函数的反函数

函数的反函数

函数与反函数是数学中非常重要的概念，它们在各种领域中都有着广泛的应用。函数是描述两个或多个变量之间关系的数学表达式，反函数则是把函数反过来求解的方法。

首先，让我们来看看什么是函数。函数是一个能够定义某种关系的数学表达式，比如y=f(x)，它表示y和x之间的关系，即当x的值改变时，y的值也会改变，而且两者之间的关系是

一定的，不会改变。

反函数是函数的逆运算，也就是把函数表达式反过来求解。比如，如果有函数y=f(x)，则反函数就是x=f-1(y)，它表示x

和y之间的关系，即当y的值改变时，x的值也会改变，而且

两者之间的关系是一定的，不会改变。

反函数的求解并不总是容易的，有时需要用到微积分的知识才能求解出反函数，比如有函数 y=f(x)=x^2+

1，它的反函数就是x=f-1(y)=sqrt(y-1)。

另外，反函数也可以用来解决很多实际问题，比如求解贝叶斯公式中的概率值。比如如果要求解P(A|B)，那么可以先

求解P(B|A)，然后用反函数求解P(A|B)。

此外，反函数也可以用来求解复杂的数学方程，比如求解一元二次方程，它的解就是反函数的结果。

总之，函数与反函数是数学中非常重要的概念，它们在不同的领域中都有着广泛的应用，比如求解概率值、解决复杂的数学方程等等。

反函数定义

反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数；

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

反函数与原函数的转化公式

反函数与原函数的转化公式 反函数与原函数是函数中相互转化的概念。反函数指的是，如果函数 f的定义域为A，值域为B，当对于定义域为B的每个元素y，存在唯一的 x∈A，使得f(x)=y，则称函数f的反函数为g，即g(y)=x。原函数指的 是函数的原始形式。反函数与原函数是互逆的关系，即f(g(x))=x， g(f(x))=x。 一、对称性公式： 如果函数 f 是一条直线的方程 y = ax + b，且a ≠ 0，则它的反 函数为 g(y) = (y - b) / a。 证明：设 f(x) = y = ax + b，则有 x = (y - b) / a，即 g(y) = (y - b) / a。 二、平方根函数和平方函数的转化公式： 1.如果原函数f(x)=x^2，定义域为实数集R，那么它的反函数为 g(y)=√y。 证明：设f(x)=x^2=y，若y≥0，则x=√y，即g(y)=√y。若y<0， 则对于实数集R，不存在f(x)=y，因此在y<0时，g(y)无定义。 2.如果原函数f(x)=√x，定义域为非负实数集[0,+∞)，那么它的反 函数为g(y)=y^2 证明：设f(x)=√x=y，由于定义域为非负实数集[0,+∞)，所以y≥0。通过两边平方可得x=y^2，即g(y)=y^2 三、指数函数和对数函数的转化公式：

1. 如果原函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，定义域为实数集 R，那么它的反函数为 g(y) = logₐy。 证明：设 f(x) = a^x = y，取对数可得 x = logₐy，即 g(y) = logₐy。 2. 如果原函数 f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，定义域为正实数集(0, +∞)，那么它的反函数为 g(y) = a^y。 证明：设 f(x) = logₐx = y，则 a^y = x，即 g(y) = a^y。 以上是几个常见反函数与原函数转化的公式。需要注意的是，函数的反函数存在的前提是原函数是一对一的函数（即对于不同的x值，函数值f(x)是不同的），这样才能保证反函数的存在性和唯一性。

反函数定义

反函数定义 一般地，设y=f(x)(x∈A)的是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=g(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是，x是y的函数，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、.反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上一致； （4）大部分不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切具有反函数； (6)一段连续的在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2x 例题：求函数3x-2的反函数

解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I}内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。 ⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。 ⑷从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f’(x) 定义域：AC 值域：CA

反函数的原理

反函数的原理 反函数是一个非常重要的概念，在数学中很常见，它与函数之间构成了一种互逆的关系，反函数可以帮助我们解决一些问题。 反函数的定义：对于一个函数 f(x) ,如果存在另一个函数 g(y) 使得 g(f(x))=x,且f(g(y))=y，那么g(y)就是f(x)的反函数。 其中，f(x)是原函数，g(y)是反函数，它们互为反函数。 举例来说，如果我们有一个函数 f(x)=2x+1，那么可以求出它的反函数 g(x)=(x-1)/2。因为g(f(x))=(2x+1-1)/2=x,所以g(x)是f(x)的反函数；同样的，对于任意的y，f(g(y))=2((y-1)/2)+1=y，所以g(x)也是f(x)的反函数。 关于反函数，有以下原理： 一个函数的反函数是唯一的，这意味着如果存在2个反函数g_1(x)和g_2(x),那么它 们在定义域上必须相等。证明如下： 假设有2个反函数g_1(x)和g_2(x)都是f(x)的反函数，而且它们的定义域分别为D_1和D_2。 那么对于任意的x∈D_1∩D_2,有： g_1(f(x))=x (1) 由（1）式得：g_2(g_1(f(x)))=g_2(x)，即g_2(f(x))=g_2(x) 因此，在D_1∩D_2上，g_1(x)=g_2(x)。 一个函数有反函数的必要条件是它单调且一一映射，因为反函数的定义要求它们互为 反函数，这说明它们的定义域必须一一对应。证明如下： 假设f(x)是一个单调递增的函数，那么如果存在两个不同的数a和b，使得f(a)=f(b)，那么a

函数中的反函数与复合函数

函数中的反函数与复合函数 在数学中，函数是一种关系，它将一个集合的元素映射到另一个集 合的元素。为了更好地研究函数之间的关系，我们引入了反函数和复 合函数的概念。 一、反函数 反函数是函数的一种特殊关系，它表示如果存在函数f将集合A的 元素映射到集合B的元素，那么存在一个反函数f^-1，它将集合B的 元素映射回集合A的元素。 具体而言，函数f满足f(a)=b，那么反函数f^-1满足f^-1(b)=a。反 函数是原函数的逆关系，它将原函数的输入值与输出值互换。 反函数的存在条件是保证原函数是一对一映射，即每个输入值对应 唯一的输出值。这是因为反函数需要保证输出值能够唯一确定输入值，否则就会出现多个输入值对应同一个输出值的情况，违背了函数的定义。 二、复合函数 复合函数是将一个函数作用在另一个函数上得到的新函数。设有函 数f将集合A的元素映射到集合B的元素，函数g将集合B的元素映 射到集合C的元素，那么它们的复合函数记作g(f(x))，表示先使用函 数f，再使用函数g。

具体而言，对于集合A中的元素x，使用函数f先将其映射到集合B的元素f(x)，再将f(x)映射到集合C的元素g(f(x))。复合函数相当于一系列函数的组合操作，可以将多个函数的作用串联起来。 复合函数的定义要求保证函数的输入和输出能够相互对应，即函数f的输出值能够作为函数g的输入值。这样才能确保复合函数的定义是合法的。 三、反函数与复合函数的关系 反函数与复合函数是函数之间的两种不同关系，它们有一些相似之处，同时也有一些本质上的区别。 首先，反函数和复合函数都是一种基于原函数的推导或构造。反函数是通过将原函数的输入值与输出值互换得到的，而复合函数是通过将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值得到的。 其次，反函数和复合函数的性质也存在联系。对于函数f和其反函数f^-1，有以下性质成立：f(f^-1(x))=x和f^-1(f(x))=x。这意味着如果一个函数与其反函数进行复合操作，结果仍然是输入值本身。 最后，反函数和复合函数在定义上存在差异。反函数的定义要求原函数是一对一映射，而复合函数的定义要求函数的输入和输出能够相互对应。 综上所述，函数中的反函数与复合函数是两种不同的概念，它们都是为了更好地研究函数之间的关系而引入的。反函数通过将函数的输入值与输出值互换得到，复合函数通过将一个函数的输出值作为另一

函数与反函数的关系公式

函数与反函数的关系公式 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数f(x)，使得在该区间 内的任一点都有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数f(x)为函数f(x)的原函数。 例如：sinx是cosx的原函数。 什么就是反函数 一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y) 都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的' 反函数就是对数函数与指数函数。 通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的 反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必 须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。 ①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反 函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。 ②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。 ③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点： ④偶函数必并无反函数。 ⑤单调函数必有反函数。 ⑥奇函数如果存有反函数，其反函数也就是奇函数。 ⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。 ⑧互为反函数的图象间的关系。 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系 的理解要注意以下三点： 1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐 标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结 论的； 2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；

函数与反函数之间的关系

函数与反函数之间的关系 在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。例如，一个简单的函数可以将每个人的身高映射到他们的体重。反函数则是函数的逆运算，它将一个集合中的元素映射回原来的集合中。 在数学中，函数与反函数之间有着密切的关系。一个函数的反函数是将其输出作为输入，将其输入作为输出的函数。例如，如果函数f(x)将x映射到y，则其反函数f-1(y)将y映射回x。因此，函数和反函数是互逆的，它们的合成恒等于恒等函数。 函数与反函数之间的关系可以用以下方式表示：如果函数f(x)具有反函数，则f-1(f(x))=x，且f(f-1(y))=y。这意味着，如果我们将一个元素通过函数f(x)映射到另一个元素，然后再将该元素通过反函数f-1(y)映射回原来的元素，我们将得到原始元素。 例如，假设我们有一个函数f(x)=2x，它将一个数乘以2。那么它的反函数是f-1(y)=y/2，它将一个数除以2。现在，假设我们将数字4通过函数f(x)映射为8，然后将数字8通过反函数f-1(y)映射回4，我们将得到原始数字4，这证明了函数与反函数之间的关系。 函数与反函数的关系也可以用图形表示。如果我们将函数f(x)绘制在坐标系中，它将形成一条曲线。然后，我们可以通过对该曲线进行镜像来绘制反函数f-1(y)。这将形成另一条曲线，它是通过将原

始曲线沿着y=x轴翻转而得到的。 需要注意的是，并非所有函数都具有反函数。为了具有反函数，函数必须是一对一的，即每个输入都有唯一的输出。如果函数不是一对一的，则它将无法恢复原始输入，因为多个输入可以映射到相同的输出。例如，函数f(x)=x^2不是一对一的，因为它将正数和负数映射到相同的输出，因此它没有反函数。 在实际应用中，函数与反函数之间的关系非常重要。例如，在密码学中，加密算法通常使用函数和反函数来加密和解密数据。在统计学中，函数和反函数可以用来转换变量的度量单位。因此，理解函数与反函数之间的关系可以帮助我们更好地理解数学、科学和工程中的许多问题。

函数的反函数与导数的关系

函数的反函数与导数的关系函数是数学中一个非常重要的概念，而反函数的概念也在函数的研究中起到了至关重要的作用。在这篇文章中，我们将讨论函数的反函数与导数的关系，探索它们之间的联系和相互作用。 一、反函数的定义与性质 反函数是指对于一个函数 f(x)，如果存在另一个函数 g(x)，使得对于 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x 成立，则称 g(x) 为 f(x) 的反函数。反函数可以看作是对原函数进行逆运算的结果。 对于反函数来说，它具有以下几个重要的性质： 1. 原函数和反函数的定义域和值域互换。即原函数 f(x) 的定义域是反函数 g(x) 的值域，反之亦然。 2. 原函数和反函数的图像关于直线 y = x 对称。这意味着通过绘制原函数和反函数的图像，我们可以轻松地找到它们之间的关系。 3. 原函数和反函数的导数互为倒数。也就是说，如果原函数 f(x) 在某一点 x0 处可导，那么反函数 g(x) 在相应的点 y0（即 f(x0)）处也可导，并且有 g'(x0) = 1/f'(x0)。 二、导数的定义与性质 导数是用来描述函数变化率的概念。对于函数 f(x)，它的导数 f'(x) 可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。导数具有以下几个重要的性质：

1. 导数可以用极限来定义。即 f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。 2. 导数可以表示函数的斜率。对于函数 f(x)，如果它在某一点 x0 处可导，则它在该点的斜率为 f'(x0)。 3. 导数可以表示函数的切线方程。对于函数 f(x)，如果它在某一点 x0 处可导，则它在该点的切线方程为 y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)。 三、反函数与导数的关系 通过前面对反函数和导数的讨论，我们可以看到它们之间存在着紧 密的联系。具体来说，反函数和导数之间的关系可以总结如下： 1. 如果原函数 f(x) 在某一点 x0 处可导且导数不为零，则反函数 g(x) 在相应的点 y0（即 f(x0)）处也可导，并且有 g'(x0) = 1/f'(x0)。 这一关系意味着反函数的导数与原函数的导数互为倒数，它们之间 存在着一种微妙的联系和平衡。 2. 如果原函数 f(x) 在某一区间内单调递增（或单调递减），那么反 函数 g(x) 在相应的区间上也单调递增（或单调递减）。 这一关系可以从反函数的定义以及原函数和反函数图像的关系中得 到解释。它强调了原函数和反函数在函数变化性质上的相似性。 综上所述，函数的反函数与导数之间存在着密切的联系和相互作用。反函数可以帮助我们更好地理解和研究原函数的性质，而导数则可以 为计算反函数提供有力的支持。通过深入研究函数的反函数与导数的

函数的反函数和复合函数的基本性质

函数的反函数和复合函数的基本性质在学习高中数学的时候，函数是一个重要的概念。我们可以将函数理解为一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。在数学中，有几个与函数相关的概念特别重要，即反函数和复合函数。 一、反函数 一个函数的反函数指的是，如果有一个函数f将集合A的元素映射到集合B的元素上，那么如果我们将这个函数的定义域（即集合A）和值域（即集合B）互换，再把原来的函数的自变量和因变量互换，我们就得到了原函数的反函数。记作f-1(x)，读作“f 的反函数”。 那么如何求一个函数的反函数呢？我们以一个简单的例子来说明。 例1：给定函数f(x) = 2x + 1，求它的反函数。 首先，我们假设f(x)的反函数为f-1(x)，即f-1(x) = ?。

其次，我们将f(x)的自变量x和因变量y互换，得到x = 2y + 1。 接着，我们解出y，得到y = (x - 1) / 2。这样，我们就得到了 f(x)的反函数： f-1(x) = (x - 1) / 2 在这个例子中，我们假设了函数f(x)存在反函数。但实际上， 并不是所有的函数都存在反函数。例如，函数f(x) = x2就没有反 函数，因为它不是一一映射。 二、反函数的性质 反函数有以下几个性质： 1. f(f-1(x)) = x 2. f-1(f(x)) = x

3. 如果函数f在区间I上是单调递增或单调递减的，那么它的 反函数f-1也在其定义域上是单调递增或单调递减的。 以上三个性质是非常重要的，因为它们保证了反函数的存在和唯一性。 三、复合函数 复合函数指的是，将两个或两个以上的函数按一定的方式连接起来，形成一个新的函数的过程。如果我们将两个函数 g(x) 和 f(x) 连接起来，形成的新函数为 h(x) = g(f(x))，它满足以下两个条件： 1. f(x) 和 g(x) 的定义域和值域满足一定的条件，使得 g(f(x)) 有意义。 2. f(x) 的值域包含在 g(x) 的定义域内。 例2：给定函数f(x) = 2x + 1 和 g(x) = x2，求复合函数h(x) = g(f(x))。

函数的反函数与反常积分

函数的反函数与反常积分 在数学中，我们经常会遇到函数的反函数以及反常积分的概念。这两个概念有着密切的联系，同时也被广泛应用于各个领域中。 下面，我们将分别从函数的反函数和反常积分的角度来探讨它们 的含义、性质以及应用。 函数的反函数 函数的反函数指的是如果一个函数y=f(x)从实数集合X到实数 集合Y的映射是一一对应的，并且定义域和值域的大小是相等的，那么就称f(x)的反函数为g(y)。也就是说，如果y=f(x)满足x1≠x2 且f(x1)=f(x2)，那么这个函数不是一一对应的，也就不存在反函数；但是如果一个函数y=f(x)是一一对应的，那么这个函数就有 反函数。反函数在很多场景中都有很重要的应用，例如：在密码 学中，反函数被用于生成密钥，以及图像处理中的反函数会帮助 我们探索原始图像的颜色等信息。 下面，我们以y=x^2为例来说明如何求这个函数的反函数： 关于y=x^2函数的反函数：

1. 确定函数y=x^2的定义域为[0,+∞)； 2. 令y=x^2, 将其转变为x=sqrt(y)，即反函数g(y)=sqrt(y)。 反函数的性质： 1. 函数f(x)和它的反函数g(y)所表示的两个函数之间是对称的，也就是f(g(y))=y，g(f(x))=x; 2. 反函数的定义域和值域和原函数的定义域和值域相反。 反常积分 对于函数f(x)，在某些情况下，当对其进行积分时可能会出现 一些特殊情况，例如积分区间无限大或积分函数在某些点不连续等，这时我们就需要用到反常积分的概念。 反常积分又可以分为两种情况：

1.第一类反常积分是指被积函数在积分区间中某点的函数值无限大或不存在，如∫(0,+∞)1/x dx。 2.第二类反常积分是指积分区间无限大，如∫(-∞,+∞)e^(-x²)dx。 下面我们以第一类反常积分为例，来看一下如何计算： 关于∫(0,+∞)1/x dx的计算： 1. 将积分区间改写为(0,1)，和(1,+∞)两个积分区间； 2. 接下来针对每个积分区间进行计算： 1. 当区间为(0,1)时，计算∫(0,1)1/x dx，积分结果为lnx； 2. 当区间为(1,+∞)时，计算∫(1,+∞)1/x dx，积分结果为lnx； 最终得到∫(0,+∞)1/x dx的积分结果为：ln(+∞)-ln(0)=+∞。

反函数

反函数 知识精要： 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1f y -。在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为 ()1y f x -=()x A ∈ 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M （a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y f x -=图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不 一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有 反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x = ； （5）y=f(x)与()1y f x -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有 f [()1f x -]=x ()x A ∈, ()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反 函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较； （9

）y=f(x)与()1 y f x -=图像若有公共点， 并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭ =有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=； （3）改写：在()1x f y -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 名题精解 1．求函数的反函数问题 例1、求函数5 21 x y x += -的反函数 解题策略：按求反函数的常规步骤求解。 解：521x y x +=-= 111111511 12241112222222 x x y R y x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+⇒∈≠---且 由5 21 x y x += -⇒(2x-1)y=x+5⇒(2y-1)x=5+y ⇒521y x y +=-⇒原函数反函数为 ()1y f x -== 51212x x R x x +⎛⎫ ∈≠ ⎪-⎝⎭且注意：要养成标明反函数定义域习惯：仿 本例做法如()0ax b y c cx d += ≠+的函数值域为/,a y y y R c ⎧⎫ ≠∈⎨⎬⎩⎭ 。 例2、求函数 y=2x -8x+13(x≤4) 的反函数 解题策略：按求反函数的常规步骤求解。 解：由y=2x -8x+13⇒y=()2 4343x x y --≤⇒≥-又 由 y=()( )2 2 4343444x x y x x x --⇒-=+≤⇒-=⇒=⇒又 原函数的反函数为y=)3x ≥-