7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布
乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．3分钟的概率．不超过XX]5[0,解：设随机变量表示“乘客的候车时间”，则上的均
?..6)dx??P(0X?3)??0f(x于是有匀分布，其密度函数为服从],5,x?[015??x)f(?],5,x?[00?33
50
X:h)二、已知某种电子元件的使用寿命服从指数分布，概率密度为(单位x?1??e0;,x?800?)f(x ?800?,.0x?0? 1000h以上的概率．任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用、、AAA A分别表示“元件甲、乙、丙能解：设；表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”
?287.??e?e???P(A)P(X?1000)?0edx(PA)?P(A)8008004 321．则1000h使用以上”xx51???????
10002138001000)?P(AAA)?P(AA)?P(AA)A?(A)?PA?A?A)?P(A)P(A)?P(A)?P(AP(332111121322 323236380.287?0.287??3?0.287?3?0.
A以上”（另解）设．则表示“至少有１个电子元件能使用1000h xx51?????
????edx??e0.?e)P(X?1000?2878008004100080010005?
7130.1?e?)?1?P(X?1000?P(X?1000)4，进一步有从而有
33638713?01000)].?1?0.1P(A)??[P(X?
?st X)e(，有三、(1) 设随机变量及服从指数分布．证明：对于任意非负实数
P(X?s?tX?s)?P(X?t).
这个性质叫做指数分布的无记忆性．
Xe(01)．服从指数分布设电视机的使用年数．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上(2) 的概率．
?x??XR??x e?)?1F(x)xFX~e(()的分布函数．解：（１）因为，其中，所以，有为
st A?BAB?AtXA?X?s?tB??．根据条件，．因为都是非负实数，所以设及，从而概率公式，我们有
P(AB)P(A)P(X?s?t)1?P(X?s?t)?P?sP(X??tXs)?(AB??)?
P(B)P(B)P(X?s)1?P(X?s)?(s?t)?]e[?1?1?t?e??．?s?1?[1?e]另一方面，我们有
1 / 3
??tt??e?(1?e)?(X?t)?1?F(t)?1)P(X?t)?1?P(X?t?1?P．
综上所述，故有
P(X?s?tX?s)?P(X?t)．
X的概率密度为（２）由题设，知
?0.1x?，1ex?0；0.f(x)??x?0．0，?s年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用设某人购买的这台旧电视机已经使用了
5年以上的概率为
?????0.1x?0.1x???0.5???xf()dx?0.1?e?ee0.6065dx)s(PX?s?5X?)?P(X?5??．5550.6065．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为X B(3, 0.4)，求下列随机变量函数的概率分布：服从二项分布四、设随机变量X(3?X)?Y X21?Y?．（ 1）2）；（212X的分布律为解：
3
X(3?X)?Y的分布律为（2）22
即
Y 0 1
2p0.280.72
X五、设随机变量的概率密度为2?,x?0;?f(x)?2?)?1(x??x?0.0,?Y?lnX的概率密度．求随机变量函数
yy)eF?Xe)?((?yXP)?(?y(F)PYy?(ln?)P解：因为XY XlnY?所以随机变量函数的概率密度为2 / 3
y e2''yyyy) (???y????()?F(fy)?(y)F(ee?fe)e，即XYYy2?)(e1?y e2f(y)? (???y???)．Y2y?(e?1)
3 / 3
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ， 00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分 (,)z y f x y dx --∞ ?作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-???? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞ =-? （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞ =-? ， （1.5） 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y F z f z y f y dx f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的密度函数。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积，常记为*()X Y f f z 。因此式（1.6）又称为独立和分布的卷积公式。 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），又X Z Y =，现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 1 2 (){} (,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1） 而 1 (,)(,)yz D f x y dxdy f x y dxdy +∞ -∞=?? ? ? （2.2） 对于固定的z ，y ，积分 (,)yz f x y dx -∞ ?作换元x u y = （这里y>0），得 (,)(,)yz z f x y dx yf yu y du -∞ -∞ =?? （2.3） 于是 01 (,)(,)(,)z D z f x y dxdy yf yu y dudy yf yu y dydu +∞-∞+∞ -∞==????? ? （2.4） 类似的可得 2 (,)(,)(,)yz D z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dydu +∞ -∞-∞-∞ ==-??? ? ? ? (2.5) 故有 12 0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z z F z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du +∞-∞ -∞ +∞-∞-∞ =+=-=?????? ? ?? (2.6) 有概率密度定义可得X Z Y = 的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞ -∞ =? (2.7) 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞-∞ =? (2.8) 随机变量及其概率分布(1) 【教学目标】 1、在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散性随机变量及其概率分布的概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 3、提高学生的抽象概括能力，提高数学建模的能力，提高学生应用数学的意识。 4、随机变量是客观世界中极为普遍的，通过对各种现象及事件a 的分析，培养严谨的逻辑思维能力，激发学生学习兴趣，初步认识数学的应用价值、科学价值，并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。 【教学过程】 1、相关知识回顾： （1）随机现象： 在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先也不能断定出现哪种结果的现象 （2）基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果 （3）古典概型： 我们将具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件发生的概率相等. 满足这两个特点的概率模型称为古典概率模型 2、新课引入： （1）在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是0，1，…，10中的某个数； （2）抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数； （3）新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女。如果将男婴用0表示， 女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数； 上述问题有哪些共同特点？ 上述问题中的X ，Y ，Z ，ε实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射。 例如：上面的植树问题中成活的树苗棵数X ： X=0，表示成活0棵； X=1，表示成活1棵；…… 思考：“X>7”表示什么意思？ 3、新授： 知识点1：随机变量： 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量。 通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ζηε,,）等表示，而用小写拉丁字母z y x ,,（加上适当下标）等表示随机变量取得可能值。 引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。 注：（1）随机试验中，可能出现的恶结果都可以用一个数来表示。如掷一枚硬币，“正 第二章：随机变量与分布函数习题 一、“离散型随机变量与分布函数”习题： 1. 射手对靶子进行射击，用X 表示击中的环数，已知击中一环的概率为0.2，击中两环的概率为0.8；求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）()()10,1≤<≥X P X P . 2. 射手对靶子进行射击，一次射击的命中率为0.8，现在连续射击三枪，用X 表示三枪中命中的次数，求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）A “至少命中两枪”的概率. 3. 设随机变量X 的分布函数为 ()()???? ???≥<≤<≤--<=≤=31 318.0114.010 x x x x x X P x F 求：X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为 ()??? ? ????? >≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求：（1）A =？ （2）??? ??<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为??? ? ??--22121101q q ； 求： （1）q=？ （2）X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为 0.1，求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列. 7. 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数；分别求X 与Y 的分布列. 8. 设随机变量X ~()p B ,2， 随机变量Y ~()p B ,3； 已知()9 5 1=≥X P ， 求：()1≥Y P . 二、“连续型随机变量与分布函数”习题： 1. 设()()??? ??<>≥=-00 0,0212 x a x e a x x f a x ； ()?????<<=其他0 0cos 21 2 πx x x f ； ()????? <<-=其他0 22cos 3ππx x x f ； （1） 以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数？ 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2 A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2 Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.doczj.com/doc/83491625.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1 第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数，且x R ?∈， {}()X x ωω≤是随 机事件，则称()X X ω=为随机变量，而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴．非负性: x R ?∈，有0()1F x ≤≤； ⑵．规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=； ⑶．单调性: 若12x x ≤，则12()()F x F x ≤； ⑷．右连续性: x R ?∈，有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1．离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量 两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数 一、两个随机变量的和的分布 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分(,)z y f x y dx --∞ ? 作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-? ??? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞ -∞ =-? 注意：积分限为?∞到+∞ （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞ -∞ =-? 注意：积分限为?∞到+∞ （1.5） （1.4）与（1.5）相当于分别在 x z y y z x =-=-或条件下，求X 或Y 的边缘概率密度。 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y f z f z y f y dy f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的边缘概率密度。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积公式，常记为()*()X Y f z f z 。因此式（1.6）又称为独立随机变量和的分布的卷积公式。 二、两个随机变量的商的分布 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,) 2.0()8.0(33=-k C k k k ； 2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ； 3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F ； 4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布 函数)(x F = 0 10.2 120.5 231 3x x x x =λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1 1 -=b λ. 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5 10 41 ===-k C C k X P k 所以X 的分布列为 随机变量及其分布问题 1、假设随机变量X 的绝对值不大于1，1(1),8P X =-= 1 (1).4 P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X 的分布函数()()F x P X x =≤ 解：当1x <-时，()0F x =。 当1x =-时，()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1 (1)8 P X x = +-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8 P X P X P X -<<=-=--==， 因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<< (11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<< 5155 8216 x x ++=?= ， 于是，得 5155 ()8216 x x F x ++=?= 当1x ≥-时，()1F x =。 故所求分布函数为 0, 1 55(), 11161, 1 x x F x x x <-??+? =-≤≤??≥?? 评述 分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律，这里的随机变量包括离散 型、连续型和混合型在类。 2、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿号灯的路口，每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两 种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。 解 设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”（i =1，2，3）。依题意，1A ，2A ，3A 相互独立。X 的可能取值是0，1，2，3。于是，得X 的概率分布为 11 (0)(),2 P X P A === 第2章随机变量及其分布习题解答 一．选择题 1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )． A ．0()1F x ≤≤． B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=． C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=． D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=． 2．函数()0 212021 0 x F x x x <-??? =-≤ 5．设X 的分布律为 而(){}F x P X x =≤，则F =( A )． A ．0.6． B ．0.35． C ．0.25． D ．0． 6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==． D ．()()P X x F x ==． 7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )． A ．0( )1p x ≤≤． B ．单调不减． C ． ()1p x dx +∞ -∞ =?． D ．lim ()1x p x →+∞ =． 8 ．为使 x 1()0 1p x x ?=??≤? 是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )． 1 第三章二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数 1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质 (1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减. (2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x 1 随机变量的概率分布 一、填空题 1．某射手射击所得环数X 的概率分布为 解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 0.79 2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________． 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1， 得P (X ＝0)＝1 3. 答案 1 3 3．(优质试题·常州期末)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为： 则q 的值为________解析 由概率分布的性质知??? ?? 2－3q ≥0， q 2 ≥0， 13＋2－3q ＋q 2 ＝1， 解得q ＝32－33 6. 答案 32－33 6 4．设离散型随机变量X 的概率分布为 解析由概率分布的性质，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0， ∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0) ＝P(X＝4)＋P(X＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5. 答案0.5 5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”事件可以表示为________． 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案ξ＝6 6．(优质试题·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是________． 解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布 问题，故所求概率为P＝C23C14 C37＝ 12 35. 答案12 35 7．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________． 解析设X取x1，x2，x3时的概率分辊为a－b，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a 第三章多维随机变量及其概率分布 内容介绍 本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。 考点分析 内容讲解 §3.1多维随机变量的概念 1. 维随机变量的概念： 个随机变量，，…，构成的整体＝（，，…，）称为一个维随机变量， 称为的第个分量（）. 2.二维随机变量分布函数的概念： 设（，）为一个二维随机变量，记 ，，， 称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数. 记函数＝ ＝， 则称函数和为二维随机变量（，）的两个分量和的边缘分布函数. 3. 二维随机变量分布函数的性质： （1）是变量（或）的不减函数； （2）01，对任意给定的，；对任意给定的，； ，； （3）关于和关于均右连续，即. （4）对任意给定的，有 . 例题1. P62 【例3－1】判断二元函数是不是某二维随机变量的分布函数。【答疑编号12030101】 解：我们取, = 1-1-1+0=-1<0,不满足第4条性质，所以不是。 4.二维离散型随机变量 （1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（），（＝1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量. （2）分布律： ① 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（＝1，2，…），（X，Y）的各个可能取值的概率为 ，（＝1，2，…）， 称，（＝1，2，…）为（X，Y）的分布律. （X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式 ②（X，Y）分布律的性质 [1] ，（＝1，2，…）； [2] 例题2. P62 【例3－2】设（X,Y）的分布律为 求a的值。 【答疑编号12030102】 解： 随机变量及其概率分布、超几何分布 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．设X 则q的值为________ 2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为________． 3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a 2k ，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4) ＝________. 5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，若P(X＝k)＝C4 7 C6 8 C10 15 ，则k＝________. 6 7．某电子管正品率为34，次品率为1 4 ，现对该批电子管有放回地进行测试， 设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝______. 8.如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝_______. 二、解答题(共42分) 9．(12分)袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求随机变量ξ的概率分布． 10．(14分)设离散型随机变量ξ的分布列P ? ? ???ξ＝k 5＝ak ，k ＝1,2，3,4,5. (1)求常数a 的值；(2)求P ? ? ???ξ≥35； (3)求P ? ????1 10 <ξ<710. 11．(16分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． (1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的概率分布； (2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率． 《2.1 随机变量及其概率分布》教案 教学目标: 1?理解离散型随机变量的分布列的意义,会求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2?掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质,并会用它来解决一些简单的问题. 3. 理解三个分布的意义. 教学重点: 离散型随机变量的分布列的意义及基本性质. 教学难点: 分布列的求法和性质的应用. 教学过程; 一．复习引入: 1.随机变量 2.随机变量常见的类型 二?离散型随机变量及其分布: 1. 如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1,x2,…,x n;X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率为p1,p2,…,p n,则称表 2. 离散型随机变量的分布列的两个性质: ⑴; ⑵. 例:某人射击4发子弹,击中目标则停止射击或直至射击完毕,该人每次击中目标的概率为0.8,求(1)该人射击子弹的分布列;(2)P{X<3},P{1 2.二项分布 定义若随机变量X的可能取值为0,1,…,n,而X的分布律为 其中0随机变量及其分布函数
两个随机变量和与商的分布函数和密度函数
2.1随机变量及其概率分布(1)
第二章随机变量与分布函数习题
二维随机变量及其分布题目
第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文
联合概率分布：离散与连续随机变量
随机变量及其概率分布
两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数
第二章随机变量及其函数的概率分布
概率论与数理统计随机变量及其分布问题
随机变量及其分布习题解答
二维随机变量及其概率分布
随机变量的概率分布
自考概率论与数理统计多维随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布、超几何分布
《2.1 随机变量及其概率分布》教案
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