椭圆讲义及例题
7.椭圆
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。.
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若
)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.
2、椭圆的标准方程
1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，其中
222b a c -=；
2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
x a y )0(>>b a ，其中
222b a c -=；
注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴
上；
②两种标准方程可用一般形式表示：22
1x y m n
+= 或者 mx 2+ny 2=1 。
3、椭圆：122
22=+b
y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122
22=+b
y a x )0(>>b a ：
是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为
对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆
122
22=+b
y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和
短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a
c
a c e ==
22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 注意：椭圆122 22=+b y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）： 假设已知椭圆方程122 22=+b y a x （0,0a b >>），且已知椭圆的准线方程为 2 a x c =±，试推导出下列式子：（提示：用 三角函数假设P 点的坐标 e PM PF PM PF == 2 21 1 4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有 e PM PF PM PF ==2 21 1 5、椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线； 椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点； 离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。 6.直线与椭圆的位置关系 1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式?来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。 7.椭圆方程的求解方法 1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,a b 或者,e c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。先定型，再定量，当焦点位置不确定时， 应设椭圆的标准方程为12222=+b y a x （0a b >>）或22 221y x a b +=（0a b >>）；或者 不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 （0,0,m n m n >>≠），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。但是需要注意的是m 和n （或者11m n 和）谁代 表2a ，谁代表2b 要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：2 22 a b c =+， c e a =等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。 2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。 课上例题： １． 方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 ２． 已知点A （4,0）和B （2，2），M 是椭圆22 1259 x y +=上的一动点，则 |MA|+|MB|的最大值是 3. 求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。 4. 已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若 ?=∠6021PF F ，求21F PF ?的面积． 5. 已知椭圆22 12516 x y +=，M 为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，求线段1MF 的中点P 的轨迹方程。 6. 7. （教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标 椭圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 －a≤x≤a－b≤x≤b 概念方法微思考 1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？ 提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示 由e ＝c a ＝ 1－????b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大， 椭圆越圆． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编 2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 2 10＝1 B.x 225＋y 2 20＝1 C.x 210＋y 2 15＝1 D.x 220＋y 2 15 ＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2 4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形 的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三 易错自纠 5．若方程x 25－m ＋y 2 m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3) 6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10 5 ，则m 的值为________． 椭圆知识点及经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数??? ? ??==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和 222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ， )0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把 y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分 别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 第八单元统计 单元教学内容：课本P106～114页，第八单元（统计） 单元教材分析： 继续认识条形统计图（一格代表五个单元）和简单的复式统计表。 本单元选择了与学生生活有密切联系的生活场景，激发学生学习兴趣。如，学校组织学生检查身体、对街头过往车辆的调查、彩电的销售情况统计等。例题的编排力求使学生经历统计过程，又从中进一步了解统计的方法，认识统计的意义和作用，同时渗透一些生活基本常识，如不偏食、注意用眼等等，使学生明确统计的知识是为生活服务的。本册教学内容更加注重对统计数据的初步分析。在教学时，教师要注意让学生经历统计活动的全过程，要鼓励学生参与到活动之中，在活动中不断培养动物实践能力和独立思考能力，并加强与同伴的合作与交流。 单元教学目标： １、使学生体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义，会用简单的方法收集和整理数据。 ２、使学生初步认识统计图（一格代表五个单位）和简单的复式统计表，能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能够进行简单的分析。 ３、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 单元教学重点：认识简单的复式统计表。 单元教学难点：完成以1格代表5个单位的统计表的制作。 单元课时安排：3课时 第一课时统计（一） 课题统计（一） 教学目标1、使学生体验调查和收集、整理数据的过程，会用简单的方法收集和整理数据； 2、学生填写比较简单的复式统计表，能根据统计表中的数据提出并回答简单的 问题。 3、通过对周围现实生活有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的实 践能力和参与意识。 教学重点 填写简单的复式的统计表 教学难点 教学准备课件、相关表格 教学方法小组合作实践 教学课时一课时 教学流程 教学环节教师活动修订栏 导入一、问题情景，导入新课 １、多媒体课件出示例１主题图，问：图上的小朋友在干什么？你们测量过体重吗？测量了几次？ ２、一年级刚入学时，你测量的体重是多少？（学生自由汇报各自的体重情况） ３、怎样才能让大家一看就明白我们班所有人的体重情况呢？ 教学过程二、活动体验，探究新知 １、电脑出示统计表（１）： ２、活动结束后，师生共同将收集的数据整理后填入表格中。 ３、二年级时，我们的体重有什么变化呢？ 电脑出示统计表（２） 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >> 7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1 22 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 第八单元平均数与条形统计图 大家好，我是实验小学的，很荣幸今大能有机会和大家一起分享交流四年级下册第八单元《平均数与条形统计图》的知识。 今天我将从课程在小学阶段所处的位置、教学内容分析、教学目标、教学建议这几大块来讲述。 一、课程在小学阶段所处的位置和变化 1、在一二年级学过简单的分类理和数据收集，三年级学了统计表，在四年级上学我们学习了条形统图,为我们本学期学复式条形统计图奠定了基础，在之后五六年级要续学习相关知识，以本单元可谓是承启下。 2、与实验教村相比，修订教材对平均数的处理更加突出其统计意义。在例题2的编排方式，通过两对人数不同，不能用总数比较这一矛盾，促使学生进一步理解平均数的意义，进而发现运用平均数作比较的必要性，通过平均的比较，学生可以看出，虽然女生队的踢总数比男生对少但女生踢的平均数大于男生队，所以女生队的成绩好，由此可以出平均数是反映组数据的总体情况的很好的统计量。在习题的编排里也增加了不学生理解平均数统计意义的题目。 3、体现复式条形统计图的特点，丰富其现形式。 学生在前面已经掌握了复式统计表和单式条形统计图在础上例题3让学生把两个单式条形统计图合并，从面形成种所的统计图也就是复式条形统计图，在骗排上注原实出复式条形统计图便直观比两类 事物这一特点在画法上也突出了解到统计图呈现方式多样性。 二、教学内容分析 本单元主要分为两大块，第一块是关于平均数：第二块就是复式条形统计图。 木单元的主要内容有认识平均数平均数的意义和求法，用平均数比较数据间的整体情决实际问；复式条形统计图。平均数是一个重要的刻画数据集中势的统计量。小学数学所讲的平均数一般是指算术平均数也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。既可以反映一组数据的般情况，也可以用来进行不同数据的比较，从而看出两组之间的差别，用平均数表示一组数据的情况比较直观简明，所以在日常生活中经常用到，比如平均速度半均身高平均成绩等。平均数是在我们三年级学习的平均分及除法运算含义的基础上进行学习的，平均数的概念与以前学的平均分完全不一样。 平均分与平均数的区别。 平均分的结果是真实存在的，每个数量都一样多。例如我们把20个练习木平均分给5个学生，每人分得4本，4是实际；平均数是一个虚拟的数，并非真实存在，是假设各个数量都一样多，但是同样20个本5个学生，平均每个学生得4本，这个4就是平均数，实际上不一定每个学生都有四个本子。 本单元的另一个内容是认识复式条形统计图并维续注意结合实际问题进一步进行简单的效据分析做出合理的判断和决策分析，这样把数据分析与解决问结合在一起，使学生更好的理解统计在解决问题 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=- 椭圆讲义 １、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± ３、设M 是椭圆上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则 12 12F F e d d M M ==. 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 １．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. ? 举一反三:【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则Ｐ到另一个焦点的距离＝ ＿__＿____ 【变式2】椭圆 125162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点,则1ABF ?的周长1ABF C ?=_＿＿＿___＿__＿. ? 【变式3】已知椭圆的方程为 1162 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则ｍ的取值范围是（ )。? A ．-4≤m ≤4且m ≠0 B ．-4<ｍ＜4且m ≠０ C.m ＞4或m ＜－4 D ．０＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx ２ +３ｙ2 －6ｍ=０的一个焦点为（0,２)，求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 ２. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、（4，0),椭圆上一点Ｐ到两焦点距离的和是10; （2)两个焦点的坐标是（0，－2）、(0，2）,并且椭圆经过点?? ? ??2523-，。? 举一反三:【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，,且椭圆经过点）（0,5。 【变式２】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点,并且经过点(３,－２),求此椭圆的方程。 3.求经过点P （－3，０）、Q(０，２）的椭圆的标准方程。? 举一反三:【变式】已知椭圆经过点P （2,0)和点)2 3 3,1(Q ,求椭圆的标准方程。 4.求与椭圆4x 2 +9y 2 =36有相同的焦距,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程。? 【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是( ) A. 1353622=+y x B ．135 362 2=+x y C.13622=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3,0)点，离心率3 6 = e ,求椭圆的标准方程。? 【变式3】长轴长等于2０,离心率等于5 3 ,求椭圆的标准方程。 圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程：c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C) a b 注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上； 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质： 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆； e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上， 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1), 第八单元集体备课 一、教材分析： “第八组”教材单元主题是“走进科技世界”。分别由29课《数星星的孩子》、３０课《爱迪生救妈妈》、31课《恐龙 的灭绝》、32课《阿德的梦》（略读课文）和《语文园地八》组成。单元导语是这样写的：在我们身边处处有科学：夏天下雨，冬天下雪，这是为什么呢？在炎热的天气中，刚从冰箱里拿出来的雪糕，会冒出白气，这是怎么回事？让我们去观察， 去思考，去发现身边的科学吧！张衡在远古的汉朝“数星星”之后，发明了世界上第一台预测地震的“地震仪”。伟大的发 明家爱迪生在幼小的时候就表演出超凡的智慧，用镜子聚光救了妈妈。让孩子们津津乐道的恐龙竟然会跑到书本上来。阿德 乘坐飞船到火星上去旅游，那可是小家伙们最感兴趣的事情了。我们感叹编写教材者的韬光眼界、匠心别具。但实验教师在 整体把握这组教材的前提下，在具体教学时，请大家不要忽视语文的本质──发展学生的语言。语文课要姓“语”，不要把语 文课上成科学课、常识课。 二、教学目标： 1、认识56个生字，会写30个生字。 2、引导学生尽量自己去认字，在认字中发现规律，掌握了一定的认字规律。方便今后的认字学习。 3、正确、流利、有感情地朗读课文。在朗读中理解和积累词句。 4、培养对自然界的一些现象进行科学探究的兴趣和愿望。引导学生科学幻想的意识。 三、教学重点、难点： 1、认识56个生字，会写30个生字。 2、正确、流利、有感情地朗读课文，在朗读中感悟。 3、培养学生对科学感兴趣，用智慧的目光去观察、发现身边的科学。 4、用正确的默读方法进行阅读是教学的难点。 四、教学方法指导： 1、注重鼓励学生自主运用多种识字方法自主识字，培养学生自主识字的兴趣和能力。 2、将识字识词和生活联系起来，在生活中识字识词，进行词语互换丰富积累。 3、围绕重点词、句子进行教学，指导学生感情朗读，培养学生对语言的感悟能力。 4、充分利用学习伙伴，加强语文学习与学生生活联系，启发学生进行多元思考。 五、教学安排：13～16课时 1、数星星的孩子2课时 2、爱迪生救妈妈2课时 3、恐龙的灭绝2课时 4、阿德的梦2课时 语文园地八3课时 六、教学目标： 《数星星的孩子》 1、会认9个生字，会写12个字。 2、分角色有感情地朗读课文，体会故事的情趣和蕴含的道理。 3、学习张衡从小善于观察和思考的好品质。 4、激起学生对宇宙奥妙的幻想，发展学生的想象能力，培养学生刻苦钻研的学习精神。 教学重难点： 1.在理解课文内容的基础上,学习张衡刻苦钻研、持之以恒的精神,培养学生仔细观察事物,认真观察自然现象是教学的重点。 2.天文知识比较难懂,是教学难点。 《爱迪生救妈妈》 1、会认11个生字，会读生字组成的词语，会写“夸奖、斥责”这四个字。 2、正确、流利朗读课文。在朗读中找出爱迪生救妈妈的句子从而理解“恍然大悟”的意思，能用上学过的词语说说爱迪生救妈妈的办法。 3、从爱迪生想出的办法中领会他的聪明，爱动脑、多动手、善发现的意识。 教学重难点： 在朗读中感悟，用上积累的词句说说爱迪生救妈妈的办法，领会爱迪生的聪明可爱。在词语教学中，紧紧结合《课程标准》中“阅读”的阶段目标——结合上下文，在阅读中积累词语、运用词语。对有些词语采用读对话、看图，各种形式的说话练习的手段来理解。 《恐龙的灭绝》 1、认识15个生字，理解词语，能正确书写“严、寒、谜”。 2、正确、流利地朗读课文，理解其中两种说法，并能进行复述，明白其中的逻辑关系。 3、有对恐龙的灭绝等自然现象进行科学探索的兴趣和愿望。 教学重难点： 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α，0cos 1>-α ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α sin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03， -A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程：17162 2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 椭圆及其标准方程 【学习目标】 1． 知识与技能目标： 掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力． 3． 情感态度与价值观目标： 通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神． 【要点梳理】 要点一：椭圆的定义 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 要点诠释： （1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点； （2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程 要点诠释： 1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-； 3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -； 4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简． 以焦点在x 轴上的方程22 221x y a b +=(0)a b >>为例． (1)建系 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)． （2）设点 设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． 椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M 二年级下册第八单元集体备课讲稿 本单元主要由三篇课文和一个口语交际，语文园地组成。三篇课文分别是诗歌《祖先的摇篮》、童话故事《当世界还小的时候》、神话故事《羿射九日》。细读文本，我们发现，三篇文章解决的共同的问题是“我们生活的这个世界最开始是什么样子的？”《祖先的摇篮》能读出作者思考的方向是：我们的祖先生活在哪里？我们的祖先是怎样生活的？读《当世界年纪还小的时候》能感受到作者所思：我们生活的世界，是如何有序运转的？《羿射九日》这个古老的神话故事，能让我们发现：故事中的主人公有这样一种精神，他勇于担当，不畏艰辛。为什么天上太阳？ 我们可以梳理出两条主线，一个是人文主题：世界之初。当我们和学生一起读完本组的课文，我们应该在学生的心中埋下这样一颗种子——关于世界，我有许多的好奇。我可以无限想象，也可以立志去探索，还可以去创造… 通过对课后题的审视，我们还可以梳理出另外一条语用点的主线。 《祖先的摇篮》课后题第一题：课文的朗读要求。第二题：指向单元的语言训练点，能展开想象，练习仿说。能根据提示展开想象，练习讲述。第三题：训练的是动词的恰当使用。指向语言的积累。《羿射九日》课后第一题：指向默读要求。第二题：根据表格提示，按事情发展顺序复述故事。关于复述故事每个年级都有不同的要求。 口语交际“口语交际”：推荐一部动画片。指向说与听的训练。《语文园地八》在识字加油站部分，识记生字方法的总结。“字词句运用”落实词语积累并运用词语说句子。课文中学习的想象画面的方法在字词句运用中来实践。“我的发现”指向年段目标“学习独立识字”。“日积月累”指向阅读积累。选编的古诗，也是契合了本单元的主题，通过读古诗，想象画面。“我爱阅读”则指向课外阅读理解。高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)
高中椭圆讲义
椭圆知识点及经典例题
最新新人教二年级数学下册第八单元教学设计讲课讲稿
椭圆典型题型归纳(供参考)
高中数学椭圆讲义及例题
椭圆知识点总结附例题
人教版四年级数学下册第八单元 单元备课策略集体备课解读稿
高中理科椭圆的典型例题
椭圆讲义(学生版)
椭圆知识点总结及经典习题.docx
二年级语文下册第八单元集体备课稿
人教A版高二数学选修21第二章第二节椭圆经典例题汇总
【精品】高中数学选修1-1 椭圆及其标准方程 知识讲解 讲义+巩固练习
高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题
二年级下册语文第八单元集体备课材料
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