///////////////////////////////////////////////////////// // 基于 Visual Studio2013 编写 // 3.6 具有参数的条件平差.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include "stdafx.h" #include
测量平差 第二章思考题 1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'" 450000α=作12次同精度观测，结果为： '"450006 '"455955 '"455958 '"450004 '"450003 '"450004 '"450000 '"455958 '"455959 '"455959 '"450006 '"450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 2 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？ 3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1 试求两组观测值的平均误差1?θ、2 ?θ和中误差1?σ、2?σ，并比较两组观测值的精度。 4 设有观测向量1221 []T X L L =，已知1?L σ =2秒，2?L σ=3秒，122?2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。 5 设有观测向量12331[]T X L L L =的协方差阵334202930316XX D -????=--????-??，试写出观测值L 1，L 2，L 3的中误差及其协方差12L L σ、13L L σ和23L L σ。 答案： 2.1 ? 3.62"σ = 2.2 它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者 2.3 1?θ=2.4 2 ?θ=2.4 1?σ=2.7 2?σ=3.6 两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用 中误差做为衡量精度的的指标，本题中1?σ <2?σ，故第一组观测值精度高 2.4 22242()29XX D -??= ?-?? 秒 2.5 1L σ=2, 2L σ=3, 34L σ=,122L L σ=-,130L L σ=,233L L σ=-
一、实验目的与要求 1）：掌握C++和VC语言用法并计算附有限制条件的间接平差的改正数，中误差等。 2）：熟悉VC++和TC的操作及运用。 二、实验使用的软件和程序说明 1）：在TC环境下运行. \tcinstall 实验程序在.\adj 下，具体为：FABP.C 附有限制条件的间接平差 2）：C++程序 在c++环境下对必要项作以修改后运行编写好的程序FABP.C。 三、程序主要功能和步骤 1.主要功能：C++与TC窗口均可应用编辑语言对平差的各种模型进行数据处理。 2.步骤： (一)．在TC窗口环境下运行 1.打开TC程序 2.设置运行环境opinion directories (设置指定路径)
3.打开File→load→输入*c 4.找到FABP.C导入 5.新建文档输入B，L，C, Wx 6.执行Run ，输入文件所在位置， 7.检验结果是否保持一致 (二)．在C++程序环境下运行 1.打开C++程序，文件菜单→打开→FABP.C 2.新建文档，按田字格依次输入B，l; C ,Wx.调试运行程序。 3.输入得到Mo，V的结果 4.检验结果是否保持一致 四、实验数据、中间结果、结果分析以及结论（只列举C++执行结果） 例1 数据：B={{1，0,0}，{0,1,1}，{1,1,0}，{0,0,1}，{0,1,0}} l={{0}，{-5}，{-3}，{0}，{0}} C={1,1,1} Wx=-7 输出结果： 得到结论：该结果与计算所得结果相同，证明了附有参数的条件平差的正确性。 例2 数据： A={{1,0,0,0,0,0,1},{1,1,1,0,0,0,0},{0,0,1,1,1,0,0}, {0,0,0,0,1,1,1}} B={{-1},{0},{0},{0}}
第五章条件平差 §5-1条件平差原理 5.1.01 条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得 5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少? 5. 1.03 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。 图5-1 5. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为H a= 12.123 m , H b=11. 123m,观测高差和线路长度为: 图5-2 S1=2km,S2=Ikm,S3=0.5krn,h1 =-2.003m,h2=-1.005 m,h3=-0.501 m，求改正 数条件方程和各段离差的平差值。 5.1.05 在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程 H A=10.000m,观测了5条路线的高差: h1=1.628m， h2=0. 821 m， h3=0.715m， h4=1.502m， h5=-2.331 m。 各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差 值。 5.1.06 有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测量，测得高差及水准路线长度为
h1 =1 .335 m，S1=2 km; h2=1.055 m，S2=2 km; h3=-2.396 m，S3=3km。试按条件平差法求各高差的平差值。 2.1.07如图5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″； L3=301°45′42″，=10″. (1)列出改正数条件方程; (2)试用条件平差法求∠C的平差值(注:∠C是指内角)。 5-2条件方程 5. 2.08 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一? 5.2.09 列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关? 5.2. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点， h i表 示观测高差)。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8418850648.html, 条件平差与间接平差的内在关系研究 作者：曹白金王兵张健 来源：《城市建设理论研究》2013年第23期 摘要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理 入手，利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式，揭示了平差模型计算公 式的内在规律，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题，并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。 关键词：平差方法;一致性;条件平差;间接平差 中图分类号： P207 文献标识码： A 文章编号： Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods. Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment 1 条件平差与间接平差原理 1.1 条件平差的原理 条件平差是以个观测量的平差值作为未知数，并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理解出改正数，从而求得各观测量的平差值。 条件平差的数学模型为,条件方程个数等于多余观测数，为观测值总个数，为必要观测 数，存在关系。设个平差值线性条件方程为： 1-1 其中、、...、为各平差值条件方程式中的系数；、、...、为各平差值条件方程式中的常数项。 将式代入1-1，得相应的改正数条件方程式 1-2
一、填空。（每空1分，共22分） 1．与的比值称为相对中误差。 2．误差椭圆的三个参数是________、________、_________。 3．闭合导线按条件平差时条件方程式的个数等于___个，分别是 ____个____________________条件和____对_______________________条件。 4 ．设某平差问题中，观测值个数为n个，必要观测数为t个，若按条 件平差，条件方程的个数等于______个，法方程的个数等于_______个。 若按间接平差，误差方程式的个数等于______个，未知数的个数等于 ______个，法方程的个数等于____个。 5．根据误差传播定律，若某一站观测高差的中误差为2mm，在A、B 两点间共观测了4站，则A、B两点间高差的中误差为mm。 6．导线网按条件平差，所列条件方程中的未知数，既有___________的 改正数，也有___________的改正数。 7．在水准测量中若已知每公里观测高差的中误差均相等，且又知各水准 路线的长度为Si（I=1，2，……n），则观测高差的权可用公式_________ 求出。 8．偶然误差的特性为：绝对值较小的误差出现的可能性；绝对值相等的正负误差出现的可能性；偶然误差的理论平均值。 1．__________、_________和_________合称为观测条件。 2．水准路线的定权方法有两种：根据_________定权和根据_________定权。 3．由三角形闭合差来计算测角中误差的公式为，称其为菲列罗公式。 4．由不等精度的双观测值之差计算单位权中误差的公式为σ0= ，由等精度的双观测值之差计算观测值中误差的公式为。 5 ．单导线按条件平差时条件方程的个数永远等于个，附合导线中个坐标方位角条件和一对条件，闭合导线中一个条件和对闭合条件。6．常用的衡量精度的指标有、、、 1.独立边角同测网条件方程式的种类，除了具有测角网和测边网的条件式外，还具有反映边角关系的二种条件，它们是和。 2.按间接平差时，首先要设定个独立未知数，在进行水准网的平差时，可以选择作为未知数，也可以选择为未知数，但最好选择为未知数。
第七章测量误差基本知识 内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。 重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。 难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。 § 5.1 测量误差的概念 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。 一、系统误差 (system error) 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二、偶然误差 (accident error) 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。 偶然误差分布频率直方图 § 5.2 衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一、中误差 方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。 规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有： 1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有：
毕 业 论 文 任 务 书 课题名称 导线网数据处理中条件平差和间接平 差比较分析 姓 名 周敏 学 号 1002601-20 院 系 市政与测绘工程学院 专 业 测绘工程 指导教师 曹元志（讲师） 2014 年 1 月 5 日 ※※※※※※※※※ ※ ※ ※ ※ ※※ ※※※※※※※※※ 2014届学生 毕业论文材料 （一）
一、设计（论文）的教学目的： 1．毕业论文写作是对学生在校期间专业学习成果的综合性的全面考察。 2．撰写毕业论文有利于培养和提高学生理论研究水平，增强学生分析和解决具体问题的能力。 3．撰写毕业论文有利于培养和提高学生写作及表达能力，有利于计算机应用、英语写作、文献查询等基本技能的训练。 4．撰写毕业论文有利于提高学生的阅读能力，加强学生整理、分析、组织相关数据和资料以及制表绘图的能力。 5．撰写毕业论文有利于学生树立理论联系实际，实事求是的工作作风，培养踏踏实实的工作态度。 二、设计（论文）的主要内容： 1.条件平差原理 2.间接平差原理 3.条件平差与间接平差在工程实例中的应用 4.精度评定 5.两种平差方法的比较。 三、设计（论文）的基本要求： 1. 专业知识要求 在毕业设计工作中，能综合运用学科的理论知识和技能来分析和解决工程实际问题，通过学习、研究和实践，熟悉各种相关测绘仪器、设备以及各种软件的使用。熟悉整个工作的设计流程和技术路线，掌握数据处理的过程和方法。 2. 能力培养要求 依据毕业设计的课题任务，进行复杂水准网平差方案的设计并进行实地测量布网；提高设计中理论分析、具备撰写技术文件和独立分析、解决问题的能力3. 综合素质要求 通过毕业设计树立正确的设计思想，培养严肃认真的科学态度和严谨求实的科学作风，遵守纪律，并具有善于与他人合作的协作精神和对工作高度负责的
误差理论与测量平差基 础习题集 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
第五章条件平差 §5-1条件平差原理 条件平差中求解的未知量是什么能否由条件方程 直接求得 5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少 5. 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。 图5-1 5. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B 的高程为H a = m , H b =11. 123m,观测高差和线路长度为: 图5-2 S1=2km,S 2=Ikm,S 3=,h 1 =,h 2= m,h3= m ，求改正 数条件方程和各段离差的平差值。 在图5-3的水准网中，A 为已知点B 、C 、D 为待定点，已知点高程H A =,观测了5条路线的高差: h 1=， h 2=0. 821 m ， h 3=， h 4=， h 5= m 。 各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差 值。 有水准网如图5-4所示，其中A 、B 、C 三点高程未知，现在其间进行了水准测 量，测得高差及水准路线长度为 h 1 =1 .335 m ，S 1=2 km; h 2= m ，S 2=2 km; h 3= m ，S 3=3km 。 试按条件平差法求各高差的平差值。 如图 5-5 所示，L 1=63°19′40″，=30″；L 2 =58°25′20″,=20″； L 3=301°45′42″，=10″. (1)列出改正数条件方程; (2)试用条件平差法求∠C 的平差值(注: ∠C 是指内角)。 5-2条件方程 5. 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一 列立条件方程时要注意哪些问题如何使得一组条件方程彼此线性无关 . 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i 表示待定高程点，h i 表 示观测高差)。 (a) (b)
§ 5.1测量误差概述 一、测量误差的概念 某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差 异，说明观测中存在误差。 观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。 X 为真值。 二、研究测量误差的目的 分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求 出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。 三、 测量误差产生的原因 1. 测量仪器因素 2. 观测者的因素 3. 外界条件的因素 测量观测条件一一测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合 起来称 为测量观测条件。 等精度观测一一测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。 非等精度观测一一测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。 四、 测量误差的分类 1. 系统误差 在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现 出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。 其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或 减弱其影响。 2. 偶然误差 在相同的观测条件下对某量作一系列观测， 如果误差的大小和符号不定, 表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然 误差。 偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正 数来消除或减弱其影响。因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶 然误差影响了观测结果的精确性。 五、 减少测量误差的措施 对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。 对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。 第五章 测量误差及测量平差 i l i X （ i=1、2、 .......... 、 n ）
用MATLAB解决_条件平差和间接平差 测量程序设计 条件平差和间接平差一、条件平差基本原理A LA0 函数模型 A VW0 r n n 1 r 1 r 1 2 21 随机模型 D? Q? P 0 0 T V P Vm i n 平差准则条件平差就是在满足r个条件方程式条件下,求 使函数V‘PV最小的V值,满足此条件极值问题用 拉格朗日乘法可以求出满足条件的V值。? A LA0 1、平差值条件方程: 0 r n n 1 r 1
r 1 a La L a La0 1 1 2 2 n n 0 b Lb L b Lb0 1 1 2 2 n n 0? r Lr L r Lr0 1 1 2 2 n n 0 a , b ,, r i1 , 2 ,, n 条件方程系数 i i i a , b ,, r 0 0 0 常数项? A LA0 2、条件方程: 0 r n n 1 r 1 r 1将 LLV 代入平差值条件方程中,得到A VW0 r 1 n 1 r 1 r 1
w , w ,, w a b r 为条件方程闭合差 WA LA 闭合差等于观测值减去其应有值。3、改正数方程: 按求函数条件极值的方法引入常数 T K k , k ,, k a b r r 1 称为联系系数向量,组成新的函数: T T? V P V2 K A VW 将Ω对V求一阶导数并令其为零? T T2 V P2 K A0V T1 T T P VA K 则: VP A KQ A K4、法方程: 将条件方程 AV+W0代入到改正数方程VQATK 中,则得到: T A Q A KW0 N KW0
记作: a a r 1 r 1 r 1 r r T R N R A Q A R A r 由于 a a1 T1 K? N W? A Q A A LA Naa为满秩方阵, a a 0 TLLV VQ A K按条件平差求平差值计算步骤 A VW0 1、列出rn-t个条件方程 r 1 n 1 r 1 r 1 T1 T N KW0 NA Q AA P A 2、组成法方程 a a a a r 1 r 1 r 1 r r1
§4-1 间接平差原理 2学时 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2 和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 （4-1-1）可得 （4-1-2） 为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2）式可写成如下形式： （4-1-3）
式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一 个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，、、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值 有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要 求：，设观测值为等精度独立观测，则有： 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得 代入误差方程式，得到观测值的最或然值 此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
一般地，间接平差的函数模型为 （4-1-4） 平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值， 令 （4-1-5） 代入（4-1-4）式，并令 （4-1-6） 由此可得误差方程 （4-1-7） 式中为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数视为非随机参 数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后，由（4-1-6） 式可得。 间接平差的随机模型为 （4-1-8） 平差准则为 （4-1-9） 间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中 是求多元函数的自由极值问题。
《误差理论与测量平差》（1） 1．正误判断。正确“T”，错误“F”。（30分） 1．在测角中正倒镜观测是为了消除偶然误差（）。 2．在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是系统误差（）。 3．如果随机变量X和Y服从联合正态分布，且X与Y的协方差为0，则X与Y相互独立（）。 4．观测值与最佳估值之差为真误差（）。 5．系统误差可用平差的方法进行减弱或消除（）。 6．权一定与中误差的平方成反比（）。 7．间接平差与条件平差一定可以相互转换（）。 8．在按比例画出的误差曲线上可直接量得相应边的边长中误差（）。 9．对同一量的N次不等精度观测值的加权平均值与用条件平差所得的结果一定相同（）。 10．无论是用间接平差还是条件平差，对于特定的平差问题法方程阶数一定等于必要观测数（）。 11．对于特定的平面控制网，如果按条件平差法解算，则条件式的个数是一定的，形式是多样的（）。 12．观测值L的协因数阵Q LL的主对角线元素Q ii不一定表示观测值L i的权（）。13．当观测值个数大于必要观测数时，该模型可被唯一地确定（）。 14．定权时σ0可任意给定，它仅起比例常数的作用（）。 15．设有两个水平角的测角中误差相等，则角度值大的那个水平角相对精度高（）。 16．用“相等”或“相同”或“不等”填空（8分）。 已知两段距离的长度及其中误差为±; ±。则： 1．这两段距离的中误差（）。 2．这两段距离的误差的最大限差（）。 3．它们的精度（）。 4．它们的相对精度（）。 17．选择填空。只选择一个正确答案（25分）。
1．取一长为d 的直线之丈量结果的权为1，则长为D 的直线之丈量结果的权P D =（ ）。 a) d/D b) D/d c) d 2/D 2 d) D 2/d 2 2.有一角度测20测回，得中误差±秒，如果要使其中误差为±秒，则还需增加的测回数N=（ ）。 a) 25 b) 20 c) 45 d) 5 3.某平面控制网中一点P ，其协因数阵为： ??? ???--=??????=5.025.025.05.0yy yx xy xx XX Q Q Q Q Q 单位权方差2 0σ=±。则P 点误差椭圆的方位角T=（ ）。 a) 90 b) 135 c) 120 d) 45 4.设L 的权为1，则乘积4L 的权P=（ ）。 a) 1/4 b) 4 c) 1/16 d) 16 5.设 ????????????--=??????21311221x x y y ； ? ?? ???=4113xx D 又设12x y F +=，则=2 F m （ ）。 a) 9 b) 16 c) 144 d) 36 四、某平差问题是用间接平差法进行的，共有10个独立观测值，两个未知数，列出10个误差方程后得法方程式如下（9分）： ??????--=????????????--146??8221021x x 且知[pll]=。求： 1． 未知数的解
南京师范大学模拟试卷 课程误差理论与测量平差基础 一、填空题（20分） 1. 某平差问题有以下函数模型(Q=I)（11分） 1L ∧=1x ∧ 2L ∧ =1x ∧-2x ∧ 3L ∧=-1x ∧+3x ∧ 4L ∧=-3x ∧ +A 5L ∧=-2x ∧ -B 1x ∧ +3x ∧+C=0 试问：（1）以上函数模型为何种平差方法的模型？（3分） 答：附有限制条件的间接平差。 （2）本题中，n= ，t= ，c= ，u= ，s= 。（5分） 答：n=5，t=2，c=5，u=3，s=1 （3）将上述方程写成矩阵形式。（3分） 答：5,1 L ∧ =10011010 1001010????-????-??-????-??3,1x ∧+000A B ?? ????????????-?? ()1013,1x ∧ +C=0 2. 衡量精度的指标有方差和中误差、平均误差、或然误差、 、 。（4分） 答：极限误差 相对中误差 3. 测定A 、B 两点间高差，共布设了16个测站，各测站观测高差是同精度独立观测值，其方差均值为 2 σ站 =1m 2m ，则AB 两点间高差的中误差为AB h σ= 。（5分） 答：AB h σ=4mm 。 二、证明题 在间接平差中，参数1 n X ∧ 与1 n V 改正数是否相关？试证明之。（10分） 证明：X ∧ =0 x +x ∧ BB N x ∧ -T B Pl=0 x ∧ =1 BB N -T B Pl
又l=L-o L x ∧ =1BB N -T B Pl -1 BB N -T B P o L V=B x ∧ -l =B 1BB N -T B Pl -B 1BB N -T B P o L -L+o L = (B 1BB N -T B P-E)L- B 1BB N -T B P o L +o L 令 LL Q =Q x v Q ∧=1BB N -T B PQ 1(-E)T T BB BN B P - =1BB N -T B ( P 1BB N -T B P -E) =1BB N -T B P 1BB N -T B P-E 1BB N -T B =1BB N -T B -1BB N -T B =0 ∴1 n X ∧ 与1 n V 不相关。 三、计算题（需写出计算过程）（70分） 1.已知观测值向量L=[]12,T L L 的权阵P=2112??? ??? 及单位权方差2 0σ=3。现有函数1Y =31L +22L ，2Y =1L —22L ，求1Y 的方差，1Y 与2Y 的协方差？（10分） 答：Q=1P -=132112-?? ?-??=21331233??- ? ? ? - ??? 1Y =()3212L L ?? ???,2Y =()12-12L L ?? ??? 11 YY Q =()322 1331233??- ? ? ?- ??? ()32=143 1 y σ=0 σ 11Y Y D =12 Y σ=14
第五章条件平差习题
第五章思考题参考答案 5.1（a）n=6，t=3，r=3 （b）n=6，t=3，r=3 （c）n=14，t=5，r=9 5.2（a）n=13，t=6，r=7 共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。 （b）n=14，t=8，r=6 共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。 （c）n=16，t=8，r=8 共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。 （d）n=12，t=6，r=6 共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。 5.3n=23，t=6，r=17 共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。 5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。 （2）
128 379 41314 121520 11171819 561016 6101119 910111213 510???1800???1800???1800???1800????1800????1800????1800?????1800???sin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-=17196111620 361418471519 2211151217 121318124 ?sin 1()????sin sin sin sin ????sin sin sin sin 1()????sin sin sin sin ??()????sin sin sin sin ??(????sin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719 ??)????sin sin sin sin ????sin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件（基线条件） 5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为： 1001000 100110000120001001104000011014V ????????-????-=????--????---????（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=1 5.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6 （2）P hCD =1.8 5.8 []? 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h = 2 P σ=0.32(mm)
绪论 测量平差理论 4种基本平差方法 讨论点位精度 统计假设检验的知识 近代平差概论 ?绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。 误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 § 3—1 数学期望的传播
第五章 测量误差及测量平差 §5.1 测量误差概述 一、测量误差的概念 某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差 异，说明观测中存在误差。 观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。 X l i i -=? （i =1、2、……、n ） X 为真值。 二、研究测量误差的目的 分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求 出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。 三、测量误差产生的原因 1.测量仪器因素 2.观测者的因素 3.外界条件的因素 测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合 起来称为测量观测条件。 等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。 非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。 四、测量误差的分类 1.系统误差 在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现 出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。 其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。 2.偶然误差 在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定， 表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然 误差。 偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正 数来消除或减弱其影响。因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶 然误差影响了观测结果的精确性。 五、减少测量误差的措施 对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。 对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
第五章 测量误差的基本知识 (一)基本要求 1.了解测量误差的概念、来源及其分类； 2.理解偶然误差的特性、衡量精度的指标； 3.掌握误差传播定律的应用、等精度直接观测值的最可靠值的计算方法； 4.了解不等精度直接观测平差最或然值的计算与精度评定的方法。 (二)重点与难点 1.重点：观测条件的含义、系统误差与偶然误差的含义以及偶然误差的特性，各种衡量精度的指标的含义与计算方法，误差传播定律的理解与应用。 重点概念：系统误差、偶然误差、真误差、中误差、误差传播定律、最或然值、改正数。 2.难点：中误差的含义与计算方法，误差传播定律的应用，等精度直接观测值的最可靠值的计算方法。 (三)教学内容 讲述内容：(2学时)：观测条件、等精度观测、真误差、最或然值、最或然、误差、中误差、相对误差、极限误差、算术平均值中误差等等概念。 自学内容：(2学时)系统误差、偶然误差、粗差概念及其性质；减小或消除系统误差的办法；能够举一系列实例；计算最或然值及误差，中误差的计算式推导及应用计算；比较相对误差；算术平均值中误差的计算；误差传播定律。 (四)复习思考题 1.何谓偶然误差？偶然误差由哪些统计特性？ 2.何谓等精度观测与不等精度观测？请举例说明。 3.衡量精度的指标有哪些？ 4.中误差的定义式和计算式？ 5.在ABC 中，已测出 ,40060,30040'±'=∠'±'=∠ B A 求C ∠的值及其中误差。 6.等精度观测某线段6次，观测值分别为146.435m ，146.448m ，146.424m ，146.446m ，146.450m ，146.437m ，试求该线段长度的最或然值及其中误差。 (五)例题选解 1.用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于(D)A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差 2.水准测量中，高差h=a －b ，若m a ,m b ,m h 分别表示a 、b 、h 的中误差，而且m a =m b =m ，那么正确公式是(B)A.m h =m∕2B.m h =±2m C.m h =±m 2 D.m h =2m 3.设在三角形ABC 中直接观测了∠A 和∠B ，其中误差分别为m A =±3″，m B =±4″，则m C =(A) A.±5″B.±1″ C.±7″ D.±25″ 4.用名义长度为30米的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004米，用此钢尺丈量AB
?绪论 ?测量平差理论 ?4种基本平差方法 ?讨论点位精度 ?统计假设检验的知识 ?近代平差概论 ?绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。 误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 § 3—1 数学期望的传播