椭圆讲义与练习
题型一：椭圆的第一定义与标准方程
例1 、椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142
2=+y x ；
（2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116
42
2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，
； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482
=a ，
372
=b ，在得方程
13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137
1482
2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
由已知b a 2=． ①
又过点()62-，
，因此有 ()16222
22=-+b a 或()12622
22
=+-b
a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=
b 或522=a ，132
=b ．故所求的方程为
13714822=+y x 或113
522
2=+x y ． （2）设方程为12222=+b
y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182
=a ．故所求方程
为
19
182
2=+y x ．
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置
是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
例2、已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，
即定点()03，
-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：
17
1622=+y x ． 变式练习：已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为
3
5
4和3
5
2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=
PF ，3
5
22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=
a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F
PF Rt ?中，21sin 1
221=
=
∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3
5
26cos 21
=?=πPF c ，从而3
10
2
2
2
=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+
y x 或1510322=+y x ． 例3、已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由??
?
??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< ∴满足条件的k 的取值范围是53< 说明：本题易出现如下错解：由?? ?<-<-, 03, 05k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 变式练习： 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ．∴满足条件的4=k 或4 5-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 总结区：求椭圆方程的总结： 题型二：第二定义的应用及焦半径，焦点弦和焦点三角形问题 例4、 椭圆112 162 2=+y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标． 分析：本题的关键是求出离心率2 1 =e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e AM 1 + 均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2 1 =e ，右准线 8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=． 显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所 以() 332，M ． 说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2 1 = e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值． 变式练习：已知椭圆15 92 2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解． 解： (1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22= AF ，设P 是椭圆上任一点，由 6 221==+a PF PF ， 2 2AF PF PA -≥， ∴ 26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线． 由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线． 建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组?? ?=+=-+45 95,022 2 y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214 15 75,2141579(2 -+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时， 2PF PA +取最大值26+． (2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ， ∴32= e ．由椭圆第二定义知3 2 2==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+ 22 3 ，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29 =x ． ∴A 到右准线距离为 2 7 ．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,5 5 6( ． 说明：求21 PF e PA + 的最小值， 就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段． 例5、设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和 右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．并由此证明椭圆上的点到焦点距离最远和最近的点都在顶点。 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离． 解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，c a x PQ 2 0+=， 由椭圆第二定义， e PQ PF =1， ∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式． 变式练习：（06四川）如图，把椭圆 22 12516 x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 127......PF P F P F +++=_____ 【解析】只需取椭圆的另一焦点与1P ,2P ,……7P 七个点分别连接，由结论1和对称性 可知：()127 1 (145352) PF P F P F +++=??= 例6、 已知椭圆 13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1 = e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知： 111212x ex a MF -=-=，1122 12x ex a MF +=+=．∵212 MF MF MN ?=， ∴()?? ? ??+??? ??- =+112 12122124x x x ．整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5 12 1- =x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设() θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2 1 = ?求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2 2 1F F 2 221PF PF +=12PF -·2 24cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2 得 α cos 122 21+=?b PF PF ． 故αsin 21212 1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212+= b 2 tan 2α b =． 变式训练： 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且?=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为 12 2 22=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1 212=+-= ?PF PF PF PF K K K K ，设 ),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212 121=--+c cy y x ．又122 122 1=+b y a x ，两方程联立消去2 1x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ?的面积，但这一过程很繁． 思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=， 在21F PF ?中运用余弦定理， 求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ?的面积． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解． 解：(法1)设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ， 0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ?中，由余弦定理得) )((24)()(2160cos 112 2121ex a ex a c ex a ex a -+--++==?， 解得2 222 134e a c x -=．(1)∵],0(2 21a x ∈， ∴22 22340a e a c <-≤，即042 2≥-a c ．∴2 1≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,2 1 [∈e ． (2)将2 222 134e a c x -=代入12222=+b y a x 得242 13c b y =，即c b y 321=． ∴2 221333221212 1b c b c y F F S F PF =??=?=?．即21F PF ?的面积只与椭圆的短轴长有关． (法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF ，β=∠21F PF ， 则?=+120βα．(1)在21F PF ?中，由正弦定理得 ?==60sin 2sin sin c n m βα．∴? =++60sin 2sin sin c n m βα ∵a n m 2=+，∴ ? =+60sin 2sin sin 2c a βα， ∴2 cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+? = +?== a c e 212 cos 21≥-=βα． 当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,2 1[∈e ． (2)在21F PF ?中，由余弦定理得： ? -+=60cos 2)2(222mn n m c mn n m -+=22mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+，∴mn a c 3442 2 -=，即2223 4 )(34b c a mn =-= ． ∴2 3 360sin 2121b mn S F PF =?= ?．即21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关． 说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现 21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问 题找到解决思路． 例8、设F 1、F 2为椭圆22 194 x y +=＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|,求 12|| || PF PF 的值. 解:由题意126PF PF += ，12F F =若21PF F ∠为直角，则2 2 2 1212PF PF F F =+，即() 2 2 11620PF PF =-+ 得1143PF = ，24 3PF =，故1272 PF PF = 若12F PF ∠为直角，2 2 2 12 12F F PF PF =+，即()2 2 11206PF PF =-+ 得14PF =，22PF =，故 1 2 2PF PF = 注：该题易忽略12F PF ∠为直角，想当然的认为只是21PF F ∠为直角 题型三：椭圆的离心率问题 例9、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c ∴223a c =，∴3 331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列 含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 变式训练：设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点， 212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为11 3 OF ．求椭圆的离心率． 解：易得a = ，从而有2 2= e 例10、 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点 P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程． 解：设椭圆的参数方程是?? ?==θ θ sin cos b y a x )0(>>b a ， 则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴ 1cos sin cos sin -=-?a a b a b θθ θθ， 即0cos cos )(2 2 2 2 2 =+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2 22 cos b a b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112 22<-<-b a b ，又2 22c a b -= ∴2022 < a ，∴22>e ，又10< 122< 2 (，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？ 选作思考：已知椭圆()0122 22>>=+b a b y a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化， 120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因 此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据 120=∠AQB 得到 322 22-=-+a y x ay ，将2222 2y b a a x -=代入，消去x ，用a 、 b 、 c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成． 解：（1）设()0， c F ，()0，a A -，()0，a B ． ? ??? ??????=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP +=2，() a c a b k BP -=2 ． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()() 222 2 24 2 221tan c a a c a b a c a b a c a b APB -=-++- -=∠ ∵22c a >∴2tan -<∠APB ，故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA += ，a x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角． ∴2 222 2 221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++- -=∠ ∵ 120=∠AQB ， ∴ 322 22-=-+a y x ay 整理得() 0232 22=+-+ay a y x ∵2 222 2 y b a a x -=∴0213222=+??? ? ??-ay y b a .∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232.232c ab ≤，()222234c c a a ≤- ∴04444 2 24 ≥-+a c a c ，04432 4 ≥-+e e ∴2 32 ≥ e 或22 -≤e （舍），∴136<≤e ． 例11、 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ，∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 变式训练：椭圆 19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴ 5 18 54554521=??? ??-+??? ?? - x x ，即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为?? ? ? ? +2421 y y ，，所以它的垂直平分线方程为： ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得： () 212 2 21024x x y y x --=- 又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ () 212 125259x y -= ， () 22 2225259x y -=∴ ()()21212 22125 9x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得：25 36 40- =-x ∴ 4 540 590=--=x k BT ． 例12、已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ? ? -=- 2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得:( ) ( ) 02 3 21222122 2 2 =+-+ --+k k x k k x k ． 由韦达定理得22212122k k k x x +-=+．∵P 是弦中点，∴12 1=+x x ．故得2 1 -=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ． 分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率： 2 12 1x x y y --． 解法二：设过?? ? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得 ? ????????=+=+=+=+④ 1. ③1②12 ①1221212 2222 121y y x x y x y x ，，， ①－②得 02 2 2212 221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得 212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2 1 -． 所求直线方程为0342=-+y x ． 变式训练：求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程. 解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2， 整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－2 6或k ＞ 2 6 .设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则 x ＝221x x +＝1242+-k k ，y = 1242+-k k +2＝1 222 +k . x =1242+-k k ， y =1 22 2+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜2 1 ． 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 例13、 设椭圆???==. sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π =∠POx ，求P 点 的坐标． 分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解． 解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为 3 π， ∴α απ cos 4sin 323 tan = ，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55 cos =α， 55 2sin = α，∴P 点坐标为)5 154,554( ． 从参数方程 （k ＜－26或k ＞26 ）， 变式训练： (1)写出椭圆14 92 2=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆 的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题． 解：(1) ? ??==θθ sin 2cos 3y x )(R ∈θ． (2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设 )sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)2 0(π <θ<， 则122sin 12sin 2cos 34≤=??=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12． 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便． 题型六：定值、最值问题 例14、求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为?? ?==. sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为 ( ) θθsin cos 3，，则点到 直线的距离为263sin 226sin cos 3+?? ? ??-= +-= θπθθd ．当13sin -=?? ? ??-θπ时， 22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程． 变式训练：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23= e ，已知点?? ? ??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于 7的点的坐标． 分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大 值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力． 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122 22=+b y a x ，其中0>>b a 待定． 由2 2222222 1a b a b a a c e -=-==可得：2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是 d ，则 4931232 2222 2 2 +-+??? ? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422 2 2 ++??? ? ? +-=+--=b y y y b ，其中b y b ≤≤-． 如果2 1< b ，则当b y -=时，2 d （从而d ）有最大值． 由题设得 () 2 2 237??? ? ? +=b ，由此得21237>-=b ，与21 因此必有21≥ b 成立，于是当2 1-=y 时，2 d （从而d ）有最大值． 由题设得 () 3472 2 +=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11 42 2=+ y x ． 由21- =y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点??? ? ? -213，到点?? ? ??230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是? ? ?==θθ sin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定， πθ20≤≤，θ为参数．由2 2 22222 1?? ? ??-=-==a b a b a a c e 可得 2 1 43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点?? ? ?? 230，P 的距离为d ，则 2 222 2223sin cos 23??? ? ? -+=??? ??-+=θθb a y x d 49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 32 2 2 ++??? ? ?+-=b b b θ， 如果121>b ，即21 () 2 2 237??? ? ? +=b ，由此得21237>-=b ，与21 此必有 121≤b 成立．于是当b 21sin - =θ时2 d （从而d ）有最大值．由题设知()3472 2 +=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是?? ?==θ θ sin cos 2y x ． 由21sin - =θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是??? ? ? --213， ，??? ??-213，． 例15、设x ，R ∈y ，x y x 6322 2 =+，求x y x 22 2++的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 6322 2=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++22 2 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值． 解：由x y x 6322 2 =+，得 123492322 =+? ???? ? ??-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在?? ? ??023， 点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++22 2，则 ()1122 +=++m y x 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ． 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ． ∴x y x 22 2 ++的最小值为0，最大值为15． 变式训练：关于x 的不等式1912->-ax x 恒成立，求参数a 的范围. 解：利用数形结合。 例16、以椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为 032=-+y x ． 解方程组? ??=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小． 所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ， ∴() 363532 2 2 2 2 =-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为 136 452 2=+y x ． 例17、椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ，O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为4 1-。（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ 的中点M 的轨迹方程。 解：（1）设P 、Q 的两点坐标分别为()11,y x P 、Q ()22,y x ,P 、Q 分别在椭圆上，且 41-=?OQ OP K K ，???????????-=?=+=+∴.41,1416 ,14162 2112222 2 121x y x y y x y x ()()()??? ????------=------=------=?3.42,1641,164212122222121x x y y x y x y ()()21?得()()4,1616162221222122221-----++-=x x x x y y （3）代入（4）得162 22 1=+x x ，（1）+（2）得() 44 18222 12 22 1=+- =+x x y y 2 2OQ OP +∴2022222121=+++=y x y x 。 （2）设P 、Q 的中点M 的坐标为M ()y x ,，则有x x x 221=+，y y y 221=+， （1）+（2）+（3）2?得( ) 2 2 12 22124y y y y ++() 212221232x x x x ++-=， ()()221221324x x y y +-=+∴。 321642 2 =+∴y x 即：12822=+y x ，PQ ∴中点M 的轨迹方程为12 82 2=+y x 例18、椭圆21F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右焦点，以21F F 为直 径的圆和椭圆恒有四个交点，求 b a 的范围. 变式训练：（1）求其离心率的范围；（2）若焦点为两个，零个，分别求离心率的范围； （3）从椭圆上的点看21F F 的视角张角问题。
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