教学设计
Y=4n^2
题目练习：
1、若y=(m^2-1)x^(m^2-m)+x为二次函
数，求m的值
2、已知二次函数y=x^2+px+q，当x=1
时，函数值为2；当x=2时，函数值
为5，求p、q 的值
3、如图，一张正方形纸板的边长为
2cm，将它剪去4个全等的直角三角
形（图中阴影部分）。设
AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH
的面积为y(cm2),求：（1） y关于x 的
函数解析式和自变量x的取值范围。
（2）当x分别为0.25，0.5，1.5，
1.75时，对应的四边形EFGH的面积，
并列表表
示教师出示问题，
一定时间，
学生一起研究问题，用板书写答题步骤
课 1.一个定义：带领学生回顾知识点，
1．学生经历从实际问题中抽象出两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系； 2.了解二次函数的概念知道二次函数的一般形式 3.让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系； 4.知道实际问题中存在的二次函数关系中，自变量的取值范围的要求。
出示引导材料 1. 什么是函数？正比例函数的一般形式是什么？一次函数 的一般形式是什么？ 。 2一元二次方程的一般形式是什么？ 3、下列方程中是一元二次方程的有（ ） ①x x 792 =② 83 2=y ③)13()1(3+=-y y y y ④0622 =+-y x 10)1(22=+x ⑥0142=--x x A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 一，根据问题情境，完成相应的问题 1. 当鱼儿跃出平静的水面时，水面上会泛起层层圆形波纹， 圆形波纹的面积随其半径的增大也在不断的增大。 问题： 用含有x 的代数式表示y ？那么圆的面积y 是圆的半径x 的函数吗？ 2.小亮家去年建了一个周长为80cm 的矩形鱼池. 问题 （1）如果设一边长为xcm ， 那么另一边长为cm. （2） 如果设矩形的面积为ycm 2,那么用x 表示y 的关系式为 化简后为y= . 根据上面的表达填写下表 x 5 10 15 20 25 30 35 y X 为何值时，矩形的面积y 最大？ 3.某种商品的进价为90元/件，最初的售价100元／件，后来提价销售，经统计售价与月销量，得到下面的数据表： 售价／（元／件） 100 101 102 103 … 月销量 ／件 500 490 480 470 … （1）当售价提高x 元／件时，每售出一件这种商品可获得的利润为元。 （2）当售价提高x 元／件时，月销售量将减少件，实际月销量为件。
“二次函数”教学的心得 二次函数是初中数学中非常重要的一章,同样也是好多学生比较难以接受和掌握的，如何学习和掌握这章的知识就非常重要了。下面我将自己在“二次函数”的教学活动中的心得归纳出来，与大家交流一下。 一、明确二次函数课标要求： 1、通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题； 4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二、本章知识梳理及课时安排 三、重点、难点分析： 本单元的重点之一是使学生能掌握用描点法画出抛物线的方法。后面的学习中，经常会涉及到利用函数图像解决数学问题。因此，快速、准确地画出二次函数的图像，是学生必须要掌握的基本技能。画图时要求科学、准确。并且要尽量做到美观，这就要求要确定抛物线顶点的位置，与y轴、x轴交点的位置，对称轴开口方向等。因此，利用图像或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置成为本节的另一个重点，二次函数是初中阶段遇到的较为复杂的函数，无论它的解析式，还是它的图像、性质等都比另外三种函数复杂。在中考中，更是几乎每一年都要考察二次函数的相关知识。学生在反复地描点画图过程中，逐渐体会数形结合的数学思想，认识到图形更直观，能帮助我们发现解决问题的线索。在配方的具体训练中，学生能体会到配方的思想。 本单元的难点之一是初步理解数形结合的思想。学生对深刻理解数形结合的数学思想方法有一定的困难。往往是题目要求画图了才画图，比较被动，不能形成主动画图解题的习惯。另外，对二次函数对称轴的理解也是难点。学生可以从图像中识别出抛物线关于哪
第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法 【问题探索】 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子； （2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2 510060000y x x =-++。 【新课引入】 提问： 1、在式子2 510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？ 答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。 2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想 2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。 （其中） 答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。 总结：一般地，形如2 y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。因此，最简单的二次函数形式是2 (0)y ax a =≠ 举例：2 510060000y x x =-++和2 100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2 S r π=等，都是二次函数． 3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？ 答案：是，因为化简能变成2 y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
二次函数的初步认识 一、教材分析： 《二次函数》是义务教育课程标准教科书《数学》（人教版）九年级上册第二十二章，这章是在学生学习了正比例函数与一次函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1．通过具体的事例认识这种函数；2．探索这种函数的图像和性质；3．利用这种函数解决实际问题；4．探索这种函数与相应方程等的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。最后让学生运用二次函数的图像和性质解决一些实际问题。 二、学情分析： 学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系. 本节教学目标： 知识技能： 1．探索并归纳二次函数的定义； 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。 过程与方法: 1.感悟新旧知识间的关系，让学生更深刻地体会数学中的类比思想方法； 2.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系； 3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题，进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。 情感态度与价值观: 营造学生在老师指导下的自主学习氛围,在整节课的教学设计中，无论是对概念的引入、概念的形成、概念的辨析和应用巩固，都是让学生自己通过观察、思考、归纳和概括后才得出结论，使学生完全参与到了整个教学过程．通过自主探索，学生发现了规律，建立了概念，从而真正理解了概念的实质和内涵。教学重点: 1经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。 2.能过表示简单变量之间的二次函数。
二次函数的自述 大家好！我是一次函数的好朋友-----二次函数，很高兴认识大家，我的定义是：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ≠0）的函数叫做二次函数，同我的朋友一次函数一样，作为我也有三个必须满足的条件：（1）有两个变量x 、y ；（2）自变量的最高次数是2；（3）a ≠0。 从上面三个条件可知判断一个函数是否是我的步骤是在其表达式是整式的基础上，还须能把表达式化简整理成一般式y=ax 2+bx+c （a ≠0）的形式，反之，就不是然喽。同一次函数一样，我也有三种表示方法：列表法，图像法及解析法。其中重要的是解析法：一般确定我的解析式一般有三种方法：（1）一般式：当已知我的图象上三个点的坐标时，可将这三个点的坐标代入我的一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0)，解关于a 、b 、c 的方程组即可；（2）顶点式：当已知我的图像的顶点坐标时，可将其代入y=a(x －h)2+k ，其中（h,k ）为抛物线的顶点坐标，再根据其他已知条件求出a 即可；（3）交点式：当已知抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）,（x 2,0）时，可将其代入y=a （x-x 1）（x-x 2），再根据其他已知条件设法求出a 即可。 下面再来认识一下我的图像的一些特性：我的图像很特殊，俗称抛物线，开口大小和开口方向由a 来决定。其规律是：∣a ∣越大，开口越小；∣a ∣越小，开口越大；当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。另外我的图像关于某条直线对称，这条直线称为图像的对称轴，对称轴和图像的交点称为图像的顶点，其纵坐标称为我的最大（小）值。其规律是：顶点坐标（－a b 2，a b a c 442 -），当a>0时，顶点为最低点；此时函数有最小值，即当x=－a b 2时，最小值为y=a b a c 442 -；当a<0时，顶点为最高点，此时函数的最大值，即当x=－a b 2，最大值为y=a b a c 442 -；对称轴是直线x=－a b 2,其平行于y 轴（或与y 轴重合），此直线在y 轴的左边还是右边，由a 、b 的符号来确定，即“同左异右”：①当a 、b 号同时， 直线x=－ a b 2在y 轴的左边（对称轴与x 轴的负半轴相交）；②当a 、b 异号时，直线x=－a b 2在y 轴的右边（对称轴与x 轴的正半轴相交）；③当b=0时，直线x=－a b 2与y 轴重合（即直线x=0）； 另外我的的图象位置与a 、b 、c 及b 2－4ac 、a+b+c 、a －b+c 符号也有关系，其联系如下： （1）若我的图像---抛物线与y 的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y 轴的负半轴相交,则c<0；若抛物线经过原点（0，0），则c=0。 （2）若我的图像---抛物线与x 轴相交于两点，则 b 2－4ac>0；若抛物线与x 轴只有一个交点，则 b 2－4ac=0；即这一点就是抛物线的顶点；若抛物线与x 轴没有交点，则 b 2－4ac<0。 （3）若我的图像---抛物线经过（1，0），则a+b+c=0，若抛物线经过（－1，0）,则a －b+c=0，反之也成立。 最后再来介绍一下我的图像---抛物线的平移规律： （1）口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移。 （2）y=a(x －h)2+k ，y=a(x －h)2、y=ax 2(a ≠0，h>0、k>0)的图形的形状相同，只是位置不同。
第二章 二次函数 §2.1 二次函数所描述的关系 学习目标: 1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 学习重点: 1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 2.能够表示简单变量之间的二次函数. 学习难点: 经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法: 讨论探索法. 学习过程: 【例1】函数y=（m ＋2）x 22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 【例2】下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1； ②y=3（x －1）2＋2； ③y=（x ＋3）2－2x 2； ④y=21x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例3】 ⑴正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． ⑵已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式． ⑶已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式． ⑷已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式． 【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式． 【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 【例6】如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ， 如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．
重点掌握函数的大致图象、对称轴、顶点坐标、开口方向、函数值的增减性及最值 《二次函数》知识结构图 二次函数 二次函数表达式的五种形式 二次函数的定义 注意二次函数判别和定义正逆考查 二次函数的图象和性质 熟悉以下四种函数图象的画法及性质， 特别注意它们之间的变化过程 数形结合思想 （1）y=ax 2 (2)y=ax 2+c (3)y=a(x-h)2 (4)y=a(x-h)2+k 注意a,b,c 的正负性对函数图象性质的影响 注意四种函数图象是如何通过平移而成的 二次函数的实际应用 1.用二次函数解决实际问题 2.二次函数最值的应用 （1）最大利润问题（2）面积最值问题 二次函数的表达方式 1.列表法 2.图象法 3.解析式法 （1）确定方法：待定系数法一元二次方程与二次函数的关系 1.表达式上的转化关系 2.方程与图象的关系：记熟关系表。 3.交点的应用 （1）抛物线与坐标轴的交点 （2）一次函数与抛物线的交点 4.方程与抛物线关系的实际应用 （2）注意把握三种设解析式 方法的运用情形
《二次函数》题型全解读1 二次函数的概念 【知识梳理】 1.定义：一般地，若两个变量，x,y 之间的对应关系可以表示成是常数，a ≠0,b,c 可以为零)．那么 y 叫做x 的二次函数.其中ax 2,bx,c 分别是二次项、一次项 和常数项，a,b 分别是二次项系数、一次项系数。 2. 二次函数各种形式之间的变换 （1）二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中. （2）y =ax 2+bx +c (a ≠0)是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①2ax y =； ②y =ax 2+c ； ③y =ax 2+bx ；④() 2 h x a y -=；⑤. ()k h x a y +-=2 【典型例题】 例1. 下列函数中是二次函数的有（ D ） ①y=x ＋1x ；②y=3（x －1）2 ＋2；③y=（x ＋3）2 －2x 2 ；④y=1 x ＋x ．⑤c bx ax y ++=2;⑥ y =(x ?1)2?(x +1)(x ?1);⑦y =x 2;⑧y =x(1?x) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例2. 函数y =(m +2)x m 2?2 +2x ?1是二次函数，则m= ．m=2 例3．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ， b 时，是一次函数；当a ，b ， c 时，是正比例函数．(a ≠0;a =0,b ≠0;a =0,b ≠0,c =0) 例4.已知函数y =(m 2?m )x 2+(m ?1)x +2?2m c b a c bx ax y ,,(2 ++=
认识二次函数 以下是查字典数学网为您推荐的认识二次函数，希望本篇文章对您学习有所帮助。 认识二次函数 教学 目标知识与技能1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义;2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质;[ 3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题; 过程与方法通过画二次函数的图象，提高动手能力; 经历画图、观察、分析、总结、归纳的过程，总结出二次函数的性质. 情感态度价值观体会数形结合的思想方法; 重点二次函数的图象和性质; 难点函数性质的应用. 教学流程安排 活动说明活动目的 活动1 回顾一次函数 活动2二次函数概念学习 活动3解析 活动4观察
活动5布置作业为二次函数的学习做准备 学二次函数的有关概念 巩固二次函数 小结复习 加强练习 课前准备 教具学具补充材料 电脑、投影仪课件资源、投影仪 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 活动1： 1.我们以前学过函数，函数是用来描述一个量与另一个量之间的对应关系的，大家回忆一下，我们到现在都学过哪些函数? 2.请描述一下你对一次函数、反比例函数是如何理解的. 3.在现实生活中，我们除了接触到一次函数、反函数，我们还会遇到另外一种函数二次函数，现在我们就来认识二次函数. 活动2： 我们看引言中正方体的表面积的问题. 正方体的六个面是全等的正方形(图26.11)，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对
应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2① 我们再来看几个问题. 问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系? 问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎么样表示? 小组讨论，引导学生找出其中的量与量之间的关系，列出函数式. 活动3：解析 问题1 由图26.12可以想出，如果多边形有n条边，那么它有________个顶点.从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可以作_________条对角线. 因为像线段MN与NM那样，连接相同两顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形的对角线总数 即 ②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值，d都有一个对应值，即d是n的函数. 问题2 这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 _________件，再经过一年后的产量是_________件，即两年后的产量为