基本不等式
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一、选择题
1．下列命题中正确的是()
A．函数y＝x＋1
x的最小值为2
B．函数y＝x2＋3
x2＋2
的最小值为2
C．函数y＝2－3x－4
x(x＞0)的最小值为2－4 3
D．函数y＝2－3x－4
x(x＞0)的最大值为2－4 3
D[由x＞0知3x＋4
x≥43，当且仅当3x＝
4
x，即x＝
23
3时等号成立，则2
－3x－4
x≤2－43，因此函数y＝2－3x－
4
x(x＞0)的最大值为2－43，故选D.]
2．若log2x＋log2y＝1，则2x＋y的最小值为()
A．1B．2C．22D．4
D[由log2x＋log2y＝1得，x＞0，y＞0且xy＝2.
∴2x＋y≥22xy＝4，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时等号成立，故选D.]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1
a＋
4
b的最小值是()
A.7
2B．4 C.
9
2D．5
C[由a＞0，b＞0，a＋b＝2知1
a＋
4
b＝
1
2(a＋b)?
?
?
?
?
1
a＋
4
b＝
1
2?
?
?
?
?
5＋
b
a＋
4a
b≥
9
2，当
且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4
3时等号成立，故选C.]
4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ?
????
a ＋
b 2，则( ) A ．R
D ．P C [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 1 2(lg a ＋lg b )>lg a · lg b ，即Q >P . ∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝1 2(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 C [设容器底面矩形的长和宽分别为a 和b ，容器的总造价为y 元，则ab ＝4，y ＝4×20＋10×2(a ＋b )＝20(a ＋b )＋80，∵a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)，∴y ≥160，故选C.] 二、填空题 6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1 8b 的最小值为 ． 1 4 [由题知a －3b ＝－6，因为2a ＞0,8b ＞0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝ 2× 2a －3b ＝14，当且仅当2a ＝1 8b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号．] 7．已知函数y ＝x ＋ m x －2 (x ＞2)的最小值为6，则正数m 的值为 ． 4 [∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴y ＝x ＋ m x －2 ＝x －2＋ m x －2 ＋2≥2 (x －2)× m x －2 ＋2＝2m ＋2， 当且仅当x －2＝m x －2，即x ＝2＋m 时等号成立． 由题意知2m ＋2＝6，解得m ＝4.] 8．已知实数a ＞0，b ＞0，2是8a 与2b 的等比中项，则1a ＋2 b 的最小值是 ． 5＋26 [由题意知8a ×2b ＝2，即23a ＋b ＝2，∴3a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(3a ＋b )? ???? 1a ＋2b ＝5＋6a b ＋b a ≥5＋2 b a ·6a b ＝5＋26， 当且仅当6a b ＝b a ，即 b ＝6a ＝6－2时等号成立．] 三、解答题 9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋8 2x －3的最大值； (2)设0 2 ＝－? ?????3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <3 2时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·8 3－2x ＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－1 2时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－5 2. (2)∵0 ∴y ＝ x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即 x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝ x (4－2x )的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． [解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2 y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2 y ＝1， 则x ＋y ＝? ???? 8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18. 1．(2019·上海高考改编)若x ，y ∈R ＋，且1x ＋2y ＝3，则y x 的最大值为( ) A.32 B.34 C.94 D.98 D [由x ，y ∈R ＋得3＝1 x ＋2y ≥2 1 x · 2y ， ∴2y x ≤94，即y x ≤98， 当且仅当1x ＝2y ＝32，即x ＝23，y ＝3 4时等号成立，故选D.] 2．若实数a ，b 满足1a ＋2 b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 C [由题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2 b ≥22ab ＝22ab ， 当且仅当1a ＝2 b ，即b ＝2a 时等号成立． ∴ab ≥ 22 ab ，即ab ≥22，故选C.] 3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4 x (x ＞0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是 ． 4 [设P ? ? ? ??x 0，x 0＋4x 0，x 0＞0. 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝??? ? ??x 0＋x 0＋4x 02 ＝2? ? ? ??x 0＋2x 0≥4， 当且仅当x 0＝2 x 0 ，即x 0＝2时等号成立．] 4．某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2. (1)试用x ，y 表示S ； (2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？[解](1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a， 则y＝a＋b＋3＝3a＋3， 所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a ＝(3x－8)y－3 3＝1 808 －3x－ 8 3y(x＞3，y＞3)． (2)S＝1 808－3x－ 8 3× 1 800 x ＝1 808－? ? ? ? ? 3x＋ 4 800 x ≤1 808－23x× 4 800 x＝1 808－240＝1 568， 当且仅当3x＝ 4 800 x，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝ 1 800 x＝45， 所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值． 1．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则 a4＋4b4＋1 ab的最小值为．4[∵a，b∈R，ab>0，∴ a4＋4b4＋1 ab≥ 4a2b2＋1 ab＝4ab＋ 1 ab≥24ab· 1 ab＝4， 当且仅当 ? ? ?a2＝2b2， 4ab＝ 1 ab， 即 ?? ? ??a2＝22， b2＝ 2 4 时取得等号． 故 a4＋4b4＋1 ab的最小值为4.] 2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建 造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(3≤x ≤6)． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1 800a (1＋x ) x 元(a ＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围． [解] (1)设甲工程队的总造价为y 元， 则y ＝3? ????300×2x ＋400×24x ＋14 400＝1 800? ???? x ＋16x ＋14 400(3≤x ≤6)， 1 800? ?? ?? x ＋16x ＋14 400≥1 800×2× x ·16 x ＋14 400＝28 800. 当且仅当x ＝16 x ，即x ＝4时等号成立． 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28 800元． (2)由题意可得，1 800? ???? x ＋16x ＋14 400＞1 800a (1＋x )x ，对任意的x ∈[3,6]恒 成立． 即(x ＋4)2x ＞a (1＋x )x ，从而(x ＋4)2 x ＋1＞a 恒成立， 令x ＋1＝t ，(x ＋4)2 x ＋1＝(t ＋3)2t ＝t ＋9 t ＋6，t ∈[4,7] 又y ＝t ＋9 t ＋6在t ∈[4,7]为单调增函数，故y min ＝12.25. 所以0＜a ＜12.25. 感谢您的下载! 快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！ 2019高考试题文科数学汇编：不等式 1.【2018高考山东文6】设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? 那么目标函数3z x y =-的取 值范围是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3 [6,]2 - 【答案】A 2.【2018高考安徽文8】假设x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? ，那么y x z -=的最 小值是 〔A 〕-3 〔B 〕0 〔C 〕 3 2 〔D 〕3 【答案】A 3.【2018高考新课标文5】正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 〔A 〕(1－3，2) 〔B 〕(0，2) 〔C 〕(3－1，2) 〔D 〕(0，1+3) 【答案】A 4.【2018高考重庆文2】不等式 1 02 x x -<+ 的解集是为 〔A 〕(1,)+∞ 〔B 〕 (,2)-∞- 〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C 5.【2018高考浙江文9】假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，那么3x+4y 的最小值是 A. 245 B. 285 C.5 D.6 【答案】C 6.【2018高考四川文8】假设变量,x y 满足约束条件3, 212,21200 x y x y x y x y -≥-??+≤?? +≤??≥?≥??，那么34z x y =+的最 大值是〔 〕 A 、12 B 、26 C 、28 D 、33 【答案】C 7.【2018高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,那么目标函数z=3x-2y 的最小值为 A． a a>b>0，由不等式性质知：->->0，所以< >- 7 2 ∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15 62 2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一一元二次不等式解法及其应用 例1若a>b>0，c ?f(m+1)=2m2+3m<0 ，则函数y=4x-2+1的最大值. x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+?+3≤-2+3=1 1 【解析】因为y=x(8-2x)= 1 . 【答案】9,+∞) ?f(m)=2m2-1<02 即?，解得- 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2016年高考数学文试题分类汇编 不等式 一、选择题 1、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤??-≤??≥? 则x 2+y 2的最大值是 （A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C 2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这 两条平行直线间的距离的最小值是（ ） 【答案】B 3、（2016年浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --< D. (1)()0b b a --> 【答案】D 二、填空题 1、（2016年北京高考）函数()(2)1 x f x x x = ≥-的最大值为_________. 【答案】2 2、（2016江苏省高考） 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥??+-≥??--≤? ，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ . 【答案】4[,13]5 3、（2016年上海高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】)4,2( 4、（2016上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥??≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 【答案】2- 5、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000 6、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ，则2z x y =-的最小值为 __________ 【答案】5- 7、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则235z x y =+-的最大 值为_____________. 【答案】10- 11、（2016江苏省高考）函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1- 三、解答题 1、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1 车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 知识梳理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式表示区域 Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点 组成的平面区域不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋ C)(Ax2＋By2＋C)>0. 3.线性规划的有关概念 名称意义 线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数关于x，y的解析式 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[微点提醒] 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( ) 解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(必修5P98例3改编)不等式组???x －3y ＋6≥0， x －y ＋2<0 表示的平面区域是( ) 不等式选讲考点精细选 一、知识点整合： 1.含有绝对值的不等式的解法 (１)|ｆ(x)|>ａ（ａ>0)?f(ｘ）>a或ｆ（ｘ)<-ａ； (2）|ｆ(x)|＜a(a>０)?-a 不等式选讲 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 第五讲、不等式 十三、 不等式 （一）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （二）一元二次不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。 3.会解一元二次不等式。 （三）二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 （四）基本不等式： ,0)2 a b a b +≥> 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 不等式的概念与性质 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0>-?>b a b a 0<-? ， a b b a >?< （反对称性） （2）c a c b b a >?>>, ，c a c b b a +?>，故b c a c b a ->?>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+?>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >?>>0,，bc ac c b a 0, 推论1：bd ac d c b a >?>>>>0,0 推论2：n n b a b a >?>>0 推论3：n n b a b a > ? >>0 算术平均数与几何平均数 1．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0,0,2 ≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+ ∈R b a ,，则ab b a 2≥+ （4） 2 2 2)2 ( 2 b a b a +≤+ 2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---选考不等式 1.（2018陕西汉中模拟）已知，不等式的解集是. （Ⅰ）求a 的值； （II ）若存在实数解，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）由, 得，即. 当时，. ………2分 因为不等式的解集是 所以 解得 当时，. …………4分 因为不等式的解集是 所以无解. 所以………5分 （II ）因为 所以要使存在实数解，只需. ……8分 解得或. 所以实数的取值范围是. ……10分 2.（2018呼和浩特模拟）已知函数()1f x x =-. （Ⅰ）解不等式()()246f x f x ++≥； （Ⅱ）若,a b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+. （Ⅰ）不等式()()246f x f x ++≥即为2136x x -++≥ 当3x ≤-时，1236x x ---≥解得3x ≤- 当132 x -<< ，1236x x -++≥解得32x -<≤- 当12x ≥时，2136x x -++≥解得43x ≥ 综上，(]4,2,3x ??∈-∞-+∞???? ； （Ⅱ）等价于证明1ab a b ->- 因为,1a b < ，所以1,1a b -<<，1ab <，11ab ab -=- 若a b =，命题成立； 下面不妨设a b >，则原命题等价于证明1ab a b ->- 事实上，由()()()1110ab a b b a ---=+-> 可得1ab a b ->- 综上，1ab a b ->- 3.（2018东北育才中学模拟）定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.?∈N k .存在实数0x 使()20 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 4 2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编6：不等式 一、选择题 1 ．（2013年高考四川卷（文））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0, x y y x x y +≤??-≤? ?≥??≥?且5z y x =-的最大值为a , 最小值为b ,则a b -的值是 （ ） A ．48 B ．30 C ．24 D ．16 2 ．（2013年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件?? ? ??≥≥≤+012 y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值 分别为 （ ） A ．4和3 B ．4和2 C ．3和2 D ．2和0 3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设x,y 满足约束条件 ,则z=2x-3y 的最小值是 （ ） A ． B ．-6 C ． D ．-3 4 ．（2013年高考福建卷（文））若122 =+y x ,则y x +的取值范围是 （ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 5 ．（2013年高考江西卷（文））下列选项中,使不等式x 2017年高考数学试题分类汇编：不等式 1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________． 【考点】3W ：二次函数的性质． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]， 则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）= =． 最大值为：f （1）=2﹣2+1=1． 则x 2+y 2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【考点】3H ：函数的最值及其几何意义． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5，进而计算可得结论． 0x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x =+ -+a 【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分） f x=│x+1│–│x–2│. 已知函数() f x≥1的解集； （1）求不等式() f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围. （2）若不等式() 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1 不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为｛x | -3 1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为｛x|—K x< 5｝，求实数a的值； ⑵在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1，解不等式f(x)_3 ；(2)如果- x R , f(x) —2，求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a 2014届高三数学第二轮复习 第3讲 不等式 一、本章知识结构： 实数的性质 二、高考要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注. 2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点： （1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。 2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编6：不等式 一、选择题 1 ．（2013年高考四川卷（文））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0, x y y x x y +≤??-≤? ?≥??≥?且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b , 则a b -的值是 （ ） A ．48 B ．30 C ．24 D ．16 【答案】C 2 ．（2013年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件?? ? ??≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为 （ ） A ．4和3 B ．4和2 C ．3和2 D ．2和0 【答案】B 3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设x,y 满足约束条件,则z=2x-3y 的最小值是 （ ） A ． B ．-6 C ． D ．-3 【答案】B 4 ．（2013年高考福建卷（文））若122 =+y x ,则y x +的取值范围是 （ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 【答案】D 5 ．（2013年高考江西卷（文））下列选项中,使不等式x< 1x <2 x 成立的x 的取值范围是 （ ） A ．(,-1) B ．(-1,0) C ．0,1) D ．(1,+) 【答案】A 6 ．（2013年高考山东卷（文））设正实数z y x ,,满足 04322=-+-z y xy x ,则当 z xy 取得最大值时,2x y z +-的最大值为 （ ） A ．0 B ． 98 C ．2 D ． 9 4[来源:学+科+网] 【答案】C 7 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））若存在正数x 使2x (x-a)<1成立,则a 的取值范围是 （ ） 不等式的解题归纳 第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 例2．解关于x 的不等式：(x-2 x +12)(x+a)<0. 例3、若不等式13 64222 2<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3 【课堂练习】 1、已知(2a -1) 2 x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 2、解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x 3、解关于x 的不等式：.012 <-+ax ax 【课后练习】 1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥2 1 (x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是 3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2 x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2 β关于k 的解析式，并求y 的取值范围 第二部分 绝对值不等式 1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． [基本知识] 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 ? ???? (1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a b ≥2，ab >0；(3)ab ≤??? ? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R ；(4)a 2 ＋b 2 2≥ ???? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时 等号成立. 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最 小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋ 4 cos x ，x ∈????0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1 a 2的最小值为2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题 1．当x >0时，函数f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 答案：1 2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤????a ＋b 22 ＝14，当且仅当a ＝b ＝1 2 时取到等号． 答案：2 1 4 3．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为________． 解析：∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥2 4ab ·1ab ＝4， 当且仅当????? a 2＝2 b 2，4ab ＝1 ab ，即?? ? a 2＝22， b 2 ＝24 时取得等号． 答案：4 4．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1 b 的最小值为________． 解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1 b ＝????13a ＋23b ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝3 2时取等号． 答案：832019高考试题文科数学汇编：不等式
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