新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方程

新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方

程

TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座6）—函数与方程

一．课标要求：

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数

)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的

图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：

１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(

),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ；

（3）计算)(1x f ：

①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；

②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；

即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；

从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；

若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2+n 。 （2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=2

1 (p +q )。

若－

a

b

2

2)=m ，f (q )=M ；

若x 0≤－a b 2

2)=m ；

若－a

b

2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。

（3）二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件。

①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f (r )<0；

②二次方程f (x )=0的两根都大于r ????

????>?>->-=?0)(,

2,042r f a r a

b

ac b ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根???????

??>?>?<-

<>-=??;

0)(,0)(,2,

042p f a q f a q a

b p a

c b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根?f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。 四．典例解析

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞)

（2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。 解析：

（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3

3)内，由的图象(如图)。它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的

限制，单

凭直观就比较困难了。实际上这是要比较0x 与2的大小。当x =2时，lg x =lg2，3-x =1。由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。

（2）原方程等价于????

???-=-->->->-x

a x x x a x x )3)(1(00301

即???<<-+-=3

13

52

x x x a 构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，

作出它们

的图像，易知平行于x

a

①当31≤

13=a 时，原方程有一解；

②当4

133<

③当1≤a 或4

13>a 时，原方程无解。

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x +x =3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例2．（2005广东19）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，

(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==。

（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。

解析：由f (2－x )=f (2+x ),f (7－x )=f (7+x )得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,

由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-??

??-=-=????+=-+=-

)10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T

又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;

(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=????+=-+=-

(III) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f

故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[－]上有400个解,所以函数)(x f y =在[－2005,2005]上有802个解。

点评：解题过程注重了函数的数字特征“(1)(3)0f f ==”，即函数的零点，也就是方程的根。

题型2：零点存在性定理

例3．（2004广东21）设函数()ln()f x x x m =-+，其中常数m 为整数。 （1）当m 为何值时，()0f x ≥；

（2）定理：若函数()g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点

0(,)x a b ∈，使得0()0g x =

试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,m m

e m e m -??--??内有两个

实根。

解析：（1）函数f (x )=x －ln(x +m),x ∈(－m,+∞)连续，且 当x ∈(－m,1－m)时,f ’（x ）<0,f (x )为减函数,f (x )>f (1－m) 当x ∈(1－m, +∞)时,f ’（x ）>0,f (x )为增函数,f (x )>f (1－m) 根据函数极值判别方法，f (1－m)=1－m 为极小值，而且 对x ∈(－m, +∞)都有f (x )≥f (1－m)=1－m 故当整数m ≤1时，f (x ) ≥1－m ≥0

(2)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f (1－m)=1-m<0, 函数f (x )=x －ln(x +m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数. 由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使 而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f (x )=x -ln(x +m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f (1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使

故当m>1时，方程f (x )=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。

点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。

例4．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项D 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足

0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”。

点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型3：二分法的概念

例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）

A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到；

B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点；

C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点；

D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解；

解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。

点评：该题深入解析了二分法的思想方法。

例6．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。那么所取误差限ξ是（ ）

A ．

B ．0.005

C ．

D ．

解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到

445.010=x 。此时差限ξ是，选项为C 。

点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。 题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例7．借助计算器，用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间（1，2）内的近似解（精确到）。

解析：原方程即023)62ln(=+-+x x 。 令23)62ln()(+-+=x x x f ， 用计算器做出如下对应值表

观察上表，可知零点在（1，2）内

取区间中点1x =，且00.1)5.1(-≈f ，从而，可知零点在（1，）内； 再取区间中点2x =，且20.0)25.1(≈f ，从而，可知零点在（，）内； 同理取区间中点3x =，且0)375.1(

由于区间（，）内任一值精确到后都是。故结果是。

点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。

例8．借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确到1.0）。 分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

略解：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点。

点评：①第一步确定零点所在的大致区间a (，)b ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下：

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。 题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点

例9． 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足

. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1。

证明：由题意可知

))(()(21x x x x a x x f --=-，

a

x x x 1021<

<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(。

又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ∴ 1)(x x f <,

综上可知，所给问题获证。

点评：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式。

例10．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .

（1）如果4221<<x ； （2）如果21

解析：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x 。

（1）由0>a 及4221<<<0

)4(0

)2(g g ，即???>-+<-+034160124b a b a ，

即???

????

<+?--<-?+,

043224,043233a a b a a b

两式相加得

12

b

，所以，10->x ； （2）由a

a b x x 4

)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 。

又01

21>=a

x x ，所以21,x x 同号。

∴ 21

2

1b a x x 或?????+-=+<<-<1

)1(120

22

12b a x x , 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???

????+-=+>>-1)1(120)0(0

)2(2b a g g

解之得 41<

b 或4

7

>b 。 点评：条件4221<<

例11．设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤

54

。 解析：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ∴ ()()()()0)),1()1((2

1

),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=

, ∴ ()()()()()2

22102121x f x x f x x f x f -+???? ??--+???? ??+=.

∴ 当01≤≤-x 时， 当10-≤≤x 时， 综上，问题获证。

点评：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,。

例12．已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()

解析：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(， ∴ )0()),1()1((2

1

)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=

， ∴ f x ax bx c ()=++2

()2

221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+?

??? ??--+???? ??+=。 由-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，可得 ,

1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f 。

∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,

()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f 。

（1）若[]2,22-?-

a

b

，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ∴ 此时问题获证.

（2）若[]2,22-∈-

a

b

，则当[]2,2-∈x 时，

又()72411214)1()1(2022422<=+?+≤--?+=?+≤-=??

?

??-f f a b f b a b c a b c a b f ，

∴ 此时问题获证。

综上可知：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()。

点评：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，

)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正

好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。

要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑

()x f 在区间端点和顶点处的函数值。 题型7：二次函数的图像与性质

例13．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（

a

b ）x

的图象只可能是（ ） 解析一：由指数函数图象可以看出0

b

<1.抛物线方程是y =a （x +a b 2）2－224a b ，

其顶点坐标为（－a b 2，－a b 42），又由0

1

<－a b 2<0.观察选择支，可

选A 。

解析二：求y =ax 2+bx 与x 轴的交点，令ax 2+bx =0，解得x =0或x =－

a

b

，而－1<－

a

b

<0.故选A 。 点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。

例14．（2002全国高考题）设a ∈R ，函数f (x )=x 2+|x －a |+1,x ∈R. （1）讨论f (x )的奇偶性 （2）求f (x )的最小值.

解：（1）显然a =0时，f (x )为偶函数， 当a ≠0时，f (a )=a 2+1, f (－a )=a 2+2|a |+1 f (a )≠f (－a ), f (a )+f (－a )≠0 ∴ 此时f (x )为非奇非偶函数.

（2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论.

①当x ≤a 时，4

3)2

1(1)(2

2

++-=++-=a x a x x x f . 若2

1

≤

a ,则f (x )在区间（-∞，a ]上单调递减， ∴ f (x )的最小值为f (a )=a 2+1.(如图(I)) 若21>

a ，则f (x )在区间（-∞，a ]上的最小值为a f +=4

3

)21(（如图II). ②当x ≥a 时，4

3)2

1

(1)(2

2

+-+=+-+=a x a x x x f ， 若21-≤a ，则f (x )在[a ,+∞]上的最小值为a f -=-43

)21(（如图III ）。 若2

1

-

>a ，则f (x )在[a ,+∞]上单调递增。 则f (x )在[a ,+∞]上的最小值为f (a )=a 2+1.(如图IV)。 综上，当21-≤a 时，f (x )最小值为a -4

3

。 当21

21≤<-

a 时，f (x )最小值为a 2+1。 当21>

a 时，f (x )最小值为4

3

+a 。 点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。 题型8：二次函数的综合问题

例15．（2005浙江文20）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且

()22f x x x =+。

(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；

(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；

(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。

解析：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为

(),P x y ，则000

0,,2

.0,2

x x

x x y y y y +?=?=-????

+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上

∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解。

当1x <时，2210x x +-≤，解得1

12

x -≤≤。

因此，原不等式的解集为11,2??

-????

。

（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+

①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，

②11.1x λ

λλ

-≠-=+当时，对称轴的方程为

ⅰ）111, 1.1λ

λλλ-<-≤-<-+当时,解得

ⅱ）111,10.1λ

λλλ

->-≥--<≤+当时,解得

点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

例16．已知函数x z a

x f 2

2)(-

=。 （1）将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求函数)(x g y =的解析式；

（2）函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式；

（3）设)()(1

)(x h x f a

x F +=，已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ，求实数a 的取值范围。

解析：(1)()();2

222

2---

=-=x x a x f x g

(2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,，由点Q 在()x g y =的图像上，所以

y a x x -=-

--22

22

2， 于是 ,2222

2--+-=x x a

y 即 ();22222

--+-=x x a x h （3）22)14(2411)()(1)(+-+??

? ??-=+=

x x a a x h x f a x F 。 设x t 2=，则21

444)(+-+-=

t

a t a a x F 。 问题转化为：7221

444+>+-+-t a t a a 对0>t 恒成立. 即

()0147442

>-+--a t t a a 对0>t 恒成立. （*）

故必有044>-a a .（否则，若044<-a a

，则关于t 的二次函数

()14744)(2-+--=a t t a a t u 开口向下，当t 充分大时，必有()0

44=-a

a 时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数()14744)(2

-+--=a t t a

a t u 的

对称轴0847>-=a a t ，所以，问题等价于0

????<-?-?->-0

144447044a a a a

a

， 解之得：

22

1

<

014,044>->-a a a ，故21

444)(+-+-=t

a t a a x F 在a

a a t --=4)

14(4取得最小

值()214442

+-?-=a a

a

m 满足条件。 点评：紧扣二次函数的顶点式,44222

a b ac a b x a y -+??? ??

+=对称轴、最值、判别式显

合力。

五．思维总结

1．函数零点的求法：

①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。

（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。

（2）数形结合：二次函数()0)(2≠++=a c

bx ax x f 的图像为抛物线，具有许多

优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数()0)(2≠++=a c

bx ax x f 在区间

]2,(a b -

-∞和区间),2[+∞-a

b

上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。

高考数学专题复习第二轮第 4讲 函数与方程的思想方法

第4讲函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝n ( （n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用 ax) b 赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

函数与方程练习题.doc

圆梦教育中心高考数学专题 1. 若不等式x2+ax+1>0对于一切xe(O ,刃成立，则a的最小值是(). A. 0 B . — 2 C .—号 D . — 3 2. 已知函数f(x)=log a［&一?门对任意xw ［二，+1时，f(x)的递减区间为(). 5_ 5_ A.［车，+8) B.(l , 4 ］ 7_ 7_ C.［车，4-oo) D. ( 1 , T］ 4. 已知f(x)=asinx+b^/^- +4 (a, beR),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是(). A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 5 5?己知卫各上J=l(a, b, ce R),则有(). ja A. b2>4ac B. b2>4ac C. b2<4ac D. b2<4ac 6. 方程lgx+x=3的解所在的区间为_______ o A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3, + -) 7. f(x)定义在R 上的函数,f(x+1)=-缶，当xw［—2,T］时，f(x)=x, 则f(-3.5)为() A.—0.5 B. — 1.5 C.1.5 D.—3.5 PA丄平而丄平而0, A,B为垂足，PA = 4,PB = 2,则AB 8.设P是60°的二而角a-l-0内一点, 的长为( ) A. 2^3 B. 2^5 C? 2>/7 D?4迥 9. 若函数Xx)=(l-m)?-2/7U-5 是偶函数，则7U) () A.先增后减 B.先减后增C?单调递增D?单调递减 10. 对任意非负实数x,不等式厂一皿)Sa恒成立，処I实数a的最小值是(). 1 2 3 A. 2 B. 2 C. D.才

高考数学函数与方程的思想方法

高考数学函数与方程的 思想方法 Last revised by LE LE in 2021

第4讲 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝n b ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元

高考数学重点难点3函数与方程思想大全

重点难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●重点难点磁场 1.（★★★★★）关于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为. 2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1）x＜–3或x＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有 当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数. ∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴∴0＜m＜ 故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在. ［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属

(word完整版)高三数学专题复习(函数与方程练习题)

高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

人教版数学必修一函数与方程练习题

人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（） 2． 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） 3． A. B. C. D. 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数? ??>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)( 2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ B ．)()(21x f x f = C ．)()(21x f x f < D ．)(1x f 与)(2x f 大小不能确定 )3(2+++=m mx x y m ()6,2-[]6,2-{}6,2-()(),26,-∞-+∞

高中数学函数与方程知识点总结 经典例题及解析 高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有 1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案

函数与方程 【考纲说明】 1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

(完整)(典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程及函数的应用,推荐文档

函数与方程及函数的应用 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b) <0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的根． 注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 考点一函数的零点 例1 (1)(2013·重庆)若a

高一数学函数与方程练习题

函数与方程（1） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=2x+5的零点是________ 2、已知关于x 的一元二次方程2x 2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______ 3、函数y=-x 2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____ 4、设函数?? ?-∞∈-+∞∈-=)1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41)(-x f 的零点是______ 5、函数f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是_______ 6、定义在R 上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上单调递减，函数f(x)的一个零点为2 1，则不等式f(log 4x)<0的解集是_______ 7、求证：方程5x 2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。

8、已知函数f(x)=2(m-1)x 2-4mx+2m-1 （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点； （2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。 函数与方程（2） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=3x-16在区间[3,5]上有____个零点 2、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表： 则函数f(x)存在零点的区间是______ 3、函数x x x f 2)2ln()(-+=的零点所在区间是（n,n+1），则正整数n=______

数学高一上册函数与方程专项练习

2019学年数学高一上册函数与方程专项练习方程，是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号=。精品准备了数学高一上册函数与方程专项练习，具体请看以下内容。 一、选择题： 1.(2019课标全国)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(，0) B.(0，) C ) D.(，) 444224 2.方程|x2-2x|=a2+1 (a0)的解的个数是( ) A.1 B 2 C.3 D.4 3.(2019福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C (-，-2)(2，+) D.(-，-1)(1，+)2??x+2x-3，x0，4.函数f(x)=?的零点个数为()?-2+lnx，x0? A.3 B 2 C.1 D.0 5.已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x-2，h(x)=log2x+x的零点依次为a，b，c，则( ) A.a 二、填空题(每小题5分，共15分) 116若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.(答案- 23 7.已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k，k+1) (kN*)，则k的值为________.(答案3) 8.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)=2014x+log2 014x，则在R 上，函数f(x)

零点的个数为________.答案3 9. (2019深圳模拟)已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+ln x，h(x)=x-x-1的零点分别为x1， x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________.答案x1 2??x-x-1，x2或x-1，10.若f(x)=?则函数g(x)=f(x)-x的零点为____________.答案12或1 ?1，-1 11.(13分)已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点. (m=-2时，f(x)有唯一零点，该零点为x=0.) 12.下列说法正确的有________： ①对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点. ②函数f(x)=2x-x2有两个零点. ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a=1时，函数f(x)=|x2-2x|-a有三个零点. B组专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1x1.已知函数f(x)=log2x-??3，若实数x0是方程f(x)=0的解，且0 A恒为负B.等于零C.恒为正D.不小于零 二、填空题(每小题4分，共12分) 2.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间 [1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.答案7

高考真题 函数与方程

函数与方程 2019年 1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时， ()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4 ??-∞ ??? B ．7,3 ??-∞ ?? ? C ．5,2 ?? -∞ ?? ? D ．8,3 ??-∞ ?? ? 2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期 为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =(2),01()1,122 k x x g x x +<≤?? =?-<≤??，其 中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),032x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b <0 D ．a ＞-1，b >0 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0?=? >?，≤， ，， x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 2．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

函数与方程经典例题及答案

函数与方程典型例题习题 例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点， （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的零点； （3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系． 分析：可设函数解析式为2 y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ． 【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++， 由85937c a b c a b c =-??++=-??++=?解得128a b c =??=??=-? ， ∴2()28f x x x =+-． （2）令()0f x =得2x =或4-， ∴零点是122,4x x ==-． （3） (2)(4)0f f =， (1)(3)97630f f -=-?=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>． 点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <． 例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围． 分析： 【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3 ，符合题意； （2）0k ≠时，(0)1f =， 0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k ??=--≥??-->??，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞. 追踪训练一 1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ D ） ） A .1 B .0 C .2或0 D .2 2．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ） A .1 B .2 C .3 D .不确定 3．直线2 3+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ） A . 0，41,21- B .0，4 1- C .41,21- D .0，4 1,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5． 5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113 k ≥ . 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．

2010-2019高考真题分类训练文数专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程(1)

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 2019年 2019年 1.（2019全国Ⅲ文5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2.（2019天津文8）（8）已知函 数01,()1, 1.x f x x x ??=?>?? 剟若关于x 的方程1()()4 f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44 ?????? （B ）59,44?? ??? （C ）59,{1}44?? ???U （D ）59,{1}44 ?? ????U 3.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =， (2),01()1,122 k x x g x x +<≤??=?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个 不同的实数根，则k 的取值范围是 . 2010-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 2．（2017 山东）设1()2(1),1x f x x x <<=-??≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

3．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．y cos x = B ．y sin x = C ．y ln x = D ．21y x =+ 4．（2015天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -?=?->? ≤，函数()3(2)g x f x =--，则函数 y ()()f x g x =-的零点的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．（2015陕西）对二次函数2 ()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列 结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．－1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 6．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）），（210 （B ）），（121 （C ）），（21 （D ）），（∞+2 7．（2014北京）已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 8．（2014重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1] x f x x x x ?-∈-?=+??∈?，且()()g x f x mx m =--在 (1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 （A ）91(,2](0,]42- -U （B ）111(,2](0,]42 --U （C ）92(,2](0,]43--U （D ）112(,2](0,]43--U 9．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数 ()()+3g x f x x =-的零点的集合为 （A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{23} （D ）{21,3}- 10．（2013安徽）已知函数32 ()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若11()f x x =<

函数与方程专题训练

哈师大附中 创新作业
函数与方程
一、选择题
1. 函数
零点所在的区间是
A.
B.
C.
D.
2. 函数
的零点所在的大致区间为
A.
B.
C.
D.
3. 用二分法求方程的近似根，精确度为 ，用条件结构的终止条件是
A.
B.
C.
D.
4. 若 是方程
的解，则 属于区间
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数
．如果关于 的方程
有两个不同的实根，那么
实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
6. 若 点 A.
是奇函数，且 是
C.
7. 已 知 三 个 函 数 则 A.
， B.
的一个零点，则
一定是下列哪个函数的零
B.
D.
，
的零点依次为 ， ， ，
C.
D.
8. 已知
，实数 、 、 满足
，且
．若
实数 A.
是函数
的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是
B.
C.
D.
9. 函数
的图象如图所示，在区间
上可找到
个不同的数
，使
得
，则 的取值范围为
．
A.
B.
C.
D.
31

哈师大附中 创新作业
10. 对 于 实 数
，
定义运算“ ”：
，设
，则 A.
，且关于 的方程
的取值范围是
B.
C.
恰有三个互不相等的实数根 ， ， D.
11. 已知函数
A. C. 12. 若函数
，则 的零点与
若存在 ， ，当
的取值范围是 B. D.
的零点之差的绝对值不超过 ，则
时， 可以是
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13. 若关于 的二次方程
取值范围是
．
14. 设 函 数
与
是
．
15. 已知函数
的两根 ， 满足 的图象的交点为
，则实数 的
，则
所在的区间
，若函数
有三个零点，则实数 的取值
范围是
．
16. 在 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，
若用二分法的思想，则最多称
次就可以发现这枚假币．
17. 若 函 数
满足
，且在
上单调递增，则 的取值范围是
．
18. 已知关于 的方程 的取值范围是
在区间 ．
上有两个不相等的实根，则实数
三、解答题 19. 证明：方程
在区间
内至少有两个实数解．
20. 用二分法求函数
在区间
内的一个零点（精确度 ）．
32

2012年高考理科试题分类解析汇编：函数与方程

2012年高考理科试题分类解析汇编：函数与方程 一、选择题 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（天津理））函数3 ()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个 数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12 x y e =上,点Q 在曲线 ln (2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ） A ．1ln 2- B ．2(1ln 2)- C ．1ln 2+ D ．2(1ln 2)+ 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周 期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的 （ ） A ．既不充分也不必要的条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．充要条件 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（四川理））函数1(0,1)x y a a a a =- >≠的图象可能是 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（上海春））记函数()y f x =的反函数为1 ().y f x -=如 果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1 ()1y f x -=+的图像过点 [答] （ ） A ．(0,0). B ．(0,2). C ．(1,1). D ．(2,0). 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ） A ．1y x =+ B ．2 y x =- C ．1y x = D ．||y x x = 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（山东理））设函数2 1(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x = =+∈≠, 若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则

2021年高中数学核心知识点3.8 函数、方程与不等式的关系(专题训练卷)(解析版)新高考

专题3.8函数、方程与不等式的关系（专题训练卷） 一、 单选题 1．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若方程2(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取 值范围是（ ） A ．4 3 k < B ．43 k > C ．4 3k < ，且1k ≠ D ．43 k >，且1k ≠ 【答案】C 【解析】 由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得 ()1041210 k k -≠?? ?=-->? ，解得4 3k <，且1k ≠. 故选:C. 2．（2019·江门市第二中学高一月考）若12x x ，是方程2560x x -+=的两个根，则 12 11 +x x 的值为（ ） A ．1 -2 B ．13 - C ．16 - D ． 56 【答案】D 【解析】 解方程2560x x -+=，即可求得12==3x x ，2， 代入可得：1211115=+=236 x x +， 故选：D. 3．（2020·河北省鹿泉区第一中学高二月考）已知函数()2 1f x x x =+-，则函数()y f x =的零点的个数 是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】

函数()2 1f x x x =+-的零点个数即为y x =与2 1y x =-的交点个数 在同一坐标系内作出两函数图象如图所示： 由图象可知y x =与2 1y x =-有2个交点， 即函数()2 1f x x x =+-的零点有两个． 故选：B 4．（2020·浙江省台州一中高三开学考试）若函数2()|2|f x x x a =--有三个零点，则实数a 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 函数2()|2|f x x x a =--有三个零点?方程2 |2|x x a =-的有三个根?函数2y x 与函数|2| y x a =-有三个不同的交点， 作出函数2y x 与|2|y x a =-的图象，如图所示， （1）当0a =时，显然有三个交点，∴0a =成立， （2）当2 a x ≥ 时，2y x a =-与2y x 相切时，则220x x a -+=，此时