第11章平面直角坐标系
11.1 平面上点的坐标
第1课时平面上点的坐标(一)
教学目标
【知识与技能】
1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原
点等.
2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点.
3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置.
【过程与方法】
1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用.
2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置.
【情感、态度与价值观】
通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值.
重点难点
【重点】
认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点.
【难点】
理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系.
教学过程
一、创设情境、导入新知
师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说?
生甲:我在第3排第5个座位.
生乙:我在第4行第7列.
师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来.
二、合作探究,获取新知
师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两
个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢?
生:3排5号.
师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢?
生:用一个有序的实数对来表示.
师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢?
生:可以.
教师在黑板上作图:
我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点.这样就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面.
师:有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系.
学生操作,教师巡视.教师指正学生易犯的错误.
教师边操作边讲解:
如图,由点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是5,我们就说P点的横坐标是3,纵坐标是5,我们把横坐标写在前,纵坐标写在后,(3,5)就是点P的坐标.在x轴上的点,过这点向y轴作垂线,对应的坐标是0,所以它的纵坐标就是0;在y轴上的点,过这点向x轴作垂线,对应的坐标是0,所以它的横坐标就是0;原点的横坐标和纵坐标都是0,即原点的坐标是(0,0).
教师多媒体出示:
师:如图,请同学们写出A、B、C、D这四点的坐标.
生甲:A点的坐标是(-5,4).
生乙:B点的坐标是(-3,-2).
生丙:C点的坐标是(4,0).
生丁:D点的坐标是(0,-6).
师:很好!我们已经知道了怎样写出点的坐标,如果已知一点的坐标为(3,-2),怎样在平面直角坐标系中找到这个点呢?
教师边操作边讲解:
在x轴上找出横坐标是3的点,过这一点向x轴作垂线,横坐标是3的点都在这条直线上;在y轴上找出纵坐标是-2的点,过这一点向y轴作垂线,纵坐标是-2的点都在这条直线上;这两条直线交于一点,这一点既满足横坐标为3,又满足纵坐标为-2,所以这就是坐标为(3,-2)的点.下面请同学们在方格纸中建立一个平面直角坐标系,并描出A(2,-4),B(0,5),C(-2,-3),D(-5,6)这几个点.
学生动手作图,教师巡视指导.
三、深入探究,层层推进
师:两个坐标轴把坐标平面划分为四个区域,从x轴正半轴开始,按逆时针方向,把这四个区域分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.注意:坐标轴不属于任何一个象限.在同一象限内的点,它们的横坐标的符号一样吗?纵坐标的符号一样吗?
生:都一样.
师:对,由作垂线求坐标的过程,我们知道第一象限内的点的横坐标的符号为+,纵坐标的符号也为+.你能说出其他象限内点的坐标的符号吗?
生:能.第二象限内的点的坐标的符号为(-,+),第三象限内的点的坐标的符号为(-,-),第四象限内的点的坐标的符号为(+,-).
师:很好!我们知道了一点所在的象限,就能知道它的坐标的符号.同样的,我们由点的坐标也能知道它所在的象限.一点的坐标的符号为(-,+),你能判断这点是在哪个象限吗?
生:能,在第二象限.
四、练习新知
师:现在我给出几个点,你们判断一下它们分别在哪个象限.
教师写出四个点的坐标:A(-5,-4),B(3,-1),C(0,4),D(5,0).
生甲:A点在第三象限.
生乙:B点在第四象限.
生丙:C点不属于任何一个象限,它在y轴上.
生丁:D点不属于任何一个象限,它在x轴上.
师:很好!现在请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,在上面描出这些点.
学生作图,教师巡视,并予以指导.
五、课堂小结
师:本节课你学到了哪些新的知识?
生:认识了平面直角坐标系,会写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能描点,知道了四个象限以及四个象限内点的符号特征.
教师补充完善.
教学反思
物体位置的说法和表述物体的位置等问题,学生在实际生活中经常遇到,但可能没有想到这些问题与数学的联系.教师在这节课上引导学生去想到建立一个平面直角坐标系来表示物体的位置,让学生参与到探索获取
新知的活动中,主动学习思考,感受数学的魅力.在教学中我让学生由生活中的实例与坐标的联系感受坐标的实用性,增强了学生学习数学的兴趣.
第2课时平面上点的坐标(二)
教学目标
【知识与技能】
进一步学习和应用平面直角坐标系,认识坐标系中的图形.
【过程与方法】
通过探索平面上的点连接成的图形,形成二维平面图形的概念,发展抽象思维能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生的合作交流意识和探索精神,体验通过二维坐标来描述图形顶点,从而描述图形的方法.
重点难点
【重点】
理解平面上的点连接成的图形,计算围成的图形的面积.
【难点】
不规则图形面积的求法.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们学习了平面直角坐标系的概念,也学习了已知点的坐标,怎样在平面直角坐标系中把这个点表示出来.下面请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,并在上面标出A(5,1),B(2,1),C(2,-3)这三个点.
学生作图.
教师边操作边讲解:
二、合作探究,获取新知
师:现在我们把这三个点用线段连接起来,看一下得到的是什么图形?
生甲:三角形.
生乙:直角三角形.
师:你能计算出它的面积吗?
生:能.
教师挑一名学生:你是怎样算的呢?
生:AB的长是5-2=3,BC的长是1-(-3)=4,所以三角形ABC的面积是1
×3×4=6.
2
师:很好!
教师边操作边讲解:
大家再描出四个点:A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2),并将它们依次连接起来看看形成的是什么图形?
学生完成操作后回答:平行四边形.
师:你能计算它的面积吗?
生:能.
教师挑一名学生:你是怎么计算的呢?
生:以BC为底,A到BC的垂线段AE为高,BC的长为4,AE的长为3,平行四边形的面积就是4×3=12.
师:很好!刚才是已知点,我们将它们顺次连接形成图形,下面我们来看这样一个连接成的图形:
教师多媒体出示下图:
师:如果我们取x轴正半轴上的点为起始点,按逆时针顺序,你能说出这个图形是由哪些点顺次连接成的吗?
生:能.(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4)……
师:很好!你怎样向另一个同学描述这样一个八角星,让他画出来呢?
生:在坐标系里画出点(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4),……,然后把它们顺次连接成一个封闭的图形.
三、练习新知
师:我们现在已经建立了点与图形之间的联系,能用点来表示图形了.我们来看这样一个例子,已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(4,1),C(6,4),求△ABC的面积.
教师找一名学生板演,其余学生在下面做,然后集体订正得到:
由图可知,△ABC的面积S=1
×5×3=7.5.
2
四、课堂小结
师:我们今天学习了哪些新知识?有什么收获?
生:我们今天学了由点连接成的图形,求封闭图形的面积.
教师补充完善.
教学反思
本节课开始时我给出三点的坐标,让学生自己建立平面直角坐标系,并且在其中描出这些点,既复习了上
节课的内容,又引出了本节课所要讲的知识.在画出三角形和平行四边形后,我引导学生去利用网格计算封闭
图形的面积.通过八角星的例子引导学生自己去学习找点的位置和它们的坐标之间的关系,形成数形结合的思想,用数字特征去描述它们之间的关系.
11.2 图形在坐标系中的平移
教学目标
【知识与技能】
研究在同一坐标系中,图形的平移与点的坐标变化之间的关系,发展学生的数形结合思想和意识.
【过程与方法】
经历图形的平移过程,探究图形的平移与点的坐标变化之间的关系.
【情感、态度与价值观】
让学生体验探究图形的平移与坐标变化之间的关系,感受数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义
的事情之间的关联,体会数学在现实生活中的用途.
重点难点
【重点】
经历图形平移和坐标变化的过程,发展学生的数形结合思想和意识.
【难点】
归纳出图形平移与坐标变化之间的关系.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在上一节课,我们把平面直角坐标系中的点连接成了封闭的图形,现在已知A(-2,4),B(-4,3),C(1,1),用线段把这三点连接成一个封闭图形,是什么形状的图形?
生:三角形.
师:对.这节课我们把这个图形在同一坐标系中平移,探究平移后的顶点坐标与原顶点坐标之间的关系.
教师板书课题.
二、合作探究,获取新知
教师边操作边讲解:我们把这个三角形在平面直角坐标系中向右平移2个单位,看看得到的图形与原图形的顶点坐标之间会有什么关系.
生:横坐标增加了2,纵坐标不变.
师:对.若是向左平移2个单位呢?坐标会有什么变化?
生:横坐标减2,纵坐标不变.
师:很好!若把这个三角形向上平移3个单位,这个三角形的顶点坐标又有什么改变?
生:横坐标不变,纵坐标加3.
师:对.向下平移3个单位呢?
生:横坐标不变,纵坐标减3.
师:同学们回答得很好!已知一个图形的顶点坐标和它发生的位移,即它移动的方向和距离,我们根据刚才得出的结论,可以写出它位移后的顶点的坐标,画出它位移后的图形.如果已知位移前的图形和位移后的图形,你能写出它的位移过程吗?
教师边操作边讲解:
已知平移前的三角形三个顶点的坐标分别是(-3,4),(-2,7),(1,2),平移后顶点的坐标是
(0,2),(1,5),(4,0),请同学们写出它平移的过程.
教师找一名学生板演,其余同学在下面写.
师:我们可以分别看横、纵坐标的变化,横坐标都增加了3,所以在沿x轴方向上发生了怎样的位移?
生:向右平移了3个单位.
师:对,你们观察一下纵坐标的变化,说一说它在沿y轴方向上发生了怎样的位移?
生:纵坐标减少了2,向下平移了2个单位.
师:对.所以我们得出它位移的过程是先向右平移3个单位再向下平移2个单位,或者是先向下平移2个单位再向右平移3个单位.
三、例题讲解
【例】如图,将△ABC先向右平移6个单位,再向下平移2个单位得到△A1B1C1.写出各顶点变动前后的坐标.
解:用箭头代表平移,则有:
A(-2,6)→(4,6)→A1(4,4),
B(-4,4)→(2,4)→B1(2,2),
C(1,1)→(7,1)→C1(7,-1).
教师多媒体出示:
点(x,y)向左
右
上
下
平移a(a>0)个单位?平移后的坐标为
——
——
——
——
师:任意一点(x,y)向某一个方向平移后点的坐标会是怎样的呢?请同学们思考以上四个小题.
学生思考交流后,得到结论:
点(x,y)向左平移a(a>0)个单位?平移后的坐标为(x-a,y);
点(x,y)向右平移a(a>0)个单位?平移后的坐标为(x+a,y);
点(x,y)向上平移a(a>0)个单位?平移后的坐标为(x,y+a);
点(x,y)向下平移a(a>0)个单位?平移后的坐标为(x,y-a).
四、练习新知
师:我们现在来做一道题目,练习一下.
教师多媒体出示:
已知三角形ABC,它的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-5,3),(-2,4),(0,2),它平移后的三角形为△
A'B'C',A'点的坐标是(3,-1),求B'点和C'点的坐标.
教师找一名学生板演,其他同学在下面做,然后集体订正得到:
B'点的坐标为(6,0),C'的坐标为(8,-2).
五、课堂小结
师:你今天学习了哪些新知识?有什么收获?
生:学习了图形的平移和位移变化之间的关系.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
图形由静到动,静时我们用顶点坐标来描述它,动后我们也可以描述这个过程.在学生的前置性学习部分,
通过让学生观察把一个已知的三角形向右平移后得到新的三角形,并比较平移前后三个顶点的坐标的变化,使
学生亲身经历了知识的形成过程,不但改变了学生死记硬背的学习方式,还培养了他们自主探究、合作交流等
学习习惯,进一步激发了学生学习数学的兴趣.本节课是在学生学习了平移的概念和性质的基础上,探究图形
在坐标系内平移的变化规律的.主要是引导学生运用分类思想,依次经过点和图形的平移的观察、画图、猜想、验证、归纳、比较、分析等活动,最终探究出点的坐标变化与点平移的关系以及图形上各个点的坐标变化与
图形平移的关系.
第12章一次函数
12.1 函数
第1课时函数(一)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握常量、变量的概念.
2.能辨别一个关系中的常量和变量、自变量和因变量.
3.能识别一个关系式是不是函数.
【过程与方法】
1.经历观察、分析、思考、总结的过程,发展观察推理能力和清晰地表达自己观点的能力.
2.感知变量对数学问题的描述、研究的作用.
3.理解一个简单的实际应用问题的数学表达方式,使学生将实际问题和数学相联系.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生共同思考实际生活中的例子让学生参与到教学活动中来,培养学生的集体意识.
2.让学生自己思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.
3.让学生感受数学与生活息息相关.
4.通过变量、常量概念的引入,让学生意识到数学是在不断发展的,意识到事物是不断发展变化的.
重点难点
【重点】
理解常量、变量的概念,判断一个数量关系是否是函数.
【难点】
理解函数的概念.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:你还记得汽车在匀速行驶时,路程和速度、时间之间的关系吗?
生:记得,路程=速度×时间.
师:好.我们现在来看这样一个问题.
教师多媒体出示(问题1):汽车以50千米/时的速度匀速行驶,它行驶的路程用s表示,时间用t表示,根据刚才那个公式,你能得到s和t的什么数量关系?
生:s=50t.
师:对.这里面有哪些量?
生:路程、速度和时间.
师:这道题中,速度是具体的一个量,是多少呢?
生:50.
师:对.这里面有三个量:路程、50和时间.
二、合作探究,获取新知
同学们看这个图和相应的表格,上面反映的有几个量?
学生思考后回答:两个.
师:哪两个?
生甲:时间.
生乙:气球上升到达的海拔高度.
师:同学们回答得很好!你们再观察一下,热气球在这个上升过程中,平均每分钟上升了多少米? 生:30米.
师:你能计算出当t=3min 和t=6min 时热气球到达的海拔高度吗? 生:能,3分钟时为1890米,6分钟时为1980米. 师:很好.
教师多媒体出示(问题3):
师:在这个问题中,有哪几个量?
生:两个,时间和负荷.
师:你能说出这一天中任意一个时刻的负荷是多少吗?如果能的话,4.5h 时和20h 时的负荷分别是多少?
学生测量后回答:能.4.5h 时是10×103兆瓦,20h 时是17×103
兆瓦. 师:用科学记数法怎样表示?
生:4.5h 时是1.0×104兆瓦,20h 时是1.7×104
兆瓦. 师:同学们回答得很好!你们是怎么找到对应的数据的呢? 生:根据时间对应的负荷得到的.
师:很好!这一天的用电高峰和用电低谷时的负荷分别是多少?它们各是在什么时刻达到的?
学生测量后回答:用电高峰时的负荷是1.8×104兆瓦,在13.5h 时达到;用电低谷时的负荷是1.0×104
兆瓦,在4.5h 时达到.
师:我们再来看这样一个例子. 教师多媒体出示(问题4):
汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住.某型号的汽车在路面上的刹车距离sm 与车速vkm/h 之间有下列经验公式:
s=
v 2
256
这个式子中涉及了哪几个量?
生甲:刹车距离、车速. 生乙:256.
师:当车速为60km/h 时的刹车距离是多少呢?结果保留一位小数. 学生计算后回答:14.1km.
师:在第一个问题中,速度一直是50千米/时,我们把不变的50称为常量;变化的s 和t 称为变量,其中t 是自变量,s 是随着时间t 的变化而变化的,s 是因变量.下面我们看看其他三个问题中,哪些是常量,哪些是自变量,哪些是因变量?
生甲:第二个问题中,30是常量,时间是自变量,海拔高度是因变量. 生乙:第三个问题中,没有常量,时间是自变量,负荷是因变量.
生丙:第四个问题中,256是常量,车速是自变量,刹车距离是因变量. 师:很好!自变量和因变量之间有没有对应的关系呢? 生:有.
师:由前面的探究,我们能得出自变量和因变量在数量上有怎样的对应关系?
生:自变量取一个值,根据它们之间的关系,因变量就有相应的一个值.
师:很好!
教师板书并口述定义:
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许的取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称x是自变量,y是x函数.
师:在这个定义中,我们要注意“唯一确定”这四个字,“唯一”要求只有一个,“确定”要求它们的关系是确定的,不能是未明确的、模糊的.根据函数的定义,你能说出以上四个问题中哪一个量是哪一个量的函数吗?
生甲;问题1中行驶路程s是行驶时间t的函数.
生乙:问题2中热气球到达的海拔高度h是时间t的函数.
生丙:问题3中负荷y是时间t的函数.
生丁:问题4中刹车距离s是车速v的函数.
师:大家回答得很好!
三、练习新知
师:我们现在来看这样一个例子.
教师多媒体出示并口述:
下列等式中,y是x的函数的有.
①x+y=0;②y=x;③y=x2;④x=y2;⑤y=|x|;⑥ x=|y|;⑦y=1
;⑧y2=4x.
x+2
学生思考后回答,然后集体订正.
y是x的函数的有①②③⑤⑦.
四、课堂小结
师:你今天学习了哪些新知识?有什么收获?
生:学习了常量、变量、自变量、因变量、函数.
教师补充完善.
教学反思
课程改革的关键是教师观念的改变,重视学生的主体作用,强调让学生经历学习的过程,让学生真正成为学习的主人.教师不应该仅仅是课程的实施者,而且应该成为课程的创造者和开发者.通过让学生回顾小学学过的一个公式,引入本节课,同时带领学生更深入地认识两个量之间的关系,并引入常量、变量、自变量、因变量等概念.而函数是两个变量之间的关系,它们之间是怎样的一种关系呢?对自变量取的一个值,因变量有唯一确定的值与之对应.这点要向学生讲清楚,学生理解了就能判断一个变量是不是另一个变量的函数.
第2课时函数(二)
教学目标
【知识与技能】
1.会用列表法表示函数.
2.会将一个简单的实际应用问题抽象成函数.
3.会求函数自变量的取值范围.
4.给定自变量,能求出函数值.
【过程与方法】
1.经历用列表法和解析法表示函数的过程.
2.通过将一个简单的实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论和实际相联系.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生选用合适的方法表示两个变量之间的关系,让学生发挥主观能动性,独立思考.
2.让学生参与到教学活动中来,激发学生的参与感和集体意识.
3.让学生观察、描述发现的问题,培养学生表述自己思想和归纳概括、收集信息的能力.
4.让学生思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.
重点难点
【重点】
用解析法表示函数,求函数自变量的取值范围.
【难点】
建立一个实际问题的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课,我们学习了一个重要的概念——函数,同学们还记得它的内容吗?
学生回答.
师:大家说得很好,函数是一个重要的数学概念,这节课我们将更深入地研究它.
二、合作探究,获取新知
教师多媒体出示上节课的问题2:
上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到的海拔高度与时间数值之间存在的关系,这种通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
学生熟记.
教师多媒体出示上节课的问题4.
这是另一种表示函数的方法,是用s和v之间的函数关系式来表示的,这种用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.你从中读出了什么信息?你能把问题2中表格反映的情况用语言叙述一下吗?
学生思考后回答:能.热气球的初始海拔高度是1800米,每分钟上升30米.
师:很好!它是匀速上升的吗?
生:是.
教师多媒体出示上节课中的问题1.
你能仿照这个匀速运动的例子写出热气球到达的海拔高度h和时间t之间的关系吗?注意:这里h是初始高度和上升高度的和,上升高度相当于热气球上升的路程.
学生思考后回答:能.h=1800+30t.
师:很好!一般地,我们按自变量的降幂排列,就是写成h=30t+1800.这说明同样一个问题,它的描述方式可以不止一种,我们可以选用适当的方式来表示,也可以把一种表示方式描述的问题用另一种表示方式来写.
教师多媒体出示上节课介绍的函数的定义:
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.
师:同学们,这里要求在自变量的允许范围内,就是说自变量是有范围的,在哪些情况下自变量不是所有实数都可以取呢?谁能说说我们学习过的式子中哪些式子的取值有限制?
生:分母不能为零,开平方时被开方数应该大于等于零.
师:对.所以我们在用解析法表示时,要考虑自变量的取值范围.在实际应用中,除了要保证这个式子有意义,还要求它有实际意义.
三、练习新知
教师多媒体出示:
【例1】求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;
(3)y=
1
x -2
; (4)y= x -3.
解:(1)x 为全实体实数.
(2)x 为全实体实数. (3)x ≠2. (4)x ≥3.
【例2】 当x=3时,求下列函数的函数值:
(1)y=2x+4; (2)y=-2x 2
; (3)y=
1x -2
; (4)y= x -3.
解:(1)当x=3时,y=2x+4=2×3+4=10.
(2)当x=3时,y=-2x 2=-2×32
=-18. (3)当x=3时,y=
1x -2=
1
3-2
=1.
(4)当x=3时,y= x -3= 3-3=0.
【例3】 一个游泳池内有水300m 3
,现打开排水管以每小时25m 3
的排出量排水.
(1)写出游泳池内剩余水量Qm 3
与排水时间th 间的函数关系式; (2)写出自变量t 的取值范围;
(3)开始排水后的第5h 末,游泳池中还有多少水?
(4)当游泳池中还剩150m 3
时,已经排水多少小时?
解:(1)排水后的剩水量Q 是排水时间t 的函数,有Q=300-25t=-25t+300.
(2)由于池中共有300m 3水,每小时排25m 3
,全部排完只需300÷25=12(h),故自变量t 的取值范围是0≤t ≤12.
(3)当t=5时,代入上式,得Q=-5×25+300=175(m 3),即第5h 末,池中还有水175m 3
.
(4)当Q=150时,由150=-25t+300,得t=6(h),池中还剩水150m 3
时,已经排水6小时.
四、课堂小结
师:今天你学习了什么新的内容?
生:学习了函数的两种表示方法、自变量的取值范围、求函数值. 教师补充完善. 教学反思
本节课通过让学生回顾上节课的两个例子,向学生介绍函数的两种表示方法:列表法和解析法.在解析法中强调了不是所有函数的自变量都可以取全体实数,特别是在应用题中,要考虑自变量的取值范围.还学习了已知自变量的一个值求相应的函数值.需要注意的是自变量取值范围的限制主要有分母不能为零和开平方时被开方数不能为负两种情况,有时两种情况会同时出现,这两个条件都要满足.教学设计中,始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合,把对知识的理解放置在具体情景中,采用了多种形式的学习活动,给学生提供足够的、自主的空间和活动机会,让学生动手、动脑进行探索.
第3课时 函 数(三)
教学目标
【知识与技能】 1.会用图象法表示函数.
2.知道画函数象的步骤,即列表、描点、连线. 【过程与方法】
经历用图象法表示函数的过程,提高作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过将函数用图象表示出来,将数和形结合起来,使本章内容和上一章的内容也结合起来,让学生体会到数形结合思想和上一章知识的关联及数学知识环环相扣的特点.
2.将函数用图象表示出来,使函数显得更生动形象,使学生易于接受.
重点难点
【重点】
用图象法表示函数.
【难点】
理解几个点的连接与函数图象之间的关系.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们上一节课学习了函数的两种表示法,你们还记得是什么吗?
生:记得,是列表法、解析法.
师:对.但有些函数关系很难写出它们的函数关系式,而数据又多,用列表法显得繁琐又不够形象,因此我们用图象来表示.本节课我们就来探究一种表示函数的方法——图象法.
二、合作探究,获取新知
师:我们用图象法除了可以表示列表法和解析法不能表示的函数关系外,还能表示出它们能表示的、不太复杂的函数关系.比如这样一个解析式y=2x,我们现在用图象把它表示出来.请大家先填写下表.
学生填表.
师:我们在上一章讲过,有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,且学习了已知点的坐标以及怎样把它在坐标平面上描出来,现在请大家在方格纸上描出这些点.
学生描点.
师:请同学们观察这些点,它们是怎样分布的呢?
生:大致在一条直线上.
师:很好,大家的观察能力很强!我们现在把它们连接起来,用直线还是线段呢?
生:直线.
师:为什么?
学生思考.
师:我提示一下,从自变量的取值范围去考虑.
生:自变量x的取值范围是全体实数,直线两端是无限延伸的,代表没有表示出来的还有很多点.
师:大家非常棒!
教师边操作边讲:
我现在用一条直线把这些点连接起来.
教师板书作图的过程:
师:现在我们画出了函数y=2x 的图象.大家注意到没有?我们用几步完成了这个过程?
生:三步.
师:哪三步?同学们能不能把每步用两个字概括一下? 生:列表、描点、连线.
师:大家说得很好!描出的点越多,图象越精确,但一般我们只选取一部分点.现在我们作的图自变量取值范围是全体实数时,一般在原点左右各选取两三个点,加上原点,用这几个点来画图.
三、例题讲解
【例1】 画出函数s=
v 2
256
的图象.
(2)描点:在坐标平面内描出(0,0),(10,0.4),(20,1.6),(30,3.5),(40,6.3)等点.
(3)连线:将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接,就得到了s=
v 2
256
的图象,如图所示.
【例2】 已知某弹簧的自然长度为5cm,已知它所挂物体的质量每增加1kg,弹簧就伸长0.25cm,设所挂重物的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,允许挂重物不超过10kg,求y 关于x 的函数表达式,并画出图象.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正. 教师多媒体出示:
y 关于x 的函数为:y=0.25x+5,0≤x ≤10.图象为:
四、练习新知
如图,下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数?你能说出其中的道理吗?
学生思考,讨论.
生甲:(1)不是.
生乙:(1)是.
师问生甲:(1)为什么不是函数?
生甲:(1)在x>0时没有图象.
师:没有图象表示此函数在x>0的范围内没有定义.而y是x的函数要求对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,就是说我们只看它有定义的部分.
生甲:哦,那么(1)是函数.
师:(2)是函数吗?
生:是.
师:(3)呢?
生:……
师:从函数的定义出发考虑.
生:不是.
师:为什么?
生:除了x轴上的两点,自变量取值范围内的其他的每一个x值都有两个y与它对应.
师:你回答得很好!(4)呢?这个图象对应的是不是函数?
生:不是.
师:为什么?
生:有一些x值有2个甚至更多个y值与它对应.
师:你回答得很好!
五、课堂小结
师:今天你学习了什么新的内容?
生:学习了函数表示法中的图象法、函数图象的画法.
师:画函数图象的步骤是什么?
生:列表、描点、连线.
教学反思
本节课通过让学生回顾本章第一节表示函数的另一种方法——图象法,还向学生介绍了这种表示方法的优点,并示范了作函数图象的过程,指出了图象法的三个步骤:列表、描点、连线,让学生掌握了表示函数关系的又一工具.在列表时要考虑到自变量的取值范围,在刻度的选取时要具体问题具体分析,有的起始值较大且变化量小时,前面一部分用折线表示;当x、y只取正值时就不画x轴及y轴的负半轴.
第4课时函数(四)
教学目标
【知识与技能】
能读出函数图象里的信息,会分析图象信息.
【过程与方法】
1.经历观察函数图象,读出图中信息,提高阅读和提取信息的能力.
2.体会和学习数形结合的数学思想.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生读出函数图象的信息,把数和形结合起来,将图象“说出来”,让学生体会到了数形结合思想.
2.通过“翻译”图象的过程,让学生体验了坐标系的用途和数学的重要性,提高学生学习的主动性.
重点难点
【重点】
读出图象里的信息
【难点】
分析函数图象中的信息.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在上节课中,我们学习了函数图象的画法,你还记得有哪几个步骤吗?
生:记得.列表、描点、连线.
师:很好!如果给出了函数的图象,我们也要能读出其中的信息.
二、合作探究,获取新知
教师多媒体出示教材思考题中的图:
师:图中有哪两个变量?
生:时间和体温.
师:哪个是自变量?哪个是因变量?
生:时间是自变量,体温是因变量.
师:在这一天中此人的最高体温是多少?最低体温是多少?分别是在什么时刻达到的?
学生用刻度尺测量后回答.
生甲:最高体温是36.8℃,在18h时达到.
生乙:最低体温是35.9℃,在4h时达到.
教师多媒体课件出示课本上的几个练习题并找学生回答,共同纠正.
三、举例探讨,深化理解
教师多媒体出示:
一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输,只行驶一个来回,中间停靠丙港,下图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化而变化的曲线.
学生观察图象.
师:轮船从甲港(O点)出发到达丙港(A点)用了多长时间?
生:1个小时.
师:从丙港(A点)到达乙港(C点)用了多长时间?
生:2个小时.
师:你们还能读出其他的信息吗?
生甲:轮船在乙港停留了1个小时.
生乙:轮船从乙港到丙港用了4个小时.
生丙:轮船从丙港到甲港用了2个小时.
师:很好!
教师多媒体出示:
(1)你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快,还是轮船返回时的平均速度快吗?
(2)如果轮船往返的速度是一样的,那么从甲港到乙港是顺水还是逆水?
师:你是怎样做第一个小题的?
生:因为往返轮船行驶的路程相同,所以只要比较去和返回时用的时间长短就行了.
师:往返的时间哪个长哪个短呢?
生:从甲港到乙港用了3个小时,从乙港到甲港用了6个小时,去时用的时间短,回来时用的时间长.
师:很好!由此你能得到什么结论?
生:说明去的时候速度快.
师:很好!现在请同学们看第二个问题.
学生看思考.
生:从甲港到乙港是顺水.
师:你怎么得到的呢?
生:因为由上题知从甲港到乙港时速度更快.
四、课堂小结
师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?
学生回答.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体,例如文字和图象.本节课我带领学生去读信息,获取、分析图象上的信息.在第一个例题的讲解中,我向学生提出问题,引导他们去看图;在第二个问题中,我在提出两个问题后,让学生自己去说说看到了什么,让学生自己去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼他们的分析能力和语言表达能力.
12.2 一次函数
第1课时一次函数(一)
教学目标
【知识与技能】
认识正比例函数,掌握正比例函数解析式的特点. 【过程与方法】
经历用图象法表示正比例函数的过程,利用数形结合思想分析问题. 【情感、态度与价值观】
1.通过让学生用图象法表示正比例函数使学生参与到探究正比例函数的过程中来,激发学生学习数学的积极性.
2.将函数用图象表示出来使函数显得更为生动形象,使学生易于接受. 重点难点
【重点】
正比例函数的解析式特点,正比例函数的图象表示法. 【难点】
由正比例函数的图象归纳其性质. 教学过程
一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示:
s=50t;h=50t+500;Q=-25t+300;y=2x.
师:观察这些函数,你能发现它们的共同点吗?
生:能.它们的自变量的最高次数都是1.
师:很好!不难看出,这些函数都是用自变量的一次式表示的,可以写成y=kx+b 的形式.因为它们有这一共同特征,我们把它们归为一类.
教师多媒体出示并口述:
一般地,形如y=kx+b(k 、b 是常数,k ≠0)的函数,叫做一次函数,其中k 叫做比例系数,b 叫做常数.当b=0时,它会是怎样的呢?
生:当b=0时,它化简成了y=kx.
师:对.我们把有这一特征的函数也归为一类.一般地,形如y=kx(k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.
二、边讲边练,共同探究
师:请同学们根据刚才介绍的一次函数及正比例函数的形式来判断一下下列函数,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?
(1)y=-4x;(2)y=6
x ;(3)y=4x+8;(4)y=3x 2
-1;(5)y=-x
8. 学生讨论后回答,集体纠正.
师:我们现在已经知道了正比例函数的解析式的特点,那么它的图象又有什么特点呢?在前面我们画了y=2x 、s=-3t 的图象,它们有什么共同点?
生:它们都是一条直线.
师:对.通常我们把正比例函数y=kx(k ≠0)的图象叫做直线y=kx. 教师多媒体出示: y=1
2x,y=x,y=3x.
师:请大家在同一直角坐标系中画出下列正比例函数的图象.我们知道两点确定一条直线,所以要画y=kx 的图象,找出两个点即可.在y=kx中,无论k取何值,x=0时y都为0,所以正比例函数的图象是一条经过原点
的直线.我们再找一个容易计算的x的值,比如取x=1,求出相应的y的值.
教师找三名学生板演,其余同学在下面做,然后集体纠正得到:
三、继续探究,层层推进
师:它们除了都是正比例函数外,k都是大于0的.它们的图象除了是经过原点的直线外,还有什么共同点?
生:它们都经过一、三象限.
师:除此之外,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?
学生观察后回答:增大.
师:很好!它们还有没有其他的共同之处?
学生继续观察,发现另一共同点:它们都是自左向右上升的.
教师多媒体出示:
x,y=-x,y=-3x.
y=-1
2
师:你们再画出这几个函数的图象,看看它们有什么共同点.
学生作图后回答.
生甲:它们都是过原点的一条直线.
生乙:它们都经过二、四象限.
生丙:y的值随着x的增大而减小.
生丁:它们都是自左向右下降的.
师:同学们回答得很好!我们由这两个例子得到如下结论:
在正比例函数y=kx中,当k>0时,y随x的增大而增大,图象经过一、三象限;当k<0时,y随x的增大而
减小,图象经过二、四象限.
师:那么大家将前面的三个图象结合起来,看|k|的大小对y=kx的图象有什么影响?
生:|k|越大,图象越接近y轴;|k|越小,图象越接近x轴.
师:很好,大家观察得很仔细.我们现在来探究正比例函数的平移问题.
教师多媒体出示:
(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线.
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线.
学生讨论.
教师找两名学生回答.
生甲:y=3x-2.
生乙:y=-x.
四、课堂小结
师:今天我们学习了哪些内容?
生甲:学习了一次函数和正比例函数的概念.
生乙:学习了正比例函数的性质.
第1课时二次根式的概念 1．了解二次根式的概念；(重点) 2．理解二次根式有意义的条件；(重点) 3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点) 一、情境导入 1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？ 2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？ 大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究 探究点一：二次根式的概念 【类型一】二次根式的识别 (2015·安顺期末)下列各式：①1 2；②2 x；③x2＋y2；④－5；⑤35， 其中二次根式的个数有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B. 方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】二次根式有意义的条件 代数式 x＋1 x－1有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥－1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1 解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A. 方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数； (3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值； (2)已知实数a ，b 满足a ＝b －2＋2－b ＋3，求a ，b 的值． 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可． 解：(1)由题意知???2a ＋8＝0，b －1＝0， 得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9； (2)由题意知? ??b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________． 解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23 时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23 ，3. 方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 本节课的内容是在我们已学过的平 方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a ; 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． ~ 二次根式的运算法则： =(a+b) ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0)
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 … 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 ) 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 % 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，
第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： c c c ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a a a b b =a ≥0,b>0） ()n n a a =≥0) 第十七章 一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念
1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式x =：12x x ==； △=2 4b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++ =12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值 18.2 正比例函数 1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例 2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数
沪科版八年级数学上册全册教案 第11章平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标
平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢? 生:用一个有序的实数对来表示. 师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢? 生:可以. 教师在黑板上作图:
上海沪教版八年级上数学期中试卷(一) 1 / 3 第一学期八年级数学期中考试-1 一、填空：（每题2分，共24分） 1、把一元二次方程x x 2)1(2=-化为一般式：__________________________________ 2、2 1-__________（填“是”、“不是”）一元二次方程x x x 6322-=-的根。 3、不解方程，判断方程224515x x x x -=+-根的情况：______________________________ 4、在实数范围内分解因式：___________________________462=+-x x 5、在实数范围内分解因式：_________________________________342=+--x x 6、当x 取________________时，式子3392-?+= -x x x 有意义。 7、化简：_________________273=-a 8、若最简二次根式1522+x 与172--x 是同类二次根式，则_________=x 9、化简：___________________)27()57(22=-+- 10、当m 取_________________时，方程023)2(1=-+--x x m m 是一元二次方程。 11、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程035122 =+-x x 的根，则该三角形的周 长为___________________________ 12、若关于x 的方程0122=--x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______ 二、选择题：（每题3分，共18分） 13、下列运算正确的是…………………………………………………………..（ ） A 、39±= B 、 33-=- C 、 932=- D 、39-=- 14、下列二次根式是最简二次根式的是………………………………………..（ ） A 、3 1 B 、122++x x C 、 12+x D 、22c 15、在二次根式2 ,20,2,8,18,50)(4 322a a b b a -中，与 2是同类二次根式的有………………………………………………….（ ） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个 16、方程1)5)(1(=--x x 的两个根为……………………………………….（ ）
沪教版八年级数学上册知识点 第十一章平面直角坐标系 一、平面内点的坐标特征 1、各象限内点P（a ，b）的坐标特征： 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0 2、坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征： x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0 （说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。） 3、两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征： 一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b 二、对称点的坐标特征 点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）； 关于y轴的对称点是（－a ，b）； 关于原点的对称点是（－a ，－b） 三、点到坐标轴的距离 点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣ 四、平行于坐标轴的直线 （1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴； （2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。 五、点的平移坐标变化规律 坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x －a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。（说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。简记为“右加左减，上加下减”） 第十二章一次函数 一、确定函数自变量的取值范围 1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数； 2、自变量以分式形式出现，自变量的取值范围是使分母不为0的数； 3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方数≥0）的数； 自变量以奇次方根形式出现，自变量的取值范围是全体实数。 4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为0的数。（说明：（1）当一个函数解析式含有几种代数式时，自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分； （2）当函数解析式表示具有实际意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式有意义外，还必须符合实际意义。） 二、一次函数 1、一般形式：y=k x＋b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=k x（k≠0），此时y是x的正比例函数。
本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题． 二次根式的 性质 解法 二次三项式的因式分解 配方法 平行向量 因式分解法 实际问题 应用 二次根式的加减 二次根式的乘除 混合运算 最简二次根式 有理化因式和分母有理化 同类二次根式 二次根式 二次根式的运 算 一元二次方程 开平方法 公式法 平行向量 根的判别式 根的情况 期末复习 内容分析 知识结构
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．1 5 B ．5 C ．0.5 D ．50 【难度】★ 【答案】 【解析】 函数的定义域和求 函数值 定义 依据 函数 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 演绎推理 几何证明 勾股定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理 正比例函数概念、 图像和性质 反比例函数概念、图像和性质 正反比例函数综合运用 命题 实际问题 变 量与 常 量 点的轨迹 函数的常用表示法： 解析法 列表法 图像法 公理 定理 逆命题 逆定理 选择题
【练习2】若一元二次方程2210 ax x -+=有两个实数根，则a的取值范围正确的是（） A．1 a≥B．1 a≤C．1 a≤且0 a≠D．01 a <≤ 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）． A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习4】下列命题中，哪个是真命题（） A．同位角相等 B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．若PA PB =，则点P在线段AB的垂直平分线上 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习5】以下说法中，错误的是（） A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若 34 55 a c b c == ，，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，若::2:2:4 a b c=，则△ABC为直角三角形【难度】★ 【答案】 【解析】
沪科版 八年级上册数学练习 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1.若点P ), (413-a 关于x 轴的对称点是Q ),(32-b ，则点（a ，b ）在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列图形中不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 3.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 10 4.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，连接DE 、AP 交于点F ，则图中共有（ ）对全等三角形。 A.3 B.4 C.5 D.6 5.下列命题的逆命题是真命题的是 （ A.对顶角相等 B.两直线平行，同位角相等 C.若00>>y x ,，则0>+y x D.全等三角形的面积相等 6.若△ABC 是等腰三角形，∠A=20最大角的度数是 （ A.20° B.140°C.80° D.80°或140° 7. 参加400米比赛，两人的路程s （米）与时间 t （秒）之间的函数关系的图象分别为 折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ A ． 乙比甲先到终点 B ． 乙测试的速度随时间增加而增大 C ． 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 D ． 第33秒时乙在甲的前面 8. 已知11-=x y 与b kx y +=221A.x>-2 B.x<1 C.-2
第11章平面直角坐标系 11.1平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位.
生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢? 生:用一个有序的实数对来表示. 师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢? 生:可以. 教师在黑板上作图: 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点.这样就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面. 师:有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系. 学生操作,教师巡视.教师指正学生易犯的错误.
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（2）三角形的内角和是；如何推导的？ （3）在中，已知，那么。 2、预习课本66~68页，写下你认为重要的知识点和存在的疑惑： 3、简单应用 （1）六边形的内角和是，十二边形的内角和是 . （2）如果多边形的内角和为，那么它是边形. 角形内角和公式的推导，为新课多边形的学习打下基础。 二、课堂学习概念学习： 1．这是几边形？ 提问：我们能否参照三角形的定义，尝试给多边形下个定义？ 多边形：叫做多边形。 说明：三角形是最简单的多边形．由n条线段组成的多边形就称为n边形．如由四条线段组成的多边形就称为四边形，由五条线段组成的多边形就称为五边形．学生根据三角形有关概念，尝 试得出多边形有关概念。体会 类比思想 通过类比三角形有关 概念，明确多边形的 有关概念 关于多边形的边、顶 点、内角等概念，可 以通过类比三角形引 入；关于多边形的对 角线，可直接进行定 义。对这些概念的描 述结合图形解说，同
概念4：多边形的对角线：联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 多边形内角和公式的推导 提出问题: 我们知道三角形内角和是，那么四边形的内角和是多少度？五边形、六边形、七边形……n边形呢？ 学生尝试探究、解决问题： 请大家独立完成下表： 多边形 的边数图形 从一个顶点 出发的对角 线条数 分割出的 三角形的个数 多边形的 内角和学生尝试分割多边形，并完成 表格的填写，自己得出n边形 多边形的内角和。 转化以及字母代数的 数学思想。 4 / 6
板书设计 22.1(1) 多边形的内角和 一、多边形的定义 二、多边形的基本概念 边，顶点，内角，对角线，凹多边形 三、多边形的内角和定理 n边形内角和：（n-2）180 四、定理运用 6 / 6
2017学年第一学期八年级期中考试 数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并写在答题纸 的相应位置上】 1. 二次根式1 53-+x x 中字母x 的取值范围是（ ） <1 ≤1 ＞1 ≥1 2. 下列二次根式中，属于最简根式的是（ ） A.219 B.79 C.20 D.5.0 3. 。 4. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） （利用判别式） +1=0 +1=0 +x+1=0 5. 一元二次方程x2-2x+m 有实数根，那么实数m 的取值范围是（ ）（利用判别式） ＞1 ＝1 ＜1 ≤1 5. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A.85.0与 B.15,45 C.12,18 D.3 232， 6. 过正比例函数y=kx 的图像上一点A （3，m ）作x 轴的垂线，垂足为B ，如果S △AOB =7， 则k 的值为（ ） A.± 37 B.±314 C.±914 D.±97 、 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7.比较大小：56. 8.已知xy=21，那么y x y x y x += . 9.二次根式 b a +21的有理化因式是 . 10.不等式02210＜-x 的解集为 . 11.计算：3·26= . 12.已知正比例函数y=（3-k ）x （k 为常数，k ≠3），点() 23-2， 在这个函数的图像
上，那么y 的值随x 的增大而 . （选填“增大”或“减小”） 13.如果正比例函数y=kx ，当x 增加的值为，则的值增加时，k y 2-323+ . — 14.一元二次方程的求根公式为 . 15.已知a b b a ab b a +=-=+则,8,24= . 16.某校进行篮球比赛，第一轮每个班级都要和其他班级进行一场比赛，结果一共进行了28 场比赛，设这个年级有x 个班级，则可列出方程 . 17.利用配方法可将方程999162--x x 配为（ ）2= . 18.已知a 为实数，且62162-+a a ，均为整数，则a 的值为 . 三、解答题：（本大题共7题，满分58分） 19.（本题满分15分，其中每小题5分） 计算：（1） a b b a ab b ÷-)(·135；（2）3 -527515-21-35++； （3）, （4）... 22222...22222+++++-（?2?,,...222==x x x 则为提示：设） 20. （本题满分6分） . 5204 1222的最小值求代数式的实数根，为有理数）有两个相等、（的一元二次方程已知关于-++=-+ -m n m n m m nx x x 21.（本题满分4分） . 032)1(2的最大整数值求， 有两个不相等的实数根的一元二次方程关于k k kx x k x =+++- 22. （本题满分10分，每小题5分） 阅读下题解答过程： .1.v 11.iv 1 .iii 1 .ii . .i . 2232的值为符合题意 代入原方程检验，可知把，得方程两边同除以代入原方程，化简得把解： 的值的一个根，求的方程是关于已知a a a a a a a a a x a a x ax x a ∴======+- （1）请指出上述解答过程中的错误（写出步骤号及错误原因）。
第11章平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原 点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个 数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两 个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢?
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0) 第十七章 一元二次方程
17.1 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式x =：12x x ==； △=2 4b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值 18.2 正比例函数 1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例 2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数
§19.9勾股定理（1） §19.9勾股定理（1） 【教学目标】 1、理解用面积割补方法证明勾股定理的思路。 2、初步掌握勾股定理，并能进行简单运用。 3、感受人类文明的力量，了解中国古代在勾股定理方面的成就，知道勾股定理在人类重大科技发现中的地位。 【教学重难点】 教学重点：面积割补法证明勾股定理。 教学难点：勾股定理的灵活应用。 【教学过程】 一、复习引入 复习关于直角三角形的性质。 二、新课探索 探究：1、小组合作，利用这四个全等的直角三角形拼成以斜边为边长的正方形。（允许中间有空隙） 由正方形和三角形的面积公式可得： 22）a -b （ab 214c +?= 整理可得：222b a c += 2、将四个直角三角形沿着斜边翻折，得到新图形 请同学们自行完成新的面积公式推导 由正方形和三角形的面积公式可得： 22ab 2 14b)(a c +?=+ 整理可得：222b a c += 【设计说明】小组学习，互相交流，共同分享，由特殊到一般对直角三角形进行探索，利用几何画板的动态功能达到了其他教学手段所不能达到的效果，使直角三角形数与形的关系展示得更为直观，更易被学生接受，从而顺利地突破难点，为学生接下来归纳结论打下基础，让学生体会到观察、猜想、操作、归纳、验证
的数学过程，使学生分析问题和解决问题的能力得到提高，符合学生的认知规律。 3、加菲尔德证法。加菲尔德在证出此结论5年后， 成为美国总统，所以人们又叫它总统证法。 【设计说明】通过介绍勾股定理的有关研究历史， 感受数学文化，鼓励学生善于观察，大胆猜想，勇于探索数学知识，从而体会到祖国数学历史的悠久，增强民族自豪感。 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜 边的平方。 在Rt⊿ABC中，∠C=90° AB2=BC2+AC2或者c2=a2+b2 课堂练习：在Rt△ABC中，∠A=90°，设a、b、c分别是 ∠A、∠B、∠C的对边。 （1）b=4，c=5，求a （2）a=13，b=12，求c 例题：求边长为1的等边三角形的面积。 想一想：如果等边三角形的边长为a，那么面积S可以用a来表示吗？ 思考： 1、在一个直角三角形中较短两边的长为3、4，则最长边的边长是。 2、在一个直角三角形中有两边的长为 3、4，则最长边的边长是。 三、课堂小结 今天学习了什么？ 【设计说明】1、学到了用“等积法”证明勾股定理及数形结合的思想。 2、感受到了数学的奇妙，也感受到了古人的伟大。我们一定要将此传承下去。 四、回家作业
沪科版八年级第一学期数学教学计划 李浪 一、学生基本情况： 我班学生人数为81人，上学期学生期末考试的成绩总体来看，成绩不算太好。在学生所学知识的掌握程度上，已经开始出现两极分化，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，在几何中，教材安排的知识比较肤浅，相对正规教学来说，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养，在以后的教学中，培养学生课外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。 二、教材分析 本学期教学内容，共计五章，知识的前后联系分析如下： 第十二章平面直角坐标系 本章以丰富多彩的现实生活中的经验、题材，说明在日常生活中，在生产实践军事上常常需要确定物体的坐标，学习平面直角坐标系是主要内容，同时也是数形结合的基础、本章还学习图形在直角坐标系中的平移，从运动的观点来体现直角坐标系的实际运用。 第十三章一次函数 本章通过变量间关系的考察、让学生初步体会函数的概念、并且进一步探究一次函数这个函数家族中最简单的函数、我们希望解剖一次函数、使学生了解函数的有关性质和研究方法、并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 第十四章三角形中的边角关系
21.4（1）无理方程 教学目标：知道无理方程、代数方程的概念，并会识别无理方程；经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想；知道解无理方程的一般步骤，会解简单的无理方程，知 道验根是解无理方程的重要步骤，掌握验根的常用方法。 教学重点：掌握简单的无理方程的解法。 教学难点：了解无理方程产生增根的原因。
教学设计说明 本节课通过具体事例和学生已有的知识出发，对无理方程进行基本概念的教学。学生根据实际问题中的数量关系列出方程，在对新方程的分析和旧方程的比较中形成概念，学生感受学习方程知识的实际意义，体会到已有方程的不足，认识到确实有必要拓展和探究新方程的知识，以此来调动学生学习的积极性，并增强将方程用于解决实际问题的意识。 一、加强学习指导，帮助学生突破难点 通过探索无理方程的解法，引导学生积极思考，不断总结，逐步领会其中蕴含的数学思想，掌握解无理方程的解法，在解无理方程的过程中可能会产生增根是难点，因此对于具体方程的求解过程，深入浅出的说明产生增根的原因，让学生意识到验根是解无理方程的必要步骤，进而掌握验根的方法。 二、关注过程评价，促进学生主动学习 帮助学生对方程的概念系统进行整理，形成关于代数方程系统的整体认识。在概念形成的阶段，鼓励学生积极参与，自主活动，独立思考，在讨论增根产生的原因时，鼓励学生提出问题、发表见解和解决问题。在讲评和小结中，重视有关数学思想方法的点拨和交流。 三、关注个体差异，满足学生不同需求 学生的分析问题和解决问题的能力存在一定的差异，对于学习有困难的学生，鼓励他们积极参与到学习中来，提高学习兴趣，帮助他们掌握简单的无理方程的解法，增强他们进一步学习无理方程的信心，学有余力的同学，给其提供选做题，鼓励他们进一步的自主探索和学习，在能力上得到更进一步的发展。
沪科版八年级下册数学全教案 好的教案还可以给八年级数学教师带来更多的反思，更好地促进教师的专业成长与发展。下面是小编为大家精心整理的沪科版八年级下册数学的教案，仅供参考。 沪科版八年级下册数学教案设计《17.1 一元二次方程》 一、教学目标 1.掌握一元二次方程的定义，能够判断一个方程是否是一元二次方程. 2.能够将一元二次方程化为一般形式并确定a，b，c的值. 二、(重)难点预见 重点：知道什么叫做一元二次方程，能够判断一个方程是否是一元二次方程. 难点：能够将一元二次方程化为一般形式并确定a，b，c的值. 三、学法指导 结合教材和预习学案，先独立思考，遇到困难小对子之间进行帮扶，完成学习任务. 四、教学过程 开场白设计： 一元二次方程是初中数学中非常重要的内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用.什么形式的方程是一元二次方程?这样的方程怎么解答呢?它又能解决哪些问题呢?带着这些问题，让我们一起学习
《一元二次方程》这一章，今天我们来学习第一节课，同学们肯定有很多新的收获. 1、忆一忆 在前面我们曾经学习了什么叫做一元一次方程?一元指的是什么含义?一次呢?你能猜想什么叫做一元二次方程吗? 学法指导： 本节课学习一元二次方程先让学生回忆一元一次方程.学习四边形可以让学生回忆三角形，学习四边形的边、角、顶点，可以让学生回忆三角形的边、角、顶点，则可达到水到渠成的效果. 2、想一想 请同学们根据题意，只列出方程，不进行解答： (1)一个矩形的长比宽多2cm，矩形的面积是15cm，求这个矩形的长和宽. (2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数. (3)直角三角形三边的长都是整数，它的斜边长为13cm，两条直角边的差为7cm，求两条直角边的长. 预习困难预见： (1)学生在列方程时没有搞清楚平方和与和的平方的区别，以至于把方程列错了. (2)学生在解答第(3)题时，设未知数时忘记带单位. (3)还有的同学没有注意只列方程，以至于学生列出方程后尝试着解方程，导致耽误了一些时间.