反演规则求反函数
反演规则求反函数
反函数是数学中常见的概念，反函数是函数的反转，它是一种特殊的函数，可以将函数的输入和输出反转。换句话说，反函数就是将函数的x和y坐标反转。在数学中，我们可以使用反演规则来求反函数。
一、定义反函数
反函数是一种特殊的函数，也称为反对称函数，它是把原函数f(x)的输入和输出反转的函数。反函数的定义是：如果函数f(x)的输入是x，输出是y，那么反函数的输入是y，输出是x，即：f^{-1}(y)=x。例如，函数f(x)=2x+1的反函数就是f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}。
二、反演规则
反演规则是求反函数的一种方法。它的基本原理是：对于函数f(x)的反函数，则f^{-1}(y)=x，将函数f(x)的x和y坐标反转，即可求出反函数，即：f^{-1}(y)=x=f(x)。反演规则求反函数的具体步骤如下：
1、将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)；
2、移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y；
3、将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；
4、结论：此时反函数f^{-1}(y)的形式和原函数f(x)的形式一致，即反函数f^{-1}(y)=x=f(x)。
三、例题
例1：求函数f(x)=2x+1的反函数。
解：根据反演规则，将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)，即y=2x+1；
移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y，即f^{-1}(x)=2x+1；
将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；
结论：此时反函数f^{-1}(y)=x=f(x)，即反函数f^{-1}(y)=2y+1。
例2：求函数f(x)=\frac{1}{x}的反函数。
解：根据反演规则，将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)，即y=\frac{1}{x}；
移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y，即f^{-1}(x)=\frac{1}{x}；
将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；
结论：此时反函数f^{-1}(y)=x=f(x)，即反函数f^{-1}(y)=\frac{1}{y}。
四、总结
反演规则是求反函数的一种方法，它的基本原理是：对于函数f(x)的反函数，则f^{-1}(y)=x，将函数f(x)的x和y坐标反转，即可求出反函数，即：f^{-1}(y)=x=f(x)。反演规则求反函数的具体步骤是：将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)；移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y；将函数f^{-1}(x)中的x和y 坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；结论：此时反函数f^{-1}(y)的形式和原函数f(x)的形式一致，即反函数f^{-1}(y)=x=f(x)。通过反演规则，可以轻松求解反函数。
反演规则求反函数 反演规则求反函数 反函数是数学中常见的概念，反函数是函数的反转，它是一种特殊的函数，可以将函数的输入和输出反转。换句话说，反函数就是将函数的x和y坐标反转。在数学中，我们可以使用反演规则来求反函数。 一、定义反函数 反函数是一种特殊的函数，也称为反对称函数，它是把原函数f(x)的输入和输出反转的函数。反函数的定义是：如果函数f(x)的输入是x，输出是y，那么反函数的输入是y，输出是x，即：f^{-1}(y)=x。例如，函数f(x)=2x+1的反函数就是f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}。 二、反演规则 反演规则是求反函数的一种方法。它的基本原理是：对于函数f(x)的反函数，则f^{-1}(y)=x，将函数f(x)的x和y坐标反转，即可求出反函数，即：f^{-1}(y)=x=f(x)。反演规则求反函数的具体步骤如下： 1、将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)； 2、移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y； 3、将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x； 4、结论：此时反函数f^{-1}(y)的形式和原函数f(x)的形式一致，即反函数f^{-1}(y)=x=f(x)。 三、例题 例1：求函数f(x)=2x+1的反函数。 解：根据反演规则，将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)，即y=2x+1； 移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y，即f^{-1}(x)=2x+1； 将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x； 结论：此时反函数f^{-1}(y)=x=f(x)，即反函数f^{-1}(y)=2y+1。
函数反函数：反函数的求解函数是数学中常见的概念，可以描述不同数值之间的关系。而函数的反函数则是指通过互换自变量和因变量得到的新函数，它是原函数的逆运算。求解函数的反函数是数学分析中的重要内容，本文将介绍反函数的概念、求解方法以及实际应用。 一、反函数的概念 在数学中，函数$f$的反函数被定义为对于函数$f$的每个定义域上的值$y$，存在一个值$x$，满足$f(x)=y$。简言之，反函数可以将原函数的输出作为输入并得到原函数的输入值。 二、反函数的求解方法 求解函数的反函数的方法基本上可以分为以下两种：一种是通过代数方法求解，另一种是通过图像的对称性求解。 1. 代数方法求解反函数 假设原函数为$f(x)$，我们要求解它的反函数。首先，将函数 $f(x)$表示为$y=f(x)$的形式。然后，将方程中的$x$和$y$互换，得到$y=f^{-1}(x)$，其中$f^{-1}(x)$表示函数$f$的反函数。最后，解出 $x=f^{-1}(y)$，即可得到反函数。 举例来说，如果有一个函数$f(x)=2x+3$，我们要求解它的反函数。将方程$y=2x+3$中的$x$和$y$互换，得到$x=2y+3$。解出$x$，即可得到反函数$f^{-1}(x)=(x-3)/2$。
2. 图像对称性求解反函数 有些函数具有对称性，根据图像的对称性可以快速求解反函数。例如，如果函数的图像关于直线$y=x$对称，那么函数的反函数即为其本身。 三、反函数的实际应用 反函数在实际问题中具有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1. 函数的逆运算 反函数是原函数的逆运算，可以帮助我们解决一些复杂的函数方程。例如，在金融领域中，我们经常需要计算贷款的还款额和利息，这就 需要使用到函数的反函数。 2. 数据的加密和解密 反函数在密码学中起着重要的作用。通过选择合适的函数和反函数，可以实现数据的加密和解密，保护数据的安全性。 3. 建立映射关系 反函数可以用于建立不同变量之间的映射关系。例如，在地图导航 系统中，我们可以根据地理坐标来确定两个地点之间的距离，反函数 则可以将距离转换为实际路程或时间。 四、总结 函数的反函数是一种重要的数学概念，它可以通过代数方法或图像 对称性求解。求解反函数在数学分析和实际应用中具有广泛的应用。
反函数求解技巧 反函数求解是在数学中常用的方法，用于求解给定函数的反函数。反函数求解技巧可以帮助我们找到函数的反函数，并用简单的方法表示出来。本文将介绍一些常见的反函数求解技巧。 一、一元函数反函数求解技巧： 1. 将函数转化为方程：对于给定的函数y=f(x)，我们可以将其转化为方程y=f(x)，然后通过解方程的方法求得x 和y之间的关系。如： 设 y = f(x)，求 f(x) 的反函数。 解法：令 x = f(y)，然后解方程得到 y = f^-1(x)。 2. 利用函数的性质：对于一些特定的函数，可以利用函数的性质来求解反函数。例如，对于指数函数y=a^x，其反函数为y=log_a(x)，其中log_a(x)表示以a为底的对数。对数函数y=log_a(x)的反函数为y=a^x。 3. 对称性法：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来求解反函数。例如，对于奇函数y=f(x)，其反函数也是奇函数，可以利用对称性来求解。同样，对于偶函数y=f(x)，其反函数也是偶函数，可以利用对称性来求解。 4. 逆运算法：对于一些函数，可以通过求其逆运算来求得反函数。例如，对于三角函数y=sin(x)，其反函数为
y=arcsin(x)，表示求解反三角函数。同样，对于指数函数y=a^x，其反函数为y=log_a(x)，表示求解反对数函数。 5. 图像法：对于一些函数，可以通过观察函数的图像来求解反函数。例如，对于单调递增函数，其反函数也是单调递增函数；对于单调递减函数，其反函数也是单调递减函数。可以通过观察函数的图像来确定反函数的性质。 二、多元函数反函数求解技巧： 对于多元函数，反函数求解技巧变得更加复杂。以下是一些常见的技巧： 1. 隐函数求导法：对于给定的方程表达式，可以通过求导来求解反函数。首先，将方程关于y求导，然后解此方程得到关于x的表达式，即为反函数的表达式。例如，对于方程y=x^2+2x+1，可以通过求导得到dy/dx=2x+2，然后解此方程得到x=(y-1)/2，即为反函数的表达式。 2. 偏导数法：对于多元函数，可以使用偏导数法来求解反函数。首先，对多元函数求偏导数，然后将偏导数表达式转化为方程组，再解此方程组得到反函数的表达式。例如，对于二元函数z=f(x,y)，可以分别求f关于x和y的偏导数，得到两个方程，然后解此方程组得到x和y之间的关系。 3. 向量函数法：对于多元函数，可以使用向量函数法来求解反函数。首先，将多元函数表示为向量函数的形式，然后求该向量函数的逆函数，并将逆函数转化为方程组求解。例如，对于二元函数z=f(x,y)，可以表示为向量函数
反函数基本公式大全 反函数基本公式大全： 一、反三角函数公式: 1、arcsin(-x)=-arcsinx 2、arccos(-x)=π-arccosx 3、arctan(-x)=-arctanx 4、arccot(-x)=π-arccotx 5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx 6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 7、当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x 8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x 9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x 10、x∈(0,π),arccot(cotx)=x 11、x〉0,arctanx=arctan1/x, 12、若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 二、高中数学反函数： 1、反正弦函数：正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。 2、反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ，值域[0，π] 3、反正切函数：正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。定义域R，值域(-π/2，π/2)。 4、反余切函数：余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。定义域R，值域(0，π)。 5、反正割函数：正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正
反函数求法 一、求反函数的步骤： 1、反解方程，将x看成未知数，y看成已知数，解出x的值。 2、将这个式子中的x、y兑换位置，就得到反函数的解析式。 3、求反函数的定义域，这个是很重要的一点，反函数的定 义域是原函数的值域。则转变成求原函数的值域问题，求出了解析式，求出了定义域，就完成了反函数的求解。 二、反函数的性质： 1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是 一一映射。 2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。 3、大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 4、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。 5、严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。 6、反函数是相互的且具有唯一性。 7、定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。 8、反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y)，
y∈I }内也可导。 9、y=x的反函数是它本身。 三、例题说明 1、例题：求y=e^x(x∈R，y>0)的反函数。 解：定义域为实数，值域大于0。 用y来表达有x的式子x=ln y。 交换x和y的位置得到：y=ln x。 所以y=e^x(x∈R，y>0）的反函数为y=ln x(x>0,y∈R)。 2、例题： y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5。 3、例题：y=2x的反函数是y=log2x。 4、例题：求函数3x- 2的反函数。 解: y=3x-2的定义域为R，值域为R。 由y=3x-2解得x=1/3(y+2)。 将x,y互换，则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)。
反函数的基本知识点 反函数是数学中一个重要的概念，它与原函数密切相关。了解反函数 的基本知识点对于理解函数和解决一些问题至关重要。在本文中，我将介 绍反函数的定义、求法、性质以及一些实际应用。 首先，我们来回顾一下函数的定义。在数学中，函数是一种从一个集 合到另一个集合的映射关系，常常表示为y=f(x)。一个函数可以用来描 述不同集合之间的依赖关系，其中，x被称为自变量，y被称为因变量。 在一个函数中，自变量的每一个取值都有一个唯一的对应值，即函数的值。 定义1：设有一个函数y=f(x)，如果对于函数f(x)的定义域上的每 一个y值，存在唯一一个x值与之对应，那么x=f^(-1)(y)就称为f(x)的 反函数。 反函数通常用f(x)的逆函数符号f^(-1)(y)表示。从定义可知，反函 数是原函数的一个逆过程，即通过原函数的值可以唯一确定原函数的自变量。反函数和原函数的自变量与因变量的位置恰好相反。 接下来让我们来讨论求反函数的方法。求反函数的关键是找到一个逆 过程，找到一个新的函数，使得对于原函数的每个值，都能够求出反函数 的值。根据定义1，我们可以通过以下步骤来求反函数： 步骤1：令y=f(x)，求解x=f^(-1)(y)。 步骤2：将x=f^(-1)(y)转换为y=f^(-1)(x)。 在实际求反函数时，我们需要注意以下几点： 1.原函数必须是一对一的函数，即函数的每个值对应唯一的自变量， 否则无法求出反函数。
2.求解反函数时，可以利用方程求根的方法来进行，也可以对原函数的表达式进行逆运算得到反函数的表达式，具体方法取决于问题的要求。 了解了反函数的求法，我们来看看反函数的性质。反函数具有以下几个重要的性质： 性质1：对于原函数的定义域上的任意x和y，如果x=f^(-1)(y)，那么y=f(x)。 性质2：原函数和反函数互为逆运算，即f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x。 性质3：如果原函数和反函数在x处相交，那么这个点一定在直线 y=x上。 性质4：如果原函数和反函数的图像是关于直线y=x对称的，那么它们是互为反函数。 反函数的性质可以帮助我们进行反函数的验证和应用。通过运用这些性质，我们可以判断一个函数是否有反函数，以及求出反函数的表达式。 最后，让我们来看一下反函数的一些实际应用。反函数在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。下面是几个具体的例子： 1.解方程：求解方程y=f(x)的解，可以通过求反函数来简化问题。例如，如果我们需要求解方程y=2x+3的解，可以通过求反函数来得到 x=(y-3)/2 2.数据转换：在数据分析和处理中，反函数可以用于将数据从一个单位转换成另一个单位。例如，将摄氏温度转换为华氏温度，或者将英里转换为千米等等。
反演规则的证明 反演规则（Inverse Rule）是微积分中一种重要的求导法则，它允许我们通过已知函数的导数来推导出原函数的导数。在本文中，我们将详细介绍反演规则的证明。 假设函数f(x)和g(y)是两个互为反函数的函数，即对于任意的x和y，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x。我们的目标是证明反演规则成立，即f'(x) = 1 / g'(y)。 为了证明这一规则，我们首先考虑函数F(x) = f(g(x))。根据链式法则，我们可以将F'(x)表示为： F'(x) = f'(g(x)) * g'(x) 由于f和g是互为反函数，所以有g(f(x)) = x。我们对等式两边求导，得到： g'(f(x)) * f'(x) = 1 将上式中的f(x)替换为y，可以得到： g'(y) * f'(g(y)) = 1 根据等式的对称性，我们可以得到： f'(g(y)) * g'(y) = 1
由于f'(g(y)) = F'(y)，我们可以将上式进一步简化为： F'(y) * g'(y) = 1 接下来，我们将证明F'(y) = 1 / f'(y)。 考虑函数G(y) = g(f(y))，根据链式法则，我们可以得到： G'(y) = g'(f(y)) * f'(y) 由于g和f是互为反函数，所以有f(g(y)) = y。我们对等式两边求导，得到： f'(g(y)) * g'(y) = 1 将上式中的g(y)替换为x，可以得到： f'(x) * g'(f(x)) = 1 由于g'(f(x)) = G'(x)，我们可以将上式进一步简化为： f'(x) * G'(x) = 1 将上式两边同时除以f'(x)，可以得到： G'(x) = 1 / f'(x) 由于G'(x) = g'(y)，我们可以将上式进一步简化为：
反函数 求反函数的步骤: ①求原函数值域 ②反解函数 ③改写并注明定义域 反函数的性质 （1） 互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称； 即：点),(b a 在)(x f y =上⇔点),(a b 在)(1 x f y -=上（)()(1b f a a f b -=⇔=） 两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y ＝x 上 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； 具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性相同。但反之不一定成立。 （3）互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f （x ）=a （x=0）它的反函数是f （x ）=0（x=a ）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）函数y ＝f(x)的定义域是它的反函数)(1 x f y -=的值域；函数y ＝f(x)的值域是它的反 函数y ＝f-1(x) 的定义域. （6）若y ＝f(x)(x ∈A)，与)(1 x f y -= (x ∈C)互为反函数，则有 x x f f =-))((1（C x ∈） x x f f =-))((1（A x ∈） （7）x ＝f(y)与y ＝f-1(x)是同一函数，因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同 精题选讲 例1. (1) 函数)2 1 ,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且的反函数是D A.)21,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)2 1,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()1(21≠∈-+= x R x x x y 且 D.)1,() 1(21-≠∈+-=x R x x x y 且 (2) 函数≤0)的反函数是 B （A ）2 y x =（x ≥0）（B ）2 y x =-（x ≥0） （C ）2 y x =（x ≤0）（D ）2 y x =-（x ≤0） 例2.函数f(x)= 2 x -2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是( ) A. a ∈(-∞,1] B. a ∈[2,+∞) C. a ∈[1,2] D. a ∈(-∞,1]∪[2,+∞] 分析:二次函数f(x)= 2 x -2ax-3的图象开口向上,对称轴方程为x=a,又f(x) = 2 x -2ax-3在[1,2]上
反函数 一、知识回顾： 1、反函数的定义 设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出， 得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -= 2、 函数y=f （x ）有反函数的条件是__________________________. 3、 求反函数的步骤： ① . ② . ③ . 4、互为反函数间的关系： ①从函数角度看： ②从函数图象看： ○ 3单调性的关系： 二、基本训练： 1、给出下列几个函数：①)21(12>-=x x y ；② ⎩⎨⎧≥==) 2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ∈+= ④)1(3)1lg(2>+-=x x y ⑤)0()2(≥-=x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 变题：函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 （ ） A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞ C 、[1,2]a ∈ D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞ 2、函数)1(12<+=x y x 的反函数是 （ ） A ．)3,1(),1(log 2∈-=x x y B ．)3,1(,log 12∈+-=x x y C ．]3,1(),1(log 2∈-=x x y D ．]3,1(,log 12∈+-=x x y 3．（05江苏卷）函数12 3()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为( ) （A ）22log 3y x =- （B ）23log 2 x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- 4. （05全国卷Ⅰ）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（ ）
反函数例题讲解 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
反函数例题讲 解 例1．下列函数中，没有反函数的是 () (A)y =x 2－1（x <21-） (B)y =x 3+1（x ∈R ） (C)1 -=x x y （x ∈R ，x ≠1） (D)⎩⎨⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y =4，则由⎩ ⎨⎧≥=-2422x x ，得x =3． 由⎩ ⎨⎧<=-144x x ，得x =－1． ∴（D ）中函数没有反函数． 如果作出⎩ ⎨⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数． 例2．求函数211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由211x y --=，得：y x -=-112． ∴1－x 2=(1－y )2， x 2=1－(1－y )2=2y －y 2． ∵－1≤x ≤0，故22y y x --=．
又当－1≤x ≤0时，0≤1－x 2 ≤1， ∴0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即0≤y ≤1． ∴所求的反函数为22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ①把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x =φ(y )． ②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x =φ(y )为 y =φ(x )． 例3．已知函数f (x )=x 2+2x +2（x <－1），那么f －1(2)的值为 __________________． 分析：依据f －1(2)这一符号的意义，本题可由f (x )先求得f －1(x )，再求f －1(2)的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1(2)=m ，则有f (m )=2．据此求f －1(2)的值会简捷些． 令x 2+2x +2=2，则得：x 2+2x =0． ∴x =0或x =－2． 又x <－1，于是舍去x =0，得x =－2，即f －1(2)=－2． 例4．已知函数241)(x x f +=（x ≤0），那么f (x )的反函数f －1 (x )的图像是 () （（
反函数 [重点难点]概念的把握,求反函数 一、定义 高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射. 若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射 f-1:为原映射的逆映射. 若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数. 定义: 如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射 f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B). 所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数. 二、说明及性质 1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射. 如f(x)=x2(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射. 2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数. 3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域. 4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数. 可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件. 如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性. 5．若b=f(a), 则a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题. 6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x. 7．原函数与反函数图象关于y=x对称. 8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性. 奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数. 如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1, 这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）. 三、求反函数的一般步骤 1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的. 2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y). 3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.
第5讲：反函数 【复习要求】 1、 理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。 2、 经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用)(x f y =与 )(1 x f y -=的性质解决一些问题． 【教学重点】 反函数的求法，反函数与原函数的关系． 【知识要点】 1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，如果对于每一个y A ∈值，都有唯一的x D ∈，满足()f x y =，这样得到的x 关于y 的函 数叫做()y f x =的反函数，记作1 ()y f x -=，〔x A ∈〕。 2、求反函数的一般步骤：〔1〕解出x ；〔2〕互换x 、y ；〔3〕写出反函数的定义域〔即原函数的值域〕。 注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。 3、反函数的性质： 〔1〕．互为反函数的两个函数的图象关于直线y =*对称；即：)()(1 b f a a f b -=⇔= 两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y ＝*上 〔2〕．具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性一样。但反之不一定成立。 〔3〕．互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有一样的单调性． 〔4〕．一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f (*)=a (*=0)它的反函数是f (*)=0(*=a )这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。假设一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 〔5〕．函数y=f(*)的定义域是它的反函数1 ()y f x -=的值域；函数y ＝f (*)的值域是它的反 函数1 ()y f x -=的定义域． 〔6〕．假设y=f (*)(*∈A)，1 ()y f x -=与(*∈C)互为反函数，则有 1(())f f x x -=(x C ∈) 1(())f f x x -=(x A ∈) 〔7〕．* =f (y )与1 ()y f x -=是同一函数，因为它们的定义域、值域对应一样(都分别是原来 函数的值域和定义物)，对应法则一样；