浅谈反证法在中学数学中的应用
反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这
个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归
谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法.
1.2 反证法的来源
1.2.1 古希腊的反证法
反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.
西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根
号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基
础的几何.
1.2.2 中国古代数学的反证法
在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不
完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西
方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长
的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例).
1.2.3 反证法的其他来源
① 墨子的“归谬法”
例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在
这里是证明一个命题为真.
② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反
例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪.
1.3 反证法的一般步骤
学习反证法应把握它的一般步骤:
反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；
归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.
结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定
了结论成立.
具体方法：
命题r=在C下，若A则B
反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾
例1求证 A(原论题)
证明 (1)设非A真(非A为反论题)
(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)
(3)非B(已知)
(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)
(5)所以，A(非非A=A).
例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a的素数都不能整除a，则a是素数.
证明假设a是合数，记a=bc (b、c∈Z，且b， c＞1)，由于a不能被大于1且不大于a的素数整除，所以b＞a，c＞a，从而bc＞a，这与假设a=bc矛盾，故a是素数.
2. 反证法的适用范围
究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便.
2.1否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.
例3 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的
三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角.
证明假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾. 故∠A，∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.
2.2限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.
例4 求证：素数有无穷多个.
证明假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的.
2.3某些存在性命题
例5 设x，y∈(0,1)，求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x，y，使|xy - ax - by|≥31成立.
证明假设对于一切x，y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜31恒成立，
令x = 0， y = 1 ，则|b|＜31令x = 1 ， y = 0，得| a| ＜31令x = y = 1,得| 1 - a - b| ＜31.但| 1 -
a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞1 -31-31=31产生矛盾，故欲证结论正确.
2.4一些不等量命题的证明
如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜
用反证法.
2.5基本命题
例6. 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只
有一个交点.
证明假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、
Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线
只有一个交点.
2.6整除性问题
例7. 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明假设a、b不
都能被3整除.
分三种情况讨论：
（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3
整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.
（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也
不被3整除，矛盾.
（3）同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.
参考文献
[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92.
[2]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.
[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994（7）：22-23.
[4]颜长安.反证法初探[J].数学通讯. 2001（13）：22-24.
[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊. 1997（4）：33-35.
[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J]. 数学教学研究.1999（4）：12-13.
浅谈“反证法”在高中数学的应用 反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。 反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。 根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论； 说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。 下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用： 例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。 证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都 大于60度。根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此 三角形ABC的内角和大于180度。但是，这与三角形内角和定理相矛
盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。 通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。 虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。 在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。那么，什么是反证法？它在中学数学中又有哪些应用呢？
浅谈反证法在中学数学中的应用 反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这 个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归 谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法. 1.2 反证法的来源 1.2.1 古希腊的反证法 反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法. 西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根 号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基 础的几何. 1.2.2 中国古代数学的反证法 在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不 完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西 方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长 的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例). 1.2.3 反证法的其他来源 ① 墨子的“归谬法” 例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在 这里是证明一个命题为真. ② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反 例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪. 1.3 反证法的一般步骤 学习反证法应把握它的一般步骤: 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立； 归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定 了结论成立. 具体方法： 命题r=在C下，若A则B 反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8419176297.html, 浅谈反证法在中学数学解题中的应用 作者：霍玉红 来源：《数理化学习·初中版》2013年第08期 数学问题千变万化，如果拘泥于某几种习惯，是不会游刃有余的.解题时，学生们思考的 习惯大多是正面的，顺向的，这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，肯定命题有困难时就转而举反例加以否定.这种逆反转换式思维实际上是一种逆向思维，体现了思维的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是 可信的. 反证法的证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立.实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.
浅谈中学数学中的反证法 数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。 一、反证法的来源 对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。那他到底是怎样觉察到的呢？ 实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。 二、反证法的定义及理解 一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。 三、反证法的解题思路及步骤 设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤： 1.反设：作出与要证结论相反的假设； 2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾； 3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 四、反证法的适用范围
反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性 反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。 在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。 反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理
反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待 证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中 被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。 反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证 明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。 反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存 在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证 法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了 解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用 在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假 设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错 误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反 证法在代数方程解题中的运用。 假设我们要解如下代数方程：
反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。 在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子： 1、证明根号2是无理数。 假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。 2、证明平方根小数是无限不循环小数。 假设平方根的小数部分有限、循环。设其小数部分为a.b(c)。则有 a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到 (a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+…… 3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。 假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。那么 c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。 以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。 引言 反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式 定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。 模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤： （1）反设：作出与求证结论相反的假设； （2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； （3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 反证法的适用范围 反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一
般用反证法来证比较方便。 3.1否定性命题 即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证 法一般不易入手，而反证法有希望成功。 例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。 证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则 ∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ， ∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。 3.2限定式命题 即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中 至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围。 分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方 程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。 证明：假设三个方程都无实根，则有： 222(4)(43)(1)48a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩ 2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为a ≤-3/2或a ≥-1. 3.3无穷性命题 即涉及各种“无限”结论的命题。 例 求证：2是无理数。[1] 分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步 都非 常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2 表示为一个分数。
浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法亦称“逆证”。其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;
浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用 王业双 摘要：反证法是一种重要的证明方法，是中学生必须掌握和灵活运用的一种重要的证明方法。文章介绍了反证法的原理及一般步骤，探索反证法在中学数学中的运用。 关键词：反证法；证明；矛盾；应用 ：G633.6？摇文献标志码：A ：1674-9324（2014）02-0077-02 在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。 一、反证法原理及解题步骤 1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。 2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。 二、反证法在中学数学中的应用 反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。 1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。 例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。 与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
目录一反证法的概念 二反证法的逻辑依据、种类及步骤 （1）反证法逻辑依据 （2）反证法种类 （3）反证法步骤 三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题 （2）限定式命题 （3）无穷性命题 （4）逆命题 （5）某些存在性命题 （6）全称肯定性命题 （7）一些不等量命题的证明 （8）基本命题 四运用反证法应该注意的问题 （1）必须正确否定结论 （2）必须明确推理特点 （3）了解矛盾种类
浅谈反证法在中学数学中的应用 论文摘要 本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。 关键词:反证法证明假设矛盾结论 有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友
发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 一 反证法的概念 反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 反证法是数学中常用的间接证明方法之一。反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。 假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。 用框图表示如下： 注：通过逻辑推理，得到上面5种结果中的任意一个结果都证明原命题的结论是正确的。 例 1 函数)(x f 在]1,0[上有意义，且),1()0(f f =如果对于不同的]1,0[,21∈x x 都有|,||)()(|2121x x x f x f -<-求证：2 1|)()(|12<-x f x f . 证明： 假定至少存在一组不同的]1,0[,21∈x x 使得
反证法在中学数学中的应用 摘要本文主要剖析了中学数学里常用到的使用反证法来证明命题,从六个方面进行了深入的研究。探讨反证法在使用中常见的问题，揭示了反证法在中学数学的应用中有重要的、特殊的地位. 关键词反证法中学数学教学 中图分类号：G633。6 文献标识码:A 文章编号：1002—7661（2016）21—0088—02 在数学证题当中常常会运用到反证法，牛顿说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.通常来说,反证法通常用以去证明的题型有：“至少”或“至多”、命题的结论以“否定形式”“无限”“唯一”等形式出现的命题；或是否定结论更简单、具体、明显的命题; 或是直接去证明比较难解出的命题，变换其思维方式，从结论下手使用反面思考，可能问题会柳暗花明。 一、基本命题 例1。已知:如图1所示，AB⊥EF 于M，CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD。 证明:假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过点P有AB⊥EF，且CD⊥EF，与“过直线外
一点，有且只有一条直线垂直与已知直线”矛盾。∴AB∥CD. 二、结论本身是以否定形式出现的一类命题 例2。求证：在一个三角形中,不能有两个角是钝角。 证明：已知∠A,∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。 求证:∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。 假如∠A、∠B、∠C中有两个钝角，不妨设∠A〉90埃摇?B>90埃颉？A+∠B+∠C〉180啊U庥搿叭切文诮呛臀80啊闭庖欢?理相密Ｊ∠A、∠B均大于90安怀闪？？K裕桓鋈切尾豢赡苡辛礁龆劢恰 三、关于唯一性、存在性的命题 例3.试证明：在平面上所有通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点)的直线有一条且只有一条. 证明：先证存在性 因为直线y=0，显然通过点（,0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过(0，0）和（1，0）。这说明满足条件的直线有一条。 再证唯一性 假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k
反证法在初中数学解题中的运用分析 作者：刘柱红 来源：《新教育时代·教师版》2019年第39期 摘; 要：一直以来，在数学当中，反证法都拥有防范运用，这是初中生常用的一种解题技巧，特别是针对无法着手的一些数学证明问题。数学教师通过对中学数学解题当中反证法的应用加以研究，对相应的解题技巧加以掌握，对反证法具体分类加以讨论，总结数学解题期间反证法的应用范围。本文旨在对初中时期数学解题当中反证法的具体应用加以探究，以期给实际教学提供相应参考。 关键词：初中数学; 解题; 反证法 反证法这种思维方式和正向思维是相反的，其遵循着由果索因这一思维模式。解题期间，数学教师需着重对初中生逆向思维加以培养，进而促使其数学能力得以提高。在反证法当中，巧妙及独特的思维方式能够对困难问题加以解决，进而提升初中生的解题效率及准确率。 一、初中数学当中反证法的作用 教学期间，数学教师应当着重对初中生的思维能力加以培养，通过解题对解题技巧加以思考以及总结，增加初中生的数学学习热情。当遇到困难问题之时，不能轻易放弃，而是要迎接挑战。同时，现实生活当中，反证法同样起到重要作用。数学解题期间，怎样通过解题教学对初中生的数学思维加以培养是值得思考的一个问题。在对初中生思维加以培养期间，数学教师应当做到以生为本，把实际生活当作出发点。在这一理念基础之上，在生活之中融入反证法，进而对问题进行趣味化。教学期间，数学教师不能照本宣科，应当激发学生的探究兴趣，对其自主学习的热情以及积极性加以调动，在教学期间对数学思维加以渗透，进而让初中生将数学学习作为一件快乐的、有趣的事情去做，主动对数学知识加以学习。 二、反证法具有的理论依据 反證法具有的基本理念就是在对原命题加以否定以后，找出其中的必要矛盾，这样便可对原命题加以证明。 矛盾律与排中律乃是反证法当中重要理论依据，而两个概念也有所不同。其中，矛盾律是指在同一证明过程之中，如果存在两个互相对立结论，那么至少存在一个错误结论。排中律是指针对一个命题，其只能为真或为假，并无其他可能。同时，排中律对于思维有两个要求，即清晰性与明确性。排中律与矛盾律具有的相同点就是二者都不能产生逻辑矛盾，如果违背排中律，则一定违背矛盾律。二者具有的不同点就是矛盾律指出，如果两个结论是互相对立的，则必然有一个结论不成立。而排中律指出，在两个互相否定结论之中，必然存在一个正确结论。
反证法在中学数学证明题中的应用 在我们多年的数学教学中，有些数学命题，用直接法证明比较困难。但恰当运用反证法，问题就会迎刃而解。因此能熟练掌握和灵活运用反证法来解题是我们从事数学教学所必备的。 一、反证法的定义和实质 定义，矛盾律：在同一思维过程中，一个命题不能既真又假，或者说，两个相互矛盾的命题不能同时为真。排中律：在同一思维过程中，一个命题或者真或者假，两者必居其一，或者说两个相互矛盾的命题一真一假，一假一真。具体的说，反证法不直接证明命题“若p则q，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，根据矛盾律和排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真，由此肯定命题“若p则q”为真。例如：“■是有理数”与“■不是有理数”是两个矛盾命题，它们不可能都是真命题。又例如：如果命题“直线外，至少存在一点”为真。则由排中律知道，它的矛盾命题“所有点都在某直线上”为假；实质，从命题逻辑的观点来分析，反证法实质上是通过证明与原来的命题pq逻辑等价的命题为真，从而间接地证明了命题pq，也就是说反证法就是从否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 二、反证法在解题中的步骤 用反证法证题中一般都分三个步骤：反设：假设命题的结论
不成立；归谬：从这个假设出发推出与公理、定理或假设相矛盾的结果，或推出与题目本身相矛盾的结果，从而得出假设不成立。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。也就是说我们的推理必须严谨；存真：肯定要证明的命题结论成立，也就是说，反证法的推理过程可以概括出：提出假设（否定结论）、推出矛盾、肯定命题（命题得证）。 三、反证法证明中存在的矛盾结果的常见的几种情况 推出的结果与已知公理矛盾，例1两条直线相交，只有一个交点。已知：a、b为两条相交直线，求证：a、b两条直线只有一个交点。证明：假定直线a与b不只有一个交点，则至少交于两点，设这两个交点为A与B，那么，直线a通过A、B两点，直线b也通过A、B两点，这就是说，经过A、B两点可以作两条直线a和b，这和公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”相矛盾，产生矛盾的原因，是由于假定直线a与b不只有一个交点，所以假定不成立，则原题结论必成立；推出的结果与已知定义矛盾，例2设a与b是异面直线，在a上任取两点A、B，在b上任取两点C、D，证明直线AC与BD也是异面直线。证明：假设直线AC和BD不是异面直线，即它们位于同一平面α上则A、B、C、D四点均在同一平面α上，从而直线AC属于平面α，直线BD也属于平面α，即a，b都在平面α上。这就是说，异面直线a和b在同一平面α内，这与异面直线的定义相矛盾，
关于反证法在中学数学的应用及教学对策 摘要：从理论与实践的结合上通过对反证法的内涵的阐述与剖析，指出了反证法在中学数学中的应用场合及注意的事项，并针对中学数学中的反证法教学提出了对策。 关键词：中学；数学；反证法 前言 在学习数学的过程中，我们要让学生学会反向思考，从事物的对立面来思考，这样才能提高学生反向思考的能力，也能帮助学生智力的发展。现在的中学数学中，反证法几乎看不到，但是它的应用却是十分广泛的，几何学等等都有它的身影。调查中，我们发现有很多学生因为数学基础差，否定自己，所以不怎么使用反证明方法。这也造成了反证明方法虽然家喻户晓但是却不怎么被运用。本文根据这一状况，针对反证明方法进行了详细的分析介绍，讲解了反证明方法要注意的问题还有添加了一些反证明方法的教学策略希望能够让学生对反证明方法有更深的认识。 2反证法的相关概念 2.1反证法的含义 这种方法不遵循顺向思维，在行动上反向而行。简单说就是，对于提出的问题先不管如何选择证明方法，首先根据提出问题需要证明结论的内容，作出反向假设。接着，根据反向假设，选择合适的方法对其进行证明，如果证明结果与所学习过的定理等不同，就说明待证明命题的结论是正确的。这种方法，经常用于数学证明分析中，能够快速取得证明结果。 2.2反证法的种类 2.2.1归谬反证 按照原命题的结论的相反面存在唯一情况，充分利用已知条件进行论证，如果发现该相反面不能被已知条件证实，那么就可以断定原命题的结论为正确。这
种思路相对比较清晰，也容易找相反论据，名为归谬法。 2.2.2穷举反证 如果归谬法不适用，一定是原命题结论的反面存在多种情况，那么在证明时候需要逐一对每个反面结论进行论证，直到所有反面结论均被推翻时候，那么该次命题的结论一定成立。从操作上来说，也就是将所有相关情况逐一实验、判断后，得出唯一结论，因此取名为穷举法。 2.3反证法的步骤 2.3.1反设 如果能够分辨出命题结论，那么在实际证明时候就将结论的反面提出来，并以此作为待证明的题设，然后以此展开证明工作。 2.3.2归谬 从原命题的结论中，我们将反面假设作为条件，然后运用各种公里、定理对题目中的条件加以讨论，如果出现如下的情形，就可以在结论描述中出现这些情况，例如（1）现有假设与原有条件不吻合；（2）现有假设同已知公理、定理等不相符；（3）先假设同原假设不相符；（4）先假设的提出就是伪命题。 2.3.3结论 基于上述各种问题的存在，我们可知，如果根据原有结论提出的现有假设的结论不能被证明，即现有假设的结论为错误结论，由此可以知道原有假设的结论为真。 2.4反证法的逻辑基础 总的来说，反正名过程的逻辑需要详细的推理及证明过程。但是，详细的证明方法的步骤，并非唯一逻辑顺序，也需要结合证明过程中选用的相关条件。例：需要证明命题“A B ”，运用反证法可以这样进行： （1）从问题入手，先认定B 不对，找其反面，假设反面结论成立； （2）结合现有命题条件，运用各种定理、公理对其进行相应推理。 （3）针对现有条件，且的正确性，进行推理操作，即可得到C 或者。 （4）有前述操作，证明不正确，因此得出原有命题的结论正确。 所提及的C 即为原命题中的给定条件，也可以是某些已经存在的公理、定 B B C B
1引言 有一个故事讲的是奸臣弹劾贤能的大臣，最后贤能的大臣被陷害要被皇上处死，可是皇上觉得这位大臣罪不该死，就把生死两个字分别写在两纸条上，让这个大臣自己选择其中一纸条，是生便生，是死便死。但是，奸臣却在纸条上做了手脚，让他抽出的任何一纸条上面写的都是死字。这个阴谋被贤能之臣的好友发现了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前揭发奸臣的诡计。但是这个快要被处死的大臣却没让好友这么做，而是很快乐的告诉好友："不要有任何举动，当我拿到纸条以后，就快速吃进嘴里，则监斩官就不得不看剩下的那纸条了，这样监斩官可以推断出我吃进去的纸条上面写的是生字，则我不就得救了[1]〞。通过这个故事，我们能够看出这个即将走上死路的大臣是通过什么方法挽救了自己的生命，贤臣是利用了"生相对于死〞的反证法，这样就轻松解决了自己被杀掉的危机。 哈代是一位非常优秀的英国数学家，他说出过这样的言论："反证法对于数学家来说，就是最强有力的一件武器，比起象棋开局让子以取得优势的方法还要高明很多，象棋对弈最多牺牲一子，而数学家在运用反证法的时候索性全盘否认，拱手相让，最终却取得了胜利错误!未找到引用源。。 这些表达了反证法的神奇之处和不可动摇的地位。反证法是如此神奇，反证法即可以应用到生活当中去解决危机，又可以解决数学中的难题。本文就是具体分析反证法在数学中是如何应用的，希望能为大家学习和运用反证法提供帮助。 2反证法的介绍 2.1反证法的概念 要证明一个命题成立，有时候不容易直接证明，就可以考虑从反向思考证明。则先提出与求证的结论相反的假设，然后推导出和证明的定理或公理、定义、原题设相矛盾的结果，这样就证明了跟求证的结论相反的假设是不能成立，从而肯定了原来求证的结论是成立的，这种间接证明的方法叫反证法[3]。 2.2反证法的证明步骤 大概能够把运用反证法证明命题的方式分为以下三步： 〔1〕反设——假设命题的结论的反面是成立的。 〔2〕归谬——通过假设的结论去证明，从而推出一些相矛盾的结论。 〔3〕结论——说明要证明命题的结论的反面是不能成立的，那就证明了命题的结论是成立的。 2.3反证法的逻辑依据 在逻辑思想学中有两个规律一个是"矛盾律〞另一个就是"排中律〞，这两个规律为反证法提供了思想理论依据[4]。 "矛盾律〞就是在同样的一个思维方式情况下，两个相反的或者是有矛盾点的定义或者结论之间都是真的情况是不可能的，至少有一个是假的[5]；"排中律〞就是结论与相反的结论，在这两个结论之间是不能够出现都是假的情况的，必定有一个是真的[6]。 运用反证法的时候，根据矛盾律在两个相反的结论当中，一定不能够出现这
昆明学院2016届毕业论文（设计） 设计（论文）题目论反证法在中学数学中的应用 子课题题目 姓名郑粒红 学号 ************ 所属系数学系 专业年级数学与应用数学2012级数学1班 指导教师雷晓强 2016 年 3 月
摘要 本文主要从五大板块对反证法在中学数学中的应用进行论述，第一板块通过对反证法的由来、定义、逻辑依据、种类、模式的说明对反证法进行概解。第二板块例举反证法的适用范围，并通过大量实例阐明在各个命题中反证法的证明的步骤。第三板块分析应用反证法应注意的问题。第四板块浅析反证法的教学价值及建议。最后第五板块进行分析总结。 关键词：反证法;证明;矛盾
Abstract This article mainly from the five plate on the reduction to absurdity in the middle school mathematics application is discussed, and the first plate by means of reduction to absurdity and types of the origin, definition and logical basis, the model of generalized solution of reduction to absurdity. Second plate presented the applicable scope of reduction to absurdity, and through a lot of examples to elucidate the reduction to absurdity in the proposition proof steps. Some problems that should be paid attention to the third sector analysis application of reduction to absurdity. The fourth section teaching value of reduction to absurdity is analysed and the suggestion. Finally the fifth plate were analyzed. Keywords:Reduction to absurdity; prove ;contradiction