两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教学目标1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
ｓin(α±β)=sinαcｏsβ±cｏsαｓinβ.
ｃoｓ(α?β）＝cｏsαcosβ±siｎαsｉnβ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2ｓｉｎαｃoｓα.
cos２α＝ｃos2α-sｉｎ2α＝2cos2α－１=1－2sin２α.
3.有关公式的逆用、变形等
(1）tan α±tａnβ＝tａｎ(α±β)(１?tanαtanβ).
(3)1＋ｓin 2α=(sinα+ｃｏsα）２，1-sｉn 2α＝(siｎα-ｃoｓα)2，
siｎα±cosα＝＼r(2)sin错误!.
4.函数f(α)＝a sｉnα+ｂcoｓα(a，b为常数)，可以化为ｆ（α）＝＼r(a2＋b2）si
ｎ(α+φ)错误!或f (α)＝错误!·cos(α-φ)错误!．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示
(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
（２)存在实数α，β，使等式sin （α＋β）=si ｎ α＋s ｉｎ β成立.（ ) （３）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋ｔan β
＝t ａｎ(α＋β)（1－ｔan αtan β),且对任意角α，β都成立．( ）
(4)存在实数α,使ｔan 2α=2t ａn α．( )
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α,β，α+β≠＼ｆ（π，2)+k π,ｋ∈Z .
答案 (１)√ (２)√ (3）× （4)√
2.(2０１６·全国Ⅲ卷）若t ａn θ=-错误!,则co ｓ 2θ=（ )
Ａ．-错误! B ．－错误! ? Ｃ.错误! Ｄ.错误!
解析 c ｏs 2θ＝c ｏs 2θ－si ｎ2θ=错误!=错误!＝错误!.
答案 D
3.（2０15·重庆卷)若tan α=13，t ａn(α＋β)=1２
,则ta ｎ β等于( ） Ａ.1７ B.错误! Ｃ.错误! D ．错误!
解析 tan β=t ａｎ［(α+β)－α]＝错误!
=错误!=错误!,故选Ａ.
答案 A
4.(２017·广州调研)已知sin α＋cｏｓα＝错误!，则ｓin2错误!=()
A.错误!B．错误!Ｃ．错误!? D.错误!
解析由sin α＋ｃoｓα＝错误!两边平方得1＋siｎ2α=错误!，解得sin 2α=－＼ｆ（8,9），所以ｓiｎ２错误!＝错误!=错误!=错误!=错误!，故选B.
答案 B
5.(必修4P137A13(５)改编)ｓin3４7°ｃｏｓ１4８°+siｎ７7°·cｏｓ58°＝_＿__＿_＿_.
解析ｓin347°cｏs１4８°+ｓin ７7°coｓ５8°
=sin(2７0°＋77°)cｏｓ（90°＋５８°)＋ｓin 77°coｓ58°
=（-ｃos 77°)·(-sin ５8°)+siｎ7７°cos ５8°
＝siｎ58°cｏｓ77°+cos 5８°ｓin7７°
=ｓin(58°＋7７°）＝siｎ135°＝错误!.
答案＼r(2) 2
考点一三角函数式的化简
【例１】(1)(201６·合肥模拟）cos（α＋β)cｏｓβ＋sin(α＋β)sin β=( ）A.ｓin(α+２β) ?B.sin α
C.cｏｓ(α+2β) ?
D.cosα
（２）化简:错误!(0＜α<π)＝＿＿_____＿．
解析（1)ｃos(α＋β）cｏs β＋siｎ(α＋β)sｉnβ＝cos［(α+β)-β]＝cos α.
(2)原式＝错误!
＝错误!＝错误!.
因为0<α<π,所以0<错误!<错误!，所以coｓ错误!>0，所以原式=cos α. 答案(1）D(2)cos α
【训练１】(1）＼r(2＋2cos 8)+21－sin 8的化简结果是__＿__＿_＿. （2)化简:错误!＝_＿______．
解析(1)原式＝＼r（4cｏs24)＋２＼r（(sin 4－cos 4)2）
＝2|cｏs 4|＋２|sin4-ｃoｓ4｜，
因为错误!π<４<错误!π,所以coｓ4<0,且siｎ4＜cos 4,
所以原式＝-2ｃos4－2(ｓin 4－cos ４)=－2ｓin 4.
(２)原式＝错误!
＝错误!＝错误!
=cos２2α
2cos 2α
=＼f（1,２）cos 2α.
答案（１)-2sin4(２)错误!cos 2α
考点二三角函数式的求值
【例２】(1)[2ｓｉn ５0°+sｉn 10°（1＋错误!tan １0°)]·错误!=_____＿__．(２)已知ｃoｓ错误!=错误!,错误!＜α<错误!，则错误!的值为________.
（３）已知α,β∈（0，π）,且tan(α-β)=错误!,ｔaｎβ＝-错误!，则2α-β的值为___＿____.
解析(1)原式＝（2sin ５0°＋ｓiｎ10°·错误!)·
＼r（2)sin 80°＝（２sin 5０°+2sin 10°·错误!)·
2cos １０°＝２＼r(2)[sin 5０°·coｓ10°+sin 10°·cos(60°－10°)]
=２错误!s ｉn （５０°＋10°）=２错误!×错误!＝错误!.
(2）＼f (s ｉn 2α＋2si ｎ2α,1-ta ｎ α)=错误!
=错误!
=sin 2α错误!=sin 2α·ta ｎ错误!.
由错误!<α＜错误!得错误!<α＋错误!<２π，又ｃos 错误!=错误!,
所以si ｎ错误!=-错误!,ta ｎ错误!＝-错误!.
cos α=c ｏs 错误!=－错误!，ｓｉn α=-错误!,si ｎ 2α＝错误!.
所以错误!=－错误!.
(３）∵ta ｎ α=t ａn[（α－β）＋β]＝tan （α－β）+tan β1－t ａn （α-β
ｔａn β) =错误!=错误!＞0,
又α∈(0，π)，∴0<α<π2
, 又∵t ａn ２α=错误!=错误!＝错误!>0,
∴0<2α＜错误!，
∴ｔa ｎ(2α－β）=
ta ｎ ２α－ta ｎ β1＋tan 2αtan β=错误!=1． ∵ｔan β=－错误!<０，∴错误!<β<π,-π<2α-β＜0,
∴2α－β=-３π４
． 答案 (1）错误! (2)－错误! (3)-错误!
【训练2】 (1）４ｃo ｓ 50°－ta ｎ 40°=( )
Ａ.＼r (2) ??B.错误!
Ｃ.＼r （3) Ｄ.２错误!-1
(2）已知sin 错误!＋sin α=－错误!,-错误!<α<０，则cos α的值为__＿＿____.
(3）已知cos α=＼f (１,7)，ｃos （α－β）=错误!(0<β<α<错误!）,则ta ｎ 2α=_＿＿＿_＿＿＿，β＝_＿______．
解析 (1)原式＝4sin 40°－sin 40°c ｏs ４0°
=4cos 40°ｓi ｎ 40°－s ｉｎ 40°cos 40°
＝错误!
=错误!
=错误!
=＼ｒ(３)cos ４０°c ｏs 4０°
=＼r (３),故选C ． （2)由sin 错误!+sin α=-错误!，
得错误!s ｉｎ α＋错误!c ｏs α＝－错误!，sin 错误!＝－错误!.
又－错误!＜α<0,所以－错误!<α＋错误!<错误!,
于是cos 错误!=错误!.
所以cos α＝cos 错误!=错误!.
(3)∵c ｏs α＝错误!,0＜α<错误!,
∴ｓin α＝错误!,tan α=4错误!，
∴tan 2α=错误!＝错误!＝-错误!.
∵0<β＜α＜π2,∴0<α－β<错误!,
∴sin(α-β)=错误!,
∴ｃos β＝c ｏｓ[α－（α－β)]
=c ｏs αco ｓ（α-β)＋sin αs ｉｎ(α-β)
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，
∴β＝错误!.
答案 (１)C (2）
３＼ｒ(3)－41０ (３)－错误! 错误! 考点三 三角变换的简单应用
【例3】 已知△ＡBC 为锐角三角形，若向量p =(2-２ｓin A ，c ｏs A ＋si ｎ A )与向量q =(sin A -cos A ,１+ｓi ｎ A )是共线向量.
(１)求角A ；
(2)求函数ｙ=２sin ２B ＋cos C －3B 2的最大值．
解 （１)因为ｐ,ｑ共线,所以(2－2sin A )（1＋ｓｉn A )
＝(ｃo ｓ A +sin A )(ｓin Ａ-cos A )，则sin 2A ＝错误!.
又A 为锐角，所以sin A ＝错误!,则Ａ=错误!．
(2)y ＝2s ｉｎ2 B +co ｓC -３B 2
＝2sin 2Ｂ+cos 错误! =2si ｎ2B ＋co ｓ错误!=1-ｃos 2B ＋错误!ｃos 2B +
＼r (3)2ｓin ２B =＼f (3,2）si ｎ 2B －12ｃｏｓ 2B +1=sin 错误!+1.
因为B ∈错误!,所以２B －错误!∈错误!,所以当2B -错误!＝错误!时,函数ｙ取得最大值,此时B ＝＼f (π,3),y max ＝２.
【训练3】 (２0１7·合肥模拟)已知函数f （x )＝（2co ｓ２x -１)·sin 2x ＋错误!cos 4x .
（1)求f（ｘ)的最小正周期及单调减区间;
(2)若α∈(0，π)，且f错误!=错误!,求ｔan错误!的值.
解（1)ｆ(x)=(2cos2ｘ－1）sin2ｘ+错误!coｓ4x
＝ｃoｓ2x sin 2x＋错误!cos 4x
＝错误!(ｓiｎ4x+cos4ｘ)=错误!sin错误!,
∴f(x）的最小正周期T=错误!.
令2kπ＋错误!≤４ｘ＋错误!≤2kπ+错误!π，k∈Z,
得错误!+错误!≤x≤错误!+错误!，k∈Ｚ．
∴f(x)的单调减区间为错误!,ｋ∈Z．
(2）∵f错误!=错误!，即siｎ错误!=1．
因为α∈(０,π），-＼ｆ(π,4)<α－＼ｆ(π，4）<错误!，
所以α－π
４
=错误!,故α＝错误!.
因此tan错误!＝错误!=错误!＝2－错误!.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟）
一、选择题
1．（2０15·全国Ⅰ卷)siｎ2０°cos 10°-ｃos160°sｉn 10°＝（) A.－错误!?Ｂ.错误!Ｃ.－错误!? D.错误!
解析sｉn 2０°cos １0°－cｏs1６0°ｓin 10°＝ｓin20°cos 10°+cｏｓ２0°ｓin 10°＝sｉn 30°＝错误!．
答案Ｄ
2．（1＋tan 17°)(1＋tan ２8°）的值是()
A.-１
B.０C．1 ?D．2
解析原式＝1＋taｎ１７°+tan 28°＋tan 17°·ｔan2８°
=1+ｔan 45°(1－tａｎ1７°·tａn 2８°）＋tａn１7°·taｎ28°
＝1+1=２．
答案 D
3．(201７·西安二检)已知α是第二象限角,且tａn α=-错误!，则sin 2α=（）
A．－3＼r（１0）
10 B.错误!?C．－错误!?D．错误!
解析因为α是第二象限角，且tan α＝－＼f(1,3),
所以sｉnα＝１0
10，cｏｓ
α=-错误!，
所以sｉn 2α＝2sｉn αcoｓα=2×错误!×错误!=－错误!，故选C．
答案C
４．(２0１7·河南六市联考)设ａ＝＼f(1,2)coｓ2°－＼f(３，２)ｓｉn 2°，b=＼f（2ｔａn １4°,1－tan2１４°)，c＝错误!，则有()
A.a B.a＜b<ｃ Ｃ.b 解析由题意可知，ａ=sin 28°，b＝ｔaｎ２8°，c＝ｓin 25°， ∴c ＜a ＜b . 答案 Ｄ ５．(201６·肇庆三模）已知ｓｉn α＝错误!且α为第二象限角,则tan 错误!＝( ) A ．-错误! ?B.-错误! ? Ｃ.－错误! D.-错误! 解析 由题意得cos α=－４5,则sin 2α＝－错误!, ｃos 2α=2ｃos 2α－1＝7２5 . ∴ta ｎ ２α=－＼f (24,7)，∴ｔａn 错误!=错误!=错误!=－错误!． 答案 D 二、填空题 6.(20１6·石家庄模拟)若cos 错误!=错误!,则sin 错误!的值是_＿_＿＿___. 解析 si ｎ错误!=sin 错误!＝ co ｓ 2错误!=２ｃｏs 2错误!-１＝2×错误!－1＝－错误!． 答案 －错误! 7．(2０1７·南昌一中月考)已知α∈错误!,β∈错误!，且ｃｏs 错误!＝错误!,sin 错误!＝-1213,则ｃos （α+β)＝___＿____. 解析 ∵α∈错误!，cos 错误!=错误!, ∴s ｉn 错误!=-错误!, ∵ｓｉn 错误!=-错误!，∴ｓin 错误!=错误!, 又∵β∈错误!,∴cos 错误!=错误!， ∴ｃｏs(α+β)=cos 错误!＝错误!×错误!-错误!×错误!=-错误!.
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