高三数学考试（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合2
{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）
A ．(1,2]
B ．91,4
?? ???
C ．31,2
?? ???
D ．(1,)+∞
2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知7
2
sin cos ,2sin cos 5
5
αααα+=--=-，则cos2α=（ ） A ．
725
B ．725
-
C ．1625
D ．1625
-
4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．
的是（ ）
A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24
ABC C a S π
=
==△，则
232sin 3sin sin a c b
A C B
+-=+- （ ）
A
B ．
C ．
D ．
6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()
432a b a b -?+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π
7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）
A ．向左平移
3π
个单位长度 B ．向右平移
3
π
个单位长度
C ．向左平移
6
π
个单位长度 D ．向右平移
6
π
个单位长度 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线2
2:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2
P x 在1
C 上，且13
4
PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12
-
B ．14-
C ．13
-
D ．1
5
-
9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．
6,AC BD == ）
A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
23
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） A
B
C
D
．
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，
(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ?取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，
则
1
2
S S =（ ） A ．4
B ．8
C
．
D ．
12．已知函数()ln (0,1)x x
f x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒
成立，则a 的取值范围为（ ） A ．2
1,2
e ?????
?
B ．[,)e
e +∞
C ．1,2??+∞????
D ．2[,]e
e e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在4
2x x ??+ ??
?的展开式中，含2
x -的项的系数是 ．
14．已知实数,x y 满足12,3321,1
4,
2y x y x y x ?
-+??
--???+?
≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．
15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=
222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．
16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积
3
V =
，则CD = ． C
A
B
D
M
N O
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有1
11
n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）
某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：
（1）求出表中x ，y （2
（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C
类人数差的绝对值，求X 的数学期望．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
19．（12分）
如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．
（1）证明：//PQ 平面ABCD ；
（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．
A
B
C
D
E
F P
Q
20．（12分）已知F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
21．（12分）
设函数()(1)1x
x
f x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y α
α
=??
=+?（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段
OM 绕O 点顺时针旋转90?得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3
π
θρ=
≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点
（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =
时，求不等式1
()2
f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．
高三数学考试（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合2
{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）
A ．(1,2]
B ．91,4
?? ???
C ．31,2
?? ???
D ．(1,)+∞
1．答案：C
解析：因为3{|1},02A x x B x x ??
=>=????≤≤，所以312A
B x x ??=
?≤．
2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．答案：D
解析：因为64i
32i 1i
z -=-=+-，所以2i z =-． 3．已知72
sin cos ,2sin cos 55
αααα+=--=-，则cos2α=（ ）
A ．725
B ．725-
C ．1625
D ．16
25
-
3．答案：A
解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα?
+=-????-=-
??
，所以3sin 5α=-，从而2
7cos 212sin 25αα=-=．
4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对
统计图理解错误．．
的是（ ）
A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D
解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．
5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24
ABC C a S π
=
==△，则
232sin 3sin sin a c b
A C B
+-=+- （ ）
A
B
．
C
．
D
．
5．答案：B
解析：11,4,sin 424
22ABC C a S ab C b π
=
==
=??=△
，得b = 2222cos 10c a b ab C =+-=
，即c =
2322sin 3sin sin sin a c b c
R A C B C
+-===+-．
6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()
432a b a b -?+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 6．答案：D
解析：因为()()
2
2
4343112,2,1a b a b a b a b a b -?+=-+?===，所以1a b ?=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ?=?==-，得
1cos 2θ=-
，所以23
πθ=． 7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =
-的图象（ ）
A ．向左平移3π
个单位长度
B ．向右平移
3π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度
D ．向右平移6
π
个单位长度
7．答案：D
解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ??
?
?
=-=-+=-+ ? ??
???
，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos 2y x x =
-的图象向右平移
6
π
个单位长度即可． 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线2
2:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2
P x 在1
C 上，且13
4
PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12
-
B ．14-
C ．13
-
D ．1
5
-
8．答案：B 解析：因为134PF =
，所以13224p +=，解得22
121211.:,:4,(0,),(1,0)24
p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为1
1
4014
=
--．
9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．
6,AC BD == ）
A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
23
9．答案：C
解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2
BD AB BC =?，设
(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于
22
231222
2
2
ππππ??
???-+
= ??
?，故概率24
19
92
P ππ==?． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） A
B
C
D
．
10．答案：
C
解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE
∠
，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ====
=
，
tan ACE ∠=
A
B
C
D E
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，
(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ?取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，
则
1
2
S S =（ ）
A ．4
B ．8
C
．
D
．
11．答案：A 解析：由2c
e a
=
=
，得2,c a b ==，故线段MN
所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可
设()P m a ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，
得
12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ?=+-
223134()44m a a =+
-．由于[,0]m a ∈-，可知当3
4
m a =-时，12PF PF ?
取得最小值，此时4P y a =， 当0m =时，12
PF PF ?取得最大值，此时P y =，则
2
1
4S S ==． 12．已知函数()ln (0,1)x x
f x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒
成立，则a 的取值范围为（ ） A ．2
1,2e ?????
?
B ．[,)e
e +∞
C ．1,2??+∞????
D ．2[,]e
e e
12．答案：B
解析：因为()ln x
x
f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x
x
x
x
f x a a e a a a e '=+-=-+．
当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0x
a a -<≤，
恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -
2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，
min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在4
2x x ??+ ??
?的展开式中，含2
x -的项的系数是 ．
13．答案：32
解析：44214422r
r r r
r r r T C x C x x --+??==? ???
，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334
232C ?= 14．已知实数,x y 满足12,3321,1
4,
2y x y x y x ?-+??
--???+?
≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．
14．答案：4-
解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 取得最大值4-．
15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=
222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．
15．答案：4-
解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0
(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．
16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积
3
V =
，则CD = ． 16
．答案：
解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体
A BCD -的外接球半径为r
，由3433
V r π==
，得r =2CD x =，在Rt OAN △中，
1ON ===，在Rt ADN △
中，DN ==Rt DMN △中，
MN
1OM MN ON =-，在Rt ODM △中，
222OM OD DM =-
，由221)2x =-
，解得x =
CD =
C
A
B
D
M
N O
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分． 17．（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有1
11
n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分
又对任意正整数n ， 1
11
n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S S
n n
+-=+，………………………………………………3分
即数列n S n ??
????
是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以
n
S n n
=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *
=-∈．…………………………………………………………………6分
解法2：由
1
111
n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在
111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212
S
a +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．
（2）由（1）可得21
22
n n n n a n b -=
=，……………………………………………………………………7分 所以2311352321
22222n n n
n n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分
则234111352321222222
n n
n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得234111222221
2222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分
整理得1113221323
222222
n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分
所以23
32
n n
n T +=-．……………………………………………………………………………………12分 18．（12分）
某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：
（1）求出表中x ，y （2
（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和
C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
18．解析：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则12201200122000
2080082000n n ??==?????==??
,……1分
所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分
8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分
（2）列联表如下：
5分
2
K 的观测值220(4628)10
0.159 2.70612814663
k ??-?=
=≈
（3）X 的可能取值为0，1，2，3，
则311132333
819
(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 31211221
333223233
83
(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 2121
23333
83
(2)14
C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分
33381
(3)56
C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分
所以19313151
0123567145656
EX =?
+?+?+?=
．………………………………………………………12分 19．（12分）
如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．
（1）证明：//PQ 平面ABCD ；
（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．
A
B
C
D
E
F P
Q
19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ?平面ADF ，BC ?平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ?平面BCPQ ，平面BCPQ
平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分
又因为PQ ?平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：
,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ?平面BCE ，所以
CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C 为
坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设
1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分
设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0
n AD ty n AF x ty z ??=-=???=--+=??，令1x =，得(1,0,1)n =…9分
易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2
cos n m n m
θ?==
?，……………………………11分 所以4
πθ=
，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为
4
π．
20．（12分）
已知F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分
由2222491
4
a b
a b ?+=???-=?
，得2
21612a b ?=??=??，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，
令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分
由22
11612(2)x y y k x ?+=???=-?
，得2222
(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3)
,4343
k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分
设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631
,,22822
y y k k k k k x x ---=
===----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-，
所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ??
--+=
+=+-+ ?------??
1212124
232()4
x x k x x x x +-=-?
-++． ②……………………………………………………………………10分
把①代入②，得2
2
1222
2
216443232116(3)3244343
k k k k k k k k k k -++=-?
=---+++．………………………………11分 又31
2
k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分
21．（12分）
设函数()(1)1x
x
f x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．
21．（1）解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分 因为()(1)1x
x
f x xe a e =+-+，所以()(1)x
f x x a e '=+-．…………………………………………2分 所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；
当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 （2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，
即1(1)11
111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1
()1
x x g x x e +=+-，则22
1(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分 设函数()2,()10x
x
h x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．
又2
(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………………………9分 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．
所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分
又由()0g k '=，可得2k
e k =+，所以1
()1(2,3)1
k
k g k k k e +=+
=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分
解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．
①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知1
11(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，
设1
()1(1)x g x x e
x -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，
又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y α
α=??
=+?
（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段
OM 绕O 点顺时针旋转90?得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3
π
θρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点
（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．
22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为2
2
(5)25x y +-=，即2
2
100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为2
10sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ?
?
+
??
?
，代入1C 的极坐标方程得10sin()2
π
ρθ=+
，
即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分
（2）将3
πθ=
代入12,C C 的极坐标方程得,5,33A B ππ??
?? ? ??
???
，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523
TOA S OA OT π
=
?=△，………………………………………………8分 1
sin 23
TOB S OB OT π
=
?=△，……………………………………………………………………9分
所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =
时，求不等式1
()2
f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．
23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m
f x x m x m x m m x m x m x m --??
=+--=--<
≤≥．……………………1分
（1）当12m =时，3
1,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ?--??
?
=--<
?-+??
≤≥ …………………………………………………………2分
所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ?-????-??≥≤或113,221122x x ?-????-<
12
x x ?-+??????≥≥
，…………………………3分
解得1
132x <
≤或1
12
x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x
x ??
≤．………………………………………………………………………5分 （2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+?+--≤，
令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分
由3,()3,3,x m x m
f x x m m x m x m x m --??
=--<
≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分
因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即7
2
m <
，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2?? ???
．…………………………………………………………10分
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2020年安徽高考理科数学试题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若z=1+i，则|z2–2z|= A．0 B．1 C．2D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A 51 - B 51 - C 51 + D 51 + 4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温 度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20) i i x y i=得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+ D ．ln y a b x =+ 6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6 f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为 A ． 10π 9 B ． 7π6 C ．4π3 D ．3π2 8．2 5()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2015年安徽省高考数学试卷（理科） 一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1 3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（） A． x2﹣=1 B． ﹣y2=1 C． ﹣x2=1 D． y2﹣=1 5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（） A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（） A．8B．15 C．16 D．32 7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．2 8．（5分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B． ⊥C．?=1 D． （4+）⊥ 9．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
2014年安徽省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i?=（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i 2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（） A．34B．55C．78D．89 4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t 为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（） A．B．2C．D．2 5．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不
唯一，则实数a的值为（） A．或﹣1B．2或 C．2或﹣1D．2或1 6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（） A．B．C．0D．﹣ 7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） A．21+B．18+C．21D．18 8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（） A．24对B．30对C．48对D．60对 9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8B．﹣1或5C．﹣1或﹣4D．﹣4或8 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，?=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2018年6月1日15:00绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 理科数学（全国III 卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ∈R |x 2?2x ≥0}，B ={?1 2，1}，则(C R A )∩B =（ ） A. ? B. {?1 2 } C. {1} D. {?1 2 ，1} 2．设复数z = 1 1+i ，则z ?z =（ ） A. 1 2 B. √2 2 C. 1 2i D. √2 2i 3已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（） A. 31 B. 63 C. 16 D. 127 4．设,x y 满足约束条件202020x y x y x y -≥??+-≥??--≤? ，则2 2y x ++的最大值为（ ） A. 1 B. 45 C. 12 D. 23 5．函数f(x)=sin(ωx +φ)+1（ω>0，|φ|<π2 ）的最小正周期是π，若其图象向左平移π3 个单位后得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（ ） A.关于点(?π 12?，1)对称 B.关于直线x =π 12对称 C.关于点(?π 6?， 0)对称 D.关于直线x =π 3对称 6. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为12,A A ，…14,A ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知A(?3?,?0)，B(0?,?4)，点C 在圆(x ?m)2+y 2=1上运动， 若△ABC 的面积的最小值为5 2，则实数m 的值为 A. 1 2或11 2 B. ?11 2或?1 2 C. ?1 2或11 2 D. ?11 2或1 2
2016年安徽省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3） 2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） A．B．C．D． 5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B． C．D． 8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、 E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()
(A)k 1
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
安徽省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 2．（5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（） ．C D． 5．（5分）（2013?安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88， 6．（5分）（2013?安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（） （ （
8．（5分）（2013?安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…， x n，使得=…=，则n的取值范围是（） 9．（5分）（2013?安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（） ．C D． 10．（5分）（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上 11．（5分）（2013?安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________． 12．（5分）（2013?安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________． 13．（5分）（2013?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________． 14．（5分）（2013?安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．
全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2
2013年安徽省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z?）i+2=2z，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（） A．B．C．D． 3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（） A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4．（5分）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确
的是（） A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 6．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（） A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2} 7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2 C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1 8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（） A．{3，4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3} 9．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=?=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（） A．B．C．D． 10．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（） A．3 B．4 C．5 D．6
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ）
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ?u u u v u u u v = A . -3 B. -2 C. 2 D. 3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A. B. C. D. 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ．1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C {|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+