八年级全册全套试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求∠AFE 的度数；
（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；
（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF
的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）
【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75
【解析】 【分析】
（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=?； （2）由（1）得到60AFE ∠=?，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.) 【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC 为等边三角形，
∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°， 在BCE 和CAD 中，
60
BE CD
CBE ACD
BC CA
=
?
?
∠=∠=?
?
?=
?
，
∴BCE CAD
≌（SAS），
∴∠BCE=∠DAC，
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°，
∴∠AFE=60°．
（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，
∴∠AHF=90°，
在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，
∴∠FAH=30°，
∴AF=2FH，
∵EBC DCA
≌，
∴EC=AD，
∵AD=AF+DF=2FH+DF，
∴2FH+DF=EC．
（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，
∵∠AFK=60°，AF=KF，
∴△AFK为等边三角形，
∴∠KAF=60°，
∴∠KAB=∠FAC，
在ABK和ACF中，
AB AC
KAB ACF
AK AF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴ABK ACF
≌(SAS)，BK CF
=
∴∠AKB=∠AFC=120°，
∴∠BKE=120°﹣60°=60°，
∵∠BPC=30°，
∴∠PBK=30°，
∴
2
9 BK CF PK CP
===，
∴
7
9
PF CP CF CP
=-=，
∵
45
()
99
AF KF CP CF PK CP CP CP
==-+=-=
∴
7
7
9
55
9
CP
PF
AF CP
== .
【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
2．在ABC中，AB AC
=，点D在BC边上，且60,
ADB E
∠=?是射线DA上一动点(不与点D重合，且DA DB
≠)，在射线DB上截取DF DE
=，连接EF．
()1当点E在线段AD上时，
①若点E与点A重合时，请说明线段BF DC
=；
②如图2，若点E不与点A重合，请说明BF DC AE
=+；
()2当点E在线段DA的延长线上()
DE DB
>时，用等式表示线段,,
AE BF CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD
【解析】
【分析】
（1）①根据等边对等角，求到B C
∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF
?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到
120
AFB ADC
∠=∠=?，推出ABF ACD
??
≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；
②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，
根据线段的和差即可整理出结论；
（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）①证明：AB AC
=
B C
∴∠=∠
,60
DF DE ADB
=∠=?，且E与A重合，
ADF
∴?是等边三角形
60
ADF AFD
∴∠=∠=?
120
AFB ADC
∴∠=∠=?
在ABF
?和ACD
?中
AFB ADC
B C
AB AC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
ABF ACD
∴??
≌
BF DC
∴=
②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，
∵∠ADB＝60°DE＝DF
∴△DEF为等边三角形
∵AG∥EF
∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°
∴∠DAG＝∠AGD
∴DA＝DG
∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF
由①易证△AGB≌△ADC
∴BG＝CD
∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，
由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，
BF CD BF BG GF AE ∴+=+==
故BF AE CD =-． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．
（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、
BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．
②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①
相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．
（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．
（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理
'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；
②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则
'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ． 【详解】
（1）AF BD = 证明如下：
ABC 是等边三角形，
BC AC ∴=，60BCA ?∠=．
同理可得：DC CF =，60DCF ?∠=．
BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠． 即BCD ACF ∠=∠． BCD ACF ∴△≌△． AF BD ∴=．
（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，
AF BD =依然成立． （3）①AF BF AB '+=
证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．
BD AF ∴=．
同理BCF ACD '△≌△．
BF AD '∴=．
AF BF BD AD AB '∴+=+=．
②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+； BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，
BCF ACD '∴△≌△． BF AD '∴=．
又由（2）知，AF BD =．
AF BD AB AD AB BF '∴==+=+． 即AF AB BF '=+． 【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
4．如图，ABC ?是等腰直角三角形，090BAC ∠=，点D 是直线BC 上的一个动点（点
D 与点B C 、不重合），以AD 为腰作等腰直角AD
E ?，连接CE .
（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CE 的位置关系，线段,BC CD ，
CE 之间的数量关系；
（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，试判断线段BC ，CE 的位置关系，线段
,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，试判断线段,BC CE 的位置关系，线段
,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由见解析；（3）
,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由见解析
【解析】 【分析】
（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；
（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；
（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论． 【详解】
（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AC ，AE ＝AD ， 在△△ABD 和△ACE 中
90AB AC BAC DAE AD AE ??
∠∠=????
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE, 又∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B+∠ACB=90?,
∴∠ACE +∠ACB=90?,即BC CE ⊥， ∵BC=BD+CD, BD=CE ， ∴BC CE CD =+；
（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下： ∵ABC ?、ADE ?是等腰直角三角形，
∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=， ∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠ 即BAD CAE ∠=∠, 在ABD ?和ACE ?中
AB AC BAD CAE AD AE ??
∠=∠???
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ??? ∴BD CE = ∵BD BC CD =+ ∴CE BC CD =+， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵090ABD ACE ∠+∠= ∴090ACE ACB ∠+∠= ∴BC CE ⊥.
（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下： ∵ABC ADE ??、是等腰直角三角形，
∴0
,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，
∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠， 在ABD ?和ACE ?中
AB AC BAD CAE AD AE ??
∠=∠???
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ???， ∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =， ∵CD BD BC =+， ∴CD CE BC =+，
∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠= ∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=， ∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥. 【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．
5．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE ⊥AC ，连结
DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；
(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。
(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。
【答案】（1）4
3
；（2）见详解；（3）不变.
【解析】
【分析】
（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BD F求得x的值，易得t 的值；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．
【详解】
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=4
3
，
故t=4
3
；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG与△FCG中，
DGH FGC
DHG FCG
DH FC
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝
＝
，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；
（3）如图2，过F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，
90
AED FHC
A FCH
AD CF
∠∠?
?
?
∠∠
?
?
?
＝＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，
DEG FHG
DGE FGH
DE FH
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝
＝
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=
1
2
EH=
1
2
AC．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH是解题的关键．
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】
【分析】
（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【详解】
（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC，
∠BAM=∠CAM，
AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC.
（2）MB=MC．
理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.
∵CE∥BD，
∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.
∵M是ED的中点，
∴MD=ME.
在△MCE和△MFD中，
∠MCE=∠MFD，
∠MEC=∠MDF，
MD=ME，
∴△MCE≌△MFD（AAS）.
∴MF=MC.
∴在△MFB和△MCG中，
MF=MC，
∠FMB=∠CMG，
BM=MG，
∴△MFB≌△MCG（SAS）.
∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，
∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.
∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中，
FB=GC，
∠FBC=∠GCB，
BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.
∴FC=GB.
∴MB=1
2GB=
1
2
FC=MC.
（3）MB=MC还成立．
如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中，
∠MDB=∠MEF，
∠MBD=∠MFE，
MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，
MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.
在△CFB和△BGC中，
CF=BG，
∠FCB=∠GBC，
CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC=1
2CG=
1
2
BF=MB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
7．在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE =DA (如图1)． (1)求证：∠BAD =∠EDC ；
(2)若点E 关于直线BC 的对称点为M (如图2)，连接DM ，AM ．求证：DA =AM ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.
（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可. 【详解】 解：(1)如图1，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°， ∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ， 又∵DE =DA ， ∴∠E =∠DAE ， ∴∠BAD =∠EDC ．
(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ， ∵DE =DA ， ∴DM =DA ，
由(1)可得，∠BAD =∠EDC ， ∴∠MDC =∠BAD ，
∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°， ∴∠MDC +∠ADB =120°， ∴∠ADM =60°， ∴△ADM 是等边三角形， ∴AD =AM ． 【点睛】
本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
8．已知如图1，在ABC ?中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是
AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G .
（1）求证：AE CG
=.
（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM
=.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出
△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
【详解】
（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，∵
CAE BCG
AC BC
ACE CBG
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC．
在△BCE和△CAM中，
BEC CMA
ACM CBE
BC AC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
9．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）
例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题： 变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数. 变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数. （1）请你解答以上两道变式题.
（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围. 【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60° 【解析】 【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；
(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案. 【详解】
变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°， ∴∠A 为顶角，∠B 为底角， ∴∠B =
180100
2
-=40°； 变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ， ∴当AB=BC 时，∠B =90° ， 当AB=AC 时， ∠B =67.5° ， 当BC=AC 时 ∠B =45° ；
（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，
当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，
当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数， 综上所述：90°≤x ＜180°或x=60° 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.
10．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，P 是MN 上任一点，连结PA 、PB ，将线段AB 沿直线MN 对称，我们发现PA 与PB 完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN ⊥AB ，垂足为点C ，AC ＝BC ，点P 是直线MN 上的任意一点．求证：PA ＝PB ．分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB ．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；
（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；
（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.
【详解】
解：定理证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m是边BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∵直线n是边AC的垂直平分线，
∴OA ＝OC ， ∴OA ＝OB ∵OH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ；
（2）如图③中，连接BD ，BE ．
∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°， ∴∠A ＝∠C ＝30°，
∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ， ∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，
∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，
∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ， ∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ， ∴DE ＝5， 故答案为：5． 【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读以下文字并解决问题：
对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2
x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在
2627x x +-中间先加上一项9，使它与26x x +的和构成一个完全平方式，然后再减去
9，则整个多项式的值不变。即：
()2262769927x x x x +-=++--()()()
2
2363636x x x =+-=+++-()()93x x =+-，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配
方法.
（1）利用“配方法”因式分解：22
45x xy y +-.
（2）若6a b +=，5ab =，求：①22a b +，②44a b +的值.
（3）如果2222264130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值. 【答案】（1）（x+5y ）（x-y ）；（2）①26，②626；（3）8 【解析】 【分析】
（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可； （2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；
（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】
解：（1）原式=x 2+4xy+4y 2-9y 2=（x+2y ）2-（3y ）2=（x+5y ）（x-y ）； （2）①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=36-10=26， ②a 4+b 4=（a 2+b 2）2-2a 2b 2=626； （3）∵a 2+2b 2+c 2-2ab-6b-4c+13=0． ∴a 2+b 2-2ab+b 2-6b+9+c 2-4c+4=0 ∴（a-b ）2+（b-3）2+（c-2）2=0， 可得a=b=3，c=2， 则原式=3+3+2=8． 【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，则a 2+b 2+c 2＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．
（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝
（x+1）（x﹣1）x
【解析】
【分析】
（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝
2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．
（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．
【详解】
（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案为：30；
（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，
∴
2
2
5
x
y
z
=
?
?
=
?
?=
?
，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9；
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1?x＝x3﹣x，
新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
【点睛】
本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
数学综合测试题（北师大版·八年级） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若21 =+x x ，则221x x + =（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 已知关于x 的不等式组230 320a x a x +>??-≥? 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ． 23≤a ≤32 B . 43≤a ≤32 C ．43＜a ≤32 D ．43≤a ＜3 2 3. 已知a b c d 满足 2003 1 200212001120001+= -=+=-d c b a 则a b c d 四个数的大小关系为（ ） A ． a >c >b >d ( B ) b >d >a >c (C ) d >b >a >c (D ) c >a >b >d 4. 已知x 为整数，且分式 1 222-+x x 的值为整数，则x 可取的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B . a ＞1 C .－1＜a ＜0 D . a ＜－1 6. 下列因式分解正确的是 （ ） A ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x –y –1) B ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x+y –1) C ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x+y+1) D ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x+y)2–1=(2x+y+1)(2x+y –1) 7. 13. 数据8，10，12，9，11的平均数和方差分别是 （ ） A ．10和2 B ．10和2 C ．50和2 D ．50和2 8. 延长线段AB 到C,使得BC= AB,则AC:AB=( ) A ．2:1 B ．3:1 C ．3:2 D ．4:3 9. 三角形三边之比为3:4:5，与它相似的另一个三角形的最短边为6cm ，则这个三角形的周长为（ ） A ．12cm B ．18cm C ．24cm D ．30cm 10. 如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是 AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其 最小值一定等于（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．3二、填空题（每小题3分，共30分） 1. 因式分解：x 3–4x= ． 2. 若543z y x = =，则x z y x 562-+= ． A E B D N
八年级全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0． （1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线； （2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求 2HK+EF的值． 【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8 【解析】 【分析】 （1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM, 根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论； （2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得 OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值． 【详解】 解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0 ∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0 ∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0 ∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0 ∴a＝b＝4 过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM ∴OA平分∠MON 即OA是第一象限的角平分线 （2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H
第1页 共4页 第 2 页 共 4页 班级 姓名 准考证号 ……………………………密……………………………………………………封…………………………………………线……………………… ……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………… 八年级培优班测试 数学卷 (满分100分 考试时间90分钟) 一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列命题中的假命题是( )． A 、一组邻边相等的平行四边形是菱形 B 、一组邻边相等的矩形是正方形 C 、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D 、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 2、如图1，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 3、如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ） A 、AC=2OE B 、BC=2OE C 、AD=OE D 、OB=OE 4、如图3，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） A 、34 B 、33 C 、24 D 、8 （图1） （图2） （图3） （图4） 5、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图4），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥， 那么下列说法中错误的是（ ） A 、红花、绿花种植面积一定相等 B 、紫花、橙花种植面积一定相等 C 、红花、蓝花种植面积一定相等 D 、蓝花、黄花种植面积一定相等 6、如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、3 二、填空题（每小题5分，共30分） 7、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 。 8、如图5，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。 9、已知矩形ABCD ，分别为AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正三角形CDF ，连接BE 和BF ，则 BF BE 的值等于 。 10、如图6，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB=a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ． 则DM+CN 的值为 。（用含a 的代数式表示） 11、矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP=DA,直线AP 与直线BC 交于点E ，则CE= 。 12、在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线 CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF= 。 （图5） （图6） 三、解答题（共40分） 13、（10分）四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想． A B C D O E A B C D E F 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B A E C B D G H F a N M C D A B
八年级上册全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD=2BF+DE． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得 △ABC≌△ADE； （2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数； （3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得 AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF． 【详解】 （1）∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE， 在△BAC和△DAE中， AB AD BAC DAE AC AE = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE， ∴∠E=45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA=∠E=45°，
人教版八年级数学上册全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____． 【答案】92°． 【解析】 【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】 由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'， 则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1﹣∠2=92°． 故答案为：92°． 【点睛】 考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 2．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°与外角和定理列式求解即可 【详解】 解：设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）?180°﹣360°＝180°， 解得n＝5． 故答案为5．
【点睛】 本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关． 3．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】 先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可． 【详解】 解：根据题意得，a-4=0，b-9=0， 解得a=4，b=9， ①若a=4是腰长，则底边为9，三角形的三边分别为4、4、9，不能组成三角形， ②若b=9是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为9、9、4，能组成三角形，周长 =9+9+4=22． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系. 4．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝_____度． 【答案】40． 【解析】 【分析】 利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 【详解】 ∵△ABC沿着DE翻折， ∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°， 而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°， ∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°， ∴∠B＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】 本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它
八年级全册全套试卷培优测试卷 一、初二物理声现象实验易错压轴题（难） 1．某兴趣小组计划探究“铝棒的发声”．同学们使用一根表面光滑的实心铝棒，一只手捏住铝棒的中间部位，另一只手的拇指和食指粘少许松香粉，在铝棒表面由手捏部位向外端摩擦，可以听见铝棒发出声音，而且发现在不同情况下铝棒发声的频率是不同的，为了探究铝棒发声频率的影响因素，该兴趣小组找到不同规格的铝棒、虚拟示波器等器材进行探究．实验前同学们提出了以下猜想： 猜想A：铝棒发声的频率可能和铝棒的横截面积有关 猜想B：铝棒发声的频率可能和铝棒的长度有关 猜想C：铝棒发声的频率可能和手捏铝棒的部位有关 为了验证猜想A，同学们选择4根铝棒，每次均捏住铝棒的中间部位，由手捏部位向外端摩擦，实验所得的数据记录于下面的表格中，在2%的误差允许范围内（频率相差在70Hz 以内）的测量值可以认为是相等的． （1）分析表格中数据，可知铝棒的发声频率与横截面积是______________的．（选填“有关”或“无关”） （2）为了验证猜想B，同学们选择横截面积均为2.9×10﹣5m2的铝棒，实验所得的数据记录于下面的表格中，同学们从表中前两列数据很难得出频率f与长度L之间的关系，他们利用图象法处理数据，画出了频率f与长度的倒数1/L的关系如图所示，分析可知发生频率f 与铝棒的长度L的关系是成______(正/反)比． （3）同学们又通过实验探究了铝棒发声的频率和手捏铝棒部位的关系，在实验过程中，有同学们将发声的铝棒一端插入水中，可以看到______________现象，有同学用手迅速握住正在发声的铝棒，可以听见声音很快衰减，原因是____________________________． 【答案】无关反比例水花四溅振幅减小，响度减小
八年级数学上册全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上， (1) 求证：点A 为BE 的中点 (2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标. (3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI. 【答案】（1）证明见解析；（2）22 (0,)7 F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作EG ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证； （2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形 EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标； （3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长. 试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ， ∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4， 在△AEG 和△ABO 中，
八年级数学全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠ 3的度数等于______________． 【答案】12° 【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是108°，则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°． 点睛：本题考查的是多边形的内角，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键． 2．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为x cm，则x的取值范围是_______ 【答案】3＜x＜5 【解析】 【分析】 延长AD 至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围. 【详解】 解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM 在△ABD和△CDM中， AD MD ADB MDC BD CD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM=AB=8． 在△ACM中：8-2＜2x＜8+2， 解得：3＜x＜5． 故答案为：3＜x＜5． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答. 3．∠A=65o，∠B=75o，将纸片一角折叠，使点C?落在△ABC外，若∠2=20o，则∠1的度数为 _______. 【答案】100° 【解析】 【分析】 先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°， ∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=80°，然后利用平角的定义即可求出∠1． 【详解】 如图， ∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠C′=∠C=40°， 而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=20°， ∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=80°， ∴∠1=180°-80°=100°． 故答案是：100°． 【点睛】 考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．
八年级物理全册全套试卷培优测试卷 一、初二物理机械运动实验易错压轴题（难） 1．物理实验课上，某实验小组利用带有刻度尺的斜面、小车和数字钟测量小车的平均速度，如图所示，图中显示的是他们测量过程中的小车在甲、乙、丙三个位置及其对应时刻的情形，显示时间的格式是“时：分：秒”。 （1）本实验的原理是___； （2）实验时应保持斜面的倾角较小，这是为了减小测量_____（填“路程”或“时间”）时造成的误差； （3）斜面倾角不变，小车由静止释放运动到底端，则小车前半程的平均速度____小车后半程的平均速度（选填“大于”、“等于”或“小于”）； （4）由图观察可知，小车从乙位置运动至丙位置时，所测量的路程是____cm，平均速度____m/s； （5）物体的运动常常可以用图像来描述，下图中能反映本实验中小车运动情况的是 ______（选填“A”或“B”） 【来源】福建省三明市大田县2019-2020学年八年级（上）期中物理试题 【答案】v=s t 时间小于 65.0 0.1625 B 【解析】【分析】【详解】 (1)[1]测量小车的平均速度需要用到速度的公式v=s t 。 (2)[2]斜面坡度越大，小车沿斜面向下加速运动越快，所用时间会越短，计时会越困难，所以为使计时方便，减小测量时间的误差，斜面坡度应小些。 (3)[3]小车由静止释放，做加速运动，小车通过前半程的平均速度小于小车通过后半程的平均速度。 (4)[4][5]由图可知，小车从乙位置运动至丙位置时的路程是65.0cm，运动的时间是4s，平
均速度 v =65.0cm 4s s t ==16.25cm/s=0.1625m/s (5)[6] A 图为s -t 图象，是一过原点的直线，说明做匀速直线运动，通过的距离与时间成正比，故A 不符合题意；而B 图为v -t 图象，表示随着时间的增长，速度逐渐变大，故图B 中能反映小车运动情况。 2．如图所示，将一块长木板的左侧垫高，使之成为有一定倾角的斜面，木板的右端安装一块挡板，挡板上粘有橡皮泥。现将一辆小车从图示位置（小车左边缘与木板上端齐平）自由释放，小车下滑到挡板处停止运动。测得小车的运动时间为t ；测得小车的长度为1s ，木板的长度为2s ，问： (1)上述实验过程中，需要用到的测量工具除了秒表，还有_______。通过上述测量，可以测得小车运动的平均速度v =________（用题中字母来表示）； (2)若小车释放瞬间立即按下秒表开始计时，但小车在挡板处撞停时由于测量者不够专注，稍微迟缓一下才按下秒表停止计时，则测得的平均速度跟真实值相比偏_________。为减小小车运动时间的测量误差，实验时应使斜面的倾角适当___________些； (3)下图中可能准确反映小车运动情况的是_______。 【来源】江苏省常熟市2019-2020学年八年级（上）期末学业水平调研物理试题 【答案】刻度尺 21s s t - 小 小 D 【解析】 【分析】 (1)要测量物体运动的平均速度，需要测量物体运动的距离和时间，测量路程用刻度尺，测量时间用秒表；已知物体运动的距离和时间，根据s v t =求出小车运动的平均速度。
八年级上册物理全册全套试卷培优测试卷 一、初二物理机械运动实验易错压轴题（难） 1．2007年2月28日，从乌鲁木齐驶往阿克苏的5806次列车遭遇特大沙尘暴，列车从第1节车厢到第11节车厢相继被吹翻．看了这个报道后，某研究小组为探索沙尘暴的威力，进行了模拟研究．如图为测定沙尘暴风力的实验装置图，其中AB是一段水平放置的长为L 的光滑均匀电阻丝，电阻丝阻值较大，一质量和电阻都不计的细长金属丝一端固定于O 点，另一端悬挂球P，无风时细金属丝竖直，恰与电阻丝在B点接触，有风时细金属丝将偏离竖直方向，细金属丝与电阻丝始终保持良好的导电接触．研究小组的同学对此装置分析中，知道金属球单位面积上所受到的水平风力大小与电压表的读数成正比，空气密度为1.3kg/m3，沙的密度为2.5×103kg/m3．他们对决定金属球单位面积上所受到的风力大小的因素，进行了如下的实验研究： ①在含沙量相同条件下，改变风速，记录不同风速下电压表的示数如下： 风速（m/s）5101520 电压表示数（V）0.6 2.4 5.49.6 ②在风速大小相同条件下，改变风中空气的含沙量，记录不同含沙量下电压表的示数如下： 含沙量（kg/m3） 1.1 2.2 3.3 4.4 电压表示数（V） 2.3 3.5 4.6 5.8 （1）根据上述实验结果，试推导出单位面积上所受到的风力大小的关系式？（设比例系数为k） （2）若（1）中的比例系数k的大小为0.5，已知：车厢的高度为3m，车厢的长度为 25m，车厢质量为50t，铁轨间距为1.5m，1m3沙尘暴中含沙尘2.7kg，请根据（1）中的关系式计算当时的风速至少为多大？ 【来源】2009年江西省上饶县二中九年级应用物理知识竞赛复赛模拟试题（三） 【答案】（1）p=kρv2，ρ为含有沙尘的空气密度；（2）41m/s 【解析】
八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0． （1）求a，b的值； （2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°， ①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为； ②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】 【分析】 （1）利用非负数的性质解决问题即可． （2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． ②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】 （1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0 ∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0 ∴a＝﹣2，b＝4． （2）①如图1中， ∵∠APB＝45°，∠POB＝90°， ∴OP＝OB＝4， ∴P（4，0）． 故答案为（4，0）． ②∵a＝﹣2，b＝4 ∴OA＝2OB＝4 又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45° ∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90° ①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．
∴∠PCB＝∠BOA＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠BAP＝∠APB＝45°， ∴BA＝BP， 又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2， ∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2， ∴P（4，2）． ②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D． ∴∠PDA＝∠AOB＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠ABP＝∠APB＝45°， ∴AP＝AB， 又∵∠BAD+∠DAP＝90°， ∠DPA+∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠DPA， ∴△BAO≌△APP（AAS）， ∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4， ∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2， ∴P（2，﹣2）． 综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是_____． 【答案】30 【解析】 【分析】 由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC． 【详解】 解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD． ∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE． 又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形． 【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画
出图形即可解答. 【详解】 解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏. 3．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______． 【答案】85° 【解析】 【分析】 根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答． 【详解】 解： ∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2， 又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°， ∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°， ∴∠1-∠2=15°； ∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°， ∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°， ∴∠1-∠2+∠P =100°，
八年级期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD； （2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明 △DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论； （2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论. 试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F， 则△ADF为等边三角形 ∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB， ∠DEC+∠EDB=60°， ∠DCB+∠DCF=60°， ∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD， 在△DEB和△CDF中， 120 EBD DFC EDB DCF DE CD ， ， ∠=∠=? ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DEB≌△CDF， ∴BD=DF， ∴BE=AD . (2).EB=AD成立；
理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示： 同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD， 又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF， ∴EB=AD. 点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 2．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE． （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________ ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由． 【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相
八年级上册数学 期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12． （1）求m 和n 的值． （2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ． （3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值． 【答案】（1）4 2 m n =-?? =?（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的 延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化． 【解析】 【分析】 （1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证； （3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明△ABH ≌△CAN ，即可得到结论. 【详解】 解：（1）由题意()()218122 m n n m m --=?? ?++-=?? 解得4 2m n =-??=? ； （2）如图2中， 由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），
八年级全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 改变位置，但始终满足经过B 、C 两点．如果△ABC 中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=_________________． 【答案】38° 【解析】 ∠A ＝52°， ∴∠ABC +∠ACB =128°， ∠XBC +∠XCB =90°， ∴∠ABX ＋∠ACX =128°-90°=38°. 2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。 【答案】45? 【解析】 【分析】 根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】
在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+ 由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠= 由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠= ∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+ ∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+ 2M 90∠=? M 45∠=? 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。 3．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ． 【答案】135 【解析】 解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°． 点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 4．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是 ． 【答案】12 【解析】 试题解析：根据题意，得 （n-2）?180-360=1260， 解得：n=11． 那么这个多边形是十一边形． 考点：多边形内角与外角．
八年级数学全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______． 【答案】85° 【解析】 【分析】 根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答． 【详解】 解： ∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2， 又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°， ∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°， ∴∠1-∠2=15°； ∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°， ∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°， ∴∠1-∠2+∠P =100°， ∴∠P =85°， 故答案为：85°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键． 2．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________． 【答案】1980
【解析】 【详解】 解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则 （n-2）×180°=2005°-α， 当n=13时，α=25°， 此时（13-2）×180°=1980°，α=25° 故答案为1980． 3．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____． 【答案】40?． 【解析】 【分析】 根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【详解】 ÷=， 连续左转后形成的正多边形边数为：4559 ?÷=?． 则左转的角度是360940 故答案是：40?． 【点睛】 本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键． 4．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______m． 【答案】120． 【解析】 【分析】 由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】
八年级期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明. 【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1 2 (EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标； （2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出 ∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1 2 (EM-ON). 【详解】 （1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,
八年级数学轴对称解答题单元培优测试卷 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明. 【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1 2 (EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标； （2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出 ∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1 2 (EM-ON). 【详解】 （1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,