算理与算法，孰重孰轻？
张丹:以数的运算为例谈整体把握小学数学课程
我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培养学生的运算能力，并且取得了很多优秀的成绩和宝贵的经验。但长期以来，一些人对运算能力的理解并不全面，将其仅仅等同于运算技能（即算得又对又快），并且由于考试等原因对运算难度和速度的要求越来越高。在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快？当然，基本的运算技能是必需的，但“基本”的标准是什么？学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？还有哪些有价值的内容？
实际上，数的运算和运用运算解决问题是具有天然联系的，因此《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）将其整合在一起。于是，数的运算就包括如下几条主线：第一，数的运算的意义及四则运算之间的关系；第二，获得运算的结果（包括估算、精确计算）；第三，运算律及运算性质；第四，运用运算解决实际问题。限于文章篇幅，本文将集中阐述“获得运算的结果”中有关精确计算的内容。进一步，我和我的团队认为，精确计算的学习又可以细分为四条线索：第一，计算方法的探索及算理的理解；第二，计算法则的形成与内化；第三，计算法则的熟练；第四，使用计算器进行计算。本文将集中于前三条线索。
一、计算方法的探索及算理的理解
曾经有一些教师有这样的想法，对于计算教学，只要让学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要花时间去讨论这些法则背后的道理（即算理）。那么，算理是否重要？什么是算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理呢？
1.重视算理的教学。
这里首先需要明确的是算理、法则的内涵以及二者的关系。算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理。所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。
由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。
为了进一步说明重视算理教学的重要性，这里不妨举一个例子。我们在2009 年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：
题目1：计算42×25。（目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则）
题目2：如图1，在34 ×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（）。
A．10 个34 的和B．12 个34 的和
C．1 个34 的和D．2 个34 的和
（本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义）
设计题目2 是源于笔者与学生的一次谈话。在笔者与一名三年级学生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确结果。笔者进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用1乘34，乘完向左移一位，我也不知道为什么。”这次简短的谈话引起了笔者的深思：到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用？
在2009 年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664 份样本，学生在题目1 和题目2上的得分率分别是70.10%和43.09% ，二者有显著性差异。与题目1相比，题目2的得分率低可能是由于学生对这类题目不熟悉，但不得不说确实有不少学生并不真正理解法则的意义，特别是本题错误地选择选项C 的人数最多更加说明了这一点。因为在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式（即箭头所指的那一步，要把340 末尾的0 写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把0 省略掉）。这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。所以，在教学中教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学生将法则进行内化，重视运算道理的教学。同时也建议在教材和教学中无须强调“虚0”，更不必去掉竖式“第二层”末尾的0。
2.了解学生想法中所蕴涵的道理。
在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴涵着算理。为此，我们不妨来看一个课堂教学片段[1]：
【案例】关于“0.3× 0.2”的讨论。
课上通过一个问题情境“长0.3 米、宽0.2米的长方形花坛的面积是多少”，引出了
“0.3×0.2=？”。
首先，学生进行了猜想。一部分学生认为是0.6 ，另一部分学生认为是0.06，产生了分歧。
教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发言踊跃。
生1：（用画图表示0.3×0.2=0.06，如图2）我是这样想的，宽是0.2 米，不到1 米，所以结果不会是0.3（平方米）。我用百格图，这里的0.3 米表示花坛的长，0.2 米表示花坛的宽，表示面积的这些方格是 6 个，是6 个0.01 ，占百格图的百分之六，所以0.3 乘0.2 的结果是0.06。
生 2 ：我还有一种方法。把0.2 看成2，把0.3 看成 3 ，2 乘3 得6。因为我刚才扩大了100倍，所以现在要缩小为它的百分之一，得0.06 。
生3：我没有那么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2 扩大10 倍，2 乘0.3 得0.6 ，再把0.6 缩小到原来的十分之一，就是0.06。
生4：我用竖式。02 与3 相乘得06，任何数和0 相乘都得0，所以02 和0 相乘得00，加起来就是0.06。
（生 4 边说边写出了下面的竖式）
生 4 的方法得到同学们热烈的掌声。
随即有同学问：“为什么不把小数点加在0 和 6 之间呢？”
生5：我们学过两位数乘两位数了，我看成是03 乘02，得数应当是006。小数点点在哪儿呢？我认为不会是00.6，如果小数点前有两个0，前边的0 就没有意义了，小数点前只能是一个0，所以是0.06。
生6：0.3 乘0.2 就是把0.3 平均分成10 份，取其中的两份。0.3 的十分之一是0.03，也就是一份是0.03，两份就是0.06。
生7：0.2 不到1，如果是1 乘0.3，得0.3，而0.2 比1小，所以应当是比0.3 还小。
仔细分析学生这么多的方法，不难发现其中的不少方法蕴涵着朴素的道理。比如生2 和生 3 的方法都是运用积的变化规律将小数乘小数转化为以前学过的内容（整数乘整数或整数乘小数）；生6 的方法则运用了小数的意义和分数的意义，也得到了结果；生1 的方法看起来有点“ 麻烦”耽误不少时间，但这个方法借助“ 百格图”，直观地呈现了乘法的意义，即先得到 6 个小格（实际上就是算3×2），再分析每个小格是0.01 （实际上就是算0.1×0.1），6 个小格就是0.06。这就启发我们思考算法多样化的一个重要价值。实际上算法多样化不仅可以鼓励学生个性化、主动地学习，同时，学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。这些多样化的运算方法往往蕴涵着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同（如生2 和
生6 的方法），对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。
以上，虽然针对的是小数乘法的一个案例，但为教师教学提供了共通的策略。第一，重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索往往体现了学生对于算理的初步理解。在此基础上，教师组织学生对各种方法进行比较，凸显其中蕴涵的算理。第二，作为教师，要梳理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴涵着算理，这样就能从容地面对学生的多种方法。第三，要鼓励学生运用自己的语言有条理地表达自己的思考，即数的运算也是讲道理的，不是按照程序机械运行。实际上，上面几位学生在阐述自己的方法时，都在进行着推理，都在有条理地进行表达。
3.通过多种方式帮助学生理解算理。
为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、米、分米等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线。
为了更好地帮助大家理解，不妨举两个教材中的例子。如图3，在小数除以整数的运算中，法则的关键一步是“商的小数点要和被除数的小数点对齐”。为了帮助学生理解这样做的道理，人教版教材首先运用了测量单位的原型帮助学生理解，然后又联系小数的意义和表示方法，帮助学生理解关键的一步“24 个十分之一，除以4 后结果为 6 个十分之一，所以结果为0.6”。如图4，在分数乘分数的运算中，北师大版教材运用了长方形模型帮助学生理解：实际上是将“1”平均分成了16 份，取了其中的3 份，从而是“分母乘分母、分子乘分子”。
二、计算法则的内化与形成
有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——计算法则（或个体使用方法）的内化与形成。即当学生经历了算法多样化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生对众多算法中自己选择使用的方法或者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化，然后才是进一步的巩固练习。
徐斌在论述“算理直观”与“算法抽象”这一对基本矛盾时指出：“在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰。但是好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中时，马上就得面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算的。笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成… 动作思维——形象思维——抽象思维?的发展过程。”为了说明这一对基本矛盾，他还列举了“14×2”的教学片段：
首先出示情境图——两只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14 个。让学生提出问题：一共摘了多少个桃子？并列出乘法算式14×2。
接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数。
然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（如图5①）：
同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。
最后，老师引导学生观察这种初始竖式，通过讲解让学生掌握简化竖式的写法（如图5②），再让学生运用简化竖式进行计算练习。
在上面的案例中，学生借助多种手段计算出结果，并理解了算理后，教师很快讲解并要求学生掌握简化的竖式，从而从算理的直观立即进入了算法的抽象。徐斌建议：“形成了初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题。”他还给出了如下的教学片段：
（在学生理解了14×2 的初始竖式后）
师：我们一起来用这样的竖式计算。
（请三名学生上台板演，其余学生自己尝试解答）
师：我们来看黑板上的竖式。这些算式有什么共同的地方?
生1：它们都是两位数和一位数乘。
生2：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。
生3：我发现第二次乘下来都得整十的数。
生4：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，得数十位上的数就是第二次乘得的数。
师：大家观察得都很仔细，那么你觉得像这样写怎么样?
生1：比较清楚。
生2：清楚是清楚，不过有点繁琐，有些好像不要写两次的。
师：是啊，要是能简单些就好了。
生3 ：其实这个竖式积里十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去的。
师：哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕——
（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程）
师：老师也来写一次。你们看——这样写是不是比原来简单多了?
生：（齐）是!
师：我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？
（请原来板演的三名学生上台，其余学生也动手将初始写法改成简单写法）
在上面的案例中，在引出了“初始”竖式后，教师没有马上进一步讲解“简化”的竖式。因为后者是对前者的“压缩”，如果学生没有对前者的切实理解和内化，往往实现不了这种“压缩”，从而造成困难。于是，教师鼓励学生运用“初始”竖式再做一些题目，在此过程中进一步理解算理，同时对计算方法进行内化。在此基础上，再引入“简化”的竖式，并通过比较体会它的好处。这一过程体现了“让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握”。
笔者虽然不完全同意使用“算理直观”和“ 算法抽象” 的词语，但对上述观点是赞同的，甚至建议教师不一定在一节课上就让学生实现“初始”竖式的“ 压缩”，而是充分建立“初始”竖式与学生算法多样化之间的联系，真正使学生理解算理，内化计算方法。总之，在算法多样化的基础上，教师既要沟通各种算法之间的联系，凸显算理，又要让学生对常规法则（或者学生个体选择的方法）进行充分内化，然后再进入巩固练习阶段。
三、计算法则的熟练
使用“熟练”一词，并不是说要求学生对于所有的计算法则的使用都必须达到一定的速度，而是指形成必要的计算技能，从而在以后遇到此类计算时，学生能“自动地”使用法则。理想的教学是当学生面对精确计算的题目时，能够回忆起法则进行“自动”的运算，而当询问法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确地加以表达。
那么，如何在新课程背景和要求下，科学地培养学生的运算技能呢？提出如下几条建议。
1.首先应以《标准》为依据。
《标准》对于学生的计算技能给出了明确要求。第一，是内容方面的要求。如对于自然数的笔算，明确规定“能计算三位数的加减法”，“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两
位数的除法”，“会进行简单的四则混合运算（以两步为主，不超过三步）”。第二，是对速度的要求。下表是《标准》给出的评价建议：
学习内容速度要求
20 以内加减法和表内乘除法口算每分8~10 题
三位数以内的加减法笔算每分2~3 题
两位数乘两位数笔算每分1~2 题
除数是一位数、被除数不超过三位数的除法每分1~2 题
在《标准》修订时，又明确了100 以内加减法口算的速度要求，即每分3~4 题。
2.有效利用学生的困难和错误。
谈到科学地培养学生计算技能的问题，不能回避的问题是如何面对学生的困难和错误。实际上，越来越多的老师对学生的困难和错误采取了更为理解的态度，并力图去发现其中的原因和积极成分，把困难和错误当成资源来利用。这里，想再次强调教师要深入了解学生的想法，准确诊断学生困难和错误的原因。教师不能将学生的困难和错误简单地归为“粗心”，而要通过访谈等手段了解学生的真实想法。
这里举一个案例（详见本刊2007 年第9 期《让知识成为学生真正的营养》一文）。清华大学附属小学的张红老师在教学小数除以小数之前，对学生进行了学前调研，发现学生在计算“8.54?0.7”时，27% 的学生不能自觉想到将其转化为小数除以整数，67.6% 的学生在转化时出现了困难。特别有意思的是，在随后教师对学生的访谈中，发现了学生在处理商的小数点位置时出现了较大的困难。一部分学生认为商的小数点应该与被除数的小数点对齐，得到 1.22 ；另一部分学生把被除数和除数同时扩大10 倍，将算式转化为85.4÷7 并得到答案12.2 后，又画蛇添足地将答案的小数点往左移动了一位。如果教师不了解学生的真正困难，设计有效的活动帮助学生克服困难，学生可能只会机械记住法则。于是，为了帮助学生克服困难，教师在课堂上让学生探索“5.1?0.3 ”，当出现困难时，教师为学生准备了三道提示问题：
温馨提示1 ：铅笔每支0.3 元，小红有5.1 元钱，她能买几支铅笔？
温馨提示2：一条彩带长5.1 米，如果每0.3 米剪成一段，可以剪几段？
温馨提示3：如图6，5.1 里面有多少个0.3，你能圈圈看吗？
在教师的引导下，学生借助生活原型（提示1和提示2 ）和直观模型（提示3）发现最终的答案应该是17 而不是 1.7 。图7 是利用直观模型的解释：5.1 里面有51 个0.1 ，0.3 里面有3 个0.1，看5.1 里面有多少个0.3，实际上就是看51 里面有多少个3，结果为17。
3.合理地设计练习。
要形成一定的运算技能，必要的练习是不可少的。练习的设计包括练习的题目、练习的形式、练习的数量、练习的时间等的合理安排。
考虑到小学生的认知特点，教师应采取丰富多彩的练习形式，以激发学生的学习兴趣。比如，可以安排有趣的“数学黑洞”问题。在这样的问题中，学生既进行了减法的练习，同时也发现了有趣的规律。这里要特别强调的是，在练习的同时，教师可以将基本技能的获得与其他思维能力的培养有机结合起来。根据运算技能形成的各阶段的特点，教师可以适当地分配练习的次数和时间，并非练习的次数越多、时间越长，练习的效果就越好。比如，有些教师总结了合理安排练习次数和时间的经验：“我们提出了交错训练，也就是说把计算的练习安排在了平时的每一天，和我们要讲的新知识结合在一起……一般来讲，在计算教学的一段时间，讲完算理和算法以后，每天早晨我们会做四到六道计算题，课堂当中可以做一两道题。这样随着时间的拉长，练习的量会逐渐地减少，比如说在以后就可能是一周练习两到三次，一次一两道题，这样基本一个月下来，错题率就能保证在2％左右。
4.注意对数和运算意义等的深入理解。
学生在计算中的困难和错误往往与其对于数和运算的意义理解不深是有关系的。比如对于整数加减法的竖式运算，运算的关键是“相同计数单位相加减”，如果学生对于位值制不理解的话，在计算中就会出现困难。又如分数运算，在学习分数的加减运算时，学生需要理解分数的“度量意义”（分数是分数单位的“累积”）；在学习分数的乘除运算时，学生又需要理解分数的“ 运作意义”（如乘，相当于除以3再乘2）。因此，一方面，教师要加强对于数的意义和运算意义理解的教学；另一方面，当学生计算出现困难或错误时，教师要注意学生是否理解相应的数和运算的意义。
5.进行必要的研究。
为了科学地培养学生的运算技能，教师还需要进行必要的研究。比如学生技能形成的主要阶段，学生的常见困难和错误，运算技能的关键点，运算中的重点题目等。其实，只要教师能做有心人，从教学中的“小处”入手，以小寓大，会发现日常教学中有许多可以研究的问题。这里引用张天孝老师的一个研究：“比如，100 以内两位数加一位数进位加法共369 道题，对进位加法本身来说，这些题的口算训练价值是等同的。但对后继学习（多位数乘法计算）的作用来说，口算训练价值就不一样。在多位数乘法计算中，涉及的两位数加一位数进位加法共60 道题，占总题量的16％，对这60 道题就应增加训练量。如748×7，要用到28＋5、49＋3 两道口算题。”
后续：
张奠宙：可否说得更全面些——谈关于“算理”的教学
------与张丹老师商榷
作者：张奠宙来源：华东师范大学时间：2010-12-30 10:02:34
上海的8月酷热，恰逢《小学教学》第7—8期合刊寄到。许多文章写得很好，犹如一阵凉风吹来，读来倍感清新。首先，我读的是张丹老师的一组文章。她是一位很有才华的研究者，我们也是熟悉的朋友。她的文章内容充实、朴实无华、不说空话，值得一读。这一组文章，论述也很全面，关于情境创设、合作交流、图形运用等方面，说得都很辩证。
不过，对于计算程序和算法算理的论述中，我觉得有一些不够全面的地方。本文是一篇读后感，谈谈不同的看法，就教于张丹老师和广大读者。数学教育研究的争论太少，我想，经过讨论、争鸣，真理会越辩越明。
一、从一个数据说起
让我们先看张丹老师的文章《以数的运算为例谈整体把握小学数学课程》(以下简称《丹文》)中的一个数据。其中提到：
我们在2009年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：
题目1：计算42×25。(目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则)
题目2：如图，在34×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是( )。
A．10个34的和B．12个34的和
C．1个34的和D．2个34的和
(本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义)
测试的结果是：在2009年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，学生在题目1和题目2上的得分率分别是70.10％和43.09％。
《丹文》说，设计题目2源于与一位三年级学生的讨论。该学生能很快利用竖式给出正确结果，但当追问竖式的“第二层”(即题目中箭头所指的这一步)是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用1乘34，乘完向左移一位，我也不知道为什么。”于是《丹文》讨论的是：如何帮助占70.10％的能准确计算的学生，达到那43.09%懂得算理者的水平。这当然是可以讨论的问题。
可是，作为全面把握未来走向的数学教育工作者来说，是否应该更加关注那29.90％不会算或者算不准的学生呢?
我国学生一向以基本计算能力水平高著称，提高“会做、做对”的比例历来是我们关注的重点。要知道，29.90％接近1/3，可不是小数目啊!我问过一些小学数学教育专家，都对做不好两位数乘法的学生达到29.90％的这一数据表示忧虑。
从会做提升到知道为什么这样做，事关创新人才的培养，当然是重要的。锦上添花固然需要，但是，雪中送炭——帮助那些学习困难的学生，也许更为紧迫。
会计算两位数乘法，是小学生最基本的数学素质之一。没有这一基础，他们接着要学多位数计算、小数计算、分数计算，怎么学得会?也就是说，他们将来如何完成九年义务教育?如何适应“普及高中教育”?如何让他们成为未来合格的公民?让每一个孩子都不掉队，至少要让90％以上的孩子都会做，而且做对，正是数学教育要关注的重点。
因此，我觉得《丹文》在鼓励创新和保证基础的重视程度上，似乎有一定的片面性，需要全面些。
二、非要立刻就学懂“算理”吗
《丹文》进一步指出：在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式(即箭头所指的那一步，要把340末尾的0写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把0省略掉)。这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。
这段文字，主要是批评一线教师不重视学生的探索过程，仓促地让学生在不明算理的情况下进入竖式计算。可是，掌握一种程序性知识的“算理算法”，即从会做到知道为什么这样做，需要一个过程。在初步说理的基础上，教师先给出规范的计算程序，以后再懂其道理，乃是正常的认识过程，不能一概批评为“仓促”。
在“两位数乘法”的实际课堂教学中，一般地说，老师会用例子引入，讲解为什么要向左移一格，并不会把计算步骤“硬灌”下去。对于多数资质一般的学生，一堂课学下来，还处于似懂非懂状态，或者一时懂了课后又淡忘了。唯有老师教的“第二行往左移一位”简单明了，记住了，于是会做了。这就是70.10％的学生会做的原因。
我们学一些程序性的知识，往往先会做，到后来再理解为什么这样做。即先知其然，然后逐步知其所以然。比如孩子从小跟父母学习说话，也是先模仿会说，不知道为什么要这样说。小学生会背唐诗，对其意义也并不十分理解。尤其是认识方块字，难道要从古代的甲骨文、金文、篆
书、隶书等一步步如何演变来进行教学吗?这是文字专家的事情，普通百姓只要认得现代的字形，先会用即可，以后可以慢慢加以理解。
《丹文》也提到教师要在后面的练习中，注意促进学生在记忆基础上再次理解。现在的问题是，教学理念总是强调“事先创设情境”“探索程序的发生过程”，而且“不能仓促过渡，必须一次完成”。这样一来，“反省抽象”“再次理解”反倒成了可有可无的环节，也不见这方面的理论阐述和实际教学设计。
这就是说，在事先理解和事后逐步完成理解的处理上，《丹文》也有一些片面性。
三、提高课堂效率，是数学教育研究的目标之一
如上所说，现在过分强调“情境创设”，从一个算法的一开头就强调“为什么”，要经历“生活实例”“数字举例”“纠错改错”“抽象概括”“融会贯通”等步骤，最后才得出算理。总之，非得要学生自己总结出算法来才算达成目标。这种基于建构主义的探究式教学，让学生经历了历史上创新认识的全过程，对于培养学生的创新精神自然有重要的价值。我们过去在这方面强调不够，今天需要强调，当然是对的。但是，这种方法，需要花费大量的时间成本，教学效率不高。中小学基础教育是在短短的若干年内，让学生把握人类几千年积累的知识，不讲究效率的教学是走不远的。
已故的西南大学陈重穆教授，曾经在西南地区进行了长期的“高效数学教学”实践活动，简称GX实验。他提出了“淡化形式，注重实质；积极前进，循环上升；开门见山，适当集中；先做后说，师生共作”的32字诀。这一土生土长的具有中国特色的数学教育规律，对于那些“程序性”的数学知识，如算法教学等特别有效。其中“积极前进，循环上升；开门见山，适当集中”这16个字，对于本文探讨的问题特别有针对性。
《丹文》有如下的个别谈话实录：
我们对某小学40个没有学过此部分内容的三年级学生进行了调研。他们已经学习了两位数乘一位数。起初，题目没有给出任何直观模型，而是要求学生想办法计算14×12。结果40个学生全部用竖式计算，其中22个学生基本正确(包括方法正确，但计算时出现了错误)，18个学生出现了较大困难。然后，我们对遇到困难的18个学生全部进行了访谈，并请他们借助点子图完成两个任务：任务1，借助点子图思考如何计算出14×12的结果；任务2，如果能够计算出正确结果，再将计算过程写成竖式。
在完成任务2时，有8个学生能够独立完成，10个学生困难较大。下面是对上述两个任务都能独立完成的学生的访谈记录(括号内为笔者注释)
1．首先，教师了解学生原先的竖式是如何计算的。
师：你是怎么算14×12的?
生：个位二四得八，十位1×1＝1；个位与十位2×1＝2，1×4＝4。
(学生“自创”的竖式体现出他并不知道应该怎么做，更没有自发地想到去“拆数”未转化为已有知识)
2．给了学生点子图后，学生正确地给出了结果。教师了解他又是如何思考的。
师：这个图的点子数，你是怎么算出的?
生：14×10＝140，14×2＝28，140十28＝168。
(没作任何引导，看点子图学生就自然地将12分成10和2，看来图对于这个学生是有用的)
师：你怎么想到了10?
生：我不会算14×12，但我知道10个14是140。
(此时，教师要求他在点子图上圈一圈并说明思考过程，该生能圈出10个14，2个14)
3．进一步，教师想了解点子图对他修改原来的竖式是否有帮助。
师：点子图与竖式对比你发现了什么?
生：都是14乘12，一样。
师：那用竖式应该怎么算?
学生给出了新的竖式：
(虽然学生的写法还是错误的，但他已经不是“瞎写“了，而是试图表现出刚才的思考过程：14×10＝140，14×2＝28，140十28＝168。这一方面说明借助点子图得来的方法促使他反思了自己原来的写法，另一方面说明由刚才的思考过程到写成竖式并不是自然发生的)
师：(帮助他修改)应该写成14×2＝28，再算什么?
生：140十28＝168。
(该学生后来在老师指导下学会写竖式了。然后，学生独立完成26X14、36X13，竖式全部正确)
师：看着这几道题你发现了什么?
生：比如36×13，把13拆成10和3，先算36×3，再算36×10，再加起未。
师：点子图有用吗?
生：有用，可以把12拆成10行和2行。
(这句话说出了点子图对于这个学生的帮助)
这段引文表明：在40个学生中，约半数学生能够自己“发现”竖式算法，而另外半数则不会。于是，对不会发现竖式算法的学生，仍然不是正面告诉他们“规范”算式，而要他们“自己设计”算法。于是学生不断地犯错、纠错，把原始的、正确的、不简便的写法也统统尝试一遍。最后要让学生“从不规范中归纳出规范”来。这样做，是不是太累了?
从陈重穆先生的GX实验来看，这样的设计既不是开门见山，也不是积极前进，因而是“低效率”的。
事实上，理解算理的教学有很多种层次：
●举例说明算式的合理性，让学生愿意接受。这种初步的理解是接受性学习的必要步骤。
●尝试性的探索。教师把问题提出来，让学生试试看能否“有办法解决”，但只是尝试而已，不求正确。这是教师进行“启发式”讲解的前奏。
●学生探究，教师归纳。迅速把学生的思维集中到正确轨道上来。教师的主导作用十分明显。
●学生探究，学生归纳。全程进行开放式的发现法教学。
《丹文》提倡的是第四种教学选择，也是最花费时间、只能个别教育的选择。许多学生有可能在探究过程中分不清“规范”和“不规范”，以至二者彼此干扰，囫囵吞枣地瞎碰，结果弄得糊里糊涂。
总之，我们的数学教学要讲究效率，按照进度要求，选择适当的方式让学生有初步理解，然后逐步加深理解。因此，真希望一线教师能设计一些螺旋上升的复习课，以“总结、反思、纠错、提升”多次循环，展现认知过程。
无可否认的是，国内的数学教育见解往往不像国外引进的某些理念那样得到重视，陈重穆教授的GX实验以及他提出的32字诀，并非广为人知。但是，他经过大量的实验，总有一定道理的，成为一家之言。事实上，我们确实需要一种教学过程，既符合小学生的学习规律，又能够体现“高效益”。因此，在如何进行两位数乘法的教学设计时，还是说得全面些为好。
四、关于计算程序性知识的教学研究
弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出。数学知识有两类：程序性知识和思辨性知识。程序性知识大多是“行易知难”，例如小学的许多计算规则：先乘除后加减、分数除法的颠倒
相乘、有理数乘法的负负得正等，都是做起来容易，懂得其道理难。至于思辨性数学知识，如数学模型、数学证明、函数定义、方程意义等等，知道其定义容易，要做起来可就难了。
近来，巩子坤教授在其博士论文《程序性知识教与学的研究》(已由广西教育出版社正式出版)中提出，数学知识的理解有四个层次：(1)程序理解：会按照规定的程序进行操作。(2)直观理解：会使用直观模型做一些解释。(3)抽象理解：会一般地举例说明合理性。(4)形式理解：能够完整地用形式化语言说明其所以然。
在该书中，巩子坤教授用大量的实证研究，对陈重穆先生的“先做后说”作了科学的阐述。我们这里不妨摘引几段：
类比迁移是很重要的教学策略。无疑，类比是小数乘法进行的最关键的策略。但是，我们也应该清醒地看到，很多学习中的错误，也往往是“类比惹的祸”。
记忆是慢慢通向理解的。对于一开始不太理解的东西，应该先记下来，在使用的过程中不断理解。正如陈重穆先生指导的GX实验一再强调的“饭要一次蒸熟，而认识不可能一次完成”。对程序性知识应该“先做后说”。如果不理解运算的意义，又不记忆规则，那么既不会做，也把将来再理解的机会失去了。
关于分数除法的运算，除程序性理解之外，其他理解的水平的得分率都比较低，能够说明“为什么分数除法要颠倒相乘”的学生更少。分数除法的“颠倒相乘”，说一千道一万，要会用这种程序来解题。另一方面，就是我们要加强运算本身加以理解的教学。
以上是关于程序性知识的一些比较客观的研究成果，自然也是一家之言。我在这里加以引用，无非是要重复“兼听则明，偏听则暗”的道理，让我们把话说得更全面些。
张丹：再谈“整体把握”数的计算教学
作者：张丹来源：北京教育学院时间：2010-12-30 9:54:12
《小学教学》编辑部转来张奠宙先生的邮件，张先生对我的文章提出了一些想法，我很高兴。一方面的原因是，数学教育太需要交流了．特别是针对具体问题的交流。教育本身的复杂性使得我们必须从多种角度来分析问题，多角度的观点无疑对澄清问题、深入地思考问题是大有好处的。另一方面的原因，则是源于对张先生的敬重。有幸和张先生多次的接触，他深刻独到的观点、简洁而富有启发性的语言。常常使我受益颇多。有这么一位学者和长者关注我、提醒我，无疑是值得高兴的。当看完张先生的文章后，不由引发了我一些新的想法．于是撰写此文与大家分享。
8226; “整体把握”的想法来源于自己几年来对小学数学课堂的观察．以及和教师们的交流。但“整体把握”的内涵、理论框架和具体策略显然都需要不断地深入思考。2010年第7-8期刊登出来的文章《以数的运算为例谈整体把握小学数学课程》(即张先生所提的《丹文》)，即是本人针对数的计算教学整体把握的一些初步想法，张先生的文章促使我对此又有了更加清晰的认识。
1．整体把握“理解算理、形成方法、掌握技能”。
正如《丹文》所述，学生计算的学习可以细分为三个步骤：第一．计算方法的探索及算理的理解；第二．计算方法的形成与内化；第三，计算方法的掌握。简单概括就是“理解算理、形成方法、掌握技能”。理解算理无疑是重要的，但并不是计算学习的全部。《丹文》所举的案例本意是想侧重关注那些对于算理不理解的学生，因此有忽视还没有掌握方法的学生之嫌。因此，张先生提到的“需要全面些”，我是赞同的。其实．整体把握、全面认识一直是自己的主张，因为算理和方法本身就是密切结合的整体。
2．整体把握算理理解的阶段性和长期性。
张先生的文章提到的第二个问题“非要立刻就学懂…算理?吗”．我认为这是关于算理理解的阶段性和长期性的问题。确实，学生对算理的理解往往不是一蹴而就的．需要认识到它的阶段性和长期性。在这一点上，我个人觉得大家的出发点是一致的。可能的分歧是。对于“事先理解”和“事后逐步完成理解”的处理。我的想法是两个方式都是可以的，就个人而言，我比较倾向于尽可能促使学生事先理解，或者是部分理解，然后再逐步加深理解。那么，为什么《丹文》还要说到教学过程的“仓促”呢?(需要声明的是，这里绝不是批评教师，只是陈述自己见到的比较普遍的现象)主要是因为，相比计算程序的训练，教师往往在引导学生理解算理上做得比较“仓促”。或者，有的教师在引导学生理解算理时蜻蜓点水，很快开始介绍计算程序，然后就是熟练程序，算理成了可有可无的事情。或者，在促使学生初步理解后。就再也没有给学生“再次理解”的机会，似乎算理的理解只是第一节课前半段的事情．方法一旦会了就不用再理解算理了。正如张先生所说，“在初步说理的基础上，教师先给出规范的计算程序，以后再懂其道理，乃是正常的认识过程”，但实践中往往忽视了给学生“再懂其道理”的机会。
可能有的老师会说。不懂道理就不懂吧，有学生悟出来更好。不行也就算了，并不影响计算。我想。这也许就是大家对“效益”认识上存在的不同。数学要尽可能使学生不仅知其然，还要知其所以然。当然，学生理解道理的层次和方式可以随年龄的特点而有所不同。理解的时间可能有先有后，但还是希望他们能感觉到自己学习的知识是有一定道理的，而不仅仅是教师讲的或者是规定的。
也有的教师会说，现在不懂．以后年龄大了自然会懂。我想，第一，不希望学生总是觉得他们学的知识以后就懂为什么了，就像他们觉得学了知识以后就自然有用了．而是希望如果有机会就让他们经历一个探索道理的过程。第二。到底有多少学生将来能自觉地“悟出来”，能做到“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”，我们确实没有把握，确实缺乏这方面的研究。就像如何能真正促使学生“反省抽象”“再次理解”一样，是需要认真研究的课题，特别希望大家能一起做些研究。
8226; 3．整体把握不同内容理解的层次性。
第三个问题，是不同内容理解的层次性。这里引用张先生文章中的两段文字：
“近来，巩子坤教授在其博士论文《程序性知识的教与学研究》中提出，数学知识的理解有四个层次：(1)程序理解：会按照规定的程序进行操作。(2)直观理解：会使用直观模型做一些解释。
(3)抽象理解：会一般地举例说明合理性。(4)形式理解：能够完整地用形式化语言说明其所以然。”
“理解算理的教学有很多种层次：
●举例说明算式的合理性，让学生愿意接受。这种初步的理解是接受性学习的必要步骤。
●尝试性的探索。教师把问题提出来．让学生试试看能否…有办法解决?，但只是尝试而已，不求正确。这是教师进行…启发式?讲解的前奏。
●学生探究。教师归纳。迅速把学生的思维集中到正确轨道上来。教师的主导作用十分明显。
●学生探究，学生归纳。全程进行开放式的发现法教学。”
无疑．这两段文字是富有启发意义的。它使我们的思考由一节课转向了一个单元、一个年级甚至整个小学。确实，对于不同的知识，理解的水平应该是不同的，当然所采取的教学方式就会不同。这里就涉及。到底小学数学中，各个内容需要不同年级的学生达到何种程度的理解，这个问题需要教师全面思考，正所谓“整体把握”。
“数的运算”一直是小学数学课程的重要内容．在课程改革中也是广大数学教育工作者尤为关注的。随着课程改革的深入，大家越来越关心．学生能否在保持我国传统的运算技能优势的前提下，对于课程改革所强调的其他方面也能比较好地掌握。
2004年，在教育部基础教育课程教材发展中心的组织下，成立了“建立国家中小学生学业质量分析与指导系统”项目组。作为子项目之一．小学数学组开始了小学生数学学业质量评价体系的研究和构建。小学数学学科的项目目标是依据《数学课程标准》，力求反映三年级学生数学学业质量状况，同时为教育教学诊断和质量提高提供依据。
由《丹文》提到的案例中的两个题目也可以看出。小学生数学学业质量体系不仅仅力求考查学生对于知识技能的掌握。同时将重点放在了考查学生对于所学习内容的理解。
这里就涉及了两个问题：对于三年级的学生，竖式每一步的含义是否应该作为学生应该会的内容?如何设计合理的题目来考查学生对算理是否理解了?对于第一个问题．我在数据出来后的几乎每次培训时，都要询问一线教师，他们中绝大多数都认为三年级的学生应该明白竖式每一步的含义。当然，衡量一个内容是不是学生应该掌握的．还需要进一步探索标准。第二个问题，也是目前实践中比较困惑的，即如何设计好的试题全面体现《数学课程标准》的要求，发挥好评价的导向功能．使教师们不因为应付考试而只关注技能的训练，这确实很重要。
《丹文》考查算理的题目，对于三年级学生也许并不是最合适的，比如学生是否理解题目的意思，但它确实是在考查算理方面的一个尝试。希望能抛砖引玉，激发更多的老师开发出更好的
题目。另外要说明的是，《丹文》只是从一个侧面给出了对于数据的解释。相信大家能从数据中给出自己的解读，同时也需要教师们结合自己的学生，进一步了解他们的真实想法，对教学作出诊断。总之。课程改革进行到今天，迫切需要建立一套合理的测试系统，开发大量适当的题目，来科学评价学生的学业质量．并由此进行诊断．既肯定课程改革取得的有益变化。又发现可能存在的偏差。
低年级计算教学应如何设计？ ——算理算法齐步走 低年级计算教学因为内容简单，教学中反倒容易被老师们所忽视，但殊不知低年级的计算是学生学习数学的开始，是最需要打好基础的。 小学低年级计算教学最容易出现以下问题：一是教师对教材理解有偏差。北师大版的计算内容往往都提供一些解决实际问题的情境，然后安排一至两次操作活动后，教材才呈现出算法，缺乏经验的教师往往认为知识简单，就不让学生动手操作学具，或是在简单操作后很快就抽象出算法，这种教法没有使学生在这个过程中理解算理，而是将算法直接灌输给了学生。因此，课后学生的计算错误五花八门；二是教学中教师经常被假象蒙蔽，也就是局限于具体问题的计算教学，产生“以点带面”的错误。部分学生在学习新知识前，已经会口算了，甚至会用竖式笔算，致使一些教师认为没有必要再回头进行算理的探究，满足于学生只要会算就行了。这样的计算教学，最终导致学生在以后的计算中很容易出错。那么，低年级数学计算教学应如何设计，教学的重难点又是什么？ 我们一年级数学组四名教师经过深入探讨，一致认为，低年级计算教学在设计时要把握好算理与算法之间的关系，教学的重
难点应强调，要在明晰算理的基础上，掌握算法。 首先，设计计算教学前，我们教师自己要深入钻研教材，特别要有算理算法齐步走的意识。 1、明确教学内容的算理和算法。 作为教师我们对于计算课教学内容，必须做到心中有数，不能满足学生会算了，算对了就可以，不能对教学内容的算理，算法含混不清，到底什么事算理？算法又是什么？ 算理是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的问题，算法就是计算的方法，主要是指如何计算的法则，算法是按照算理而经过简约了的程式化的操作步骤，主要是解决如何算的方便，准确。教学中一定要让学生在明白算理的基础上掌握算法。 如我们这次“同课异构”上的《拔萝卜》一课，创设了小黑兔与小白兔拔萝卜的情境，让学生自己提出数学问题通过摆小棒，计数器拨珠解决两位数加两位数不进位加法，两位数减两位数不退位的减法，学生通过动手操作后明白在计算36+24时，要把6个一与3个一合起来，3个十与2个十合起来，理解了算理，竖式计算的算法：相同数位对齐，从个位算起，学生很容易就接受了。 我们认为，让学生在探明算理的基础上掌握算法，才能有意义的接受算法，算理指导算法，算法要体现算理，为此，教学时，我们要提供给学生明理的机会，增强感性认识，这
1.计算教学中，如何处理算理与计算方法的关系？ 计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。 算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。 与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。 如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。 处理计算教学中算理与算法的关系还应注意以下五点：一是算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法；二是计算教学的问题情境既为引出新知服务，体现“学以致用”，也为理解算理、提炼算法服务，教学要注意在“学用结合”的基础上，以理解算理，掌握算法，形成技能为主；三是算理教学需借助直观，引导学生经历自主探索、充分感悟的过程，但要把握好算法提炼的时机和教学的“度”，为算法形成与巩固提供必要的练习保证；四是算法形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能，才能算是找到了算理与算法的平衡点；五是要防止算理与算法之间出现断痕或硬性对接，要充分利用例题或“试一试”中的“可以怎样算？”“在小组里说一说，计算时要注意什么？”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔接服务。
如何处理算理和算法的关系 算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的，算理与算法，贵在合谐，而寻求算理与算法的平衡点是计算教学理性回归需要解决的主要问题。算法多样化，算理要让学生掌握数学思想方法。 怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以两位数乘一位数为例，说说如何实现理算理与算法的的教学统一。 1、引导研究，理解算理 学生只有理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对计算的道理进行深入的研究，帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10 是多少，再算2个4是多少，最后把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2＝8，10×2＝20，20＋8＝28。通过这样的研究学生就理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的计算问题。 2、及时练习，巩固内化 通过上面的计算研究，学生虽然理解了两位数乘一位数的道理，但是此时学生对算理的理解还处于似懂非懂的状态，学生是否真正掌握了算理还要经过实际计算才能得到检验和巩固，此时及时组织学生进行相应的练习是很有必要的，只有在练习中才能把算理内化为自己的理解，才能使学生理解和掌握算理。所以在学生初步理解了算理后，应当及时组织学生用三个算式进行两位数乘一位数的练习，使学生在练习中加深对算理的理解，在练习中牢固掌握算理，为后面的抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。 3、应用算理，进行创造。算理是计算的思维本质，如果都这样思考着算理进行计算，不但思维强度太大，而且计算的速度很慢算。为了提高计算的速度，使计算更方便、快捷，就必须寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算法则。计算法则是算理的外在表达形式，是避开了复杂思维过程的程式化的操作步骤，它使计算变得简便易行，它不但提高了计算的速度，还大大提高计算的正确率。所以当学生理解和掌握了算理之后，应引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考：计算14×2要写出三个算式，你的感觉怎样？可以简化一下吗？怎么简化？学生通过独立思考、同伴交流创造方便、快捷的计算方法：可以像计算加减法那样用竖式计算，根据算理：先算4×2＝8，在个位上写上8，再算10×2＝20，在十位上写2、个位上写0，最后再把8和20加起来等于28，得出算理竖式。接着再启发学生思考：还能再简化吗？通过师生共同研究，最终得出：加号可以省略，还可以把8个一与2 个十直接合并，优化成简化竖式。 4、观察比较，归纳方法
86327 数学论文 小学数学教学如何处理“算理与算法” 的关系 新课程标准将我国小学数学划分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”和“综合与实践”四个学习领域，数的运算作为“数与代数”部分的重要内容，一直以来被老师所重视，科学处理算理和算法的关系，直接影响到学生计算能力以及运用算理解决实际问题能力的培养。而在实际教学中，大多数老师都存在重算法轻算理的问题，那么算理和算法的关系到底是怎样的，我们应该如何科学处理算理和算法之间的关系呢？我觉得首先我们得从算理和算法的关系谈起。 一、算理与算法之间的关系 所谓算理就是计算过程中的道理，是解决为什么这样算的问题，它是四则运算的理论依据。而算法也就是计算的法则，是解决如何算得方便、准确的问题。 二、在理清二者关系的基础上，教师要科学处理算理与算法的关系，做到算理与算法兼顾
1.积极转变教学观念 算理与算法兼顾，说起来容易，做起来难，原因主要存在以下几点：一是教师本身对算理与算法的关系理解不到位，在实际教学中普遍存在重算法、轻算理，甚至不讲算理的情况。特别是一些老教师，他们往往将课堂的主要精力放在了算法的机械掌握和不断地强化练习上，通过不断地机械练习，让学生达到熟练操作的目的。二是现有考试制度和教师考核制度的限制。在很多情况下，在老师只重算法不讲算理、只是机械巩固练习的情况下，学生虽然是“只知其然，不知其所以然”，但熟能生巧，学生的成绩仍然很高，年终考核的时候教师考核成绩仍然不错。既没有浪费太多的时间在那些不好理解的算理上，学生的计算能力貌似还不错，自己的考核成绩也不错，长此以往，形成惯性，算理的重要性更是被抛在了脑后……而这样的老师教出来的学生虽然短期内成绩要好，但如果试题难度加大，特别是需要解决实际问题的时候，这些学生往往就会显得束手无策，成绩会大失水准。所以，数学老师在日常教学中要积极转变教学观念，做到算理和算法并重。 2.注重学生的体验探究和动手操作，有利于学生在活动中发现算理
如何处理运算教学中算理与算法的关系《课标》明确指出：“教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进对运算意义的理解。”因此，在教学时，教师应以清晰的理论指导学生掌握计算方法，理清并训练掌握计算法则、运算性质、运算定律以及计算公式的推导方法，培养学生的简便意识。 对于计算教学的研究还要正确处理好算法与算理的关系。掌握算法和探究算理是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖以成立的数学原理。在计算教学中，算理探究与算法掌握具有同等重要的地位。但在新课程实施过程中，由于部分教师对算法多样化教学理念的片面认识，出现了一味追求多种算法，而忽视算理探究的新问题，值得我们反思。因此，在计算教学时，首先必须让学生明确怎样算，也就是是要加强法则及算理的理解，并在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。下面，我就粗谈一下如何在运算教学中处理好算理与算法的关系。 一、精心设计，正确处理算法与算理的关系 1、算理应是学生在自主探索中建构 在计算碰到新问题时总有相当多的学生会应用已有的经验想办法解决问题，教师应为学生提供探索的空间，交流的平台，在交流中明白一个个算理，从而发展学生的思考能力，不但能提升认识，还能为新知的学习打下基础，缩短教学的时间。 2、展现多种算理时要找到突破点。
叶澜教授说过，没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了发展。为此，在交流多种想法时，教师要善于抓住恰当的一种切入口，大部分学生容易理解的进行突破。这样效率就提高了。 例如：教学十几减9时，学生出现了好多种算法，如果要一一解释每个学生的算理确实要花好长时间，而且其他学生还会有一种云里雾里的感觉，结果什么都不清楚，因为每种计算都会有一般的算法，为后续学习打基础的。这时教师只有选择其中最容易理解的破十法和想加算减这两种方法讲解，让学生理解算理。这样既能让所有学生都能理解又提高了教学效率。 3、注重算理与算法的沟通。 算理是算法的基础，当学生明白了算理后，教师及时落实算法与算理的联系，有利于对算法的掌握。 4、基本算法需要重点强化练习。 一节课有教学目标及教学重点，在多种算法中有基本算法，这种基本算法对后续学习又有很大的影响。所以对基本的算法有必要进行强化，努力使每一个学生都会。针对上述十几减9的例子，破十法和想加算减的方法就是基本算法，进行强化训练，对后面的十几减8、7、6、……都有很大的作用。 二、课堂上保证新算法的练习时间和练习量 在新的计算方法教学的第一课时留有一定的时间完成一定的练习量，能从学生的反馈中了解学生的学习情况，对学生在计算方法上出现的错误及时纠正，这样就能将学生的错误消灭在萌芽状态。对掌握算法，初步形成计算技能还是十分必要的。 例如：在教学两位数加减两位数笔算时。本课的难点是一位数加两位数的竖式写法，虽然学生已经通过摆小棒、在计数器上拨算珠知道了列竖式要注意相同
实现算理感悟和算法掌握的有效融合 作者：王芳来源：湖北省潜江市实验小学点击：1327次评论：0条——北师大版五年级下册《分数除以整数》教学案例 关键词：感悟算理掌握算法交融 内容摘要： 算理和算法是计算教学中不可分割的两个方面,算理解决“为什么这样算”的问题,算法是算理的具体化,解决“怎样算”的问题。算理探究过程中的每一个步骤以及操作方法都是算法形成的直观雏形,需要精心设计,实现算理和算法的相互交融,促进算法的有效生成。笔者结合“分数除以整数”中推导分数除以整数的计算方法环节，二次教学实践的对比，谈谈对算理感悟和算法掌握的认识。 案例描述： 第一次教学： 1、借助直观图使学生理解，把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？ 学生列式为4/7÷2，教师帮助学生理解，把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的2/7。 2、联系已经学过的分数乘法的意义，说明把一张纸的4/7平均分成2份，也就是求4/7的1/2是多少，可以用乘法计算，列式为4/7×1/2＝2/7。使学生初步看到，除于整数也就是乘以这个数的倒数。
3、借助直观图使学生理解，把一张纸的4/7平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ 学生列式为4/7÷3，教师帮助学生理解，把一张纸的4/7平均分成3份，也就是求4/7的1/3是多少，也可以用乘法计算，列式为4/7×1/3＝4/21。进一步说明，除于整数也就是乘以这个数的倒数。 4、举出分子不能被整除的例子，从而让学生熟记分数除法的计算法则：除以一个数，就是乘以这个数的倒数。 课后反思一： 此片断教学分数除以整数。更多地是关注学生知识与技能学习的结果上，其实学生学习过程中还有比结果更重要的是学习过程的经历，学生学习的主体地位没有充分发挥，学生没有愉悦的、深刻的、充满个性色彩的良好体验，自主操作活动所富有的广泛思考价值、探究价值和情感价值挖掘不充分。整个新授过程7分钟左右结束，表面上是为后面的练习节缩了很多时间，但实际从学生的发展角度和教学效果上看，有欠缺之处。课后，对一个大组12人做的一道练习进行调查统计，有7 名同学知道了分数除以整数等于乘这个数的倒数的计算方法。有2名同学在计算除以一个整数的时候，没有将除号变乘号。有2名同学后面那个整数没有变成倒数。还有1人不仅把除以的除数变成乘它的倒数，还把被除数变成了倒数。当对这7名同学进行课后追问，为什么除以一个整数要乘这个整数的倒数时，只有3个同学可以结合涂的过程说出算理，其它学生是知其然而不知其所以然。反思该片断教学，认为此片断是为计算而计算。课中没有给足学生自主探索的空间，让学生充分亲历动手操作、借助图形语言比较与思考，体会发现“除以一个数”与“乘这个数的倒数”之间的关系。学生没有从思想上达到对分数除法计算方法的深刻理解。老师将
算理和算法的关系 丁会芳“兵马未动，粮草先行。”不错，我们再上每一堂课前，都要做好充分的准备。在这一课例中，要真正的做好计算教学，就必须要让学生“会算”，核心问题就是要处理好算理和算法之间的关系。那么算理和算法之间是什么关系呢？算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。在新课程的教学中，教材特别突出对算理的理解，还注重了追求算法多样化。 在实际教学过程中，有很多老师认为只要学生最后能算出题目的答案就可以了。其实这种想法是错误的，会导致我们的教学偏向于“重算法，轻算理”。教学中，我们为了让学生理解算理，课堂上都在让学生进行交流、进行练习。以至于上完课后，学生对于算法还模模糊糊，不知道题目到底是怎么做的，这其中的原因就是我们的教学偏向了“重算理，轻算法”。事实上这都与我们没有处理好算理和算法之间的关系有关。
处理好算理和算法之间的关系 朱荣英 1、在课堂上，我们可以精心创设几个错误案例，然后引导学生有目的、有步骤地去发现问题，解决问题，掌握计算方法。 2、在学习新课的过程中，我们可以采用自主探索和合作交流相结合的教学方法，充分发挥学生的主观能动性。在新授结束以后，要让学生交流“如何算？怎样算？为什么这样算？”组织学生进一步提炼算法。 3、学生虽然理解了算理，但只有在练习中才能把算理内化为自己的认识。所以，我们要加大练习，包括口算，估算和笔算。还要要注重对学生算法习惯的培养和养成及时验算的习惯。使学生在练习中加深对算理的理解，为后面抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。
算理与算法并重，促进学生计算能力的培养算理：即计算的原理或者道理，是解决“为什么这样算的问题”。算法：即计算的方法，是解决“怎么算”的问题。也就是说计算教学是由计算原理教学和技能训练两部分组成。在教学时，每一位教师应让算理与算法并重，加强学生计算能力的培养，从而提高学生的计算能力。 在我身边的一些数学教师总认为，计算教学没有什么道理可讲，不必浪费时间去理解算理，只要让学生死记硬背法则，掌握计算方法，反复练习就可以达到正确、熟练的要求。还有一些教师对“算理”和“算法”的处理，存在着一定的偏差，单纯地讲“算理”，缺乏对“算法”的提炼，或用“算法”讲“算法”，忽视“算理”的教学，遇到一些教师不好讲解或学生不易懂的算理，就一带而过。更有一部分学生认为自己早在学前就会计算了，而不懂得要去探索计算中的“所以然”，因此造成只知其然不知其所以然的局面。这样不明算理的机械算法，最终使学生计算的正确率较低，计算技能技巧也无法得到提高。 从六年级毕业班教学下来的我，作为学校数学教研组长的我，深知肩上的责任，就是要在教学中起到引领的作用，于是我下定决心改变上述状况。首先我认真钻研新大纲，新教材，然后根据班上学生的实际情况，在数学计算教学中，我尝试做到以下五点： 一、正确处理好“算理”与“算法”的关系 算理是计算的理论依据，而算法则是依据算理提炼出来的计算程序和方法，它是算理的具体体现。 在教学三年级上册的两位数乘一位数不进位乘法时，我是这样设计的：我首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10 是多少，再算2个4是多少，最后把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2＝8，10×2＝20，20＋8＝28。通过这样的研究学生就能理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的
理解算理,掌握算法 赵瑾雯 老师这节课共有4个教学环节，分别是引出问题，理解算理、探索算法，自主练习，课堂总结，计算教学中如何使算理和算法有效结合。其中， 1.引出问题环节，用时大约2分钟。 课一开始，刘老师直接出示信息："每根灯柱上有23盏灯，大楼前共有12根灯柱。"由学生提出数学问题：一共有多少盏灯? 列式后，老师有意设计了让学生说算式的意义，运用直观图帮助学生进一步理解算式的意义两个环节，突出了乘法的意义，为后面学生理解算理，探索算法作好铺垫。 2."理解算理，探索算法"是本节课的教学重点、难点，用时大约27分钟。 刘老师在这个环节，把估算、口算、笔算三种计算方式有机联系，使学生充分理解它们之间的联系，降低了思维的坡度，有利于学生理解算理，掌握算法。在27分钟内， (1)估算。用时大约2分钟。 老师着重引领学生用23×10估算出的得数，与23×12的得数进行比较，23×10仅仅算了10个23，还少了2个23，所以估算结果要比准确得数小。 (2)口算。用时大约5分钟。 在口算环节，学生先独立尝试。在交流口算方法时，刘老师有目的地先交流"23×10=230，23×2=46，230+46=276"的口算过程，并运用直观图，帮助学生进一步理解：把一个因数拆成一个整十数和一个一位数就变得简单了。 (3)笔算。用时大约14分钟。 在交流算法时，教师有目的地选取以下两种笔算方法：①直接写出最后的计算结果。 ②分成三个竖式完成。 在逐个展示并由学生评价后，使学生明确第①种笔算方法体现不出计算过程，第②种笔算方法能展示过程但有些麻烦。刘老师引导学生思考：有没有两全其美的方法，既体现出过程，又比较简单? 一名学生说道：先把23×12列出来，先算23×2=46，再算23×10=230，然后把46和230加起来得276。探究的主动权交给了学生，学生还是能动脑筋想出办法。刘老师再顺应学生思维，把三个小竖式合并成一个竖式，用多媒体课件展示每一步的计算过程，使学生较好地理解这种算法。 (4)初步练习。用时大约3分钟。 在展示交流算法时，刘老师重点让学生说说每一步的得数是怎么来的，使学生进一步理解算理。 (5)梳理算法。用时大约3分钟。 既总结了计算步骤，又规范了书写格式。 总之，刘老师引领学生充分经历了理解算理、探索算法的过程，整个环节层层推进，环环相扣，达到了理解算理掌握算法的预期目标。 3.自主练习。用时大约8分钟。 老师设计了基本练习和辨析练习，在巩固应用和效果检测中兼顾了算法和算理两个方面。 4.课堂总结。用时大约3分钟。 学生总结自己的学习收获，刘老师再顺势引导学生思考三位数乘两位数怎样计算?为学生下一步学习三位数乘两位数埋下伏笔。 这节课重点是理解算理、探索算法，尤其是用竖式计算的算理和算法。从时间分配来看，三分之二的时间都用到了理解算理和探索算法上，其中又有一半的时间用来探索和理解用竖式计算的算理和算法。抓住了重点。
小学数学计算课理解算理和掌握算法之浅谈计算是学生最基本的数学素养。小学数学教学内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大板块。数与代数包括整数、小数、分数、百分数加减乘除四则运算，运用运算定律进行简算，等式与方程等计算内容；图形与几何包括平面图形的周长与面积、立体图形的表面积与体积等计算内容；统计与概率包括求平均数、众数、中位数等计算内容；综合与实践以问题为载体，学生综合应用计算内容和方法解决简单的生活实际问题。可以说计算贯穿小学数学教学的始终。从思维角度看，计算是依据数和运算的意义以及运算的定律进行逻辑推理的过程。就计算的种类来讲可以分为口算、笔算、估算三大类。比较简单的计算通过心算可以得出结果就是我们所说的口算；当数字较大不能很快算出得数，需要把计算过程书写下来，就是我们所说的笔算；估算就是大致推算，可以推算最大值、最小值或大约是多少。2011年新课程标准把发展学生的运算能力当做十大核心概念之一，可见计算在小学课程中的重要性。无论哪种类型的计算都离不开学生对算理的理解，算法的掌握与应用。下面结合自己的教学实践谈谈对理解算理和掌握算法的几点体会。 一、算理与算法的关系 算理是客观存在的规律，是计算过程中的道理，是指计算过程的思维方式，解决为什么这样算的问题。算法是计算的方法，主要是指计算的法则，就是简化了复杂的思维过程，添加了认为规定的程序化的操作步骤，解决如何算的方便、准确的问题。如:计算312+56时，根据数的组成进行计算312是由3个百、1个十、2个一组成的，56是由5个十、6个一组成的。先把2个一与6个一相加是8个一，然后1个十与5个十相加是6个十，最后把3个百、6个十、8个一合并的368，这就是算理。当学生进行一定量的练习后，发现了这样的计算规律：个位只能与个位相加，十位只能与十位相加，百位只能与百位相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，再把几个得数合并起来，这个过程就是学生感悟算理的过程。最后优化计算过程，写成竖式，概括出计算法则：相同数位对齐，从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。 由以上分析可以看出：算理是算法的理论依据，为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合法性和正确性；算法是算理的提炼、概括和总结，为计算提供了便捷的操作方法，从而提高计算的速度和准确率。算理和算法是相辅相成有机统一的。 二、教学流程中如何感悟算理、掌握算法 小学数学计算课大致分为：检查预习，确定起点——创设情境，感知算理
理解算理，掌握算法 ——数的计算的教学 一、“数的运算”的重要意义和价值。 “数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。 数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。一定的计算能力是每个公民都应具备的基本素养。 1．在日常生活中有广泛的应用。 数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及相互之间的关系。从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。 2．对培养学生的思维能力有重要作用。 学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。 3．有利于渗透数学思想方法的教育。 数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。 二、内容变化解读。 随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/812023737.html, 如何在小学数学计算教学中教好学生的算理与算法 作者：张富梅 来源：《新教育时代·学生版》2017年第08期 摘要：算理就是计算过程中的道理，解决为什么这样算的问题；算法也就是计算的法 则，是解决如何算得方便、准确的问题，二者是相辅相成、不可分割的。算理为算法提供了理论依据，而算法又使算理可操作化。教师在日常教学中可以从多个方面进行努力，在实际教学中科学处理算理与算法的关系，做到算理与算法兼顾。 关键词：计算理解算理算法 在计算教学中（特别是加、减、乘、除法的第一节课计算教学）由于平时的教学中算理与算法的关系处理不当，使得教学效率低下，学生计算正确率也较低。如何正确处理算理与算法的关系，课堂上保证新算法的练习时间和练习量，改变计算教学的模式，给予理解算理的空间，这些都值得我们去探究。 计算是小学阶段重要的学习内容，具有较强的思维内涵。因此，计算课教学不只关注运算技能的形成，更要关注运算能力的培养。运算能力不是建立在“记忆”层次上算得又对又快的操作能力，而是基于“理解”层面的灵活选择运算途径的思维能力。这种能力的形成需要以运算对象、运算法则、运算规律的理解、掌握和运用为基础。简言之，既要明算理，又要清算法。 一、算理与算法的含义 何为算理？顾名思义，算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中思维方式，是解决为什么这样算的问题。如计算124+45时，就是根据数的组成进行演算的：124是由1个百、2个十和4个一组成的，45是由4个十与5个一组成的，所以先把4个一与5个一相加9个一，再把2个十与4个十相加得6个十，最后把1个百、6个十和9个一合并得169，这就是算理。 何为算法？算法，即计算的方法，如：当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：个位数只能与个位数直接相加、十位数只能与十位数直接相加、百位数只能与百位数直接相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，最后再把几个得数合并，这是学生感悟算理的过程；最后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。 二、课堂教学中动手操作、理解算理
解析几何中的算法与算理——一堂研究课的听课观察记录与感悟 2.分析：求直线AB的方程，关键是确定求直线AB的斜率；而k AB可以由点A（或点B）的位置的确定而确定——引入点参；k AB也可以由直线P A（或直线PB）、直线AB的位置的确定而确定——引入k参、写方程；…… 用思维导图表达研究过程的思路、方法，使思维“视觉化”，进而帮助学生捋顺思路：结论：
3.板书计划： 4.学生展示、观摩、小组交流、评价： 学生甲的思路（1—1）的解法：由题意 F (1,0).因为直线AB 不经过点P ，故直线AB 的斜 率必存在. 可设AB ：y =k (x -1) 由? ??=+-=1243)1(2 2y x x k y 消去y ，整理得 1248)34(2 222=-+-+k x k x k 设点）（）（2211,,,y x B y x A . 由根与系数的关系，得??? ?? ? ??? +-= ?+=+>?34124348022212 221k k x x k k x x 由k P A +k PB =0得 01 23 1232211=--+-- x y x y ， 所以， 01 23 )1(123)1(2211=---+-- -x x k x x k ， 所以，0)2(2 3 )1)(1(22121=-+- --x x x x k
即0)2(2 3 ]1)([2212121=-+- ++-x x x x x x k 消去x 1和x 2，得)23 48(23)134834124( 222 2222-+=++-+-k k k k k k k 化简，得2 1 12= ?=k k . 所以，所求的直线AB 的方程为：.012)1(2 1 =--?-= y x x y 师问：本题消去x ，行吗？消去哪个更好？ 于是，引导学生继续探究： 思路（1—2）的解法：将算法“局部优化”为：由k P A +k PB =0得 01 23 1232211=--+-- x y x y ， 由?? ?=+-=12 43)1(2 2 y x x k y 消去x ，得 096)34(1243 2222222 =-++?=++k ky y k k y k k y ）（ 设点）（）（2211,,,y x B y x A . 由根与系数的关系，得??? ? ? ? ??? +-=?+=+>?34934602 2212 21k k y y k k y y 由k P A +k PB =0得 01 231232211=--+-- x y x y ， 所以，)(2320123 12321212211y y y y y k y y k y +=??=-+- ， 故2 1 34623349222 2=?+?=+-?k k k k k . 所以，所求的直线AB 的方程为：.012)1(2 1 =--?-= y x x y 学生丁的思路（1—3）的解法：由题意，直线AB 的斜率必存在且不等于0.
算理的含义 何为算理?顾名思义,算理就是计算过程中的道理,是指计算过程中思维方式,是解决为什么这样算的问题。如计算214＋35时，就是根据数的组成进行演算的:21４是由２个百、1个十和4个一组成的，35是由3个十和5个一组成的,所以先把4个一与５个一相加9个一,再把1个十与３个十相加得４个十，最后把2个百、４个十和９个一合并得2４9,这就是算理。 算理与算法的关系 当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律:个位数只能与个位数直接相加、十位数只能与十位数直接相加、百位数只能与百位数直接相加,也就是相同数位上的数才能直接相加，最后再把几个得数合并,这是学生感悟算理的过程;最后进行优化计算过程,为了便于计算一般写成竖式形式,在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则:把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一,这就是算法。从上面的分析可以看出算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性,算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度;算理是算法的理论依据,算法是算理的提炼和概括,算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化,它们是相辅相成的。 如何处理算理和算法的关系 怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理,又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以二年级数学下册70页的两位数乘一位数为例,说说如实现理算理与算法的的教学统一。 1、引导研究,理解算理 学生只有理解了计算的道理,才能“创造”出计算的方法,才能理解和掌握计算方法,才能正确迅速地计算,所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对
关于算法和算理 什么是算理？ 算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，解决“为什么这样算”，这样算的道理是什么。算理一般由数学概念、运算规律、运算性质等构成。就是教师根据概念，性质，定义为依据对计算方法加以说明。如：小数乘法的算理就是积的变化规律，小数除法的算理就是商不变的规律。 什么是算法？ 算法就是计算的方法，主要解决“怎样计算”的问题。通常是算理指导下的一些人为规定的操作步骤，解决如何算得方便、准确的问题。如：小数乘法的算法：先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数就从积的右边数出几位点上小数点。 整数（小数）加法：算法：把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一。算理：依据数的组成意义，推出相同计数单位（分数单位）的数才能相加减。算理也可以理解为加法交换律和结合律。整数（小数）减法：算法：相同数位对齐，从个位减起，哪一位不够减就从前一位退一，在本位上加10再减。 算理：依据数的组成和意义概念，推出相同计数单位的数才能相加减。十进制计数法。 算理与算法的关系是什么？
算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。教学中不可放弃任何一方面。 在教学中如何处理算理和算法的关系？ 既要让学生知道怎么算，又要知道为什么要这样算，知其然又知其所以然，这是计算教学的根本。在教学时要让学生在感悟、理解算理的基础上生成、（创造）出算法，到最后掌握算法。 一般情况下，一个单元的起始例题，是整个单元的基础和关键。要用足时间重点突破。使学生扎扎实实地理解算理，掌握算法。
计算能力是小学数学学习的基础，今天小数详细整理了小学阶段关于四则运算的基础知识及运算过程中常用到的简便方法，趁着暑假帮孩子们查漏补缺，提高计算能力，扎实数学基础，助力孩子开学快速进步。 运算定律 ?加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。?加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 ?乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。 ?乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即 (a×b)×c=a×(b×c)。
?乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 ?减法的性质 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。 运算法则 ?整数加法计算法则 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 ?整数减法计算法则
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 ?整数乘法计算法则 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 ?整数除法计算法则 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几 位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 ?小数乘法法则 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 ?除数是整数的小数除法计算法则
计算教学中如何正确处理算理与算法的关系 通贤中心小学黄和春 算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，算理是计算的依据，是算法的基础，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，算法是依据算理提炼出来的计算方法和规，主要解决“怎样计算”的问题。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 理解了算理和算法之间的关系，在教学中，如何让学生经历充分理解算理的过程，又能让学生感悟出算法，也就是教学中如何正确处理算理与算法的关系？下面以“整百整千数加减法”的教学进行一些探讨： 一、引导研究，理解算理。 学生只有理解了算理，才能“创造”出计算的方法，正确地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学时要着重帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。所以首先让学生主动探索算理： 五一期间，桦南家电商场搞促销活动。我队的王大爷，买了一台电视机花1000元，一台电冰箱花2000元。 （1）小朋友看到这两个数学信息，能提出什么数学问题呢？（电视机和电冰箱一共要多少元？电视机比电冰箱便宜多少元？电冰箱比电视机贵多少元？） （2）同学们提出了这么有价值的问题。你们能解决吗？ 学生尝试解决第一问题。 1000＋2000＝ 怎样计算1000＋2000等于多少呢?生独立计算，同桌交流算法，反馈（几种可能性如下：） 生：1个千加2个千是3个千,3个千是3000.
计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。 算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。 如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。 1.学生对用代数思想解方程的知识基础不够。 教师们普遍认为，旧教材根据四则运算之间的关系解方程，在知识准备上是充分的，是循序渐进的。以人教版为例，加减法之间的关系，在第一册时就出现1＋（）＝2、2－（）＝1、2＋（）=3……，以后各册均有类似练习出现。到第七册时正式出现加、减各部分间的关系，并运用加、减法之间的关系“求未知数x”。乘除法也是如此，不断积累，不断巩固。到第八册，教材还设专题将加与减、乘与除之间各部分间的关系加以整理和归纳，并再次运用其“求未知数x”。有了上述的铺垫之后，到第九册才正式出现“简易方程”。而此时，解方程对于学生而言，实际上已经是水到渠成的事了。 然而，用等式基本性质解方程，新教材在为学生的知识准备上与旧教材反差过大，致使学生用代数思想解方程的知识基础不够。一，在这之前，学生对“等式”意义的理解非常狭隘。如我们在加法的教学中，7＋5，我们往往只引导学生去理解7和5之间存在的关系，而不去指出7＋5本身就可以表示一个整体。