浅谈反证法的原理及应用
反证法，又称绝对可信法，它是一种建立事实与结论之间联系或
者验证事实的逻辑推理方法。它的特点是先提出一个假设，然后不断
分析、考察这一推测，最后得出一种证据，以此来支持最初提出的十
字论断，以结束讨论。反证法通常会让讨论者穷尽一方面之所有推类
与反例，以全盘考虑，从而得出一个普遍性的小结或者断定。
反证法在历史上的应用十分的广泛，早在古希腊就有关于反证法
的描述和使用。古希腊哲学家苏格拉底就是反证法的代表者，他提出
了2种反证法来验证理论或者结论：证明法和拆解法。另一位哲学家
阿基米德也使用了反证法，他把事实拆分成更小的部分，从而查找最
终的结论。
到中世纪，反证法对哲学家们来说，尤其是僧侣学者，而言则甚
为重要，他们很多时候就是通过反证法讨论和找到自己的观点和结论。在现代，反证法的应用更加的广泛，出现在法律、社会科学研究、教育、商业、甚至是人际关系之中，在这些领域中，反证法都是一个有
效得、公正合理得逻辑思维模式，以此来解决问题。
反证法的基本思想主要是：认为一个主张或者理论是正确的，那
么就必须能够反驳那些与之相反的观点；如果反驳正确，则该观点可
以被接纳；但如果反驳失效，则可以放出原观点。因此，反证法在许
多领域中都得到了贴切的应用，有助于让我们做出更好的决定和正确
的判断。
浅谈反证法 聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。 关键词：反证法归谬法矛盾假设 引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。 一．定义： 反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。 二．反证法的依据： 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是
一、反证法的概念： 反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题. 二、反证法的思维过程： “否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”. 否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤. 在审视好条件与结论后实施的三步走的策略： 第一步，反设：做出与求证结论相反的假设; 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。在反证法的证题过程中。只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”. 反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。并且能够培养学生的反向思维，发散思维. 三、反证法的逻辑原理证明用符号如下 五、反证法在教学中的作用 （一）培养学生逻辑思维的严密性 在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。对于题中的知识点不清楚，记得错乱。这主要表现出学生思维不缜密，老师可以用反证法来培养提高学
浅谈反证法在中学数学中的应用 反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这 个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归 谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法. 1.2 反证法的来源 1.2.1 古希腊的反证法 反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法. 西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根 号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基 础的几何. 1.2.2 中国古代数学的反证法 在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不 完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西 方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长 的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例). 1.2.3 反证法的其他来源 ① 墨子的“归谬法” 例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在 这里是证明一个命题为真. ② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反 例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪. 1.3 反证法的一般步骤 学习反证法应把握它的一般步骤: 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立； 归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定 了结论成立. 具体方法： 命题r=在C下，若A则B 反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾
反证法 —《数学文化》的读书报告 李扬 电气11-2班，2011302460 摘要：本文主要介绍了反证法的概念，一般步骤和应用。并且简单介绍了在运用反证法时应该注意的问题及本人在简单研究反证法后对其的一些感想等等。 反证法：反证法矛盾假设证明 引言 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!” 实际上，王戎正是巧妙的运用的反证法，从而轻而易举的得出了正确的结果。这就是反证法的威力了，可以不通过实际尝试就能得出正确的结果。 一. 对反证法的了解和总结 反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、原理或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 实际上，在中国古代其实早就有人使用反证法了，如（1）墨子的“归谬法”[1] 。例如:“学之益也,说在诽者。”通过证明“学习无益”是假,而得到“学习有益”的命题是真。这是一个非常有意思的反证法的特例。（2）刘徽的“证伪法”[2]。刘徽他并没有使用过反证法,他仅仅只是在使用归谬法,只是在推翻一些假命题,即在证伪。刘徽证明《九章算术》里面的某些公
反证法在数学解题中的应用 我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。 一、反证法的逻辑基础 证明命题“ A B ”时如果用这种方法：假设 A∧B 为真，在 A且B 的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即 A B 成立)，这种方法就是反证法。 二、反证法的解题步骤 第一步审题，弄清命题的前提和结论； 第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础； 第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾； 第四步肯定原命题的正确性。 三、什么情况下考虑应用反证法 1 待证命题的结论是唯一存在性命题 例1设方程 x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数) ，求证实根唯一。 证明：假设方程存在两个不同实根x 1， x 2，则有 x 1=p sin x 1+a，x 2=p sin x 2+a x 1－x 2=p sin x 1－ sin x 2=2p cos x 1+x 22 sin x 1－x 22 由于 cos x 1+x 22│≤1 ，从而有│x 1－x 2│≤2p│ sin x 1－x 22│ 又 sin x 1－x 22 ≤ x 1－x 22 ，故 x 1－x 2 ≤p x 1－x 2 ，但 x 1≠x 2 ，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实根，则根唯一。 2 采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。 例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。 分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。 证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、 B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。 3 待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。 例3设 p 1p 2=2(q 1+q 2) 求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0 中至少有一个方程有实根。 证明：假设两方程都无实根，则 p 1 2－4q 1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/4019212372.html, 浅谈反证法在中学数学解题中的应用 作者：霍玉红 来源：《数理化学习·初中版》2013年第08期 数学问题千变万化，如果拘泥于某几种习惯，是不会游刃有余的.解题时，学生们思考的 习惯大多是正面的，顺向的，这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，肯定命题有困难时就转而举反例加以否定.这种逆反转换式思维实际上是一种逆向思维，体现了思维的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是 可信的. 反证法的证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立.实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.
反证法在高考数列考题中的应用 (全文) 在数学问题中，有相当数量的问题直接证明难以入手，因此，常采用间接法证明，其中，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”， 而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“惟一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，常用反证法.注意反证法的基本思路及一般步骤：①反证法的理论依据；②什么样的命题可采用反证法；③反证法的“反设”；④反证法中的“归谬”.在反证法中探求的矛盾常见的有：（1）与已知条件矛盾；（2）与定理、公理矛盾；（3）与已知具有的或成立的性质矛盾. 例1（2013年高考陕西卷（理）17）设{an}是公比为q的等比数列. （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列. 解题思路：（1）用首项和公比表示前n项和，利用错位相减法进行求解，对公比分类得到两个公式；（2）假设{an+1}是等比数列，取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1. 解析：（1）分两种情况讨论. 所以当q≠1时，数列{an+1}不是等比数列.
点睛高考：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.回归教材，用好教材，从教材中选取例、习题或公式、定理的证明，这是高考命题的一个特点，希望引起考生的重视. 例2（2013年高考北京（理）20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各 项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=A（1）若{an}为2， 1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意 n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （2）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； （3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项 只能是1或者2，且有无穷多项为1. 解题思路：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高. （2）证明充分性：
反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性 反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。 在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。 反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理
反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待 证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中 被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。 反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证 明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。 反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存 在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证 法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了 解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用 在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假 设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错 误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反 证法在代数方程解题中的运用。 假设我们要解如下代数方程：
摘要 反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义. 本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考. 关键词:反证法,否定,矛盾,应用
Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity. Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application
反证法的应用 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立， 然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。反证法 的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证 法的应用。 一、数学中的反证法 在数学中，反证法是一种常用的证明方法。例如，我们要证明一个命 题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用 反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 二、哲学中的反证法 在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个 命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“人类存在自由意志”，可 以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论， 从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法 在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。 四、反证法的优缺点 反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。 综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法的原理及其应用 1. 反证法的原理 反证法是一种常见的数学推理方法，也是一种逻辑思维工具。其原理基于对于某个命题或者假设的否定，通过推导来得出与已知情况矛盾的结论，从而证明原命题或者假设的真实性。 反证法的基本原理可以归纳如下： •假设待证明的命题为假：首先，我们假设待证明的命题为假，即它的逆命题为真。 •通过推导得出矛盾结论：然后，我们通过推导和逻辑运算，从这个假设出发得到一系列的推论和结论。 •推导出与已知情况矛盾的结论：最后，我们寻找这些推论和结论与已知事实或前提条件相矛盾的地方，如果发现矛盾点，那么就可以推导出原命题或者假设的真实性。 反证法是一种间接的推理方法，通过寻找命题或者假设的否定情况与已知事实的矛盾，从而得出结论的方法。 2. 反证法的应用 反证法在数学、逻辑学和科学研究中被广泛应用。它能够帮助我们解决很多复杂的问题，证明许多重要的数学定理和原理，推导出许多重要的科学结论。 下面列举了一些常见的应用领域： 2.1 数学推理 在数学推理中，反证法常常被用来证明一些重要的数学定理，例如：•费马大定理：费马大定理是数学中的一条著名问题，通过反证法得到了证明。它指出：对于大于2的整数n，方程x n+y n=z n在正整数域上没有非平凡整数解。 •哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想通过反证法证明了：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。 2.2 逻辑推理 在逻辑学中，反证法被用来证明一些命题的真假。例如：
•证明命题的唯一性：通过假设命题不唯一，利用反证法推出矛盾的结论，从而证明命题的唯一性。这在数学和科学研究中经常出现。 2.3 科学研究 在科学研究中，反证法被广泛应用于理论和实证研究。例如： •研究某一假设的真实性：通过对假设的否定进行反证，推导出与实际观察结果矛盾的结论，从而推断假设的真实性。 •推导科学发现和规律：通过反证法可以推导出新的科学发现和规律，从而提升人类对于自然现象的认识和理解。 3. 总结 反证法是一种重要的数学推理方法和逻辑思维工具，它通过对待证明命题的否 定进行推导，从而推导出与已知事实矛盾的结论来证明原命题的真实性。 反证法在数学、逻辑学和科学研究中都有着广泛的应用。它帮助我们解决复杂 问题、证明重要的数学定理和原理，并推导出新的科学发现和规律。 通过学习和应用反证法，我们可以提高逻辑思维能力，深入探索数学和科学的 奥秘，推动知识的进步和创新。
反证法及其应用(全文) 数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法. 认识反证法 王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）. 1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）. 2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立. 3.反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.
注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证； 注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等； 4.一个反证法的范例 证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1 此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！ 这个证明简短有力，充分体现了证明者的智慧和归谬法的特点！ 反证法的应用 类型一.用反证法证明否定性命题 例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证： a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1 证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc
浅谈反证法的原理和应用 1. 反证法的基本原理 反证法（reductio ad absurdum），也称背证法，是一种常用于证明命题的方法。它基于当我们需要证明一个命题时，我们可以假设命题的反面为真，然后通过推理和论证，最终推导出矛盾的结论。这种矛盾的产生表明了我们最初的假设是错误的，因此我们可以推断原命题是成立的。 反证法的基本原理可以总结为以下几点： - 假设命题的反面为真。 - 通过推理和论证，从这个假设出发得出一个矛盾的结论。 - 根据矛盾的产生，可以推断命题的反面是错误的，因此原命题是成立的。 2. 反证法的应用场景 反证法在数学、逻辑学以及其他科学领域都有广泛的应用。它可以用于证明某些命题的正确性，或者在推理过程中说明某些假设的错误。下面将介绍一些反证法的典型应用场景。 2.1. 证明存在性 在一些数学问题中，我们需要证明存在某个对象，这时可以使用反证法。假设不存在这个对象，然后通过推理得出矛盾，从而推断出这个对象是存在的。 例如，我们要证明存在一个无理数 x，使得 x 的平方等于 2。可以假设不存在这样的无理数，而所有的数的平方都不等于 2。然后通过数学推理，可以得出矛盾的结论，从而推断出这样的无理数存在。 2.2. 证明唯一性 反证法也可以用于证明某个对象的唯一性。假设存在两个或多个不同的对象满足某个条件，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断这些对象是不存在或者不唯一的。 例如，我们要证明平方根是唯一的。可以假设存在两个不同的平方根，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断平方根是唯一的。 2.3. 证明等式或不等式 在数学中，我们常常需要证明某个等式或不等式成立。反证法可以用于这种情况下的证明。假设等式或不等式不成立，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断等式或不等式是成立的。
浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用 王业双 摘要：反证法是一种重要的证明方法，是中学生必须掌握和灵活运用的一种重要的证明方法。文章介绍了反证法的原理及一般步骤，探索反证法在中学数学中的运用。 关键词：反证法；证明；矛盾；应用 ：G633.6？摇文献标志码：A ：1674-9324（2014）02-0077-02 在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。 一、反证法原理及解题步骤 1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。 2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。 二、反证法在中学数学中的应用 反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。 1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。 例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。 与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
反证法原理 学了“反证法”这一原理后，我对其有了更深刻的理解。通过使用它，可以避免许多逻辑错误；也可以帮助人们正确地理解和运用相关的知识和原理。下面是对于这一原理的进一步说明：在数学上，有些结论是用大前提、小前提、结论三部分来表示的，即所谓的“三段论”。当我们要对结论进行推导时，必须首先弄清楚前提的真假，然后再由结论回到前提。但实际情况却往往是“三段论”的大前提就是结论，因而犯了循环论证的错误。“反证法”这一原理告诉我们，在应用“三段论”推导中，为了避免循环论证的错误，除了要注意把握好大前提与结论之间的关系外，还要善于弄清楚小前提与结论之间的关系。比如，在求证过程中，如果已知小前提和结论，那么只需证明小前提就行了，不必再证明大前提；如果已知小前提不能肯定结论，那么只要能够证明结论就可以了，也无须去证明小前提。可见，在应用“三段论”时，只要掌握了大、小前提之间的关系，那么推出的结论自然可靠。 一天，我在做一道数学题目时，突然发现一个大问题，我怎么想也想不明白。这时，妈妈来看我做作业，看到了我在纠结着一道题目，便过来跟我一起探讨，还给我讲了许多道理。我听得头都晕了，觉得她讲的东西太复杂了。就这样，我和妈妈就这道题讨论了十几分钟。妈妈终于向我透露了答案，我恍然大悟，十分感谢妈妈的帮助。妈妈告诉我，在碰到困难的时候，首先要冷静思考，不能慌张，要善于寻找解决问题的方法。我也会用这一招，去化解生活中的很多困难。我
还经常会用它来帮助别人。比如，我刚开始接触英语时，总是听不懂。妈妈教了我一个方法——看英文电影，让我逐渐熟悉英语的语调和节奏，这样一来，我就慢慢懂得了英语的意思。看英文电影虽然枯燥乏味，但却能学习语言，这就是反证法的魅力！ 由此我们知道，人们在推导过程中如果遇到循环论证的错误，一定要多加注意，并且灵活运用这一原理。我们在日常生活中也经常会用到这一原理，比如生活中有些事物是不可能同时存在的，就可以用“一事不可能二用”来进行反驳。例如，在生活中人们常说“那家伙没准又睡懒觉呢”，我们就可以用“这事不可能二次发生”进行反驳，使其显得苍白无力。
素数有无穷多个证明用反证法来证明 【序言】 数学是一门充满无限魅力的学科，而素数则是数学世界中一道闪亮的珍宝。在古老的数学领域中，素数一直以来都是备受研究与探索的对象。素数的奥秘由来已久，其中最具代表性的问题之一就是"素数是否有无穷多个？"这一问题一直困扰着数学家们。然而，通过反证法的证明，我们能得出结论：素数是无穷多的。 【正文】 1. 反证法的基本原理 反证法是一种证明方法，通常用于证明矛盾陈述的无效性。它的基本思想是假设待证明的命题不成立，然后通过推理得出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。在素数有无穷多个的证明中，我们也将运用反证法来推理。 2. 假设素数只有有限多个 我们假设所有素数只有有限多个，即存在一个由所有素数构成的有限集合。令其为P={p_1, p_2, p_3, ..., p_n}，其中p_n是最大的素数。 3. 构造新的素数
考虑一个数M=p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_n + 1。根据我们的假设，M 必然不是素数，因为它不能被集合P中的任何一个素数整除。这就引 出了矛盾。 4. 矛盾的推理 我们将M进行因式分解，得到M=(p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_n + 1) = p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_n + 1。可以看出，M除以任何一个素数p_i 后，余数都是1。这意味着M不是任何一个已知素数的倍数，也就是 说M不能被P集合中的任何素数整除。 5. 得出矛盾结论 根据反证法的思想，由于M不是素数，那么M必须是另一个新的素数。但这与我们假设的P集合包含了所有素数矛盾，因为M是一个不在P集合中的素数。 【总结】 通过反证法的证明，我们得出结论：素数是无穷多的。这个证明方法 的关键在于构造了一个新的数M，它不属于已知的素数集合，也不是 已知素数中的任何一个的倍数。我们可以推断出，素数并不是有限的，而是无限的。 素数的无穷性证明不仅仅是数学知识的一部分，更具有哲学层面上的 深意。它揭示了数学的探索本质，即通过推理和逻辑的手段，我们能
反证法解题方法及应用研究 摘要 反证法是初等数学解题方法中极其重要的方法之一，特别是当一些直接证明无法入手时，使用反证法证明将会化难为易，所谓“正难则反”便这种方法．[1]反证法主要是运用逆向思维的逻辑来解题，先假设结论的反面成立，再由假设出发，根据已有的定义、公理、定理、条件，使推导得出的结果与原命题的已知条件相矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．并且利用反证法解题可以提高学生的逻辑思维能力，因此反证法在初等数学解题中得到了广泛的应用．本文主要从反证法的概念及步骤、如何做出正确反设及矛盾推导、论证形式及逻辑原理、反证法适用范围、适用反证法的命题及举例上作了大量论述，并总结出了一套提升反证法解题能力的方法．因此，旨在通过本文对反证法的研究，从而对培养学生的逻辑思维能力和解题技巧有所帮助． 关键词：反证法；逻辑思维；解题技巧；应用；能力提升
Reduction to absurdity problem solving method and application research Abstract: Reduction to absurdity is one of the extremely important method in the elementary mathematics problem-solving method, especially when some directly prove unable to start with, using the reduction will be hard, so-called "is difficult," this kind of method. [1] the reduction to absurdity is mainly using reverse thinking logic to problem solving, the reverse of the first hypothesis conclusion was established, by assumption, again according to the existing definitions, axioms, theorems, conditions, the derived results with the original proposition of the known conditions, thus negative assumptions, to sure the original proposition right a way. And the reduction to absurdity problem solving can be used to improve the students' logical thinking ability, so the reduction to absurdity in elementary mathematics problem-solving has been widely used. This article mainly from the concept and steps of reduction to absurdity, how to make the right inverse derivation set and contradiction, the text argument forms and logical principle, the applicable scope, applicable proposition of reduction to absurdity and made a lot of paper, for example, and summarizes a set of method to improve the reduction to absurdity problem solving skills. Therefore, through the research of reduction to absurdity, to cultivate students' logical thinking ability and problem solving skills. Key words: reduction to absurdity; Logical thinking; The problem solving skills; Application; Ability to ascend