高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(
（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有
()()0f a f b ?<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个
0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数)(x f y =的零点?0)(=x f 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
0?>?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根；
0?
图像进行确定. 1、二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ?<,给定精确度ε; ②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;
(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;
(ⅱ) 若()()0f a f c ?<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ?<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);
④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】
1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2．函数 f (x )＝2x
＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )
A 、(－2，－1)
B 、(－1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2) 3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数
g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22
-上的零点个数为 （ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、
7
6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零点
7．对实数a
和b ，定义运算“?”：a ?b ＝???
??
a ，a －
b ≤1，
b ，a －b >1.
设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2
)，x ∈R ，若函
数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )
A 、(－∞，－2]∪? ????－1，32
B 、(－∞，－2]∪?
????－1，－34 C 、? ????－1，14∪? ????14，＋∞ D 、? ????－1，－34∪????
??14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点
*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .
9．求下列函数的零点：
（1）3
2
()22f x x x x =--+； （2）4
()f x x x
=-
.
10．判断函数y ＝x 3
－x －1在区间[1,]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度．
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为 （ ） A 、1(,0)4- B 、1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)24
2、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数f ()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ） A ．（-2,-1） B 、（-1，0） C 、（0，1） D 、（1，2）
5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]
6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零点
7、若函数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过，则()f x 可以是（ ）
A 、()41f x x =-
B 、2()(1)f x x =-
C 、()1x
f x e =- D 、1()ln()2
f x x =-
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A 、3()8f x x =-
B 、()ln 3f x x =+
C 、2()2f x x =++
D 、2
()41f x x x =-++
9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
A 、??
? ??41,81
B 、??
?
??21,41
C 、??
?
??1,21
D 、(1,2)
10、01
lg =-
x
x 有解的区域是 （ ） A 、(0,1]
B 、(1,10]
C 、(10,100]
D 、
(100,)+∞
11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）
A 、1
(,0)4
- B 、 1(0,)4
C 、11(,)42
D 、13(,)24
12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）
A 、1
[0,]8
B 、11[,]84
C 、11
[,]42
D 、1[,1]2
13、设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得
()()(),025.1,05.1,01<> A 、(1,1.25) B 、(1.25,1.5) C 、(1.5,2) D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不． 存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,4 15、函数223,0 ()2ln ,0 x x x f x x x ?+-≤=?-+>?， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、 0 16、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如 下： f (1) = －2 f = f = － f = － f = f = － 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到）为 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、 17、方程223x x -+=的实数解的个数为 . 18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取 值范围。 19、判断函数232 ()43 f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数，并说明理由。 20 、求函数32 ()236f x x x x =+--的一个正数零点(精确度． 【课后作业】 1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设2 ()3x f x x =-，则在下列区间中，使函数)(x f 有零点的区间是 ( ) A 、[0,1] B 、[1,2] C 、[－2，－1] D 、[－1,0] 3、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的 （ ） A 、函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B 、函数)(x f 在(3,5)内无零点 C 、函数)(x f 在(2,5)内有零点 D 、函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 4、若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 （ ） A 、()2,2- B 、[]2,2- C 、(),1-∞- D 、() 1,+∞ 5、函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ） A 、（－1，0） B 、（0，1） C 、（1，2） D 、（1，e ） 6、求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ ） A 、11(,)4+∞ B 、11(,)2-∞ C 、11 (,)4 -∞ D 、 11 (,)2 +∞ 8、方程0lg =-x x 根的个数为 （ ） A 、无穷多 B 、3 C 、1 D 、0 9、用二分法求方程()0f x =在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <> A 、, B 、(1, C 、,2) D 、不能确定 10、设函数f(x)＝1 3x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x) ( ) A 、在区间? ????1e ，1，(1，e)内均有零点 B 、在区间? ????1e ，1，(1，e)内均无零点 C 、在区间? ????1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D 、在区间? ?? ??1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 11、设函数2 1()ln 1(0)2 f x x x x =- +>，则函数()y f x = ( ) A 、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B 、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C 、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D 、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点 12、用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(> )125.0(f 13、函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 14、（已知函数()log (0,1).a f x x x b a a =+->≠且当234a <<<是，函数()f x 的零点 *0(,1),,x n n n N ∈+∈则n= . 15、用二分法求函数()y f x =在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝，取区间 (2,4)的中点x 1＝2＋4 2＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________． 16、已知函数 f (x )＝{ 2x －1，x >0，－x 2 －2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝ f (x )－m 有3个零点，则实数 m 的取值范围是________． 17、函数65)(2+-=x x x f 的零点组成的集合是 . 18、用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 . 20、证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度． 函数与方程 【考纲说明】 2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 3、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()( （1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个 0x 也就是方程0)(=x f 的根。 （2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数)(x f y =的零点?0)(=x f 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3）零点个数确定 0?>?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 图像进行确定. 4、二分法 （1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ?<,给定精确度ε; ②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ; (ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0f a f c ?<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ?<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈); ④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】 【例1】 函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】B 【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ?且函数()f x 在 (0,1)内连续不断，故()f x 在(0,1)内的零点个数是1. 【例3】若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】） ，（∞+1 【解析】 函数)(x f =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点， 方程0=--a x a x 有两个不相等的实 数根，即两个函数x