§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切
2014高考会这样考 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质．
复习备考要这样做 1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．
1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β (T (α－β))
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β (T (α＋β))
2． 二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变
形用等．如T (α±β)可变形为
tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.
4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝
a 2＋
b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2
cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源]
三角变换中的“三变”
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α
tan β
的值为______________________．
答案
7
13
解析 由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝2
3，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1
5，
得sin αcos β＝730，cos αsin β＝13
30，
所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝7
13
.
2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．
答案 ????－π8＋k π，3π
8＋k π (k ∈Z ) 解析 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x
＝2×1－cos 2x
2＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＋1
＝2sin ?
???2x －π
4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π8＋k π≤x ≤3π
8
＋k π，k ∈Z .
所以所求区间为????－π8＋k π，3π
8＋k π (k ∈Z )． 3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ????α＋π6＝4
5
，则 sin ????2α＋π
12的值为________． 答案
172
50
解析 ∵α为锐角且cos ????α＋π6＝45
，
∴sin ????α＋π6＝35
. ∴sin ?
???2α＋π
12＝sin ???
?2????α＋π6－π4 ＝sin 2????α＋π6cos π4－cos 2????α＋π6sin π4 ＝2sin ????α＋π6cos ????α＋π6－2
2????2cos 2????α＋π6－1 ＝2×35×45－22????2×????452－1 ＝
12225－7250＝17250
. 4．(2012·江西改编)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2
，则tan 2α＝_____________________________.
答案 34
解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝1
2，解得tan α
＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝3
4
. 5． (2011·辽宁改编)设sin(π4＋θ)＝13
，则sin 2θ＝___________.
答案 －7
9
解析 sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝1
3
，
将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－7
9
.
题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：
? ??
??1tan α2－tan α2·????1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．
解 (1)? ??
??1tan
α2－tan α2·????1＋tan α·tan α2
＝? ????cos α2sin α2－sin α2cos α2·
? ????
1＋sin αcos α·sin α
2cos α2
＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin
α
2cos αcos
α2
＝
2cos αsin α·cos
α2
cos αcos
α2
＝2sin α
. (2)原式＝? ????2sin 50°＋sin 10°×
cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°
＝? ?????2sin 50°＋2sin 10°×
12cos 10°＋32sin 10°cos 10°×2cos 10°
＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×
3
2
＝ 6. 探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构/
与特征．
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有 ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．
在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C
2
＋
3tan A 2tan C
2的值为________．
答案
3
解析 因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，
tan
A ＋C
2
＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C
2
＝tan ????A 2＋C 2????1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3????1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C
2＝ 3.
题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题
例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ????α－β2＝－19
，sin ????α2－β＝2
3，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
思维启迪：(1)拆分角：α＋β2＝????α－β2－????
α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π
2<α<π，
∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β
2<π，
∴cos ????α2－β＝1－sin 2????α2－β＝5
3， sin ????α－β
2＝1－cos 2????α－β2＝459，
∴cos
α＋β2
＝cos ????????α－β2－????α2－β ＝cos ????α－β2cos ????α2－β＋sin ????α－β2sin ????α
2－β ＝????－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2
α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239
729
. (2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝
tan (α－β)＋tan β
1－tan (α－β)tan β
＝12－171＋12×17
＝13>0，∴0<α<π2，
又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝2×131－????132＝3
4>0， ∴0<2α<π
2
，
∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β
＝34＋171－34×17
＝1.
∵tan β＝－1
7
<0，
∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4
. 探究提高 (1)注意变角????α－β2－????α2－β＝α＋β2，可先求cos α＋β2或sin α＋β
2的值．(2)先由tan α＝tan[(α－β)＋β]，求tan α的值，再求tan 2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．
(3)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2
，求β.
解 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π
2
.
又∵cos(α－β)＝1314，cos α＝17，0<β<α<π
2，
∴sin α＝1－cos 2α＝43
7，
∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝33
14
， ∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.
题型三 三角等式的证明
例3 已知函数f (x )＝sin ????x ＋7π4＋cos ????x －3π4，x ∈R ，cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－4
5
，0<α<β≤π
2，求证：
[f (β)]2－2＝0.
思维启迪：三角条件等式的证明要观察条件和结论间的联系，逐步转换，注意消除两者角之间的差别．
证明 f (x )＝sin ????x ＋7π4－2π＋cos ????x －π4－π2 ＝sin ????x －π4＋sin ????x －π4＝2sin ???
?x －π
4.
由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝4
5，
cos βcos α－sin βsin α＝－4
5，
两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π
2.
∴[f (β)]2－2＝4sin 2π
4
－2＝0.
探究提高 三角条件等式或恒等式的证明，都应化繁为简，实现角、函数名称的统一．证明中要注意寻找题中角的联系、式子的联系，巧妙使用降次、公式逆用或变形用等技巧．
求证：sin (2A ＋B )sin A －2cos(A ＋B )＝sin B
sin A
.
证明 左边＝sin[(A ＋B )＋A ]－2cos (A ＋B )sin A
sin A
＝sin (A ＋B )cos A ＋cos (A ＋B )sin A －2cos (A ＋B )sin A
sin A
＝sin (A ＋B )cos A －cos (A ＋B )sin A
sin A
＝
sin[(A ＋B )－A ]sin A ＝sin B
sin A
＝右边．
所以等式成立．
三角函数求值问题忽视角的范围
典例：(5分)已知tan α＝17，tan β＝1
3
，α、β均为锐角，则α＋2β的值为________．
易错分析 解题中往往不考虑α＋2β的范围或者范围过大，无法舍掉其中不适合的解导致错误．本题应结合“锐角”这个条件和函数值确定α、β的范围． 规范解答
解析 ∵α、β均为锐角，∴0<α<π2，0<β<π
2，
又tan α＝17<1，tan β＝1
3<1，
∴0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋2β<3π
4.
∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝3
4
，
tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β
1－tan α·tan 2β
＝17＋341－17×34＝1，
∴α＋2β＝π
4.
答案 π4
温馨提醒 在三角函数求值问题中，要结合题意正确确定题中角的范围，题中的函数值隐含了其中角的范围，范围的确定以三角函数值不产生增解为标准
.
方法与技巧 1． 巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1?tan x ·tan y )； 配方变形：1±sin α＝????sin α2
±cos α
22. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中
tan φ＝b
a
)有：a 2＋b 2≥|y |.
3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆
要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二
倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代
数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范
1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、
降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝
2
2
所对应的角α＋β不是唯一的．
3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1． (2012·江西改编)若tan θ＋1
tan θ
＝4，则sin 2θ＝________.
答案 12
解析 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1
sin θcos θ＝4，
得sin θcos θ＝1
4
，
则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝1
2
.
2． (2012·大纲全国改编)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝
3
3
，则cos 2α＝________. 答案 －
5
3
解析 ∵sin α＋cos α＝
33，∴(sin α＋cos α)2＝13
， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－2
3.
又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝3
3
>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3
4π(k ∈Z )，
∴4k π＋π<2α<4k π＋3
2π(k ∈Z )，
∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53
. 方法二 由sin α＋cos α＝
33 两边平方得1＋2sin αcos α＝1
3，
∴2sin αcos α＝－2
3
.
∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝
153
. 由??
?
sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝15
3
，得?????
sin α＝
3＋15
6，cos α＝
3－15
6
.
∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－
53
. 3． 已知α，β都是锐角，若sin α＝
55，sin β＝1010
， 则α＋β＝________. 答案 π
4
解析 由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝25
5
， cos β＝1－sin 2β＝310
10
.
所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22
， 所以α＋β＝π4
.
4． (2011·福建改编)若α∈???0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝1
4
，则tan α的值等于________． 答案
3
解析 ∵α∈???0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝1
4， ∴cos α＝12或－1
2(舍去)，
∴α＝π
3
，∴tan α＝ 3.
5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________．
答案 5
4
解析 由诱导公式及倍角公式， 得cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15° ＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝54.
6.
3tan 12°－3
(4cos 2
12°－2)sin 12°
＝________.
答案 －4 3
解析 原式＝3sin 12°
cos 12°
－3
2(2cos 212°－1)sin 12°
＝23????12sin 12°－32cos 12°
cos 12°
2cos 24°sin 12°
＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°
sin 24°cos 24°
＝
－23sin 48°
1
2
sin 48°＝－4 3.
7． sin α＝35，cos β＝3
5
，其中α，β∈????0，π2，则α＋β＝_____________________________. 答案 π
2
解析 ∵α、β∈????0，π
2，∴α＋β∈(0，π)， ∴cos α＝45，sin β＝4
5
，
∴cos(α＋β)＝45×35－35×45＝0，∴α＋β＝π
2.
二、解答题(共27分) 8． (13分)已知
1＋sin α
1－sin α－
1－sin α
1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．
解 因为1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
＝(1＋sin α)2
cos 2α－
(1－sin α)2
cos 2α
＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α
|cos α|
＝
2sin α
|cos α|
， 所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.
所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.
故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π
2，k ∈Z }．
9． (14分)已知α∈????π2，π，且sin α2＋cos α2＝6
2
.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－3
5，β∈????π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，
两边同时平方，得sin α＝1
2.
又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π
2
<β<π，
所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π
2.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5.
cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－
32×45＋12×????
－35＝－43＋310
. B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1． (2012·山东改编)若θ∈????π4，π2，sin 2θ＝37
8
，则sin θ＝________. 答案 3
4
解析 ∵θ∈????π4，π2，∴2θ∈????π
2，π. ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1
8，
∴sin θ＝
1－cos 2θ2＝3
4
. 2． 已知tan(α＋β)＝2
5
，tan ????β－π4＝14，那么tan ????α＋π4＝________. 答案
3
22
解析 因为α＋π4＋β－π
4＝α＋β，
所以α＋π
4
＝(α＋β)－????β－π4，所以
tan ????α＋π4＝tan ????(α＋β)－????β－π4 ＝
tan (α＋β)－tan ???
?β－π41＋tan (α＋β)tan ????β－π4＝3
22. 3． 当－π2≤x ≤π
2
时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值是________，最小值是________．
答案 2 －1
解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2????12sin x ＋3
2cos x ＝2sin ????x ＋π3， 由－π2≤x ≤π2，得－π6≤x ＋π3≤5π
6.
所以当x ＋π3＝π
2时，f (x )有最大值2，
当x ＋π3＝－π
6
时，f (x )有最小值－1.
4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos ????
π4－α，则sin 2α＝_______________.
答案 1
2
解析 ∵α∈????0，π2，∴2α∈(0，π)，π
4－α∈????－π4，π4. 又cos 2α＝cos ????
π4－α， ∴2α＝π4－α或2α＋π
4
－α＝0，
∴α＝π12或α＝－π4(舍)，∴sin 2α＝sin π6＝1
2
.
5．已知cos ????π4－α＝1213，α∈????0，π4，则cos 2α
sin ???
?π4＋α＝_________________. 答案
1013
解析 ∵cos ????π4－α＝22(cos α＋sin α)＝1213， ∴sin α＋cos α＝122
13
，
1＋2sin αcos α＝288169，2sin αcos α＝119
169，
1－2sin αcos α＝50169，cos α－sin α＝52
13
，
cos 2αsin ????π4＋α＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α
＝2(cos α－sin α)＝10
13
.
6． 设x ∈????0，π2，则函数y ＝2sin 2
x ＋1sin 2x
的最小值为________． 答案
3
解析 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x
sin 2x ，
所以令k ＝2－cos 2x sin 2x
.又x ∈????0，π
2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1
sin 2x 的最小值为 3.
二、解答题(共28分)
7． (14分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ?
???ωx ＋π
6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；
(2)设α，β∈????0，π2，f ????5α＋53π＝－65，f ????5β－56π＝16
17，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π，得ω＝1
5.
(2)由??
?
f ????5α＋5
3π＝－6
5
，f ????5β－56π＝1617
得??
?
2cos ????15????5α＋53π＋π6＝－65
，2cos ????15????5β－56π＋π6＝1617，
整理得???
sin α＝35
，
cos β＝8
17
. ∵α，β∈???
?0，π
2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝15
17.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－13
85
.
8． (14分)设函数f (x )＝cos ?
???2x ＋π
3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ????C 2＝－1
4，且C 为锐角，求sin A .
解 (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x
2
＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－1
2cos 2x ＝12－3
2
sin 2x . 所以，当2x ＝－π
2＋2k π，k ∈Z ，
即x ＝－π
4＋k π，k ∈Z 时，
f (x )取得最大值，f (x )max ＝
1＋3
2
. (2)由f ????C 2＝－14，即12－32sin C ＝－1
4， 解得sin C ＝
32，又C 为锐角，所以C ＝π
3
. 由cos B ＝13求得sin B ＝22
3
.
因此sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝
223×12＋13×32＝22＋36
.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(T (α－β)) ⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(T (α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π α±. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知识梳理 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3 tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 3 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a 2 ■ 2 2 ■ 2 cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a 3. 有关公式的逆用、变形等 (1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3. 4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2 sin(a+ ?，其中 tan 一、选择题 1.给出如下四个命题 ②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cos sin sin 能成立； ③公式tan( ) tan an 成立的条件是 k —(k Z)且 k —(k Z)； 1 tan tan 2 2 ④不存在无穷多个 a 和3,使 sin( )sin cos co s ，sin ； 其中假命题是 ( ) A.①② B.②③ C. ③④ D. ②③④ 2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是 ( ) A. 1 . 2 B. .. 2 1 C. 、2 D. 2 ①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a 1 tan 2 a 2 (2)cos a= 1 + cos 2a 2 sin 2 a= 1 — COS 2a 2 - 2 (3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2 , sin a±cos a= 2sin a±4t .
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程
课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，
∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β 1tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2
两角和与差的正弦公式的有趣证明 江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300 一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式 如图1(a)，在一个边长为a＋b的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c2．现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a2＋b2．因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有a2＋b2＝c2，亦即证明了勾股定理． 我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了．不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的．现在将上面两个图“压扁”，成为图2： 如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin(α＋β)，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度．如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其
面积之和是msin α·ncos β＋mcos α·nsin β．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β)＝msin α·ncos β＋mcos α·nsin β，化简得sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin αcos β，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式．在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！ 二、无意中导出两角差的正弦公式 邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我．题目是这样的：如图，AD ⊥BD ，∠ACD ＝α，∠ABD ＝β，BC ＝a ，则AD ＝___________． 他的答案是)sin(sin sin βαβ α-?a ，但他的老师给他打了个“×”．我问他是怎么做的？他马上写了起来： 在ΔABC 中，BC ＝a ，∠ABC ＝β，∠BAC ＝α―β，根据正弦定理，得 )sin(sin βαβ-=a AC ， 即)sin(sin βαβ-=a AC ． 在RtΔACD 中，) sin(sin sin sin βαβαα-=?=a AC AD ． 我说对啊！他却说老师的正确答案是：αβcot cot -= a AD ．解题过程如下： 在RtΔABD 中，βcot ?=AD BD ；在RtΔACD 中，αcot ?=AD CD ， 所以a CD BD AD =-=-)cot (cot αβ， 即α βcot cot -=a AD ．
一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+
[]sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 () A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是 () A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 () A. π 2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 () A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
两角和与差的正弦、余弦与正切公式 1．sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ） A ．14 B C ．12 D 2．sin(15)-的值是（ ） A ．4- B ．4 C 3．已知tan tan 2αβ+=，tan()4αβ+=，则tan tan αβ?等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．4 4．在△ABC 中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．6 π 5．设2tan()5αβ+=，1tan 44πβ??-= ???，则tan 4πα??+ ?? ?的值是（ ） A ．318 B ．322 C ．1318 D ．1322 6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ） A ．2 B ． C ．0 D ．1 7.在△ABC 中，若0tan tan 1A B <<，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 8. 在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120° 9．已知α、β均为锐角，且cos sin tan cos sin ααβαα-= +，则tan(α＋β)＝________． 10．若sin(4 π－x )＝35，则sin cos x x 的值为 ． 11.已知cos(α－ 6π)＋sin αsin(α＋76π)的值为________． 12. 已知向量a ＝(sin(α＋ 6π),1)，b ＝(4,4cos α)，若a ⊥b ，则sin(α＋43π)等于 . 13．已知435sin(),sin()45413ππαβ-=-+=，且3,0444ππαπβ<<<<，求cos(),cos()4 πααβ+-的
《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2 3．当]2 ,2[π π- ∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2 1- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3 2 tan tan ,7)tan(βαβαβα-= ?=+则的值 （ ） A ．2 1 B ． 2 2 C ．2 2- D ．2 2± 5．已知 =-=+=-<<<αβαβαπαβπ 2sin ,53 )sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－56 65 6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于 （ ） A ． 4 3 B ． 8 3 C ．8 1 D ． 4 1 7．函数)4 cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+= +=π π其中为相同函数的是 （ ） A ．)()(x g x f 与 B ．)()(x h x g 与 C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++=== 则,8 1 tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）
1.1．2 两角和与差的正弦公式 一、教学目标 ⒈掌握两角和与差的正弦公式的推导过程; ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 二、教学重、难点 １. 教学重点：两角和与差的正弦公式的应用; 2． 教学难点：公式的的推导及逆用 三、教学设想: (一)复习式导入： 大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? （二）探讨过程： 我们根据两角差的余弦公式可以得到： cos()cos cos sin sin sin 222π π π αααα-=+= 提示:我们可以利用上式实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦公式的推导． ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ -=+-=-+-=-???? 由此得到两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 让学生观察并记忆两角和与差正弦公式,并思考与两角和与差的余弦公式的联系与区别。 (三）例题讲解 例1、利用和、差角正弦公式求sin 75,sin15的值. 解:分析：把75,15构造成两个特殊角的和、差. 12sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452=+=+=?+=
两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程, 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此, 由和角公式容易得到对应的差 角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此, 只要解决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 与, 的三角以用三角函数值表示, 因此, 我们可以用单位圆来构造联系 函数值的等式。 1. 和角余弦公式 使, 和, 并作角, 中作单位圆在直角坐标系, 如图所示1) 方法( 于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交的始边为角, 交 于点。从而点始边为A, B, 终边交, C和于点C；角D的坐标分别为 ,。, , 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和 终边交于点。, , , 的始边均为交于点C角终边交于点A角从而 。的坐标为B, A点,． 由两点间距离公式得 。 由余弦定理得 。 从而有。 注记：方法 2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。因此, 还需 的情形。容易验证要补充讨论角和的终边共线, 以及大于, 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于() A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是() A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是() A. π 2B．πC．2πD．4π 4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是() A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习 一、知识要点： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±； (2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ ±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)(2):sin 22sin cos S αααα=α； (2)2222(2):cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα =-. 3．常用的公式变形 (1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-==； (3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π ααα±=±. 4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ?θ=+=-其中()?θ可由,a b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 【双基自测】
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14 的是( )． A ．22cos 112π- B ．20 12sin 75- C.0 202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000 sin 68sin 67sin 23cos68-=( ) A ．2- B.2．1 3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα =( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．已知2sin ,3 α=则cos(2)πα-=( )． A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43 πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________. 7．若2tan(),45 πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例1] 求值：①00 00cos15sin15cos15sin15 -+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36 x f x x R π=-∈.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 整体设计 教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较si n(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标 1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力. 3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 重点难点 教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用. 思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用 156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计 一、教学分析 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的?在这些公式的推导中，教科书都把对照、 比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较 COS(a - 3 )与cos( a + 3 ),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换 元的角度看都有内在联系，即a + 3 = a -(- 3 )的关系，从而由公式C( a - 3)推得公式G a + 3), 又如比较Sin( a - 3 )与cos( a - 3 )，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)( 6 )即可推得公式S( a- 3)、S a+3)等? 2. 通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与 这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解?因此本 节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能 力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义 3. 本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深 刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆?本节几个例子主要目的是为了训练 学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯 进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等?另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而 不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的? 二、三维目标 1. 知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与 差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公 式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力 2. 过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.