金山中学 2012 届高三第一学期期中考试
文科数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的．
1．已知集合 A ? ?x y ? lg(4 ? x 2 )?， B ? ?y y ? 1?，则 AI B ? （ ）
A．{x ? 2 ? x ?1} B．{x 1? x ? 2} C．{x x ? 2}D．{x ? 2 ? x ?1或x ? 2}
2．下列函数中既是奇函数，又在区间 (0,??) 上单调递增的是 （ ）
A． y ? sin x B． y ? ?x 2 C． y ? x lg 2 D． y ? ?x 3
3. “ a ? 0 ”是“函数 y ? ln | x ? a | 为偶函数”的 （ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4． 下 列 结 论 错 误 的 是 （ ）
A． 命 题 “若 p ， 则 q ”与 命 题 “若 ?q, 则 ?p ”互 为 逆 否 命 题 ；
B． 命 题 p :?x ?[0,1],ex ?1， 命 题 q : ?x ? R, x2 ? x ?1? 0, 则 p ? q 为 真 ；
C． “若 am2 ? bm2 , 则 a ? b ”的 逆 命 题 为 真 命 题 ；
D． 若 p ? q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题．
3 3
5．已知点 P(sin ? ,cos ? ) 落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为( )
4 4
? 3? 5? 7?
A． B. C. D.
4 4 4 4
?
6．函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (A ? 0,? ? 0,|? |? ) 的部分
2
图象如图所示，则ω,ψ的值分别为( )
? ? ?
A．2，0 B．2， C．2， ? D．2，
4 3 6
7．已知函数 f(x)是（-∞,+∞）上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x+2)=f(x)，且当 x∈
[0，2）时，f(x)=log2(x+1)，则 f(-201O)+f(2011)的值为( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8. O 是 ?ABC 所在的平面内的一点，且满足（ OB － OC ）·（ OB + OC －2 OA ）= 0，
则 ?ABC 的形状一定为（ ）
A．正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形
9．如图所示， A, B,C 是圆 O 上的三个点， CO 的延长线与线段 AB 交
uuur uuur uuur
于圆内一点 D ,若 OC ? xOA ? yOB ，则 （ ）
A． 0 ? x ? y ?1
B． x ? y ?1
1
C． x ? y ? ?1 D． ?1? x ? y ? 0
10． f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ? 0 时 f (x) ? x2 ，若对任意的
x ?[?2 ? 2,2 ? 2]不等式 f (x ? t) ? 2 f (x) 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ）
A．[ 2,??) B． (??,? 2] C．[4 ? 3 2,??) D． (?? ? 2,]?[4 ? 3 2,??)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
? 4
11．已知 cos( ?? ) ? ，则 cos 2? ? ．
2 5
ur uur ur uur ur uur
?
12．在平面上给定非零向量 e1,e2 满足| e1 |? 3,| e2 |? 2 ， e1,e2 的夹角为 60 ，则
ur uur
| 2e1 ? 3e2 | 的值为 ．
13．规定符号“? ”表示一种两个正实数之间的运算，即 a *b = ab ? a ? b , a,b 是正实
数，已知 1? k =3,则函数 f (x) ? k ? x 的值域是 ．
14．若函数 f (x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数
据如下：
f (1) ? ?2 f (1.5) ? 0.625 f (1.25) ? ?0.984
f (1.375) ? ?0.260 f (1.4375) ? 0.162 f (1.40625) ? ?0.054
那么方程 x3 ? x2 ? 2x ? 2 ? 0 的一个近似根（精确到 0.1 ）为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
5 3
15．（本小题满分 12 分）已知函数 f (.x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ? .
2
(1)确定函数 f(x)的单调增区间；
?
(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移?(0 ? ? ? ) 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，求
2
φ的值。
r 1 1 3 r r r
16．（本小题满分 12 分）已知 a ? ( , sin x ? cos x) ， b ? (1, y) ，且 a // b ．设函数
2 2 2
y ? f (x) ．
（1）求函数 y ? f (x) 的解析式；
?
（2）若在锐角 ?ABC 中， f (A ? ) ? 3 ，边 BC ? 3 ，求 ?ABC 周长的最大值．
3
2
?
17.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，
O 为坐标原点，已知向量 a ? (?1,2) ，又
?
点 A(8,0), B(n,t),C(k sin?,t)(0 ? ? ? ) ．
2
? uuur uuur uuur
（1）若 AB ? a ，且| AB |? 5 | OA |，求向量 OB ；
uuur ?
（2）若向量 AC 与向量 a 共线，当 k ? 4 时，且 t sin? 取最大值为 4 时，求 OA?OC ．
18.（本小题满分 14 分）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角
为 60? （如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 3
平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为 x （米），外周长（梯形的上底线
段 BC 与两腰长的和）为 y （米）.
⑴求 y 关于 x 的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 米，则其腰长 x 应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最
小）？求此时外周长的值.
1
19．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) ? x3 ? (2a ?1)x2 ? 3a(a ? 2)x ?1， a ? R ．
3
（1）当 a ? 0 时，求曲线 y ? f (x) 在点（3, f (3) ）处的切线方程；
（2）当函数 y ? f '(x) 在（0）,4 上有唯一的零点时，求实数 a 的取值范围．
n *
20.（本小题满分 14 分）已知定义在实数集上的函数 fn(x)=x ，n∈N ，其导函数记为
/
f n (x)
/ f 2 (x2 ) ? f 2 (x1 )
，且满足 f 2 [x1 ? a(x2 ? x1 )] ? ，a，x1，x2 为常数,x1≠x2．
x2 ? x1
(1)试求 a 的值；
(2)记函数 F(x) ? b ? f1 (x) ? lnf3 (x) ，x∈（0，e]，若 F(x)的最小值为 6，求实数 b 的值；
3
b x
(3)对于(2)中的 b，设函数 g(x) ? ( ) ，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
y2 ? y1
两点，若 g'(x0 ) ? ，试判断 x0，x1，x2 的大小，并加以证明．
x2 ?x1
参考答案
一、选择题：
BCACD DCCCB
二、填空题：
7
11． ? ； 12.6； 13.(1,+∞); 14.1.4;
25
三、解答题：
5 5 3 5 3 5 5 3
15．解： f (x) ? sin 2x ? (1 ? cos 2x) ? ? sin 2x ? cos 2x
2 2 2 2 2
1 3 ?
? 5( sin 2x ? cos 2x) ? 5sin(2x ? ) ．………4 分
2 2 3
? ? ? ? 5?
(1) 2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? ，
2 3 2 12 12
? 5?
所以 f(x)的单调增区间为[k? ? , k? ? ] ,(k∈Z). ............. 8 分
12 12
?
(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移?(0 ? ? ? ) 个单位长度，得
2
?
y ? 5sin(2x ? 2? ? )
3
? ?
的图象，其图象对称轴方程为： 2x ? 2? ? ? k? ? (k ? Z) ，……10 分
3 2
k? 5? ? 5?
?? ? ? ，由 0 ? ? ? 得? ? ． ……12 分
2 12 2 12
r r 1 1 3
16．解：(1) 因为 a // b ，所以 y ? sin x ? cos x ， ………2 分
2 2 2
?
所以 f (x) ? 2sin(x ? ) ………4 分
3
? ? ?
(2) ∵ f (A ? ) ? 2sin(A ? ? ) ? 2sin A ? 3 ，
3 3 3
3 ? ?
∴ sin A ? ．∵ A?(0, ) ，∴ A ? ． ………6 分
2 2 3
BC 3
又 BC ? 3 ， 由正弦定理知， ? 2R 得 2R ? ? 2 ，
?
sin A sin
3
∴ AC ? 2sin B ， AB ? 2sin C ，
4
2?
∴ ?ABC 的周长为 3 ? 2sin B ? 2sin C ? 3 ? 2sin B ? 2sin( ? B) ………8 分
3
3 1 ?
? 3 ? 2sin B ? 2( cos B ? sin B) ? 3 ? 2 3 sin(B ? ) ． ………10
2 2 6
分
? ?
0 ? B ?
?
2 ? ? ? ? 2?
∵ ? ，∴ ? B ? ，则 ? B ? ? ，
2? ? 6 2 3 6 3
?0 ? ? B ?
?? 3 2
3 ?
所以 ? sin(B ? ) ?1，∴ ?ABC 周长的最大值为 3 3 ． ………12 分
2 6
?
17．解：（1）∵ AB ? (n ? 8,t) ， AB ? a ，∴8 ? n ? 2t ? 0 ……2 分
uuur uuur
又∵| AB |? 5 | OA |，∴ (n ? 8) 2 ? t 2 ? 5t 2 ? 5? 64 ，得 t ? ?8 ……4 分
uuur uuur
?OB ? (24,8) 或 OB ? (?8,?8) ……6 分
uuur uuur ?
(2)AC ? (k sin? ?8,t) ， Q AC 与 a 向量共线, ?t ? ?2k sin? ?16 ……8 分
4 32
∵ t sin? ? (?2k sin? ?16)sin? ? ?2k(sin? ? ) 2 ?
k k
4 4 32
∵ k ? 4 ∴1 ? ? 0 ，∴当 sin? ? 时， t sin? 取最大值为 ，……10 分
k k k
32 ? uuur
由 ? 4 ，得 k ? 8 ，此时? ? ,OC ? (4,8) ，……12 分
k 6
∴ OA?OC ? (8,0) ? (4,8) ? 32 ． ……14 分
1 x 3
18．解：⑴ 9 3 ? (AD ? BC)h ，其中 AD ? BC ? 2? ? BC ? x ， h ? x ，
2 2 2
? 3
?h ? x ? 3
1 3 18 x ? 2
∴ 9 3 ? (2BC ? x) x ，得 BC ? ? ， 由 ? ，得 2 ? x ? 6
2 2 x 2 18 x
?BC ? ? ? 0
?? x 2
18 3x
∴ y ? BC ? 2x ? ? ,(2 ? x ? 6) ； ………6 分
x 2
18 3x
⑵ y ? ? ?10.5 得 3 ? x ? 4 ∵[3,4] ? [2,6) ∴腰长 x 的范围是 [3,4] ………10 分
x 2
18 3x 18 3x 18 3x
⑶ y ? ? ? 2 ? ? 6 3 ，当并且仅当 ? ，即 x ? 2 3 ?[2,6) 时等号成
x 2 x 2 x 2
5