -u E n p u ??σσσσσ
令*2
0δ∏= ,根据变分引理得到 ()T
=a E u ?σ
Ω内 ()0+=E f ?σ Ω内
u =u
1B 上
()=E n p σ
2B 上
也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件，再结合本构关系，就是弹性力学的所有方程。
4.2 两类变量的广义余能原理
从前面介绍中我们知道，最小余能原理要求自变函数σ事先满足
()0+=E f ?σ， Ω内
()=E n p σ，
2B 上
在此条件下，弹性力学的精确解使得下面的总余能取极小值
1
()()d [()]d T
B V B σσσΩ
Γ=
Ω-?????E n u 因为要寻找满足平衡方程和应力边界条件的自变函数存在一定困难，对自变函数σ的
约束条件使得与之相对应的数值计算变得十分麻烦。为了消除最小余能定义中应力约束条件的影响，我们引进入Lagrange 乘子函数
3
∈R α， Ω内
3∈R β，
2B 上
来构造一个新的泛函*
Γ
1
2
*(,,)()d [()]d [()]d [()]d T B T
T
B V B
B
Ω
Ω
Γ=Ω-++Ω--??????????E n u E f E n p ?σαβσσσασβ
在新泛函中σ,α,β都是独立的自变函数。新泛函的变分为
12
2
*()
d [()]d [()]d [()]d [()]d [()]d T T T B B T T B V B B B
δδδδδδδΩ
ΩΩ
?Γ=Ω-+Ω-?++Ω--???
????????????E n u E E n E f E n p ??σσσσασβσσασβ
在恒等式(3.2.1)中取δ=σσ，=u α得到
()
()d [()]d [()]d T
T T T B
B δδδΩ
Ω
Ω=+-Ω????????E E n E ??σασασα
因此
12
2
*()
d [()]d ()()d [()]d [()]d [()]d [()]d T T T B T T B
B T T B V B B B B
δδδδδδδδΩΩ
Ω
?Γ=Ω--Ω?+-++Ω--???
??????????????E n u E E n E n E f E n p ??σσσσασσασβσασβ
也就是说
()1
2
2
*()
()d [()]d [()]()d [()]()d [()]d T T T T
T
T
B B B V B B B
δδδδδδΩΩ
???Γ=-Ω++Ω
?
????+-+---????????????E E f E n u E n E n p ??σασσασσασαβσβ
要求0*
=Γδ，根据变分引理，可以得到
()()0T
T
V ???-=?????
E ?σασ， 在区域Ω上 ()0+=E f ?σ，
在区域Ω上
=u α，
在位移边界1B 上 =βα，
在应力边界2B 上
()=E n p σ，
在应力边界2B 上 如果σ是精确解的话，那么
()T
=E ?αε，
在区域Ω上
=u α，
在位移边界1B 上
因此，α可以选择位移u ，从而β在2B 上也应该是位移u 。
我们可以把得到的拉格朗日乘子函数α和β用位移u 代入到泛函*
Γ的表达式中，得到二类变量的广义余能表达式
1
2
2(,)()d [()]d d [()]d T T B B V B B Ω
Ω
Γ=Ω++Ω
---??????????T u E f u p u E n p u ?σσσσ (4.2.1)
对于线弹性体有
1
2
*1
22()d [()]d d [()]d T T T
B B B B
Ω
Ω
Γ=Ω++Ω
---??????????T u a E f u p u E n p u ?σ,σσσσ (4.2.2)
(比较一下二类变量的广义势能表达式:
2
1
*122(,)()d d ()d T T T T T T
B B B B
Ω
??∏=--Ω
??--???????u E u a f u p u p u -u ? σσσσ )
在二类变量的广义余能表达式中，u 和σ是独立的变量，它们事先不需要满足任何约束条件。二类变量广义余能泛函比最小余能泛函多了一类自变函数，最小余能中自变函数只有应力σ，而在二类变量广义余能中，自变函数为应力σ和位移u 。因此，通过引进拉格朗日函数，我们把有约束的最小余能定理转化成了一个没有约束的自由变分问题，也就是二类变量广义余能原理。
二类变量的广义余能原理 弹性力学的精确解应该使得上述二类变量的广义余能(4.2.1)取驻值。
下面我们来看，从二类变量广义余能定理中，我们能得到些什么样的方程和什么样的边界条件?
1
2
2
*122d [()]d [()]d d [()]d [()]d T T T T T
B B B B B B
δδδδδδδΩ
Ω
Ω
Γ=Ω++Ω+Ω
-----???????????????T a E f u E u p u E n p u E n p u ??σσσσσσ
在恒等式(4.2.1)中取δ=σσ，=u u 得到
()()d [()]d [()]d T T T T
B
B δδδΩ
Ω
Ω=+-Ω????????E u E n u E u ??σσσ 因此有
1
2
2
1
2
*1
221
2
d [()]d [()]d d [()]d [()]d [()]d ()d [()]d ()d [()]d T T T T T T B B B B
T
T T
T T B B B B B B
B B
δδδδδδδδδδδδΩ
Ω
Ω
ΩΩ
Γ=Ω++Ω+-Ω
----+??=
-+Ω++Ω
??+--???????????????????????????T a E f u E u p u E n p u E n u E n u E u a E f u p u -u E n p u ????σσσσσσσσ
σσσ
根据*
20δΓ=我们有
()T E u =a ?σ，
在区域Ω上 ()0=E +f ?σ，
在区域Ω上
u =u ，
在位移边界1B 上 ()E n =p σ，
在应力边界2B 上
也就是说，从二类变量广义余能定理中我们能够得到几何方程、平衡方程、位移边界条件和
应力边界条件。
二类变量广义势能原理和二类变量广义余能原理统称为二类变量广义变分原理，它们分别是最小势能原理和最小余能原理的推广，是最小势能原理和最小余能原理的无条件变分问题。如果位移事先满足几何关系和位移边界条件，那么广义变分原理退化成最小势能原理。如果应力满足平衡方程和应力边界条件，那么广义变分原理退化成最小余能原理。
在上面二类变量广义势能原理和二类变量广义余能原理中，由于泛函不再是自变函数的正定二次型形式，因此不再具有极值性质，而只能是驻值性质。
在广义势能*2∏ 中，当u 在位移边界1B 上满足u =u （满足位移边界条件）后，固定u 调整σ使得*2∏ 尽可能大，这样得到了总势能()∏u ；然后再利用最小势能原理可得真实的解是使得广义势能*2
∏ 取极大-极小值∶
11*2
:*2
:()max ()min ()min max ()B B ==∏=∏∏=∏σ,u u
u
u
σ,u u
u u,σu u,σ (4.2.3)
在广义余能2Γ中，
1
2
2
1
2
2()
d [()]d [()]d d [()]d [()]d ()
{[
(())][()]}d ()d [()]d T T T T T B B B T T T T T B B V B B B
V B B
δδδδδδδδδδδΩ
ΩΩ
Ω
?Γ=Ω++Ω+Ω?----?=-++Ω?+---???
???????????????????E f u E u p u E n p u E n u E u E f u u u p E n p u ????σσσσσσσσσσσ
σ（4.2.4）
固定u , 那么2Γ对σ取极小值（假定本构关系事先满足，即()
T
V ?=
?σε
σ
）， 1
(),
in ,on T B =Ω
=E u u u ?ε （4.2.5）
代入（4.2.1）
1
2
2
2(,)[()]d [()]d d [()]d [()]d d ()
T T T T B B T T B U B B
U B
Ω
Ω
Ω
Γ=-Ω++Ω
---=-Ω+=-∏???????????????u E f u p u E n p u f u p u u ?σεσεσσε （4.2.6）
即
22min ()()
max ()max min ()
Γ=-∏-∏=Γu
u
u,u u u,σ
σ
σσ （4.2.7）
而固定σ，2Γ对u 没有极小性质。
对于弹性力学的精确解，可以证明 220∏+Γ= （4.2.8）
4.3 三类变量的广义势能原理
由最小势能原理，势能表达式 2
()()d d B U B εΩ
??∏=-Ω-???????T T
u f u p u 中，要求位移满足
()T ε=E u ?， Ω内
=u u ， 1B 上
此外，还隐含应力σ要求由本构关系得到 ()T
U ?=
?εσ
ε
在最小势能原理中引进Lagrange 乘子函数， 6
∈R
α， Ω内
3∈R β， 1B 上
消除位移约束后得到一个新的泛函
2
1
*()d d [()]d ()d T T T
B B U B B Ω
Ω
??∏=-Ω--Ω-??
??????????T T f u p u -E u u -u ?εαεβ 其对应的变分为
21
1
*()d d [()]d d [()]d ()d 0
T T T T B T T T T B B U B B B δδδδδδδδδΩΩ
Ω
???
∏=-Ω--?Ω
?
????--Ω-=???????????????f u p u -E u u -E u u -u ?εεαεεβαεβ
在恒等式(3.2.1)中取=σα，δ=u u ，得到
()d [()]d [()]d T T T B
B δδδΩ
Ω
Ω=+-Ω????????T E u E n u E u ??ααα 从而有
[]2
1
1
2
()*[()]d d ()d d [()]d [()]d ()()[()]d [()]d (T T T T T B T T T T B B B
T T T T T T B U B
B B B U B δδδδδδδδδδδδδδδεεαεαεεββααεαεααεεαβΩΩ
Ω???
∏=---Ω-?
????+++-Ω?????=--+Ω
??????
???++???????????????????f u -E u p u u -u u E n u E u E +f u -E u E n -p u u ????1
)[()]d T
B B δβα??+????-u -E n u
由0*=∏δ得到 ()0=E +f ?α， Ω内 ()0T =-E u ?ε，
Ω内
()
0T U ?-=?εαε
， Ω内
0=u -u ，
1B 上 ()0=-E n βα，
1B 上 ()0=E n -p α，
2B 上
从上述方程可知，对弹性力学的精确解来说，Lagrange 乘子有明确的力学意义
=ασ，
Ω内
()=E n βσ
，
B 上
因此泛函*
∏可写成
[]2
1
*
3(,,)()d d [()]d d ()()d T T T
B B U B B
εσεσεσΩ
Ω
Ω
∏=∏=Ω-Ω--Ω--?????????????T T u f u E u p u E n u -u ? (4.3.1)
我们称新泛函为三类变量的广义势能，也称该H-Z 泛函，是由胡海昌1954年和鹫津一郎1955年分别提出来。 在三类变量的广义势能中有三类自变函数σ,ε,u ,它们都是独立的。由此得到
三类变量的广义势能原理（胡-鹫津变分原理） 弹性力学的精确解应使上述的广义势能3∏取驻值。
由三类变量的广义势能原理可以得到 ()0=E +f ?σ， Ω内
()0T =-E u ?ε，
Ω内 ()
T
U ?=
?εσε
，
Ω内
()0=E n -p σ， 2B 上
0=u -u ，
1B 上
也就是弹性力学的所有方程和边界条件（当然也包括本构关系）。
如果H-Z 泛函3∏中σ和ε并非独立,而是由本构关系确定,譬如说满足
12
,()()U V ===T a a εσεσσσ 那么代入3∏的表达式
[][]2
1
2
1
2
1
*311
2()d d [()]d d ()()d d d ()d d ()()d ()d d ()d T T
T
B B T
T
B B T T B B V B B
B B
B B Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
∏=Ω-Ω-Ω--=-Ω-Ω+Ω
--??=-Ω--???????????
????????????????????????T T T T T T T T T T f u a -E u p u E n u -u a f u E u p u E n u -u E u a -f u p u p u -u σσσσσσσσσσσ???
此即为H-R 变分原理中的泛函
2
1
*
12
2()d d ()d T T
B B B B Ω
??∏=-Ω--?????????T
T T T E u a -f u p u p u -u ? σ
σσ (4.3.2)
如果H-Z 泛函中σ事先满足平衡方程和应力边界条件, 也就是说
()0=E +f ?σ，
Ω内
()0=E n -p σ，
2B 上
同时应用恒等式
()d [()]d [()]d T T T T B
B Ω
Ω
Ω=+-Ω????????E u E n u E u ??σσσ 可以得到
2
1
2
1
1
*1
321
21
2()d d ()d [()]d d ()d d d d T T T T T T B B T T T T T T
B B B
T T B B B
B B B
B Ω
Ω
Ω
??∏=-Ω--????=--Ω
??--+??=-Ω+=-Γ???????????????????????E u a -f u p u p u -u E u a -f u p u p u -u p u a p u ??σσσσσσσσ
此即为最小余能原理中的泛函(负值)。
4.4 三类变量的广义余能原理
在两类变量的广义余能原理中，泛函为
1
2
2()d [()]d [()]d [()]d T T T
B B V B B
Ω
Ω
Γ=Ω++Ω
--??????????E f u E n u E n -p u ?σσσσ
要求由本构关系得到应变ε
()
T V ?=
?σεσ
或者由几何关系得到应变
()T =E u ?ε
如果解除该约束条件(可以从两类变量的广义变分原理推广得到， 也可以直接从最小余能原理推广得到)，可以得到三类变量的广义余能泛函为
1
2
3()d [()]d [()]d [()]d T T
T T
B B U B B
Ω
Ω
??Γ=-Ω+Ω??
--??????????E +f u E n u E n -p u ?σεεσσσ (4.4.1)
在三类变量的广义余能中有三类自变函数σ,ε,u ,它们都是独立的。由此得到
三类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应使上述的广义余能取驻值。 由三类变量的广义余能原理也可以得到弹性力学的所有方程和边界条件。
下面我们来看三类变量广义势能泛函和三类变量广义余能泛函之间的关系。把(4.3.1) 和(4.4.1)相加有
[]2
1
33[()]d [()]d ()d ()d [()]d [()]d ()d 0
T T B T
T B T T T B
B
B
B Ω
Ω
Ω
Ω
∏+Γ=Ω--Ω-=Ω--Ω
=??????????????????T T E u E n u E u E n u E u E n u E u ????σσσσσσσ
最后等式可从恒等式(3.2.1) 得到。这意味着三类变量的广义势能原理和三类变量的广义余能原理是等价的。
4.5 各种变分原理综述
4.6 广义变分原理的一个注意点
广义变分原理的获得为数值计算带来了方便，但是有一点要注意，在各种变分原理中，能量的表达方式不是任意，广义势能原理中能量要用应变的方式来表示，广义余能原理中能量要用应力的方式来表示。举个例子
例4.1: 如图所示, 等截面杆的长度为l ,横截面面积为A ,材料的杨氏模量为E ，其中一边固定,一边受轴向集中力F 作用.用广义变分原理求解。
图4.1等截面杆的拉伸
如果用最小势能原理求解，设
()u x ax =
那么
,
a Ea εσ==
代入到势能表达式
2
1d 2l Ea A x Fal ∏=
-? 根据最小势能原理
0EalA a F al δδδ∏=-=
从而得到
,F Fx a u ax EA
EA
=
==
如果用三类变量广义变分原理，假设位移，应变和应力的试函数为
(),
(),()u x ax b x cx d x ex f εσ=+=+=+
取应变能为2
12
U E ε=，那么 ()21
32
0()()()d ()l
E cx d ex f cx d a A x
F al b fbA ??∏=+-++--++??? 由
30δ∏=
得到六个方程，求解后得到 /,/,/,0a F EA d F EA f F A b c e ======
因此
/,
/,/u Fx EA F EA F A εσ===
这就是精确解。
如果取应变能为12
U εσ=
，那么
30
1()()()()d ()2
l
E cx d ex f ex f cx d a A x
F al b fbA ??
??∏=++-++--++ ????????
由
30δ∏=
无法确定相应的解。
4.7 广义变分原理历史的简介
1． REISSNER E ．On a variational theorem in elasticity, Journal of Mathematics and Physics ，1950，29(2)：90-98．
Reissner 的论文推动了变形体力学中广义变分原理的研究。
2． 胡海昌．论弹性体力学与受范性体力学中的一般变分原理，物理学报，1954，10(3)：259-289, 三类变量的广义变分原理。
3． WASH IZU K ．On the variational principles of elasticity and plasticity. Technical Report 25—18，Massachusetts Institute of Technology ，1955．
用拉格朗日乘子法得到了三类变量的广义变分原理。
[2]和[3]建立了弹性力学和塑性力学边值问题的广义变分原理，为后来发展起来的杂交有限元和混合有限元法提供了理论依据。
4． GURTIN M E ．Variationnal principles for elastodynamics ．Arch RatMech ，1964，16：34—50.
弹性动力学中变分原理。
[4]建立了弹性力学初值问题(弹性动力学问题)的变分原理和广义变分原理。 习题
1. 仿(4.
2.3)(4.2.7)的证明，对于三类变量的广义变分原理（33,∏Γ），写成对每类变量取极小或极大的表达式。 2. 建立热应力问题的变分原理。
3. 建立电磁-弹性力学问题的变分原理。
课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时） 弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时） 内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时） 位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时） 热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时） 弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时） 圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时） 平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时） 基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时） 弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时）
分析力学基础（一） 华中科技大学CAD中心 张云清 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
分析力学基础（） 分析力学基础（一） 一．经典力学概论 概 二．分析力学的基本概念 三．虚位移原理、达朗伯原理 四．动力学方程的三种形式 四动力学方程的三种形式 五．分析力学的变分原理 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
经典力学概论 典力学研象于 ?经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动； 牛力学 ?牛顿力学 ?拉格朗日力学 ?变分原理 变原 ?哈密尔顿力学 ?分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）?运动稳定性 ?刚体动力学学 ?多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
牛顿力学 ?1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学； 牛顿力学； ?牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律 –动力学基本规律 –研究这些规律的方法—微积分 速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学； 牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–---- 约束的自由质点； ?1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；?1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学； 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
弹性力学学习心得 孙敬龙S4 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编着的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17
世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从 1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表
分析力学的基本内容和基本研究方法 分析力学的研究手段和研究内容 分析力学是经典力学的一部分。它应用纯粹数学分析方法研究质点组机械运动的普遍规律, 由法国数学家和力学家拉格朗日,英国数学家和天文学家哈密顿等人总结发而成。分析力学使牛顿力学得到更广泛的应用。在量子力学、统计物理、量子场论等部门中也都有重要应用。学好这门课程,不但为以后学习专业课打下基础,而主要的是训练我们如何运用力学原理把一个实际问题加以分析、简化,然后借助于数学分析来解决这个问题,最后,再对所得结果加以讨论,并和实际情况相比较。在“四化”建设中,经典力学仍然有它的重大作用,作为一个物理工作者,对这些知识和技能,应当熟练掌握才行。根据自己过去学习的经验,把研究分析力学的方法介绍出来供大家参考。由于笔者水平的限制,难免有错误之处, 欢迎读者批评指正。 研究分析力学的方法:(1)建立原理(虚功原理、达朗贝尔原理、哈密顿原理、最小作用量原理);(2)由原理推导方程(拉格朗日第二类方程、哈密顿正则方程)；（3）解方程即方程式积分(正则变换、泊松定理、哈密顿定理)。 分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。 分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。 一、虚位移原理（虚功原理） 虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所做的虚功和等于零。 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的一种途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不做功 二、动力力学普遍方程 虚功原理设某力学组处在平衡状态, 在组中任取一质点 p，并设作用在质点上的 i
第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹
性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示
《分析力学》简介 The Brief Introduction of Analytical Mechanics 一．分析力学与经典力学 分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达，它通过用广义坐标为描述质点系的变数，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系，其基本原理同牛顿运动三定律之间可以互相推出。 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（也称为“牛顿力学”）。拉格朗日，哈密顿，雅可比等人使用广义坐标和变分法，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。 二．发展历程 从十八世纪开始，在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析力学。 1788 年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。1760～1761 年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。 分析力学的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程－拉格朗日第一类方程。分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日(https://www.doczj.com/doc/869950163.html,grange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。 1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。 随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。
对力学变分原理发展的一些回顾 ——严正驳斥何吉欢的造谣诽谤 刘高联 I）引言 从一月底开始，何吉欢匿名（不断变换着各种化名，如阿正、阿山、阿长江、东施等，有时也用本名）在互联网上对我、廖世俊、黄典贵等教授以及国家自然科学基金委和上海交大进行了大量的造谣诬蔑和人身攻击。只要是对他的学术错误、道德作风、申请奖励或基金等有过不同意见，你都会立即遭到他的恶意攻击，无一幸免，他完全是一套流氓势派。近5年来，何吉欢炮制了大量文章，其数量之滥、逻辑之混乱、错误之奇、手法之‘巧’，实在让我们大开眼界，不愧为造文章之圣手！就因为我最清楚他的品学底细，又不肯同他同流合污，因而就成了他欺世盗名、立地升天的唯一障碍，必欲去之而后快。于是竟搞起了恶人先告状的勾当，妄想通过互联网进行造谣诽谤宣传把我搞臭，他就可以自由飞升了。且慢，何吉欢自吹的‘伟大’发现（发现了Lagrange乘子的逻辑矛盾等）、践踏热力学第二定律、声称建立了国际上最好的变分原理等，都可以从他在国内外的‘巨著’白纸黑字中进行检验的，而他诬蔑我的剽窃也是有历史可查的，不是由他说了就算的。现在就让我们来看看事实。 II）连续介质力学变分原理简史 引入缩写：VP—变分原理；GVP—广义变分原理；SGVP—亚广义变分原理；GGVP—GVP的普遍形式；PDE—偏微分方程。
A）弹性力学： 1865、1873：Cotterill & Castigliano提出了弹性静力学最小势能、余能原理1914、1950：Hellinger & Reissner提出弹性静力学广义VP 1954、1955：胡-鹫（胡海昌-Washizu）广义VP 1979（1964）：钱伟长用拉氏乘子法首先将最小势（余）能VP推广到GVP（机械工程学报，1979年第2期） 1983：钱伟长，高阶拉氏乘子法（应用数学和力学，1983年第2期） B）流体力学 1882：Helmholtz粘性缓流最小耗散VP 1929：Bateman势流的VP 1955、1963：Herivel-Lin欧拉型GVP（林氏约束） 1979（1976）：刘高联，旋成面叶栅正命题VP与GVP（力学学报，1979年第4期）全国叶轮机气动热力学交流会（1976年5月，北京） 1980（1978）：刘高联，旋成面叶栅杂交命题GVP（Scientia Sinica, 1980, No. 10）1984：钱伟长，粘性VP（用权余法从PDE导VP）（应用数学和力学，1984年第3期） 1985：胡海昌，关于拉氏乘子及其它（力学学报，1985年第5期） III）建立与PDE对应的VP的方法： A）数学方法： 1）Vainberg定理：对N - f = 0 VP存在性要求N对称，即为有势算子（充分，但非必要）
第十一章弹性力学的变分原理 一.内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二.重点 1. 几何可能的位移和静力可能的应力； 2. 弹性体的虚功原理； 3. 最小势能原理及其应用； 4. 最小余能原理及其应用； 5. 有限元原理的基本概念。 知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力
应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有限元整体分析 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 附录3 变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。
第十一章 弹性力学的变分原理 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法 伽辽金(Γa∏epκuH )法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小 势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困 难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。 一般问题的求解是十分困难的， 甚至是 不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。 变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。 知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方 程 最小余能原理的近似解 法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有 限元整体分析
、重点 1几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。 §11.1弹性变形体的功能原理 学习思路： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 (Tt UJ C 首先建立静力可能的应力「：，和几何可能的位移’概念；静力可能的应力 和几何可能的位移；可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u;另外一部分是表面积的面力给定，称为S O如图所示
弹性力学学习心得 孙敬龙S201201024 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编著的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求
第五章分析力学 解题指导 在前面各章都是按“牛顿方式”研究力学问题，即为矢量力学。它和分析力学在观点和方法上都有区别。矢量力学所牵涉到的量大都是矢量。力和动量是它的两个基本量；而分析力学是拉格朗日和哈密顿等人所建立的变分原理为基础的，牵涉到的量为标量，基本量是能量。搞清矢量理学与分析力学的主要区别，对解决分析力学有关问题大有好处。我们将其主要区别归纳如下： 1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，但往往由于约束力性质未知，所以事先既要讨论对它作出的某些假设，事后又常常要将它从方程中消去；分析力学在承认这些条件的前提下进行讨论，而不追问需要在何处用什么力来维持这些条件。这样，解题就会方便得多，这是分析力学的一个优点。 2、在建立运动微分方程时，在分析力学中可以根据统一的最小作用量原理求得。这样又极值原理所得方程与坐标系无关。当应用矢量力学寻找加速度时，尤其在空间问题中往往要用坐标系或柱坐标中的分量是去解题，这无疑给读者会带来一些困难，这也是在矢量力学中很少使用柱，球坐标系的原因（除非迫不得已）；而在分析力学中这个困难就不复存在。 3、在处理质点组问题时，矢量力学是将个别质点孤立出来，分析每个质点所受的力，再用牛顿定律建立它们的运动微分方程；而分析力学是将质点组看成一个整体，只需求出一个仅与各质点位置（速度）有关的标函数。单凭微分便能获得有关各力的知识，并得到整个质点组的运动微分方程。 4、分析力学是以普通原理为基础（微分或积分的方法），采用分析手段导出系统整体的基本运动微分方程，并研究这些方程本身及积分的方法，与数学的关联更加紧密。因此，线性常微分方程组及非线性微分方程经常会碰到，数学上求泛函数的极值方法则是分析力学中哈密顿原理的基础了。所以，具有高等数学知识的读者不难解决较复杂的力学问题。为了能更具体理解分析力学的解体方法，
第3章 弹性力学经典变分原理 3.1 弹性力学基础 3.1.1 变形分析 要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。 图3.1物质坐标系和空间坐标系 矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示 ,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1) 其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即 123(,,), (1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2) 也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标 123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数 123(,,), (1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4) 称之为Lagrange 描述。如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数 123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5) 称之为Euler 描述。 我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为
弹性力学 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 弹性力学的发展简史 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力
学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利──里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。 弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
第一章分析力学 到现在为止，我们所研究的力学问题，基本上是用牛顿运动定律来求解的。但用牛顿运动运动定律来求质点组的运动问题时，常常需要求解大量的微分方程组。如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此而减少，甚至是增加了问题的复杂性。十八、十九世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题。因此迫切需要寻求另外的方法来处理这一问题。 1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》，在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题，而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图也没有。在此基础上逐步发展成为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。 分析力学以拉格朗日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式。通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。而牛顿力学涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。由此看来，分析力学和牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已。对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣（lie）之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。 分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值。它广泛的应用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统、机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。许多新兴学科，如量子力学、相对论、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。但是，由于分析力学中的数学推理较多，在历史上也发生过一些不良倾向，容易使人忘记力学的物理实质，对此我们应当引以为戒。
对力学变分原理发展的一些回顾——严正驳斥何吉欢的造谣诽谤 刘高联 I）引言 从一月底开始，何吉欢匿名（不断变换着各种化名，如阿正、阿山、阿长江、东施等，有时也用本名）在因特网上对我、廖世俊、黄典贵等教授以及国家自然科学基金委和上海交大进行了大量的造谣污蔑和人身攻击。只要是对他的学术错误、道德作风、申请奖励或基金等有过不同意见，你都立即遭到他的恶意攻击，无一幸免，他完全是一套流氓势派。近5年来，何吉欢炮制了大量文章，其数量之滥、逻辑之混乱、错误之奇、手法之‘巧’，实在让我们大开眼界，不愧为造文章之圣手！就因为我最清楚他的品学底细，又不肯同他同流合污，因而就成了他欺世盗名、立地升天的唯一障碍，必欲去之而后快。于是竟搞起了恶人先告状的勾当，妄想把我搞臭，他就可以自由飞升了。且慢，何吉欢自吹的‘伟大’发现（发现了Lagrange乘子的逻辑矛盾等）、国际上最好的变分原理等，都可以从他在国内外的‘巨著’白纸黑字中进行检验的，而他污蔑我的剽窃也是有历史可查的，不是由他说了就算的。现在就让我们来看看事实。 II）连续介质力学变分原理简史
1865、1873：Cotterill & Castigliano提出了弹性静力学最小势能、余能原理 1914、1950：Hellinger & Reissner提出弹性广义VP 1954、1955：胡-鹫广义VP 1979（1964）：钱伟长用拉氏乘子法首先将最小势（余）能VP推广到GVP（机械工程学报，1979年第2期） 1983：钱伟长，高阶拉氏乘子法（应用数学和力学，1983年第2期）B）流体力学 1882：Helmholtz粘性缓流最小耗散VP 1929：Bateman势流的VP 1955、1963：Herivel-Lin欧拉型GVP（林氏约束） 1979（1976）：刘高联，旋成面叶栅正命题VP与GVP（力学学报，1979年第4期）全国叶轮机气动热力学交流会（1976年5月，北京）1980（1978）：刘高联，旋成面叶栅杂交命题GVP（Scientia Sinica, 1980, No. 10） 1984：钱伟长，粘性VP（用权余法从PDE导VP）（应用数学和力学，1984年第3期） 1985：胡海昌，关于拉氏乘子及其它（力学学报，1985年第5期）III）建立PDE对应VP的方法：
分析力学的形成及其不同的表示 摘要：分析了分析力学的历史背景及发展历程，介绍了分析力学的一些重要方程 和几种不同的表示方法. 关键词：约束力；虚功原理；非惯性系；拉格朗日方程；哈密顿原理；哈密顿正 则方程；积分形式；微分形式 引言：分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系 的基本运动微分方程,并研究这些方程本身以及它们的积分方法.分析力 学作为一般力学的一个分支,以广义坐标为描述质点系的变量,以虚位移 原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问 题,不必考虑理想约束,可以很方便地建立力学体系的运动微分方程,对一 些力学问题的解法进行优化，可以更加快速的求解.近20年来,又发展出 用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法.分析力学是经典物 理学的基础之一,也是整个力学的基础之一.它广泛用于结构分析、机器动 力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领 域,也可推广应用于连续介质力学和相对论力学. 一、分析力学的历史背景 分析力学是18世纪后叶随着工业革命的迅速发展而建立起来的. 到现在为止，我们所研究的力学问题基本上是以牛顿运动定律来求解的，但是在求质点组的运动问题时，常常要解算大量的微分方程组，如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此减少甚至增加了问题的复杂性.18、19世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题.因此，迫切需要寻求另外的方法来解决这些问题.许多科学家将分析的方法用于力学解决了许多当时没有解决的问题，分析力学正是在这种历史的大背景下产生的. 二、分析力学的发展历程 1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作.分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上.两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程.1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的.1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程.汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题.从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论.20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究. 三、分析力学的形成 （一）分析力学的基本方程及条件 对于完整保守系统，其基本方程及条件如下： 1、广义速度广义位移关系 q dt q d v ==/， （3.1.1） 式中广义速度向量()()()[] T n t v t v t v v ,,,21 =,广义位移向量
一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静 力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单 的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时， 应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他 们的正负号？
由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。 7.什么是差分法？写出基本差分公式？ 差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代