函数与方程思想的应用
首先，“函数思想”是指将一个变量的值映射到另一个变量的值的数学关系，这个数学关系可以用函数表达式来表示。函数思想在物理学中有着广泛的应用。例如，质点在一维直线上做匀速直线运动，它的位移与时间之间的关系可以用函数表达。这个函数可以是线性的，即位移与时间成正比；也可以是二次函数，即位移与时间成二次幂的关系。通过分析函数的数学性质，我们可以推导出质点的速度、加速度等物理量之间的关系，进而更加深入地研究物体的运动规律。
函数思想在化学中也有重要的应用。化学反应的速率与反应物的浓度之间通常存在一定的关系。我们可以用函数来表示反应速率与浓度之间的关系，从而研究反应的速率规律。通过分析函数的性态，可以确定反应的速率方程，并进一步探索反应机制、反应活化能等重要的化学概念。
同时，函数思想也在经济学中有广泛的应用。经济学中的需求函数、供给函数、成本函数等都是函数的应用。通过分析这些函数，可以把经济问题转化为数学问题，进而量化经济关系、研究经济发展规律。
其次，“方程思想”是指把一个未知量与已知量之间的关系用等式表示出来，并通过求解这个等式来得到未知量的值。方程思想在物理学中有广泛的应用。例如，牛顿第二定律描述了物体受力作用下的运动状态，可以用方程表示为F=ma，其中F为物体受到的合外力，m为物体的质量，a 为物体的加速度。通过求解这个方程，可以求得物体的加速度，从而研究物体的运动规律。
方程思想在工程技术中也有重要的应用。例如，电路中的欧姆定律可以用方程表示为V=IR，其中V为电压，I为电流，R为电阻。通过求解这个方程，可以计算电路中的电流或电阻，从而设计出满足要求的电路。
另外，方程思想在社会科学中也扮演着重要的角色。例如，人口学研究中，人口数量与时间之间的关系可以用方程表示。通过求解这个方程，可以预测未来人口数量的变化，从而指导人口政策的制定。
总之，函数与方程思想的应用广泛而深入。它们不仅帮助我们从数学的角度理解自然界和社会现象，还能够指导实际问题的解决，推动科学技术的发展。因此，学习和掌握函数与方程思想对于数学学科的学习和实际应用具有重要的意义。
函数与方程思想在数学解题中的应用 函数与方程思想在数学解题中的应用 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点?函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题?对于函数y二f (x),可转化到二元一次方程y-f (x)二0?如解方程f (x)二0求函数y二f (x)的零点?因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关丙数的问题也可用方程的方法去解决. 函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考 一、函数与方程两者之间的相互转化 例1若方程2a - 9sinx+4a ? 3sinx+a-8二0有解，则a的取值范围是____________ . 解析令t=3sinx,则te［, 3］,方程可转化为: 2at2+4at+a_8=0 ① (方法一)记f (t) =2at2+4at+a-8,则原问题转化为f (x) =0 在［,3］内有解(即有一解或两解)，留意到f (t)的对称轴t=-l［, 3］, ???f (t)二0在［,3］内不可能有两根, ???f (t)二0在［,3］有一根只须f () - f (3) W0, 即(++a~8) ? (18a+12a+a_8) WO, ???(-8) ? (31a-8) WO, ???WaW? (方法二)由①转化为a二二. Vte[, 3],???2 (t+1) 2-1 e [, 31],
函数与方程的应用 引言 函数与方程是数学中重要的概念，它们在解决实际问题时发挥着关键的作用。本文将通过几个具体的案例来说明函数与方程在不同领域的应用，从而展示它们的重要性和实用性。 一、经济学中的函数与方程应用 1.1 边际效益函数 边际效益函数是经济学领域常见的一个概念。它描述了某种产品或服务单位增加量所带来的额外收益。通过对边际效益函数进行分析，可以帮助企业决策者确定最大化利润的生产数量。 1.2 需求和供给曲线 需求和供给曲线是经济学中另一个常见的使用函数表示市场行为规律方法。需求曲线描述了消费者愿意购买某种产品或服务的数量和价格之间的关系，供给曲线则描述了生产者愿意生产和销售该产品或服务的数量和价格之间的关系。 二、物理学中的函数与方程应用 2.1 运动学公式 运动学公式描述了物体在直线上运动时位置、速度和加速度之间的关系。通过对这些公式进行求解，可以计算物体在不同时间点的位置、速度和加速度值，进而预测其运动轨迹。 2.2 牛顿定律
牛顿定律是物理学中最基本的理论之一。其中第二定律使用了方程 F = ma，描 述了物体所受合力与其加速度之间的关系。此方程应用广泛，可用于研究天体力学、机械振动等诸多领域。 三、生命科学中的函数与方程应用 3.1 指数增长模型 指数增长模型常常用于描述生物种群在适宜环境下的增长规律。该模型使用函 数 N(t) = N0 * e^rt 来表示，其中 N(t) 表示时间 t 时刻的种群数量，N0 表示初始种 群数量，r 表示增长速率。 3.2 遗传学中的基因表达方程 在遗传学研究中，基因表达方程通过描述基因转录和翻译过程中 RNA 和蛋白 质合成速率的关系来探究基因功能和调控机制。 结论 函数与方程在经济学、物理学和生命科学等各个领域起着重要作用。通过使用 函数和方程，我们可以理解并预测自然规律、经济行为，解决实际问题。因此，了解和掌握函数与方程的应用对于学术研究和实际生活都具有重要意义。不仅数学家和科学家们需要深入掌握函数与方程的原理和应用，普通公众也受益于这些知识的运用。通过提高我们对函数与方程的认识，我们能够更好地理解这个世界，并进行更精确有效的决策。
数学思想方法的简单应用（1） 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 1.证明：若 则为整数． 解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得 ，于是此时(1)式的值等于－4． 若x＋y＋z＋t≠0，则 由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4． 2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=． （1）求a、b的值及函数f（x）的解析式； （2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
函数和方程思想在数学解题中应用 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点?函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题. 对于函数y=f (x),可转化到二元一次方程y-f (x) =0.如解方程f (x) =0求函数y=f (x)的零点.因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决. 函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考一、函数与方程两者之间的相互转化 例 1 若方程2a ? 9sinx+4a ? 3sinx+a-8=0 有解，则 a 的取值范围是_______ ? 解析令t=3sinx,则tw[, 3],方程可转化为：
(方法一)记f (t) =2at2+4at+a~8,则原问题转化为 f(X)=0在[,3]内有解(即有一解或两解)，留意到f (t) 的对 称轴t=~l [, 3], ?*.f (t) =0在[,3]内不可能有两根, /.f (t)二0 在],3]有一根只须 f () ? f (3) WO, 即(++a-8) ? (18a+12a+a_8) W0， ???(-8) ? (31a-8) WO, ???WaW. (方法二)由①转化为a=. 1 ￡ [, 3], 2 (t+1) 2-1丘[,31], Aae[,]. 点评本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下来再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再?用两种方法计算出答案，前者方程思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性. 二、函数与方程思想在集合中的应用 例 2 设 A 二｛x | x2+4x 二0｝,B 二｛x | x2+2 (a+1) x+a2-l=0｝, 若BA,求实数a的取值范围. 解析由A二｛x | x2+4x二0｝二｛x | x二0 或x二- 4｝二｛0, -4｝? TBA,?：B二或B=｛0｝或B=｛-4｝或B=｛0, -4｝. 当B二时，即x2+2 (a+1) x+a2-l=0 无实根，由△b>c,
函数与方程思想方法应用技巧 [概述]： 函数的思想方法：就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，在考虑数学问题时，注意分析和研究具体问题中的数量关系，分析和研究变量与变量之间的依赖关系，并把这种关系用函数形式表示出来，利用函数的定义域，值域，利用函数的单调性，奇偶性，周期性，使问题得以解决的一种思想方法。函数思想是对函数概念本质的认识，用于指导解题就是善于利用函数的知识或观点处理问题。 方程的思想方法：就是设未知数的思想，就是在考虑问题时，从分析问题的等量关系入手，设出一些未知数，运用数学语言，将其中的约束条件，等量关系，用数学方法表示出来，建立该未知数的方程或方程组，利用解方程的方法，通过解方程（组），使未知变为已知，从而使问题得到解决的思想方法。 函数与方程的思想是密切相关的：如函数 ()y f x =就可认为是二元方程()0f x y -=，反函数的求解，求函数的值域也可转化为 方程来解。方程问题也可转化为函数问题求解，如解方程 ()0f x =，就是求函数()y f x =的零点。处理这些问题时，需要熟练掌握函 数的有关概念和性质，还应注意：数学问题中，只要有变量的依赖关系，就应优先考虑建立函数关系或方程 常用结论： 1． 关于X 方程 ()f x a =有解，当且仅当a 属于()f x 的值域。 例1．若方程cos 2 x-sinx+a=0在(0,2 π )上有解，那么a 的取值范围是___________. 2． 函数 ()f x 的值域是使方程()0f x y -=有实数解的y 的取值范围。 例2．关于x 的方程2 0x mx n ++=有绝对值不小于3的实根，则22m n +的最小值是______。 变式1：已知函数 221()(,0)a f x x ax b x R x x x =++ ++∈≠，若实数,a b 使得方程 ()0f x =有实根，求22a b +的最小值。 3． 常数()a f x >对函数()f x 定义域内的任意x 都成立，当且仅当max (())a f x >，（对(),(),()a f x a f x a f x ≥<≤也有 相应的结论）（注：此结论又称极值原理） ()a f x >有解?min (())a f x >，对()a f x <也有类似结论。（注：此结论又称极端原理） 如何树立函数与方程的思想? 要有意识的在考虑数学问题时关注变量之间的依赖关系(函数关系),有意识的关注含有字母的等量关系(方程),具体的讲 1. 是不是想到把字母看做变量? 是不是把代数式看做函数式? 如:双曲线:22 22 1,1(1) x y a a a -=>+的离心率e 的取值范围是 A ; B ; C (2,5) ; D 又如:设数列各项均为正数,且011 1,(4)2 n n n a a a a +== -, ①证明:12n n a a +<<; ②求数列的通项公式. 例:已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,,m n R ∈,0m <,
函数与方程思想的应用 首先，“函数思想”是指将一个变量的值映射到另一个变量的值的数学关系，这个数学关系可以用函数表达式来表示。函数思想在物理学中有着广泛的应用。例如，质点在一维直线上做匀速直线运动，它的位移与时间之间的关系可以用函数表达。这个函数可以是线性的，即位移与时间成正比；也可以是二次函数，即位移与时间成二次幂的关系。通过分析函数的数学性质，我们可以推导出质点的速度、加速度等物理量之间的关系，进而更加深入地研究物体的运动规律。 函数思想在化学中也有重要的应用。化学反应的速率与反应物的浓度之间通常存在一定的关系。我们可以用函数来表示反应速率与浓度之间的关系，从而研究反应的速率规律。通过分析函数的性态，可以确定反应的速率方程，并进一步探索反应机制、反应活化能等重要的化学概念。 同时，函数思想也在经济学中有广泛的应用。经济学中的需求函数、供给函数、成本函数等都是函数的应用。通过分析这些函数，可以把经济问题转化为数学问题，进而量化经济关系、研究经济发展规律。 其次，“方程思想”是指把一个未知量与已知量之间的关系用等式表示出来，并通过求解这个等式来得到未知量的值。方程思想在物理学中有广泛的应用。例如，牛顿第二定律描述了物体受力作用下的运动状态，可以用方程表示为F=ma，其中F为物体受到的合外力，m为物体的质量，a 为物体的加速度。通过求解这个方程，可以求得物体的加速度，从而研究物体的运动规律。
方程思想在工程技术中也有重要的应用。例如，电路中的欧姆定律可以用方程表示为V=IR，其中V为电压，I为电流，R为电阻。通过求解这个方程，可以计算电路中的电流或电阻，从而设计出满足要求的电路。 另外，方程思想在社会科学中也扮演着重要的角色。例如，人口学研究中，人口数量与时间之间的关系可以用方程表示。通过求解这个方程，可以预测未来人口数量的变化，从而指导人口政策的制定。 总之，函数与方程思想的应用广泛而深入。它们不仅帮助我们从数学的角度理解自然界和社会现象，还能够指导实际问题的解决，推动科学技术的发展。因此，学习和掌握函数与方程思想对于数学学科的学习和实际应用具有重要的意义。
函数与方程思想在解题中的应用 【思想方法诠释】 函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。 1．函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函
数与方程的这种相互转化关系十分重要。 4．函数与方程思想解决的相关问题 （1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； ②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。 【核心要点突破】 要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
高中数学：函数与方程思想在解题中的应用 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系。若一个函数有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样许多函数问题可以用方程的方法来解决。也就是说，对于函数，当时，就转化为方程；反之，也可以把函数式看作二元方程。函数与方程这种相互转化的关系十分重要，它们之间互相渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，很多函数问题也需要方程的知识和方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数与方程思想，函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量与未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想方法。 函数与方程思想在解题中的应用 1. 利用函数与方程思想研究方程问题 有关方程根的问题是考查方程的知识热点，也是考查函数与方程思想的一个重点。 例1、已知有且只有一根在区间内，求m 的取值范围。
分析：设。由二分法知，一般地对于函数，若，那么函数在区间上至少有一个零点，但不一定唯一。对于二次函数，若 ，则在区间上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立。 但要注意，方程在区间上有且只有一根时，不仅是，也有可能，如二次函数图象是下图所示的情形。由图可知在区间上有且只有一根，但是。 解：设。 ①当时方程的根为，不满足题设条件。 ②当时，因有且只有一根在区间内，且，所以有两种可能情形：，得；或者，得，代入原方程不合题意。 综上可得。
本题通过构造函数，将方程问题转化为函数思想去解决，二分法实质上是函数与方程思想的一个重要体现，因此，学习中应对二分法的意义领会清楚。 2. 利用函数与方程思想研究不等式问题 “等”与“不等”是数学中两种不同的数量关系，是相对的。在学习中，我们力求寻求统一的思想，这就是函数与方程思想，特别是在解不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，用函数思想与函数方法分析、解决问题。 例2、设不等式，对满足的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。 分析：由于本题为二元一次不等式，许多同学对题意无法正确理解，从而解题的思路受阻。若将其看成关于x 的不等式讨论，则解题过程烦琐；若将问题升华到函数与方程思想的应用上，就易于解决。 解：问题可转化成关于m的一次不等式 ，当时恒成立。 设。 ∴即，解得。 ∴x的取值范围是。
函数与方程的思想方法在解题中的应用 何登文 数列、解析几何、立体几何、不等式及实际应用问题是高中数学的几个重要内容，在高考试题中占了较大的比例，能否顺利的解答这几类问题，直接影响到学生的高考成绩。函数与方程思想从某些方面来说，给我们指出了解决这些问题的思路和方法。将这些问题转化为相应的函数或方程，我们就可以应用函数和方程的性质来解决问题了。下面，我们通过例题来说明它们的应用。 一、利用函数与方程的思想解答数列问题 例1、已知数列的通项公式n a =-2 n +6n+2,这个数列的最大项的值是多少？从第几项起以后的项均为负值？ 分析：数列是以自然数n 为变量的点列函数，因此，我们在处理数列问题是，往往将其转化函数问题，利用相应函数的性质来求解。 解：∵ n a =-2 n +6n+2，∴n a 可以看作是关于n 的二次函数，利用二次函数的性质， 当n=- 62 --=3时，n a 有最大值11。令-2 n +6n+2≤0 解得 n ≥7∴从第七项起以后的项均为负值。 此题利用了数列的函数特性求解，使得问题简单化，使用了化未知为已知的思维方法。 例2、已知数列﹛n a ﹜是等差数列，若n s =10，2n s =50，求3n s 。 分析：本题我们可以用“等差数列中，依次取每k 项作和，其和仍成等差数列”的性质来求解，即 n s 、 2n s - n s 、 3n s - 2n s 成等差数列，此时公差d=50-20=30,所以 3n s = 2n s - n s + 2n s +d=50-10+50+30=120.这样很直接。另外，在等差数列中 211()22()2 2n d d n d d n n n n a s a +- ==+-是关于n 的一次函数，因此，我们可以利用一次函数的 点共线的性质求解。 解：∵﹛n a ﹜是等差数列，∴n n s ??? ??????? 也是等差数列，是关于n 的一次函数， ∴ 23,,2,,3,23n n n n n n n n n s s s ?????? ? ? ???? ???三点共线，∴3501010 2323n n n n n n n n n s --=-- 解得3n s =120。 此题应用了等差数列的函数性质求解，从而使问题得到转化，利用了一次函数的性质解决 问题。 二、利用函数与方程的思想解答解析几何问题 例1、直线m ：y=kx+1和抛物线 2 2 1y x -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P （-2， 0）和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。 分析：要求l 在y 轴上的截距b 的值，我们就要求出直线l 的方程，在方程中令x 为0，
函数与方程思想的应用 函数与方程作为数学中的两个核心概念，在数学学习中扮演着非常重要的角色。除此之外，函数与方程的思想也是现代科学领域中的重要应用，包括自然科学、社会科学、工程学等多个方面。本文将从函数与方程思想的基础概念与应用角度出发，分别讨论函数与方程在数学与应用中的应用示例与技巧。 一、函数思想的应用 1. 基本概念 函数是有序数对或有序量的规则，从输入量到输出量的映射结构，其中输入量称为自变量或变量，输出量称为因变量或函数值。在数学中，函数可以用表、图像、公式等多种形式表示，并且包括一系列基本函数，例如：二次函数、三角函数、指数函数等。 2. 应用技巧 a. 函数的图像可视化 函数的图像是一种直观的表达方式，它能够让人们更好地理解函数的性质与规律。例如，通过对二次函数f(x) = ax² + bx + c的图像进行分析，可以直观地了解二次函数的开口方向、顶点坐标、轴对称直线方程等。 b. 函数的导数分析
导数是函数变化率的一种度量方式，其表达方式是当自变量发生微小变化时，因变量相对应的变化量。通过分析函数的导数，可以得知函数的单调性、极值点、拐点等性质，进而确定函数的局部最值和全局最值。 c. 函数的积分应用 积分是函数区域面积的计算方式，它可以用于计算曲线下面积、质心、弧长、旋转体体积等多种应用。例如，对于函数f(x) = x² + 2x - 1在区间[-1, 2]上的积分，可以得到该函数曲线下面积为7/3。 3. 应用示例 函数思想在数学中的应用非常广泛，例如： a. 物理学中的牛顿定律 牛顿定律是以函数思想为基础建立的，它表达的是物体受到力的作用时，其产生的运动状态随时间的变化，从而描述了运动的规律。 b. 确定税收政策 税收政策是政府调控社会经济的重要手段之一，通过构建相应的税收函数，可以对经济产生的收益和成本进行预测和调整，从而实现社会资源的合理配置。 c. 健身计划的制定
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程
f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。 4．函数方程思想的几种重要形式 （1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点； （2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； （3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； （5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；
函数与方程思想的应用 【思想方法精析】 函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识加以解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的动态研究，以变量的运动变化，联系和发展角度打开思路.和函数有必然联系的是方程，方程实质为函数值为0时自变量满足的关系式.要确定变化过程中的某些变量，往往要转化为方程（组）的求解问题.方程的思想是“动中求静，研究运动中的等量关系”.函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题提供了思路和方法. 【经典问题回放】 1 利用函数思想沟通变量和知识间的关系. 例1. 函数f(x)使f(x2-1)= 对于f(x)值域中的任何实数p,都有x2+(p-2)x+(1-p)>0，求x的范围. 简析：换元法求解析式，函数思想,选主元沟通变量间的关系，用“一次函数的保号性”解决. 换元易求f(x)= ,且为减函数，由单调性知，0=f(3) 于是，问题化为，0 中的任何实数p，都有 x2+(p-2)x+(1-p)>0. 若视关于x的二次不等式需分类研究.
若“函数思想沟通化参数p为主元”可构造“一次函数的保号性”求解“简单且具有操作性”. x2+(p-2)x+(1-p)>0 ,问题化为g(p)=由“一次或常函数函数在闭区间上的图象是线段”只需g(0)=x2-2x+1>0,g( 解之所求x的范围为（- 例2 Rt?SABC中∠C=90o , ∠A、∠B、∠C的对应边分a、b、c且a+b=cx，以斜边AB为轴将?SABC旋转一周，所得几何体的表面积为S1，?SABC的内切圆面积为S2，，求函数f(x)= 的最小值. 简析：运动变换的观念，构建函数关系，由方程观念确定自变量的范围，用函数单调性求最值. 由旋转体的构成过程有， S1=abx，，则f（x）= = = =2（x-1）+ +6 = +6，而a+b=cx，则，定义法或导数法可证，+6在上是减函数，故f(x)= 的最小值. 2 函数思想认识不等式，构建不等式求参数范围. 例3不等式+ + +…+ ＞?Sa（a-1）+ 对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围. 简析：不等式左端无法求和，思维中断. 若用函数认识不等式其左端为一个函数，研究其单调性转化构建不等式易解. 可设函数f（n）= + +…+ （n≥2），由于f(n+1)-f(n)= ，
函数与方程思想在解题中的运用 作者：李鹏泽 来源：《教育周报·教研版》2021年第27期 函数与方程的思想是中学数学的重要思想，也是近几年高考的重要考点，占全卷比例大约为l0%左右，常用函数和方程的思想去处理不等式、数列、解析几何和立体几何中的问题，使问题得到转化，从而复杂问题简单化。 近几年函数与方程的思想在高考试题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的。 一、函数与方程的概念 函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，很多函数的问题也需要方程的知识和方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。因此，函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是一种很重要的数学思想. （1）函数的思想，就是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图像或性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决的思想，它是对函数概念的本质认识。函数思想的实质是用运动变化的观点、相互联系、相互制约的观点去认识和处理有关问题，它既是一种认识问题时在观念上的指导，又是一种处理问题时在策略上的选择。这种思想方法重在对具体问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展的角度拓宽解题思路. 应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关键步骤，大体可分为下面两种情况：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题。 二、函数与方程思想在解题中的应用 （2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。 （3）解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程二次函数的有关理论.
函数与方程思想应用例谈 函数与方程是数学中重要的概念，也是数学思想在实际生活中的应用体现。函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值与另一个变量的值进行对应。方程则是一个等式，其中包含一个或多个未知数，通过解方程可以求得未知数的值。这两个概念的应用广泛，下面我将分别从函数和方程的角度举例说明它们在实际生活中的应用。 首先，函数思想的应用。函数的关键是找出变量之间的对应关系，通过这种关系可以对问题进行建模和分析。例如，在经济学中，成本函数是一个重要的概念。它描述了产生一定数量的产品所需要的成本与这一数量之间的关系。通过分析成本函数，我们可以确定最优生产数量，从而在经济活动中做出合理的决策。 另一个例子是物理学中的位移函数。假设一个物体在单位时间内的位移是它的速度，而它的速度是加速度的积分。因此，通过对位移函数的研究，我们可以了解物体在不同时间点的位置信息，并进而预测物体在未来的位置。 另外，方程思想的应用。方程是一种等式，它描述了两个或多个量相等的关系。通过解方程，我们可以求得未知数的值，从而得到问题的解。在实际问题中，方程常常被用来求解各种未知量。 例如，在几何学中，我们经常遇到求解长度、面积或体积的问题。这些问题可以通过构建方程来解决。例如，在计算圆的面积时，我们可以利用圆的半径与面积之间的关系建立方程，通过解方程可以求得圆的面积。 另一个例子是工程中的电路问题。在电路中，电流、电压和电阻之间满足一定的关系，可以通过方程来描述。通过解电路方程，我们可以求解
电路中各个未知量的数值，进而分析电路中的电流和电压的分布，从而设 计出合理的电路。 除了以上例子，函数与方程思想还可以应用于经济学、生物学、化学、计算机科学等领域。函数和方程是数学中的基本工具，它们的应用不仅能 够帮助我们解决实际问题，还能够培养人们的逻辑思维和解决问题的能力。 总而言之，函数与方程思想是数学中的重要概念，它们在实际生活中 的应用广泛。通过利用函数和方程，我们可以对问题进行建模、求解未知量，并分析问题的特性和规律。函数和方程思想的应用不仅能够帮助我们 解决实际问题，还能够提高我们的数学素养和解决问题的能力，对培养人 们的逻辑思维和创新思维有着积极的意义。
函数与方程思想在解题中的应用 函数部分既是高中数学的一个重要知识点，同时也是一个难点。许多同学在学习这部分章节 知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，但长期以来这部分知识又在高考试题中占据着可 观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。 那么，在平时的学习过程中应该如何训练才能有效解决这一问题，提高函数试题的得分把握呢？下面，笔者就从函数方程思想这一方面来和大家探讨一下。我们都知道，对于任何一个 数学初学者而言，可以把数学知识分为两部分，一部分是固定的公式、定理，这部分内容相 对来讲是比较简单的，学生在平时的学习过程中只需要反复多练习，就能够提高应用的熟练 程度和解题的准确程度；另一部分则是如何运用这些公式、定理，也就是对于数学学科的认 识和理解深度。大部分学生在高中数学的学习过程中都能较为轻松地掌握第一部分内容，但 对于第二部分内容的把握性就相对较低。换句话来说，学生在高考中之所以在函数部分失分 情况较为严重，主要原因就是对于函数部分的本质内容和数学思想没有达到深刻的认识程度。那么，应该如何把握这部分内容反映的函数与方程思想呢？ 一、什么是函数与方程思想 在高中数学课本上，是这样来分别定义函数和方程的概念的。函数关系是指自变量与因变量 之间的一种特殊的映射关系；方程则是沟通了算术方法与代数方法的重要桥梁。由此可见， 函数与方程在高中数学知识体系中都是起着重要的连接纽带的作用，因此，在高中数学思想 中常常将二者合称为函数与方程思想。函数思想指的是在面对某一个或是某一类试题时，通 过深入分析题目中所给的已知条件，结合自己学过的数学知识去构造出一个适合题意的函数 模型，这个函数模型一定要是学生在日常学习中经常用到的、熟知其结构特点的函数模型， 然后利用构造出来函数的性质去解决问题，找出答案。而方程思想则是从问题的数量关系入手，找出题目中所给条件和所求问题之间的等量关系，然后以方程或是不等式的形式反映出来，进行通过求解来找出问题的答案。但是，函数与方程的表达方式并不是一成不变的，很 多情况下都可以进行转化。面对已知条件和未知问题等量关系比较清晰的情况，就可以将函 数转化为方程，通过方程的求解或是不等式性质的变换来解决问题；面对函数特点明确（如 奇偶性、单调性）的情况，就需要将方程问题转化为函数问题，利用函数性质来解决数学问题。在高中阶段，我们将函数思想、方程思想以及二者相互进行转化的思想统称为函数与方 程思想，在具体的解题过程中，以下两个方面问题的求解需要经常应用到函数与方程思想。 一方面是在求解一些试题时迅速建立函数关系式或是构造出中间函数，进行转化，将其他问 题转化为函数问题；另一方面是充分发挥函数性质的特性，用以解决方式、不等式以及参数 范围讨论的问题。总的来说，适当的应用函数方程思想，能够有效降低数学试题的难度。 二、函数与方程思想的具体应用 高中学习阶段，函数与方程的表达式是可以相互转化的。以方程为例，方程的左右两端各有 一个表达式，这两个表达式可以看作是两个函数式，而方程的求解过程也就是对函数式进行 变形解答的过程，方程的解就是两个函数式反馈到图形上的交集。同样的，多个函数式共同 组成的求解范围也可以以方程的形式表达出来。在具体的解题过程中，要善于挖掘题目中给 出的隐藏条件，有意识地运用函数与方程思想进行解题。具体到高中知识，在进行以下几个 方面的试题解答时应用函数与方程思想有时候能够起到事半功倍的作用。 一是在不等式解题中的应用。不等式是等式的一种特殊形式，不等号两端各有一个函数式， 但在实际解题时往往要通过等式进行解答，这就是方程。以函数f(x)为例，当讨论函数f(x)与 某一定值的大小关系时，就可以转化为不等式问题。二是在集合问题中的应用。从学习层次 上来看，集合可以看作是函数内容的基础知识，函数方程思想自然也适用于集合问题。在集 合问题中，大部分是用变量去研究问题，通过不同的变形去建立函数关系或是构造函数，近 而应用函数性质去解题。同时，高中阶段学习中遇到的变量大部分都是有一定的定义域的， 从而构造出来的函数关系或是函数模型自然也有相对应的值域，这样一来，又转化成为方程 问题。三是在数列问题中的应用。数列是高中数学中的一个重要知识点，从函数的角度来看，
函数方程思想的应用举例 函数方程思想是中学数学中最大体、最重要的数学思想，也是历年高考的重点。 函数的思想确实是用运动和转变的观点，分析和研究数学问题。具体来讲，即先构造函数，把给定问题转化为研究辅助函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最值、极值等）问题，研究后得出所需要的结论。函数方程思想确实是将数学问题转化为方程或方程组问题。通过解方程（或方程组）或运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决。函数与方程思想是紧密相关的，函数，当时，就转化为方程或看做方程；而方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标。函数与不等式也能够彼此转化，对函数，当时，确实是不等式，而求的解那么可比较函数图象位置而取得。 一. 构造函数思想 例1. 证明不等式 分析：由所证不等式很容易想到比商法，但a、b的正负无法确信，即便分类后，当a、b都为正数时，其商 也无法与1比大小，思路受阻。再观看不等式两边形式类似，略加变形即为，即可联想到函数，就只需证了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决。 解：令 在上， 则在上为增函数 则，即 因此。 点评：应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判定函数的有关性质。 例2. 已知，关于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的范围。 分析：咱们适应上把x看成自变量，构造函数，于是问题转化为：当时，
恒成立，求x范围，但要解决那个问题要用到二次函数和二次方程的区间根原理。相当复杂。而若是把m看做自变量，x视为参数，原不等式化为，构造函数为m的一次 函数，在上恒大于0，如此就超级简单。 解：因为， 因此， 即 原不等式可化为恒成立，又 因此，令为m的一次函数，问题转化为在上恒大于0的问题。 那么只需 解得或 即。 点评：注意到此题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应付参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，从头构造函数。 二. 构造方程思想 例3. 已知，那么有（） A. B. C. D. 分析：原式变成，那么是实系数一元二次方程的一个实根，故 ，应选C。 点评：通过简单转化，灵敏地抓住了数与式的特点，运用方程思想使问题迎刃而解。 例4. 已知，且，那么a的范围为_______。
函数与方程思想在解高考题中的应用 在数学教学中，加强对学生的数学思想和数学方法培养是非常重要的，在高中数学中一个重要的数学思想就是函数与方程的思想，从构造函数和方程的方法分析数学问题，解决数学问题。在历年的高考题中，在一些题目的解答过程中，函数与方程思想得到了很好的体现，本文结合一些高考题目，对函数与方程思想在解题中的应用问题进行了简要的阐述。 标签：函数方程数学思想应用 数学的思想方法是高中数学学习中的精髓，是学生具有一定数学知识、数学素质和数学能力以后，在思想方面比较系统的、较高层次的体现。从高考的情况来看，函数与方程的思想是历年来考察的重点，选择题和填空题主要从这一思想的基本运算方面进行考察，解答题中主要是在知识网的交汇处，对这一思想方法的综合运用能力方面进行考察。因此，我们有必要针对高考认真探讨函数与方程思想。 一、函数与方程思想概述 函数思想主要是指针对某一个数学问题，构造出一个函数，然后利用函数的性质分析和解决问题。方程思想是对数学问题中的字母所代表的数量关系进行分析，进而确定各字母的值和字母间的等量关系，通常通过方程或者不等式的形式反映出来，然后利用方程或者不等式的性质求解，使数学问题得到很好的解决。在一定条件下，函数和方程是可以转化的，我们在高考中，特别是在解一些比较复杂的题目时，就需要将函数和方程进行互相转化，有时候是将方程和不等式转化为函数，利用函数性质来解决数学问题，有时候是将函数转化为方程，通过求解或者利用方程和不等式的性质解决问题。函数思想、方程思想、函数和方程互相转化思想统称为函数与方程思想，函数与方程思想在解题中的应用有两个方面的表现：一方面借助初等函数的性质，解决关于求值、解不等式、解方程和讨论参数取值范围等方面的数学问题；另一方面是在解决数学问题的时候通过建立函数关系式，或者根据有关数量关系构造中间函数，把其他数学问题转化为函数问题，将比较复杂的数学问题简单化。 二、函数与方程思想在高考中的解题方法归类 在高考中，函数与方程思想应用非常普遍，在解题方法方面各不相同，但是，总体上来讲，主要有以下几种方法： （一）利用方程组解题的方法 1994年高考题，第18题：已知，，则的值为多少。解题过程中，我们首先设，则可以变形为，而且（因为），根据以上方程组，可以求解得到，而。
函数与方程思想应用举例 江苏省扬中市第二高级中学 郭炜 题型一 函数与方程思想在不等式﹑函数方程中的应用 函数与方程﹑不等式密切相关,利用函数概念﹑性质﹑图象,把方程﹑不等式问题转化为函数问题求解,特别在不等式的证明﹑含参数的范围问题中有着广泛的应用 例1．已知a b c d ，，，是不全为零的实数，函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．方程()0f x =有实数根，且()0f x =的实数根都是(())0g f x =的根；反之，(())0g f x =的实数根都是 ()0f x =的根． （1）求d 的值；（2）若0a =，求c 的取值范围；（3）若1a =，(1)0f =，求c 的取值范围． 本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力． 解：（1）设r 为方程的一个根，即()0f r =，则由题设得(())0g f r =．于是， (0)(())0g g f r ==，即(0)0g d ==．所以，0d =． （2）由题意及（1）知2()f x bx cx =+，32()g x ax bx cx =++． 由0a =得b c ，是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+， 则[]22(())()()()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++． 方程()0f x =就是()0x bx c +=．① 方程(())0g f x =就是22 ()()0x bx c b x bcx c +++=．② （ⅰ）当0c =时，0b ≠，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅱ）当0c ≠，0b =时，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅲ）当0c ≠，0b ≠时，方程①的根为10x =，2c x b =-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程22 0b x bcx c ++=的实数根． 由题意，方程2 2 0b x bcx c ++=无实数根，此方程根的判别式22 ()40bc b c ∆=-<，得04c <<． 综上所述，所求c 的取值范围为[)04，． （3）由1a =，(1)0f =得b c =-，2 ()(1)f x bx cx cx x =+=-+， 2 (())()()()g f x f x f x cf x c ⎡⎤=-+⎣⎦．③ 由()0f x =可以推得(())0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根．