1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为45°。
2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻。
3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ。
4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。
5.两个物体同向运动其间距离最大（最小）——两物体速度相等。
6.两个物体同向运动相对速度最大（最小）——两物体加速度相等。
7.位移一定的先启动后制动分段运动，在初、末速及两段加速度一定时欲使全程历时最短——中间无匀速段（位移一定的先启动后制动分段匀变速运动，在初速及两段加速度一定时欲使动力作用时间最短——到终点时末速恰好为零）
8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速。
9.加速运动的物体速度达到最大——恰好不再加速时的速度。
10.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零。
11.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零（曲线运动的物体轨迹恰与某边界线相切）
12.在排球场地3米线上方水平击球欲成功的最低位置——既触网又压界
13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速。
14.线（杆）端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点—最高点绳拉力为零（=0v杆端）
15.竖直面上运动的非约束物体达最高点——竖直分速度为零。
16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零。
17.已知一分力方向及另一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小——两分力垂直。
18.动态力分析的“两变一恒”三力模型中“双变力”极小——两个变力垂直。
19.欲使物体在1F2F两个力的作用下，沿与1F成锐角的直线运动，已知1F为定值，则2F最小时即恰好抵消1F在垂直速度方向的分力。
20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）。
21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消。
22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直。
23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R。
24.损失动能最小（大）的碰撞——完全弹性（完全非弹性）碰撞。
25.简谐运动速度最大——位移（恢复力、加速度）为零。
26.受迫振动振幅恰好达最大——驱动力的频率与振动系统的固有频率相等。
27.只有机械能与电势能相互转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大。
28.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场边界相切。
29.纯电阻负载时电源输出功率最大——内外电阻阻值相等。
30.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点。
31.倾斜安放的光滑导轨上的通电导体棒静止时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁感强度最小。
32.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角。
33.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率。
34.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力平衡。
35.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、运动周期、角速度均最小；速度、向心力、加速度均最大。
高中物理必修一常考题型 一、直线运动 1、xt图像与vt图像 2、纸带问题 3、追及与相遇问题 4、水滴下落问题（自由落体） 二、力 1、滑动摩擦力的判断 2、利用正交分解法求解 3、动态和极值问题 三、牛顿定律 1、力、速度、加速度的关系； 2、整体法与隔离法 3、瞬时加速度问题 4、绳活结问题 5、超重失重 6、临界、极值问题 7、与牛顿定律结合的追及问题 8、传送带问题 9、牛二的推广 10、板块问题 11、竖直弹簧模型
一、直线运动 1、xt图像与vt图像 2014生全国（2） 14.甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v-t图像如图所示。 在这段时间内 A.汽车甲的平均速度比乙大 B.汽车乙的平均速度等于 22 1v v C.甲乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 2016全国（1） 21.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则 A.在t=1s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前7.5m C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离 为40m 2、纸带问题 【2012年广州调研】34．（18分）(1) 用如图a所示的装置“验证机械能守恒定律”①下列物理量需要测量的是__________、通过计算得到的是_____________（填写代号）A．重锤质量B．重力加速度 C．重锤下落的高度 D．与下落高度对应的重锤的瞬时速度②设重锤质量为m、打点计时器的打点周期为T、重力加速度为g．图b是实验得到的一条纸带，A、B、C、D、E为相邻的连续点．根据测得的s1、s2、s3、s4写出重物由B点到D点势能减少量的表达式__________，动能增量的表达式__________．由于重锤下落时要克服阻力做功，所以该实验的动能增量总是__________（填“大于”、“等于”或“小于”）重力势能的减小量
高中物理常见临界问题（极值问题）分析处理训练 一问题概述： 当物体由一种运动形式（物理过程与物理状态）变为另一种运动形式（物理过程与物理状态）时，可能存在一个过渡的转折点，即分界限的现象。这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。这是量变质变规律在物理中的生动表现。如:力学中的刚好滑动；正常行驶;宇宙速度，共振；电学中电源最大输出功率；光学中的临界角；光电效应中的极限频率等 解决临界问题，通常以定理、定律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。 所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最值结果。求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括（1）利用矢量图求极值（2）用三角函数关系求极值；（3）用二次方程的判别式求极值；（4）用不等式的性质求极值。（5）导数法求解。一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。极值问题与临界问题从本质上说是有区别的，但高考中极值问题通常都可用物理临界法求解。 解答临界问题的关键是找临界条件。许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。 有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，耐心讨论状态的变化，可用极限法（把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来）假设法（即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。）数学函数极值法等方法找出临界状态。然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。 ※为了提高解题速度，可以理解记住一些重要的临界条件及状态： 物体自由地沿斜面刚好匀速下滑则μ=tgα。 物体刚好滑动静摩擦力达到最大。 两个物体沿同一直线运动，在速度相等时距离最大或最小。 两物体刚好相对静止必速度相等、加速度相等。 两个物体距离最近（远），相对速度相等。 速度达到最值——沿速度方向的合外力为零(曲线运动时则切向合外力为零) 两个一同运动的物体刚好(不)脱离时，两物体间的弹力刚好为零，速度、加速度相等。 刚好到达某点——速度为零（速度不一定为零） 物体刚好(不)滑出——物体到达末端时二者等速。 在竖直面内做圆周运动，绳端物体刚好到达最高点——绳拉力为零，重力是向心力， 杆端物体刚好到达最高点——物体速度等于零。 两个物体刚好(不)分离——两物接触且弹力为零，速度加速度（垂直接触面方向）相等。绳刚好拉直——绳直且拉力为零，绳刚好拉断——张力等于绳所能承受最大拉力。 刚好不相撞——两物体间距为零时等速。 碰撞过程碰后相对速度为零时，损失的动能最大 粒子刚好(不)飞出两极板间匀强电场或匀强磁场——轨迹与板边缘相切，粒子刚好(不)飞出磁场区——轨迹与磁场边界相切。
高中物理中的临界与极值问题 宝鸡文理学院附中何治博 一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。 高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等
词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。 二、常见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件： 1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角 为0 45 2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时 刻 3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰 好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。
物理中的极值问题 武穴育才高中 刘敬 随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。 极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。 1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(2 22 -++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =a b a c 442- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =a b a c 442- 2.判别式法：二次函数令0≥?，方程有解求极值. 3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab 4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θ?++b a 当090=+θ?，22max b a y += 此时，b a arctan =θ 也可用求导法：b a b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值． 6.用图象法求极值 通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。 7.几何作图法 研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。 研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。 例1.木块以速度v 0=12m ／s 沿光滑曲面滑行，上升到顶部水平的跳板后飞出，求跳板高度h 多大时， 木块飞行的水平距离s 最大?最大水平距离s 是多少?(g=10 m ／s 2)。 解：2202121mv mgh mv =+, vt s =得：22022020)4()4(22)2(g v h g v g h gh v s --=-=
极值与临界问题专题 常州二中徐展 临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等. 解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值。一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。 在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。 在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。在解决临办极值问题注意以下几点： 1.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。 2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。 3.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。 4.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。 【典型例题与练习】 运动学中的极值与临界问题： 1．一车处于静止状态，车后相距s0=25m处有一个人，当车开始起动以1m/s2的加速度前进的同时，人以6m/s速度匀速追车，能否追上？若追不上，人车间的最小距离为多少？人不可能追上车 18 m。A、B 两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出。问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？
动力学中的临界极值问题的处理
动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？
课堂练习：（临界问题） 1、一劲度系数为m N k /200=的轻弹簧直立在水平地板上，弹簧下端与地板相连，上端与一质量kg m 5.0=的物体B 相连，B 上放一质量也为kg 5.0的物体A ，如图。现用一竖直向下的力F 压A ，使B A 、均静止。当力F 取下列何值时，撤去F 后可使B A 、不分开 ( ) A.N 5 B.N 8 N 15 D.N 20 2、如图，三个物块质量分别为1m 、 2m 、M ，M 与1m 用弹簧联结，2m 放在1m 上，用足够大的外力F 竖直向下压缩弹簧，且弹力作用在弹性限度以内，弹簧的自然长度为L 。则撤去外力F ，当2m 离开1m 时弹簧的长度为___________，当M 与地面间的相互作用力刚为零时，1m 的加速度为 。 3、如图，车厢内光滑的墙壁上，用线拴住一个重球，车静止时，线的拉力为T ，墙对球的支持力为N 。车向右作加速运动时，线的拉力为T '，墙对球的支持力为N '，则这四个力的关系应为：T ' T ；N ' N 。（填>、<或＝）若墙对球的支持力为0，则物体的运动状态可能是 或 。 4、在光滑的水平面上，B A 、两物体紧靠在一起，如图。A 物体的质量为m ，B 物体的质量m 5，A F 是N 4的水平向右的恒力，N t F B )316(-=（t 以s 为单位），是随时间变化的水平力。从 静止开始，当=t s 时，B A 、两物体开始分离，此时B 物体的速度方向 朝 （填“左”或“右”）。 5、如图，在斜面体上用平行于斜面的轻绳挂一小球，小球质量为m ，斜面体倾角为θ，置于光滑水平面上 (g 取2/10s m )，求： （1）当斜面体向右匀速直线运动时，轻绳拉力为多大； （2）当斜面体向左加速运动时，使小球对斜面体的压力为零时，斜面体加速度为多大； （3）为使小球不相对斜面滑动，斜面体水平向右运动的加速度的最大值为多少。
动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 【致远提示】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。
物理中的极值问题 1．物理中的极值问题： 物理试题常出现如：至少、最大、最短、最长等物理量的计算，这类问题就属于极值问题。其处理是高考试题中是常见的，本专题以此作为重点，试图找出处理该问题的一般方法。 2．物理中极值的数学工具： （1）y=ax 2 +bx+c 当a ＞0时，函数有极小值 y m in =a b a c 442 - 当a ＜0时，函数有极大值 y m ax =a b a c 442 - （2）y= x a +b x 当ab =x 2 时，有最小值 y m in =2ab （3）y=a sin θ+b cos θ=22b a + sin （)θ?+ 当θ?+=90°时，函数有最大值。 y m ax =22b a + 此时，θ=90°-arctan a b （4）y =a sin θcon θ= 21a sin2θ 当θ=45°时，有最大值：y m ax =2 1a 3．处理方法： （1）物理型方法： 就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件，这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也何以用物理图像发热方法（s-t 图或v-t 图）进而求出极值的大小。该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键。 （2）数学型方法： 就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小。 4．自主练习 1．如图所示，在倾角为300的足够长的斜面上有一质量为m 的物体，它受到沿斜面方向的力F 的作用。力F 可按图（a ）、（b ）（c ）、（d ）所示的四种方式随时间变化（图中纵坐标是F 与mg 的比值，力沿斜面向上为正）。已知此物体在t =0时速度为零，若用v 1、v 2 、v 3 、v 4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是（ ） A 、v 1 B 、v 2 C 、v 3 D 、v 4 2．一枚火箭由地面竖直向上发射，其v ~t 图像如图所示，则 A ．火箭在t 2—t 3时间内向下运动 B ．火箭能上升的最大高度为4v 1t 1 v v 12
高中物理临界问题解题技巧类解 临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。 极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。 一、运动学中的临界问题 例1、一列客车以速度v 1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度v 2匀速前进，且v 1v 2，货车车尾与客车车头相距s 0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。求客车的加速度a 符合什么条件两车才不会撞上？ 分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S ≤S 0。下面用两种方法求解。 解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：21112 s v t at =-，货车：22s v t =， 两车不相撞的条件：21,v v at =-120s s s -≤。 联立以上各式有：2 120 ()2v v a s -≥。 解法二：客车减速到2v 的过程中客车的位移为：1212v v s t += ， 经历的时间为：12v v t a -=；货车的位移为：22s v t =，
在动力学中临界极值问题的处理 佛山市高明第一中学（528500）周兆富 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的 问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 ?例1?速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ ?灵犀一点?甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 ?解析?飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt求路程。 （1）设甲、乙相遇时间为t，则飞鸟的飞行时间也为t，甲、乙速度大小相等v甲= v乙=5m/s，同相遇的临界条件可得：s = (v甲+v乙)t 则： 2000 =200 10 s t s s v v == + 乙 甲
高考物理常见临界条件汇总 物理常见临界条件有哪些呢? 一、临界状态和临界条件 当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态。出现临界状态时，该状态既可理解成“恰好出现”也可理解为“恰好不出现”。与临界状态相关的物理条件称为临界条件。解答临界问题的关键是找出临界条件。 临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力求准确把握题目的物理情景，分析清楚物理过程，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从而找出临界条件。 许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“最小”、“不相碰”、“不脱离”等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时一定要抓住这些特定的词语发掘出内含规律，找出临界条件。 二、临界情况————————临界条件 绳刚好被拉直——绳上拉力为零 刚好不上(下)滑保持物体静止在斜面上的最小水平推力拉动物体的最小力——静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡 转盘上“物体刚好发生滑动”——向心力为最大静摩擦力 绳刚好被拉断——绳上的张力等于绳能承受的最大拉力 两个物体距离最近(远)——速度相等 天车下悬挂重物水平运动，天车突停——重物从直线运动转为圆周运动，绳拉力增加 绳系小球摆动，绳碰到(离开)钉子——圆周运动半径变化，拉力突变 使通电导线在倾斜导轨上静止的最小磁感应强度——安培力平行于斜面 圆形磁场区的半径最小——磁场区是以公共弦为直径的圆 双弹簧振子弹簧的弹性势能最大——弹簧最长(短)，两端物体速度为零 速度达到最大——物体所受合外力为零 刚好不相撞——两物体最终速度相等或者接触时速度相等 刚好不分离——两物体仍然接触、弹力为零原来一起运动的两物体分离时不只弹力为零且速度和加速度相等 粒子刚好飞出(飞不出)两个极板间的匀强电场——粒子运动轨迹与极板相切 杆端物体刚好通过最高点——物体运动到最高点时速度为零 绳端物体刚好通过最高点——物体运动到最高点时重力(“等效重力”)等于向心力速度大小为刚好运动到某一点(“等效最高点”)——到达该点时速度为零 物体刚好滑出(滑不出)小车——-物体滑到小车一端时与小车的速度刚好相等 粒子刚好飞出(飞不出)磁场——粒子运动轨迹与磁场边界相切 粒子刚好飞出(飞不出)两个极板间的匀强电场——粒子运动轨迹与极板相切 粒子刚好飞出(飞不出)磁场——粒子运动轨迹与磁场边界相切 粒子刚好飞出(飞不出)两个极板间的匀强电场——粒子运动轨迹与极板相切
高中物理临界问题总结 物理常见临界条件有哪些呢?正在备考的同学们赶紧来看看高中物理知识点物理常见临界条件汇总。下面是小编为您整理的作文，希望对您有所帮助。 高中物理临界问题总结 1.演绎法:以原理、定理和定律为依据,先找出所研究问题的一般规律和一般解,然后分析讨论其特殊规律和特殊解,即采用从一般到特殊的推理方法。 2.临界法:以原理、定理或定律为依据,直接从临界状态和相应的临界量入手,求出所研究问题的特殊规律和特殊解,以此对一般情况进行分析讨论和推理,即采用林特殊到一般的推理方法。 由于临界状态比一般状态简单,故解决临界问题时用临界法比演绎法简捷。在找临界状态和临界量时,常常用到极限分析法:即通过恰当地选取某个物理量(临界物理量)推向极端(“极大”和“极小”,“极左”和“极右”等),从而把隐蔵的临界现象(或“各种可能性”)暴露出来,找到解决问题的“突破口”。因此,先分析临界条件 物理学中临界问题题1 如图所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是 A.处为拉力,为拉力
B.处为拉力,为推力 C.处为推力,为拉力 D.处为推力,为推力 解析因为圆周运动的物体,向心力指向圆心,小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向O,向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力,而重力方向向下,故杆必定给球向上的拉力,小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力,即小球的重力恰好对球没有作用力,即小球的重力恰好提供向心力,设此时小球速度为vb,则:mg = m vb = 当小球在最高点的速度vvb时,所需的向心力Fmg,杆对小球有向下的拉力;若小球的速度vvb时,杆对小球有向上推力,故选A、B正确 评析本题关键是明确越过临界状态vb = 时,杆对球的作用力方向将发生变化。
物体的平衡单元测试 一、选择题 1．关于静摩擦力，下列说法正确的是 ．两个相对静止的物体之间一定有静摩擦力的作用 B．静摩擦力一定是阻力 受静摩擦力作用的物体一定是静止的 D．在压力一定的条件下，静摩擦力的大小是可以变化的，但有一定限度 ．关于相互接触的两物体之间的弹力和摩擦力，下列说法正确的是 A．有摩擦力一定有弹力 B．摩擦力的大小与弹力成正比 C．有弹力一定有摩擦力D．弹力是动力，摩擦力是阻力 3．一个弹簧挂30N的重物时，弹簧伸长1.2cm，若改挂100N的重物时，弹簧总长为20cm，则弹簧的原长为 12cm B．14cm C．15cm D． 16cm 4．把一个力分解成两个力，并已知一个力的大小和另一个力的方向．下列说法错误的是A．可能无解 B．可能有一个解 C．可能有两个解 D．一定有两．将一个力F=10N分解为两个分力，已知一个分力的方向与F成30°角，另一个分力的大小为6N，则在分解中 A．有无数组解 B．有两解 C．有唯一解 D．无解 6．在分析物体受力时，下面的说法正确的是 ．向上抛出后的物体受到向上的作用力 B．两物体相互挤压时，其弹力沿接触面垂直的方向指向施力物体 ．轻绳的拉力方向指向绳子收缩的方向 D．放在斜面上的物体受到的重力可分解成下滑力和正压力 7．三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心Oa位于球心，b球和c球的重心Ob、Oc分别位于球心的正上方和球心的正下方，如图1-87所示，三球均处于平衡状态．支点P对a球的弹力为Na，对b球的弹力为Nb，对c球的弹力为Nc，则 A．Na= N b= Nc B．Nb＞Na＞Nc C．Nb＜Na＜Nc D．Na＞Nb=N c 8．如图1-88所示，物体在水平力F作用下静止在斜面上，若稍增大水平力 F，而物体仍能保持静止，下列说法正确的是 ．斜面对物体的静摩擦力及支持力都不一定增大 ．斜面对物体的静摩擦力及支持力都一定增大
高中物理常见的“临界条件” 一、刚好不相撞 两物体最终速度相等或者接触时速度相等。 二、刚好不分离 两物体仍然接触、弹力为零，且速度和加速度相等。 三、刚好不滑动 1.转盘上“物体刚好发生滑动”：向心力为最大静摩擦力。 2.斜面上物体刚好不上（下）滑：静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 3.保持物体静止在斜面上的最小水平推力: 静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 4.拉动物体的最小力：静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 四、运动到某一极端位置 1.绳端物体刚好通过最高点（等效最高点）：物体运动到最高点时重力（等效重力）等于向心力，速度大小为(gR)1/2[(gˊR)1/2]. 2.杆端物体刚好通过最高点：物体运动到最高点时速度为零。 3.刚好运动到某一点：到达该点时速度为零。 4.物体刚好滑出（不滑出）小车：物体滑到小车一端时与小车速度刚好相等。 5.粒子刚好飞出（飞不出）两个极板间的匀强电场：粒子沿极板的边缘射出（粒子运动轨迹与极板相切）。 6.粒子刚好飞出（飞不出）磁场：粒子运动轨迹与磁场边界相切。 五、速度达到最大或最小时：物体所受的合外力为零，即加速度为零 1.机车启动过程中速度达最大匀速行驶：牵引力和阻力平衡。 2.导体棒在磁场中做切割运动时达稳定状态：感应电流产生的安培力和其他力的合力平衡。 六、某一量达到极大（小）值 1.两个物体距离最近（远）：速度相等。 2.圆形磁场区的半径最小：磁场区是以公共弦为直径的圆。 3.使通电导线在倾斜导轨上静止的最小磁感应强度：安培力平行于斜面。 4.穿过圆形磁场区域时间最长：入射点和出射点分别为圆形直径两端点。 七、绳的临界问题 1.绳刚好被拉直：绳上拉力为零。 2.绳刚好被拉断：绳上的张力等于绳能承受的最大拉力。 3.绳子突然绷紧：速度突变，沿绳子径向方向的速度减为零。 八、运动的突变
2010物理学科高考总复习----约束问题与临界值问题专题 现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。 1．有关约束问题的基本概念 如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。那么该曲线或曲面就称为约束。例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束问题。图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运 动限制作用的抽象。 约束的分类随依据不同而异。按约束随时间改变与否，可分为 稳定约束与不稳定约束。例如图2中，如果斜面体是固定的，则称 为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜 面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。按其约束的方向来分， 可分为单向约束和多向约束。如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。 力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。例如图1中绳子对小球的拉力，图2 中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和
作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。 2．约束反力的求解 约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。 [例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r， 两者连线与竖直线成β角。如图5所示。试求： （1）摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。 （2）小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情 况下，L、r、β、α之间的关系。 [解析]（1）小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于 单向约束问题。小球摆到图示位置B时，是以钉子A为圆心的，以L—r为半径的圆周运动。设绳子对小球的约束反力为T，AB线与竖直夹角为θ，由机械能守恒定律得 由牛顿运动定律得此时法向方向方程 式（1）、（2）联立解得 （2）若绳子发生弯曲，则T=0，意味着约束解除，由此条件求得
物理解题中求极值的常用方法 运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。 1、利用顶点坐标法求极值 对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c, 若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-； 若a<0,则当x=-a b 2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-； 2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。 若y ≤A ，则y max ＝A 。 3、利用配方法求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。（2）当x ＝A 时，常数为极大值。 4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为 ≥+2 b a a b ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。 当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。 当a ＝b 时， (a+b) max ＝2 )(2 b a +。 5、利用三角函数求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y= 21Asin2α，在α=45o时，y 有极值2 A 。 对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。
圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N
变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小，