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北京邮电大学高等函授教育、远程教育
《工程数学》综合练习题
通信工程、计算机科学与技术专业（本科）
《线性代数》部分
一、判断题：
1.四阶行列式 D =
000000000
d
c b a = abcd. ( )
2.n 阶行列式D =
1
1
1
1
1
1
000000
00
00
000
00
0000
01
3
2
1
n
n λλλλλ-
=.21n λλλ
( )
3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =
( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(2
2
2
B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.
(
)
6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1
B A =-
( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[]
)()(1
1
1
'='---A
B
AB .
( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.
(
)
2
12.若n 阶可逆矩阵A =??
?
??
??
?
?n λλλ
2
1,则.11
2
111
??????
?
?
?=----n A λλλ
( )
13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.
( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. (
)
15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关.
( )
16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示.
( ) 17.等价向量组所含向量个数相同.
(
)
18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价.
( )
19.若n m ?矩阵A 有一个r (r ( ) 20.任意n m ?矩阵A 的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( ) 23.若线性方程组AX=B (A 为n m ?矩阵,X =),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x )满足 Rank ),()(A Rank B A = 则此方程组有解. ( ) 24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. ( ) 25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解. ( ) 26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解. ( ) 3 二、填空题： 1. 四阶行列式 10 1 3 2 0235 120 26 437 11 7 8 D ---= =----_____________________. 2. 五阶矩阵,0 021???? ??=A A A 其中 ,10 010103,54 23 21???? ? ? ?-=???? ? ?=A A 则 =1A _______, =2A ________, =A _____________. 3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________. 4. 设矩阵() 33 1 0132 101 1ij A a ?-?? ? == ? ?? ? ,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为________________,A 的顺序主子式为__________________________. 5. 设三阶矩阵,??? ? ? ? ?=b a c a c b c b a A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________. 6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当321,,a a a 为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示. 7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关. 8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________. 4 9. 设A 为五阶矩阵,且,3=A 则_,__________,__________1==*-A A 其中*A 为A 的伴随矩阵. 10. 设 矩 阵 ,0 021 ??? ? ? ?=A A A 其中 ,0121,31 11 21??? ? ??=???? ??=A A 则 1 1 A -= ，1 2A -= ， 1 A -= 。 11 .设A 为n 阶正交矩阵,则Rank(A ) =__________________, ==-A A _______,1 __________________. 12. 设E 为四阶单位矩阵,则初等矩阵E (1,3)=_______________, E (2(3))=________________. 13. 设A 为四阶矩阵且,2=A B 是由A 交换2,3行得到的等价矩阵,则______,=B Rank(A )_______Rank(B )(等于,大于或小于). 14. 齐次线性方程组 32321=++x x x 的一个基础解系为 ___________________________,其全部解为____________________________________. 15. 设线性方程组为???=+=-2 1 24321x x x x ,它的导出组的一个基础解系为_________________ _______________________,此方程组的全部解为________________________________. 16.设n m ?矩阵 A 的秩为)(,,12121γγγγ≠-n 都是线性方程组 AX=B (X =)),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x 的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________. 17. 设向量组),0,2 1,1(),1,,0(),1,2,0(t t -==-=γβα则实数t =________时,γβα,, 线性相关. 三、单项选择题： 1．下列5级排列是偶排列的是（ ）。 5 A ．32415 B ．41523 C ．51324 D ．23154 2．n 阶行列式1 2 3 1 11110 00000000000000 00 n D λλλλ= =（ ）。 A ．12n λλλ- B ．12n λλλ C ．112(1)n n λλλ+- D ．12(1)n n λλλ- 3．设3阶行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则 =33 32 31 232221 13 1211ka ka ka ka ka ka ka ka ka （ ）。 A ．2k B ．6k C ．18k D ．32k 4． 已知4阶行列式D 中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8， 5，4，则D =（ ）。 A ．6 B ．10 C ．-10 D ．-6 5．如果线性方程组??? ??=--=+=-+0 5040 3321 32321x x kx x x x kx x 有非零解，则k =（ ）。 A ．0或1 B ．1或-1 C ．-1或-3 D ．-1或3 6．n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是（ ）。 A ．A = 0 B ．A ≠ 0 C ．| A| = 0 D ．|A|≠ 0 7．如果n 阶矩阵A ，B 均可逆，则必有（ ）。 A ．1 1 1 ()A B A B ---+=+ B ．1 1 1 () A B A B ----=- C ．1 1 1 () AB A B ---= D ．1 1 1 () AB B A ---= 8．如果n 阶矩阵A 可逆，则1 (2)A -=（ ）。 6 A ． 1 12 A - B ．12A - C ．1 1( ) 2 A - D ． 12 A 9．设A ，B 都为n 阶矩阵，如果|AB |= 0，则必有（ ）。 A ．A B = 0 B ．A = 0或 B = 0 C ．| A| = 0或| B | = 0 D ．0A B ≠ 10．当ad - cb =1时，1 -??? ? ? ?d c b a =（ ）。 A ．??? ? ? ?--d b c a B ．d b c a -?? ?-?? C ．???? ? ?--a c b d D ．??? ? ? ?----d c b a 11．设A 为m ×n 矩阵，如果r (A ) = r （< min( m, n )），则（ ）。 A ．A 有一个r 阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 B ．A 有一个r 阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零。 C ．A 的所有r 阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 D ．A 的r 阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零。 12．向量组12,,,m ααα (m ≥ 2)线性相关的充分必要条件是（ ）。 A ．12,,,m ααα 中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 B ．12,,,m ααα 中有一个零向量。 C ．12,,,m ααα 中的所有向量都可以用其余向量线性表示。 D ．12,,,m ααα 中每一个向量都不能用其余向量线性表示。 13．向量组s ααα,21 ， ，的部分组r j j j ααα,2 1 ，， )(s r ≤是向量组s ααα,21 ， ，的一个极大无关组，则其必须满足（ ）。 A ．r j j j ααα,2 1 ， ，线性无关，s ααα,21 ， ，中至少有一个向量可以用r j j j α αα,2 1 ，，线性表示。 B ．s ααα,21 ， ，线性相关，s ααα,21 ，，中所有向量都可以用r j j j ααα,2 1 ，，线 7 性表示。 C ．r j j j ααα,2 1 ， ，线性无关，s ααα,21 ，，中所有向量都可以用r j j j ααα,2 1 ， ， 线性表示。 D ．r j j j ααα,2 1 ， ，线性无关，s ααα,21 ，，中所有向量都不可以用 r j j j α αα,2 1 ，，线性表示。 14．设A 为n 阶矩阵，T n T x x x X ),,,(21 =， 如果| A | = 0，则齐线性方程组AX = 0（ ）。 A ．无解 B ．有非零解 C ．仅有零解 D ．不能确定是否有非零解 15．三元线性方程组1231x x x ++=的全部解为（ ）。 A ．12111010001k k --?????? ? ? ? ++ ? ? ? ? ? ??????? （12,k k 为任意常数） B ．12011110101k k --?????? ? ? ? ++ ? ? ? ? ? ??????? （12,k k 为任意常数） C ．12111110001k k --?????? ? ? ? ++ ? ? ? ? ? ??????? （12,k k 为任意常数） D ．12111110101k k --?????? ? ? ? ++ ? ? ? ? ? ??????? （12,k k 为任意常数） 四、计算题： 1.解方程 081 1 2 132******** 2 =---x x x . 8 2.设213111110 1100 1 3 2 D --= -, 求 .2D 3.计算n 阶行列式 D = 11 000 0110000 00 1 10 000011 100001 . 4.设矩阵A ，B 分别为 A =23 1131001, 0 1 110 21 0 1B ---???? ? ? -= ? ? ? ?-? ?? ?.求 12)(-+B AB . 5.设,0 021 ??? ? ??=A A A 其中123 0132,010,450 1A A ?? ?? ? ==- ? ??? ?? ? 试求.1-A 6.求x ，y ，t ，u ，使得.34 2163??? ? ??+++???? ??-=???? ??u t y x u x u t y x 7.求矩阵X 使XA=B ，其中0 111332 1 0,4 32.11 112 5A B --???? ? ?== ? ? ? ?--? ?? ? 8.设X 为n 阶矩阵且满足AX - B = 0,试求X ,其中 .10 00 02 100023 1 0012210 1321 ,10 00 01100011 1 001111011111???? ?? ??? ? ? ?-----=?????? ???? ? ?= n n n n n n B A 9.设向量组),1,1,1,0(),0,0,1,1(),3,1,1,2(),1,0,1,1(4321--====αααα,试求此向量组的秩和它的一个极大无关组. 9 10．设A =113010 2230 ,3 01200 7 5 1-?? ? ? ? ??? 求Rank （A ）. 五、求解下列各题： 1.讨论齐次线性方程组AX =0，其中A =.,110 001100000 011 00001110000121?? ??? ?? ??= ???? ????? ? ? ?n x x x X 1）当n 为何值时，此方程组有唯一零解，或有非零解？ 2）求出当n = 4时方程组的全部解. 2.当λ取何值时，下面线性方程组有非零解，并求出此时的全部解. 123123123(2) 3 20 (8) 202 14(3)0x x x x x x x x x λλλ---=?? -+--=? ?+++=? . 3.试讨论下面方程组中λ取何值时,它有唯一解,无穷多解或无解,并求出有解时的全部 解: ??? ??=+++=+++=+++1 )1(1)1(1)1(321 321321x x x x x x x x x λλλ 4.设向量),,,0(),1,1,1(),1,1,1(),1,1,1(2 321λλβλαλαλα=+=+=+= 1) 当λ取何值时,β可用321,,ααα线性表示; 2) 当λ取何值时,β不能用321,,ααα线性表示. 5.当a,b 为何值时,方程组 ????? ??=-+++=+++=-+++=++++b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 54321 5432 5432154321334536223231 有无穷多解?并求此时的全部解. 10 6.求线性方程组 ????? ? ?-= ---=-+--=----=+-1 85737532124432 43214321321x x x x x x x x x x x x x x 的全部解. 7.求下面线性方程组的全部解: ????? ??-=-+=++=+----=-++10 3204210 310527 263432 321 43214321x x x x x x x x x x x x x x 8.当a,b 取何值时,下面三元线性方程组有唯一解,无穷多解或无解? ??? ??=++=++=++4 234 321 321321x bx x x bx x x x ax 六、证明题： 1.若n 阶矩阵A 满足A 2+ A - E = 0,其中E 为n 阶单位矩阵,试证矩阵A+E 为可逆矩阵. 2.设A 为n 阶矩阵且A n = 0 (n 为自然数)，则E - A 是可逆矩阵且 1 ) (--A E =12-++++n A A A E (其中E 为n 阶单位矩阵). 3.设321,,ααα线性无关,则133221,,αααααα+++亦线性无关. 4.设向量组)1(,,,21m ααα 与向量组)2(,,,,21βαααm 有相同的秩,则β可用m ααα,,21 线性表示. 5.证明线性方程组 ?????? ?=+=+=+=+2 42 131243 121b x x b x x a x x a x x 满足2121b b a a +=+时有解. 6.设A 为正交矩阵,试证其伴随矩阵*A 亦 . 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个) 线性代数综合练习题（一） 一、单项选择题 1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()1 1 1---?=B A AB (B) ())/1()/1(1 1 1---?=B A AB (C) ()1 11 ---?=B A AB (D) ()AB AB /11 =- 2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）. （A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 3 3)(?=ij a A ，????? ??+++=13 3312 321131 131211 232221a a a a a a a a a a a a B ，???? ? ? ?=10 0001010 1 P ，??? ? ? ? ?=10 1010 001 2P ，那么（ ）. （A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量 6. 若??? ? ? ? ?=21 25314 3212A ，其秩=)(A R （ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）T A 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似. （A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题 2009—2010学年第二学期 课名：线性代数（2学分） 一、填空与选择题(24分) 1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则 1 1030T A B --??-= ??? ______a b m n ) ()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300 m n T A B +-?? ??? （） 由拉普拉斯定理 ，分母为-1T A B ，所以得到a b m n ) ()3(+- 2、 设100220333A ?? ?= ? ??? ，其伴随矩阵为* A ，则()1*A -=____A 61______. 解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1 A A A =，() 1 *-1-1 11 6 A A A A A A -== =（） 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________. 解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-= 由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为 123 1533 410-3111-5-3-7λλλ=+-=??=+=??==?，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知2 53A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3 R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3 R 空间的一组规范 正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有 =5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值 线性代数综合练习题 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. =0 00110000 0100100 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 4．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若573411111 3263 478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于何值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是 . 3. 行列式 =0 1 011101010 0111 . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31232221 13 1211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D 5．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 6．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 安徽矿业职业技术学院 2011-2012学年第二学期期末考试 《工程数学-线性代数》试卷(C)（时间：120分钟） 课程所在系部：公共课教学部 适用专业：矿井建设与相关专业 考试形式: 闭卷(闭卷/开卷) 命 题 人：马万早 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式. 1 A -表示方阵A 的逆矩阵，R （A ）表示矩阵A 的秩。 一、填空题 （ 每小题2分，共20分） 1. 将行列式的行与列依次互换，行列式 。 2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，2，1，其余子式分别为9，6，2，则D= 。 3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件（1）是 ，（2）是 。 4. n 阶矩阵A 可逆的设A * 为A 的伴随矩阵，则A -1 = 。 5. 若n 阶矩阵满足2 40A A E +-=,则()1 A E --= 。 6. ()10234501?? ? ?= ? ??? ， ()10234501?? ? ?= ? ??? 。 7. 设向量组 321,,ααα线性无关，则向量组332211,,,,,βαβαβα线性 。 8. 设A 为三阶矩阵，若 A =5，则 1 -A = , * A = 。 9. n 阶方阵A 的列向量组为 n αααΛ,,21，则r(n αααΛ,,21) 。 10. 非齐次线性方程组A n m ?X=b 无解的条件是 。 二、选择题（10分，每题2分） 1． 1303 1 k k -≠-的充要条件是（ ） 。 （a ） k ≠2（b ）k ≠4（c ） k ≠2且k ≠4（d ）k ≠2或k ≠4 2. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ） (a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0 (c) （A+B ）（A-B ）=A 2 -B 2 (d) ( B+C)A=BA+CA 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法正确的是（ ） (a) A ,0≠ (b) 1-A 0≠ (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关 4. 设矩阵A =(a ij )n m ?，AX=0有非零解的充要条件是（ ） (a) A 的行向量组线性无关 (b) A 的行向量组线性相关 (c) A 的列向量组线性无关 (d) A 的列向量组线性相关 5. 向量组 s αααΛ,,21的秩为r,则下述说法正确的是（ ） (a) s αααΛ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 (b) s αααΛ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s αααΛ,,21可互相线性表示 (c) s αααΛ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s αααΛ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关 三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分） 1． 1112111221222122ka ka a a k ka ka a a ???? = ? ? ???? 。 （ ） 2． A 为任意的m n ?矩阵, 则A T A, AA T 不一定都是对称矩阵。 （ ） 3． s αααΛ,,21线性无关，则其中至少有一个部分组线性相关。 （ ） 4． 行列式 0002 00201602002000 = （ ） 5． 若两个向量组可不能线性表示，则它们的秩相等。 （ ） 四、计算 1．计算n 阶行列式（12分） 线性代数综合练习 一. 填空题 1. 1.设,135213241 111 5312-= A 1 352132*********-=B 则41424344A A A A +++= ，=+++44434241B B B B 。 41424344423A A A A +++= ，41424344235B B B B +-+= 。 详解： 41424344A A A A +++=414243441111A A A A ?+?+?+? 21351111 042311111 -== 414243442 1351 111 423042314231A A A A -+++= = 4142434421351 112 235042312135 B B B B -+-+= =- 2.设行列式2 2 35007022 220403--= D 则第4行各元素代数余子式之和为 。 4142434424 232135 2135 11 12000142314231111111 1 1 213213 21 (1)423009(1)99 11 111111 B B B B ++--+++= = --=-==-?=- 详解：41424344304022 22007001111 A A A A +++= =- 3、设A 的特征值为：1，─2，3，则2A 的特征值是 1A -的特征值 详解： 2，─4，6 11123 -，， 4、正交矩阵A 的行列式的绝对值等于 1 解答：对， ,(,)()()0,0T T T T T T T A A A A A A A A A E αλαααααααααααααα=?=====>≠22,(,)(,)(,)T A A A αλαααλαλαλααλαα=?=== 21λ∴= 二. 选择题 1. 设1200221011011k k ?????? ? ? ?=- ? ? ? ??? ?--?????? ，则k = (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选Ａ . 2. 设A =2145?? ???，0319B ??= ?-?? 则AB = (A) 18； (B) 18-； (C) 13 ； (D) 15. 详解：B 3. 设非齐次线性方程组Ax = b ，其中A m ?n 且R(A )=m 习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + Ox(-1)x(-1)+ 1X1X8 -lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a' ■ b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2~l*c'62-l ,a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba? — cb 2 — ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z>-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x +，)+ (” + y)yx - (x +，)' 一 d - =- 2(r + y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； (3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; (5) 1 3 …(2n -1) 2 4 …(2”)； (6) 1 3 …(2n — 1) (2”) (2n - 2)…2? 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元累之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数 2 0 1 ⑴ 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 (3) a b c a 2 b 2 c 2 ? t 线性代数综合练习题（五） 一、填空题 1. 已知???? ? ??-----=654032001A ，则=-1A 。 2. 设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 43211,1,1,1λλλλ，则行列式=--E B 1 。 3. 方程022321=++x x x 的规范正交解为 。 4. 设矩阵???? ? ??---k k 12115210611的秩为2，则=k 。 5. 设()T 0111-=α，()T 1112=α，()T 2113-=α是3 R 的一个正交基，则()T 143=β在此基下可线性表示为 。 二、选择题 1. 关于矩阵，下列命题正确的是（ ）。 （A ）若0=AB ，则0=A 或0=B （B ）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形 （C ）矩阵的标准形不惟一 （D ）若P 为初等矩阵，PB PA =，则)()(B R A R = 2. 下列命题正确的是（ ） （A ）n 维列向量组)(,,,21n m m >ααα 可以线性无关 （B ）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩 （C ）n 维列向量组)(,,,21n m m >ααα 必线性相关 （D ）若方阵0≠P ，则P 可逆。 3. 设A 为n 阶方阵，C 是n 阶正交阵，且AC C B T =，则下列结论不成立的是（ ）。 （A ）A 与B 相似 （B ）A 与B 有相同的特征向量 （C ）A 与B 有相同的特征值 （D ）A 与B 等价 4. 已知三阶矩阵A 的特征值为,4,3,2321-===λλλ其对应的特征向量分别是 321,,ξξξ，取),,(132ξξξ=P ，则=-AP P 1（ ） （A ）????? ??-400030002 （B ）????? ??-200040003 （C ）????? ??-400020003 （D ）???? ? ??-300020004 线性代数综合练习题 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共15分）: 1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。 （A ）??????????101001010； （B ）?? ?? ? ?????100101010； （C ）??????????110001010； （D ）?? ?? ? ?????100001110。 2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。 3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。 （A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； （C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。 4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31 A 2）-1有一个特征值等于 （ ）。 （A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41 。 5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。 （A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设矩阵A=?? ?? ? ?????100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。 2．已知线性方程组??????????-+2123212 1a a ???? ? ??=????? ??031321x x x 无解，则a = 。 第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、 (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) 第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1 2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中， 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式 线性代数综合练习题 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. =0 001100000100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 4．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 7 3 4 111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 1 011110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于何值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是 . 3. 行列式 =0 100111010100 111. 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D 5．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 6．若齐次线性方程组??? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 《工程数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其要求 ．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 第一章行列式 一、全排列及其逆序数（理解） 1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列） 2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题求排列32514的逆序数 解 3的逆序数为0； 2的逆序数为1； 5的逆序数为0； 1的逆序数为3； 4的逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 5 1 3 1 0= + + + + = t 二、n阶行列式的定义（理解） 定义设有 2 n个数，排成n行n列的数表， a11a12 (1) a21a22 (2) ……………… a n1a n2…a nn 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1 (-，得到形如 n np p p t a a a ???-2121)1( （1） 的项，其中n p p p ???21为自然数n ,,2,1???的一个排列，t 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n ！个，因而形如（1）式的项共有n ！项，所有这n ！项的代数和 n np p p t a a a ???-∑2121)1( 称为n 阶行列式，记作 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 ， 简记为)det(ij a ，数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。元素ij a 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 称为列标，表明该元 素位于第j 列， 三、行列式的性质（掌握） 记 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 ， nn n n n n T a a a a a a a a a D ? ??= 212221212111 行列式D T 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式。 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )? (4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ?????? 时间：120分钟 线性代数综合练习题 一、选择题(每小题 3分，共15分)： 1 ?设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得 B ,再把B 的第二列加到第 列得C ， 则满. 足 A Q=C 的可逆矩阵 Q 为］ ( )0 0 1 0 0 1 0 (A ) 1 0 0 ； (B ) 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 (C ) 1 0 0 ; (D ) 1 0 0 0 1 1 0 0 1 则必有( 2. 设 A 、 (A ) (B ) (C ) (D ) B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵， 的列向量组线性相关， 的列向量组线性相关， 的行向量组线性相关， 的行向量组线性相关， B 的行向量组线性相关; B 的列向量组线性相关; B 的行向量组线性相关; B 的列向量组线性相 关。 3. 下列向量集按 R n 中， R n 中， R n 中， R n 中， (A) (B) (C) (D) R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是( )o 坐标满足X 1+X 2+…+X n = 0的所有向量； 坐标是整数的所有向量； 坐标满足X 1+X 2+…+X n =1的所有向量； 坐标满足X 1 = 1，X 2，…，X n 可取任意实数的所有向量。 -A 2) -1有一个特征值等于 3 4 .设入=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵 ()o 5.任一个 4 ； 3 n 阶矩阵, (A )合同； 二、填空题(每小题 2 1 .设矩阵A= 1 0 3 1 (B ) - ； (C )- 4 2 都存在对角矩阵与它( (B )相似; 3分，共15分) 1 0 2 0，矩阵 B 满足：ABA *=2BA 0 1 1 (D ) — o 4 ) (C )等价; (D )以上都不对。 +E ,其中A *为A 的伴随矩 1 2 1 X 1 1 2.已知线性方程组2 3 a 2 X 2 3无解，贝U a 1 a 2 X 3 0 阵，E 是三阶单位矩阵，则 |B|= ________________ O 一、判断题 1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ） 2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ） 3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 4.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。 （ bA ） 6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ） 7.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ） 8.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ） 10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 （ bA ） 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 （ a ） 13.设12,s ηηηL 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12,s k k k L 为实数，满足121,s k k k ++=L 则1122x k k ηη=+L s s k η+也是它的解。 （ a ） 14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （ a ） 15. {} 1121212(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=L L L 设满足则1V 是向量空间。 （ a ） 16.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ）同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)
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