数学分析中辅助函数的构造及其作用
作者：杨云苏
来源：《课程教育研究·中》2013年第10期
【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。
【关键词】辅助函数构造应用
【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02
在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。
构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。
1.数学分析中如何构造辅助函数
1.1 辅助函数的基本特点
a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。
b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。
c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。
1.2 构造辅助函数的基本方法
1.2.1 联想分析
要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。
例1 已知x>0，证明x-■x2
这是一个含有变量不等式的证明，可以考虑通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式，然后直接构造辅助函数F（x）通过F′（x）在（a，b）上恒正（或负），知F（x）>F （a）（或F（x）F（x′）（或F（x）
1.2.2 对比分析
运用所学过的相关知识如定积分的定义；定积分计算中的矩形法、梯形法等，结合具体问题进行分析对比，构造辅助函数。
例2 ■[■+■+…+■]。
这是一个和式的极限，该和式又不能直接求和化简，因而一般方法行不通，由定积分定义求和，定积分也是一个和式的极限，我们将和式的极限与定积分的定义式进行对比：
■f（x）dx=■■f（ξ）△xi
■[■+■+…+■]=■■■
=■■■·■
对比后之后我们不难发现需要构造的辅助函数为f（x）=■，[0，1]
解：
■[■+■+…+■]
=■■■=■■■·■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2
1.2.3 综合分析
有些命题通过分析，解题中确需构造辅助函数，但上述两种方法都无从下手，这时就需要逆推分析或双推分析（指由条件和结论同时进行推理分析，以期得出某个相同的中间命题），先得出要构造的辅助函数的一些特征（性质），然后再根据这些性质构造辅助函数，即使较为复杂的问题，同样也能构造出恰当的辅助函数。
例3 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导（0
此结论中涉及两点，因此需要应用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理还不够，还需要用柯西中值定理，为此只有一个函数f（x）还不行，还需再构造一个函数g（x），假设g （x）已确定，且满足柯西中值定理的条件，则（a，b）在上至少存在一点η，使得
■=■ （1）
又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在（a，b）上至少存在一点ξ，使得
f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（2）
由（1），（2）知：
f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）
这与欲证结论进行对照不难发现需构造的函数g（x）需具有如下性质：
g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）
如果对变上限的积分较熟悉，自然就会想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]
证：设辅助函数g（x）=■tdt，x∈[a，b]
则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）
由柯西中值定理知：？埚η∈（a，b），使得■=■=■
所以η（f（b）-f（a））=f′（η）·（g（b）-g（a））=f′（η）·■（b2-a2）
又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以？埚ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）
代入上式得η·f′（ξ）·（b-a）=f′（η）·■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。
总之，辅助函数离不开分析，推理和联想，恰当的构思、巧妙的假设、充分的推理论证是每个研究数学分析的人们所不可缺少的数学修养和素质。
2.构造辅助函数在数学分析中几个方面的应用
2.1 辅助函数在讨论根的存在性问题中的应用
例4 证明：设函数f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），则在[0，a]上至少有一点，使f（x）=f（x+a）。
证：令F（x）=f（x）-f（x+a），则因为f（x）在[0，2a]上连续，f（x+a）在[0，a]上连续，所以f（x）在[0，a]上连续。
由于F（0）=f（0）-f（a），
F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，
故若f（0）-f（a）=0，则f（a）=f（0）=f（2a），即当x=a时，有f（x）=f（x+a）。
若f（0）-f（a）≠0，则F（0）F（a）
2.2 辅助函数在应用微分中值定理证题中的应用
微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。解决这类相关命题的问题，构造恰当的辅助函数是关键。在前面综合分析中的例3，我们已经利用构造辅助函数解决了一些微分中值定理相关的命题。
2.3 辅助函数在不等式证明中的应用
在不等式证明的问题中，构造恰当的辅助函数是关键，可以将不等式通过恒等变形，将结论转化为容易消除导数符号的形式。
作辅助函数的目的是化未知为已知、化难为易、化繁为简。在数学分析的教学过程中，有意识地培养学生掌握构造法并且能够运用构造函数法来解决问题，有助于他们加深和概括所学知识、拓宽视野、培养学生良好的逻辑思维能力。
参考文献：
[1]孙清华等. 工程数学分析习题与例题解析[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2002.
[2]陈国干. 高等数学中如何构造辅助函数[J]. 江苏广播电视大学学报，1996，10（2）：27-28.
[3]王建平等. 构造辅助函数在高等数学中的应用[J]. 河南教育学院学报（自然科学版），2004，13（1）：17-19.
[4]郭乔.如何作辅助函数解题[J].西安：高等数学研究，2002，3（5）：48-49.
编号 几种高等数学中的构造函数法 摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用. 关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法 中图分类号 O172 The constructor of higher mathematics Chengyan Instructor Wang Renhu (N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China) Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application. Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法 分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明. 例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式 成立. 分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证 需证 f(ξ)- ' f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡ =0,而等式左边可转化为⎢f(x)- b-a⎣ ⋅x ⎤ ,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ '
数学分析中辅助函数的构造及其作用 作者：杨云苏 来源：《课程教育研究·中》2013年第10期 【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。 【关键词】辅助函数构造应用 【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。 【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。 构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。 1.数学分析中如何构造辅助函数 1.1 辅助函数的基本特点 a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。 b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。 c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。 1.2 构造辅助函数的基本方法 1.2.1 联想分析
高等数学辅助函数的构造方法及应用 1.极限函数构造方法： 极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。在构造极 限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。 应用： a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。 b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更 容易计算的形式。 2.反函数构造方法： 反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自 变量和因变量的位置得到反函数。 应用： a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方 程的解。 b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函 数的形式，从而简化计算。 3.特殊函数构造方法：
特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。 应用： a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。 b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。 4.递推函数构造方法： 递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。 应用： a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。 b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。 总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。
浅析辅助函数的构造及应用 陈小亘 (湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048) 摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造 辅助函数的方法应用. 关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法 中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A 1 引言 辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的 一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造 辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数 学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之 间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助 函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又 是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧. 如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教 科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手. 2 辅助函数的基本特点及构造原则 所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题 本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直 观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终 是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结. 辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程 中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造 多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关 系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键. 如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助 函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时， 可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助 函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命 题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其 次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形, 由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特 征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造， 然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用 3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法) 原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数 )(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关
毕业论文开题报告 数学与应用数学 有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究 一、选题的背景、意义 1.辅助函数构造法背景 当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。 微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。 2.研究现状及发展趋势 辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果。 辅助函数构造法在数学的发展过程中，有着非常重要的地位，许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决，所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中，它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路，现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。 二、相关研究的最新成果及动态 本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用，而其中主要分三部分内容，一是
微分中值定理中辅助函数的构造及应用 摘要：本文围绕数学分析微分中值定理这一章节的内容，结合作者的实际学习及应用定理的经验，介绍了在学习微分中值定理和解决一些实际问题的过程中，辅助函数的重要作用以及其广泛应用。 关键词：辅助函数微分中值定理1、构造辅助函数 构造辅助函数是一种重要的数学思想方法。无论是在初等数学还是高等数学中都具有广泛的应用。它属于数学思想方法中的构造法。所谓构造法，就是在数学解题中．不能直接运用逻辑推理一步—步地导出必要条件而最后得出问题的结论时。就要跳出原来问题的圈子，从新的角度、用新的观点观察分析，别开生面地依据题设条件的特点，用已知条件中的元素为“原件”，用已知数学关系式为“支架”。在思维中构造出一种新的数学形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题。辅助函数是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解。构造辅助函数是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题。在我们学习数学分析和应用数学分析的若干定理去解决一些数学问题的时候，经常会发现，构造一个合适的辅助函数，可以起到事半功倍的效果。尤其是在学习微分中值定理和在利用微分中值定理的相关知识去解决一些实际问题的时候，构造合适的辅助函数就显得尤为重要了。 利用构造辅助函数来证明中值定理是辅助函数用以解决数学命题的精彩典范;通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊（特殊情况先证明），将复杂问题化为简单问题的论证思想在我们学习数学分析或者高等代数时有很深的影响。 2、构造辅助函数的方法 综上所述，在微分中值定理的学习及应用的过程中，构造合适的辅助函数不仅可以便于我们理解领会，在某些实际问题的解决上，构造合适的辅助函数去进行证明和计算，往往就能够化难为易，使问题迎刃而解。 参考文献： [1]华东师大数学系，数学分析[M]，高等教育出版社，1999. [2]黄先开.曹显兵.简怀玉，2009年考研数学经典讲义(理工类)，2008. [3]辅助函数在数学分析中的应用一二，张宣，西安文理学院幼儿师范学院，2009. [4]高等数学中辅助函数的构造，蔡凤仙，昭通师范高等专科学校学报，2009.K常数法
微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'() ()()'() f b f a f x g b g a g x -=-，先变形 为 ()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()() ()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有 ()()()()0()()f b f a f x g x g b g a -- =-故()() ()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得12 00231 n a a a a n + +++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于223 1120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=+ +++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 23 1120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+ ++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 12 0(1)0231 n a a a F a n =+ +++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即 23 1120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=+ +++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…． 这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．
数学证明中的构造辅助函数方法 摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路. 关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言 数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.
辅助函数在数学分析中的重要性 数学分析是数学专业的一门重要的基础课程，这门课程学习的好坏，直接影响到其它后续课程的学习。而检查这门课程掌握的程度主要是对概念的理解、对定理的应用，其中重要的手段之一就是研究命题的证明。 证明命题的方法很多，通过构造辅助函数使某些命題得到简捷而明了的证明，就是一个很好的方法。在数学分析中，拉格朗日中值定理、柯西中值定理、不等式与恒等式的证明、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的。同样柯西中值定理的证明也是通过构造辅助函数而得证的。 辅助函数方法是数学分析中解决问题的一种重要方法，在证明和计算过程中，有些问题直接去做往往很困难，而构造适当的辅助函数去进行证明和计算往往可以化难为易，使问题迎刃而解。 （一）辅助函数的基本特点 第一，辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。 第二，同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题。 第三，表面上看构造辅助函数的思路较宽广，实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易。 因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。
数学分析中许多理论问题的解决都涉及到构造辅助函数的方法。某些 很复杂的问题构造了一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单。具体 体现在： （1）微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完美的解决。 由此可见，辅助函数在数学分析中的证明和计算中发挥着十分重大的 作用。 二、辅助函数在数学分析中的应用 （一）辅助函数在微分中值定理中的应用 微分中值定理是微分学中的基本定理之一，而其证明往往需要构造辅 助函数，是微积分教学的重点之一，也是教学中的难点。因此，研究辅助 函数的构造方法对于我们学习和掌握微分中值定理来说是十分必要的。 （二）辅助函数在判别方程根的存在性中的应用 解方程，实质上就是求函数的零点。有关于函数零点的问题，许多都 是通过构造辅助函数作为桥梁，再应用相应的定理得以使问题解决。 1.应用零点存在定理判别方程根的情况 应用零点存在定理判别方程根的情况时，将方程一端化为零，令另一 端为某一函数，构造出辅助函数. 2.应用罗尔定理判别方程根的情况 应用罗尔定理判别方程根的情况时，将方程一端化为零，选取另一端 的原函数为辅助函数.
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式 积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。 1. 变上限积分 变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。更具体地说，如果 $f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为： $$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$ $t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。 可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^b f(x)dx$就存在。反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。 2. 构造辅助函数 下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。 具体地说，我们定义函数$F(x)$如下： $a$是一个常数。 然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$： 我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。具体来说，我们有： 于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。 这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。 3. 应用举例 下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。 例1：证明斯特林公式： $$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$
辅助函数的构造方法 Maths proposition；Assistant function；Creating methods 在中学时，我们就已经接触了构造辅助函数法，并使用它去解决某些问题。构造辅助函数法体现了一种数学基本，一种解题技巧。用构造辅助函数法解题，能达到直观形象，简洁明快的效果。构造辅助函数法的使用，需要以我们已有的知识作为基础，要求我们充分展开联想，灵活运用所学知识。 构造辅助函数法这一在我们现在学的数学分析中运用十分普遍，我们运用它来证明某些定理不等式，进行某些计算，将一些复杂的问题简单的解决了。下面我们来看看用构造辅助法解决的一些具体的问题。 1 几何直观法证明中值定理 定理1（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足： （ⅰ）f在闭区间[a，b]上连续； （ⅱ）f在开区间（a，b）内可导； 于是，原命题成立 方法归纳：用单调性分析证明函数不等式可通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式来构造辅助函数，但应注意以下几点：1）为使求导后的函数f ′（x）较简单，有时对原不等式作适当变形； 2）有时需多次求导； 3）在证明含有两个变量的不等式时，可以把其中的一个当作变量，而另一个当作常数，使问题化为一个变量的函数不等式的证明。 我们再来看看下面例子： 例设bae，证明abba。 分析：所给不等式为幂指数形式，可先两边取对数 由于bae
所以abba等价于blnaalnb 考察F（x）=xlna-alnx 若xae时，能推知F（x）单调增加，则命题得证。 证：令F（x）=xlna-xlnb（x0） 4 小结 用构造辅助函数法解题，关键是如何去构造辅助函数，而这个辅助函数能使问题简化，对我们掌握的的灵活性比较高，“冰冻三迟非一日之寒”。也就是说还是要靠我们平时的积累。一般来说我们可以从三个方面来思考： 1）数形结合思想，象中值定理的证明过程中，我们根据其几何意义构造一个切线方程，问题得到解决。 2）观察题目中函数结构，象上面例题中出现过的构造辅助函数讨论方程的根中，就是根据面积关系函数的结构，构造辅助函数的。构造合理的辅助函数才能使问题简化，才能达到我们借助辅助函数解题的意义。 3）逆向思维象中值定理的证明中，我们可以从要证明的想起，从结果中的隐性条件，结合已知函数结构构造辅助函数，我们想要证明：
数学分析中辅助函数法的妙用 数学分析是一门研究变量之间关系的研究方法，在科学和工程研究中都有着广泛的应用。其中，辅助函数法成为数学分析中重要的研究手段。本文旨在探讨辅助函数法在数学分析中的重要意义以及妙用。 辅助函数法可以用来处理数学分析中的复杂问题。它可以将某些复杂的问题分解为若干个简单的子问题，通过解决这些子问题，最终获得最终的解。此外，辅助函数法还可以帮助我们确定复杂问题的解的范围，并从中获得有用的信息。例如，假设研究问题是定义一个函数在给定区间上的最大值，那么我们可以通过辅助函数法求解此问题，从而确定函数的最大值和最大值的范围。 此外，辅助函数法在解决数学分析中的问题时还可以用来证明数学猜想。例如，假设有一个数学猜想，主要研究函数在某些特定区域上的性质。辅助函数法可以帮助我们证明这类猜想：首先，我们构建几个辅助函数来描述给定的数学猜想；然后，我们按照一定的逻辑关系，将辅助函数与原猜想联系起来；最后，经过一定的数学证明，我们就可以证明所研究的数学猜想正确无误。 此外，辅助函数法还可以用来解决优化问题。通常，优化问题是指在给定约束条件下，使某个目标函数达到最优值。辅助函数法可以用来求解这类问题：首先，我们建立一个辅助函数，其形式类似于原优化问题，但是在其中添加一些额外的约束条件；接着，通过一定的数学变换，将原优化问题转化为新的辅助函数；最后，通过求解辅助函数，可以获得原优化问题的解。
至此，我们可以看出，辅助函数法在数学分析中具有重要的意义和妙用。通过对子问题的分解，我们可以更有效地处理复杂问题；同时，辅助函数法还可以用于证明数学猜想和求解优化问题。未来，辅助函数法在数学分析中将会发挥更大的作用，为科学和工程应用提供更多的便利。
数学辅助元的构造技巧及方法 【摘要】在高等数学中，如果构造出恰当的辅助元，就会使一些看似十分困难的问题变得十分简单。而构造辅助元却是一个思维创造的过程，从而具有相当的灵活性和一定的难度。本文通过对辅助元，特别是辅助函数构造进行分类，阐述其构造过程的思路，对掌握辅助元的构造方法有所帮助。 【关键词】辅助元辅助函数中值问题 一、引言 构造辅助元在数学中是一种常见的方法和手段。在几何中有辅助线，在高等数学中有辅助函数及辅助数列，在不同的领域中有不同的辅助元，在微积分学中辅助函数的方法更是十分常见。例如熟知的三个中值定理：Rolle定理，Lagrange 定理，Cauchy定理。在Rolle定理已证明的情况下，对定理及定理分别构造函数，然后应用Rolle定理很容易完成后两个定理的证明。 而定积分的计算公式（牛顿—莱布尼茨公式）的证明过程，是以上限函数作为辅助函数，使其证明变得十分简单。从以上两个熟知的简例可见辅助元在数学上的作用。下面着重介绍辅助函数的构造方法，最后简单说明辅助元在其他方面的用途。 二、辅助函数构造方法 1.涉及两个抽象函数的辅助函数的构造 有些问题中，特别是与两个函数及其导数有关的中值问题，一般需要由所给两个函数来构造出一个辅助函数。在构造辅助函数之前，需要对所给的函数的性质有一定的了解，对要证明的结论进行必要的等价变形，利用函数的各种求导运算，针对变形的结论构造出满足需要的辅助函数。通常这类辅助函数多与三个中值定理有关，有时也与费马定理相关系。 例1 设函数y=f(x),y=g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)，证明必有ξ∈(a,b)使得g(ξ)f′(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0
简介 微分中值命题是微积分的一个基本定理，它指出连续函数的中值等于其在两点上的导数的平均值。这个定理已被用于数学的各个领域，包括优化、数值分析和微分方程。在这篇文章中，我们将讨论几种构建辅助函数的方法，这些辅助函数可以用来证明微分中值命题。我们将讨论泰勒级数、拉格朗日插值和牛顿法的使用。我们还将讨论如何将这些方法应用于更普遍的问题。 泰勒数列 泰勒级数是最广泛使用的方法之一，用于构建证明微分中值命题的辅助函数。泰勒级数是一个函数在某一点上以其导数进行的展开。它可以用来近似任何函数，通过在扩展中加入更多的项，达到任何所需的精确程度。泰勒级数可以写成。 f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)^2/2! f''(a) + (x-a)^3/3! f''(a)+ ... 其中f(x)是被近似的函数，f'(a)、f''(a)等是它在a点的导数，x是我们要近似函数的点。
利用这个扩展，我们可以构造一个辅助函数，它可以接近我们的原始函数，达到任何所需的精确程度。然后，这个辅助函数可以用来证明微分中值命题，即它的中值等于它在两点的导数的平均值。 例如，让我们考虑一个简单的多项式函数。 f(x)=ax^2+bx+c 我们可以用泰勒级数展开法构造一个辅助函数，如下所示。 g(x)=f(0)+xf'(0)+x^2/2！f''(0)+x^3/3！f''(0)+...。 其中f'(0), f''(0)等是我们原始多项式在x=0处的导数。然后我们可以用这个辅助函数来证明它的中位数等于它在两点的导数的平均值，方法是取导数并在两个不同的点（例如0和1）进行评估。这表明，我们的辅助函数满足了证明微分中值命题的要求。 拉格朗日内插法 另一种构建用于证明微分中值命题的辅助函数的方法是拉格朗日插值。这种方法涉及到从一组数据点中构建一个内插多项式，通过使用拉格朗日多项式拟合这些点。所得的多项式在每个数据点上的导数都等于零，因此满足证明微分中值命题的所有必要条件。 例如，让我们考虑一组数据点{(-1,-1), (0,-1), (1,1)}，它们代表来自[-1,1]上某个未知连续函数的值。我们可以用拉格朗日插值法构建一个插值多项式，如下所示。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法 微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。 首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。 一、积分原函数法 具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。 说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。 还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。 解析：这是非常常见的一道题。估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。 首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下： F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ) 然后我们令： F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ) 好，对上式两边进行积分，如下： F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫ g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)− f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ) 所以我们要寻找的辅助函数就为：
几种构造辅助函数的方法及应用
()()()())0(0==-=a f a f a b a F a ()()()0=-=b f b b b F a 故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF () () ()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即： 亦即： ()()ξξ ξf a b f '⋅-= 证毕 2.3设置变量法 当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。即：将结论中的ξ或η看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。 例3：设函数()() x g x f ,在[]上连续，b a ,且()(),1==a g b g 在()b a ,内()() x g x f ,可导,且 ()()()0 ,0≠'≠'+x f x g x g . 试证明: ()∍ ∈∃,,,b a ηξ ()()()()[]ηξξξηξe g g e f f '+='' 分析:欲证等式 ()()()[]()η ξηξξξe f g g e f '='+'⇔ 将η ξ和均看作变量,则上式写成 () ()[]()() ''=''ηξ ηξξe f g e f 辅助函数可取：x x e x x g e x ==)()()(ψϕ 证明：),()(x g e x x ⋅=ϕ令则由题设可知],[)(),(b a x g x f 在上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈∃ξ
)] ()([) ()()()()(ξξξξ g g e f a g e b g e a f b f a b '+'=-- 因为1)()(==b g a g 所以， )1()] ()([) ()()(ξξξξg g e f e e a f b f a b '+'= -- 再令],[)(),(,)(b a x x f e x x 在则ψψ=上满足柯西中值定理，于是，使得 ),,(b a ∈∃η )2() ()()(η ηe f e e a f b f a b '= -- 由（1），（2）得 )]()([) (ξξξξg g e f '+'=η ηe f )(' y e g g e f f )] ()([)()(ξξηξξ'+=''⇒ 2.4 几何直观法 对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。 例4 设函数)(x f 在),0[+∞内可导，.0)0()(='f x f 严格递增， 试证明：在 .0)()(),0(≥-'+∞x f x f x 内 分析：由严格递增)(x f '知，)(x f 是下凸函数. 由图1知：)()(),0[1x x f x ϕ≥+∞∈∀有 即： 111()()()()f x f x f x x x '≥+- (1) 即：切线总在曲线的下方（几何意义）. 由图2知：..122121k k l l k k >则的斜率和分别表示和由 即：
浅谈辅助函数的构造及其应用 [摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性． [关键词] 中值定理；辅助函数；应用 一、 辅助函数方法的构造 利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法． 1“按图索骥”法 例1 证明21()>+n n y x n y x ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+2() 1,,0,0>≠>>n y x y x 证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于' f ()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当 y x y x ≠>>,0,0时，有 ()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 () n n n y x y x ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+>+221 2“逆向思维”法 例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=21 21，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()() 'f f θθθ =- ． 证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．
将()() 'f f θθθ =- 变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ '' f f x xf x +==可 考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F 因为()()dx x xf f ⎰=210 21，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得 ()().1ξξf f = 而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()() θ θθf f =' 3“图象”法 例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及 10≤≤t ，有 证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中211 21 ,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有 ()21,x x x x f y ≤≤≥ 即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法 例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()3 101 1 01 61⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ dt t f dz z f y f x f dy dx 证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=x dt t f x F 0