两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案
自主梳理1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π
2，k∈Z)
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中
??
?
??cos φ＝，
sin φ＝，
tan φ＝
b
a，
角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）．
【基础自测】
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ()
A.
1
2 B.
3
3 C.
2
2 D.
3
2
2．已知cos????
α－
π
6＋sin α＝
43
5，则sin?
?
?
?
α＋
7π
6的值是 ()
A．－
23
5 B.
23
5C．－
4
5 D.
4
5
3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 ()
A.
π
2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ()
A.????
π
3，
π
2 B.?
?
?
?
π
3，π
C.????
π
3，
4π
3 D.?
?
?
?
π
3，
3π
2
5．已知向量a
r
＝(sin x，cos x)，向量b
r
＝(1，3)，则|a
r
＋b
r
|的最大值为()
A．1 B. 3 C．3 D．9
【考点巩固】
探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例
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1 求值：(1)
2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(
π
6
＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π
6
＋θ)．
探究点2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例
2
已知0<β<π4<α<3π4
，cos ????π4－α＝3
5， sin ????3π4＋β＝5
13，求sin(α＋β)的值．
变式迁移 已知tan ????π4＋α＝2，tan β＝12
. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β
2sin αsin β＋cos (α＋β)
的值．
探究点3 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
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例
3
已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝2
10
.
(1)求sin α的值； (2)求β的值．
变式迁移 若sin A ＝55，sin B ＝10
10
，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．
【课后自主检测】
1．已知sin ????α＋π3＋sin α＝－435
，则cos ????α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35
D.45
2．已知cos ????α＋π6－sin α＝233
，则sin ????α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.23
3．已知向量a r ＝????sin ????α＋π6，1，b r ＝(4,4cos α－3)，若a r ⊥b r
，则sin ?
???α＋4π3等于 A ．－34 B ．－14 C.34 D.1
4
4．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )
A ．x ＝5π4
B ．x ＝3π
4
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π
2
5．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A.π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23
π 6．设sin α＝35 ????π2<α<π，tan(π－β)＝1
2
，则tan(α－β)＝________. 7．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈???
?－π2，π
2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
8． (1)已知α∈????0，π2，β∈????π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－5
13
.求sin α；