绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}1,3,5,7,9,|27M N x x ==>，则M
N =
A.{}7,9
B.{}5,7,9
C.{}3,5,7,9
D.{}1,3,5,7,9
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元到8.5万元之间 3.已知()2
132i z i -=+，则z =
A.3
12
i --
B.3
12
i -+
C.32
i -
+
D.32
i -
- 4.下列函数中是增函数的为
A.()f x x =-
B.()23x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C.()2
f x x =
D.(
)f x 5.点()3,0到双曲线
22
1169
x y -=的一条渐过线的距离为 A.
95
B.
85
C.
65
D.
45
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录
法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9
，则其视力的小数记录法的数据约为
)
1.259≈
A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6
7.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为。该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
8.在ABC
中，已知120,2B AC AB =︒==，则BC =
A.1
D.3
9.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和。若244,6S S ==，则6S =
A.7
B.8
C.9
D.10
10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A.0.3
B.0.5
C.0.6
D.0.8 11.若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α=
A.15
B.5
C.3
D.3
12.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-。若11
33
f ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
A.53
-
B.13
-
C.
1
3
D.
53
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =________
14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为
______
/万元
正视图
D.
C.
B.
A.
15.已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
_________
16.已知12,F F 为椭圆22
:
1164
x y C +=的两个焦点，,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量， 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：()()()()()
2
2
,n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ()2P K k ≥
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列
{}n
S 是等差数列，证明：{}n
a 是等
差数列。 19.（12分）
已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，,E F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥
（1）求三棱锥F EBC -的体积；
（2）若D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥
20.（12分）
设函数()22
3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >。
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围。
21.（12分）
抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x =交C 于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点()2,0M ，且M 与l 相切。
（1）求,
C M 的方程；
（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线1213,A A A A 均与M 相切，判断直线23A A 与的位置关系，
并说明理由。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos ρθ=。
（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的点，点P 满足2AP AM =，写出P 的轨迹C 的参数方程，并判断C
与1C 是否有公共点。
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数()()2,2321f x x g x x x =-=+-- （1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围。
y
x
O
13π12
π3
F
E
D C 1
B 1
A 1
C
B
A
参考答案
1.答案：B 解析：
2.答案：C
解析：本题主要考查用样本估计总体.
A 项，由图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户频率为(0.020.04)10.066%+⨯==.故A 项正确.
B 项，由图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户频率为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==.故B 项正确.
C 项，该地农户家庭年收入的平均值为30.0240.0450.160.14(78)0.2(910)0.1⨯+⨯+⨯+⨯++⨯++⨯110.04(121314)0.027.68+⨯+++⨯=万元，7.68 6.5>.故C 项不正确.
D 项，由图得该地农户家庭年收入介于 4.5万元至8.5万元之间的农户频率为(0.10.140.22)10.640.5++⨯⨯=>.故D 项正确.
因为是选择不正确的一项，故本题正确答案为C. 3.答案：B
解析：本题主要考查复数的四则运算.
因为2
(1i)32i z -=+，所以222232i 32i 32i 3i 2i 23i 3
1i (1i)12i i 2i 2i 22
z ++++-+=
=====-+--+--.故本题正确答案为B. 4.答案：D 解析： 5.答案：A 解析： 6.答案：C
解析：本题主要考查对数与对数函数. 因为某同学视力的五分记录法的数据为4.9， 所以5lg L V =+中令 4.9L =. 则4.95lg V =+，
所以lg 0.1V =-，
所以1
0.1
10
1
10
10
0.81.259
V -
-====
≈. 故本题正确答案为C. 7.答案：D
解析：本题主要考查空间几何体.
根据题意，所得多面体如图所示，故侧视图应为D 选项所示的图形.
故本题正确答案为D. 8.答案：D 解析： 9.答案：A 解析： 10.答案：C 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案：C 解析： 13.
答案：解析： 14.答案：39π 解析： 15.
答案：解析：
16.答案：8
解析：本题主要考查圆锥曲线. 如图所示，
根据题意得PO QO =，12FO F O =， 所以四边形12PFQF 为平行四边形. 因为椭圆22
:
1164
x y
C +=， 所以4a =，24b =，212c =
，c = 因为12||PQ F F =，
所以平行四边形12PFQF 为矩形. 设1PF m =，2PF n =，
所以2224412482248m n c m n a ⎧+==⨯=⎨+==⨯=⎩
，
所以()2
2
2
()82
m n m n
mn +-+=
=，
所以128PF QF S mn ==. 故本题正确答案为8.
17.答案：（1）甲机床生产一级品的频率为1502000.75÷=， 乙机床生产一级品的频率为1202000.6÷=.
（2）由列联表求得22
2
400(1508050120)400600010.26 6.63527013020200270130200200
K ⨯⨯-⨯⨯=
=≈>⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 则有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
解析：
18.
213a a =，
=
即
21(n n S n a ⇒-==
当1n =，11a a = 当2n ≥时，21n S n a =
{}2111(1)(21)n n n S n a a n a a -=-⇒=-⇒是等差数列
解析：
19.答案：(1) ∵直三棱柱111ABC A B C -，11//A B AB ∴，1CC ⊥面ABC . 11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥.
∵正方形11AA B B ，1AB BB ∴⊥，12AB BB ==. 1BF BB B ⋂=，AB ∴⊥面11BB C C ，AB BC ∴⊥.
在Rt ABC 中，∵E 为AC 中点，2AB BC ==，
1
11
12
22
BEC
ABC
S
S AB BC ∴==
⋅⋅=. ∵F 是1CC 中点，1111
122CF CC BB ∴=⋅==
1
11113
33
F EBC BEC
v S
CF -∴=⋅=⋅⋅=.
(2)连1A E ，1B E ，1A F ，则13
A E ， 112EF AC =
=12212A E EF A F ∴+=，1A E EF ∴⊥.
由(1)在Rt ABC 中，E 是AC 中点，BE AC ∴⊥.
∵面11AAC C ⊥面ABC ，面11AAC C ⋂面ABC AC =，BE ∴⊥面11AA C C 1BE A E ∴⊥
EF BE E ⋂=，1A E ∴⊥面BEF ，1A E BF ∴⊥
11BF A B ⊥，1111A B A E A ⋂=，BF ∴⊥面11A EB
DE ⊂面11A EB ，BF DE ∴⊥.
解析：
20.答案：(1)()22
3ln 1f x a x ax x =+-+
23
()2(0)f x a x a x x
'=+->
令()0f x '>，则1x a
>
， 令()0f x '<，则1
0x a
<<
()f x ∴的增区间为(1),a +∞，减区间为10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
(2)由(1)知()f x 在(0,)+∞上的极小值为1
()f a ，也是最小值.
()f x 与x 轴没有公共点，当且仅当1
()0f a >.
22111
()3ln 10a a a a a
∴⋅+⋅-+>
1e
a ∴>
解析：
21.答案：（1）设抛物线C 的方程为22y px =， 令1x =
，则p y =
p y =，
又因为OP OQ ⊥，根据对称性可知直线OP 斜率为1，
1=， 解得12
p =，
所以抛物线C 的方程为2y x =. 因为圆M 与直线l 相切，
所以圆M 的半径即为圆心点M 到直线l 的距离为1， 因此圆M 的方程为：22(2)1x y -+=.
（2）设()
2100,A y y ，()2211,A y y ，()
2
322,A y y ，
若01y =±，此时过1A 作圆M 的两条切线分别为直线l 和直线0y y =，
其中直线0y y =与抛物线C 只有1A 一个交点，不符合题意，因此2
1y ≠. 因为12012
20101
1
A A y y K y y y y -=
=-+， 所以直线12A A 的方程为：()2
0001
1y y x y y y -=
-+，
整理可得：()01010x y y y y y -++=，
同理可得，直线13A A 的方程为：()02020x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为：()12120x y y y y y -++=， 由题意得，点M 到直线12A A 的距离
11d =
=，
整理可得，()
222
010101230y y y y y -++-=， 同理有，()
222020201230y y y y y -++-=，
根据韦达定理有：0
122021
y y y y +=--，2
0122031y y y y -=-，
此时点M 到直线23A A
的距离
1'd =
=
=
=.
因此直线23A A 与圆
M 相切. 解析：
22.答案：（1
）由ρθ=得2
cos ρθ=，
即22
x y +=， 整理得22
(2x y -+=.
（2）设P 的坐标为(,)x y ，则(1,)AP x y =-， 因为2AP AM =，
所以2AM x y ⎛
⎫
=- ⎪
⎪⎝⎭，
所以M y ⎫+
⎪⎪⎝⎭
，
因为M 为
C 上的动点，
所以2
2
12y ⎫
-+
=⎪⎪⎝⎝⎭
， 化简得22(
3)4x y +=，
即P 点的轨迹方程1C
为22(3)4x y +=， 化成参数方程为32cos 2sin
x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
圆心1(3C ，
12r =，
C
，
r =
32
<， 32<
所以C 与1C 没有公共点. 解析：
23.答案：（1）2(2)
()2(2)
x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，
3423
1()42
22142x g x x x x ⎧⎛
⎫-<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫
=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪
⎝
⎭⎩
， 如图所示.
（2）由（1）得2(2)
()2(2)
x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，
函数()f x a +的图象即将函数()f x 的图象向左或向右平移||a 个单位， 当0a ≤时，即将函数()f x 的图象向右平移得到()f x a +的图象，
此时函数()f x a +的图象始终有部分图象位于函数()g x 的图象下方，无法满()()f x a g x +≥，则要满足()()f x a g x +≥，需0a >， ()|2|f x a x a +=+-，
当函数|2|y x a =+-的图象过点1,42⎛⎫
⎪⎝⎭时，
1
242
a +-=， 解得112a =
或52
a =-， 根据图象可得若()()f x a g x +≥，则11
2
a ≥， 即11,2a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
.
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 文科数学 一、选择题 1.设集合{1,3,5,7,9}M =，{|27}N x x =>，则M N ⋂=（ ） A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9} 答案： B 解析： 依题意可知{| 3.5}N x x =>，所以{5,7,9}M N ⋂=. 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ） A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案：
C 解析： A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%⨯+⨯==，正确. B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==，正确. C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 110.04120.02130.02140.02)17.68⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元，不正确. D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=，正确. 3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A.312 i -- B.312i -+ C.32 i -+ D.32i - - 答案： B 解析： 232322331(1)222 i i i z i i i ++-+====-+--. 4.下列函数中是增函数的是（ ） A.()f x x =- B.2()()3x f x = C.2()f x x = D.()f x =
绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合{}{}1,3,5,7,9,|27M N x x ==>，则M N = A.{}7,9 B.{}5,7,9 C.{}3,5,7,9 D.{}1,3,5,7,9 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元到8.5万元之间 3.已知()2 132i z i -=+，则z = A.3 12 i -- B.3 12 i -+ C.32 i - + D.32 i - - 4.下列函数中是增函数的为 A.()f x x =- B.()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C.()2 f x x = D.( )f x 5.点()3,0到双曲线 22 1169 x y -=的一条渐过线的距离为 A. 95 B. 85 C. 65 D. 45 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录 法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9 ，则其视力的小数记录法的数据约为 ) 1.259≈ A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 7.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为。该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是 8.在ABC 中，已知120,2B AC AB =︒==，则BC = A.1 D.3 9.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和。若244,6S S ==，则6S = A.7 B.8 C.9 D.10 10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 11.若0, 2πα⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α= A.15 B.5 C.3 D.3 12.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-。若11 33 f ⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ A.53 - B.13 - C. 1 3 D. 53 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =________ 14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ______ /万元 正视图 D. C. B. A.
2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 数学（文科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫ =--=<⎨⎬⎩ ⎭ ∣，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2} 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（ ） A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ） A ．5 B ．42 C ．5 D ．224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20
5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+ > ⎪⎝ ⎭的图像向左平移π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ． 16 B ．14 C ．13 D ．1 2 6，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A ． 15 B ．13 C ．25 D ．23 7．函数()()33cos x x f x x -=-在区间,22ππ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．当1x =时，函数()ln b f x a x x =+ 取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12- C ．1 2 D ．1 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为 30︒，则（ ） A ．2A B AD = B ．AB 与平面11AB C D 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙， 体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲 乙 （ ） A 5 B ．22 C 10 D 510 11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 3 ，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）
参考答案 2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C 9.D 10.A 11.A 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1 2 14.2 15.15 16. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（1）1 （2 ）4 18.（1）证明见解析. （2）1 19.（1）19.8
（2）（i）23.4 m=；列联表见解析，（ii）能 20.（1） () f x 在 π 0, 2 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭上单调递减 （2）0 a≤ 21.（1） 2 p= （2 ）12- （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22.（1）3π4 （2） cos sin30ραρα +-= [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23.（1） ,3 3 a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2 ）
2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）和答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，则A ∩B＝（） A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1} D．{1，2} 2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则（） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（） A．4B．4C．2D．2 4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A．8B．12C．16D．20 5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（） A．B．C．D． 6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（） A．B．C．D． 7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大
致为（） A． B． C． D． 8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（） A．﹣1B．﹣C．D．1 9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD 和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）
2021年全国统一高考文科数学试卷（全国甲卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共45分） 1. ( 5分) 设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x∣2x>7}，则M∩N＝( ) A. {7，9} B. {5，7，9} C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9} 2. ( 2分) 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3. ( 2分 ) 已知 （1−i ）2z =3+2i ，则z=（ ） A. -1- 32 i B. -1+ 32 i C. - 32 +i D. - 32 -i 4. ( 5分 ) 下列函数中是增函数的为( ) A. f(x)＝−x B. f(x)＝(23)x C. f(x)＝x 2 D. f(x)＝√x 3 5. ( 5分 ) 点 (3，0) 到双曲线 x 216−y 29＝1 的一条渐近线的距离为( ) A. 95 B. 85 C. 65 D. 45 6. ( 2分 ) 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记数法的数据V 满足L=5+lgV 。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ √1010 ≈1.259） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 7. ( 2分 ) 在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG 后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. D. 8. ( 5分 ) 在 △ABC 中，已知 B ＝120∘，AC ＝√19，AB ＝2 ，则 BC ＝ ( ) A. 1 B. √2 C. √5 D. 3 9. ( 5分 ) 记 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和．若 S 2＝4，S 4＝6 ，则 S 6＝ ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. ( 5分 ) 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( ) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 11. ( 2分 ) 若 α∈（0,π2) , tan2α=cosα 2−sinα ，则 tanα= （ ） A. √1515 B. √55 C. √53 D. √153 12. ( 5分 ) 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f （-x ）．若 f(−13)＝13，则f(5 3)＝ ( ) A. −53 B. −13 C. 13 D. 53 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共17分） 13. ( 5分 ) 若向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |＝3，| a ⃗－b ⃗⃗ |＝5， a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ ＝1，则| b ⃗⃗ |＝________．
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 (甲卷·文科) 1．设集合M ＝{1，3，5，7，9}，N ＝{x ∣2x >7}，则M ∩N ＝( ) A ．{7，9} B ．{5，7，9} C ．{3，5，7，9} D ．{1，3，5，7，9} 2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( ) A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．己知(1−i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A ．−1−3 2i B ．−1＋3 2 i C ．−3 2 ＋i D ．−3 2 −i 4．下列函数中是增函数的为( ) A ．f(x)＝−x B ．f(x)＝(23 )x C ．f(x)＝x 2 D ．f(x)＝√x 3 5．点(3，0)到双曲线x 2 16−y 29 ＝1的一条渐近线的距离为( ) A ．9 5 B ．8 5 C ．6 5 D ．4 5 6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010 ≈1.259)( ) A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6 收入/万元 频率 组距 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 0.02 0.04 0.14 0.10 0.20
2021年全国统一高考数学（文科）试卷（甲卷） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合M={1,3，5，7，9}，N={x|2x>7}，则M∩N=() A. {7,9} B. {5,7，9} C. {3,5，7，9} D. {1,3，5，7，9} 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收 入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3.已知(1−i)2z=3+2i，则z=() A. −1−3 2i B. −1+3 2 i C. −3 2 +i D. −3 2 −i 4.下列函数中是增函数的为() A. f(x)=−x B. f(x)=(2 3 )x C. f(x)=x2 D. f(x)=√x3 5.点(3,0)到双曲线x2 16−y2 9 =1的一条渐近线的距离为() A. 9 5B. 8 5 C. 6 5 D. 4 5 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录 法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为()(√10 10≈1.259) A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 第1页，共16页
2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝（） A．{7，9}B．{5，7，9}C．{3，5，7，9}D．{1，3，5，7，9} 2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i 4．下列函数中是增函数的为（） A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2D．f（x）＝ 5．点（3，0）到双曲线﹣＝1的一条渐近线的距离为（） A．B．C．D． 6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）
（≈1.259） A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6 7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（）A．1B．C．D．3 9．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（）A．7B．8C．9D．10 10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8 11．若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（） A．B．C．D． 12．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（） A．﹣B．﹣C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝． 14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．15．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝．
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷,文) 数学试卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|0≤x<5 2 },则A∩B=() A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{0,1} D.{1,2} 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如右图:则() A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3.若z=1+i,则|i z+3z|=() A.4√5 B.4√2 C.2√5 D.2√2 4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格 小正方形的边长为1,则该多面体的体积为() A.8 B.12 C.16 D.20 5.将函数f(x)=sinωx+π 3(ω>0)的图像向左平移π 2 个单位长度后得到曲线C,若关于y轴对称,则 ω的最小值是() A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为() A.1 5 B.1 3 C.2 5 D.2 3 7.函数y=(3x-3-x)cos x在区间[-π 2,π 2 ]的图像大致为()
2021年普通高等学校招生全国统一考 试（全国甲卷） 文科数学 一、选择题 1.设集合{1,3,5,7,9}M =,{|27}N x x =>,则M N ⋂=（ ） A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9} 答案： B 解析： 依题意可知{| 3.5}N x x =>,所以{5,7,9}M N ⋂=. 2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是（ ） A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案： C 解析： A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%⨯+⨯==,正确. B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==,正确. C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 110.04120.02130.02140.02)17.68⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元,不正确. D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=,正确. 3.已知2(1)32i z i -=+,则z =（ ） A.312 i -- B.312i -+ C.32 i -+ D.32i - - 答案： B 解析： 232322331(1)222 i i i z i i i ++-+====-+--. 4.下列函数中是增函数的是（ ） A.()f x x =- B.2()()3x f x = C.2()f x x =
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学 （文科） 副标题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|0≤x <5 2}，则A ∩B =( ) A. {0,1,2} B. {−2,−1,0} C. {0,1} D. {1,2} 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机 抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则( ) A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％ B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·文科) 压轴题解读 11．若α∈(0，π 2)，tan2α＝cos α2−sinα，则tanα＝( ) A ．√15 15 B ．√5 5 C ．√5 3 D ． √15 3 【命题意图】考查三角恒等变换，考查数学运算，逻辑推理能力。 【答案】A 【解析】由题意得2 22sin cos cos ,sin 2sin 1cos α α ααα α =-- 整理得222sin cos cos ,cos sin 2sin ααααα=-- 即22sin 1,12sin 2sin ααα=--解得1sin 4α= ，则cos 4 α= 所以tan 15α=选A 。 【解题方法】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 12．设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f －x )．若f (−1 3)＝1 3，则f (5 3)＝( ) A ．−5 3 B ．−1 3 C ．1 3 D ．5 3 【命题意图】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，考查了学生的抽象思维及逻辑思维能力． 【答案】C 【解析】由(1)()f x f x +=-，得(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为2，则5111 ()(2)()3333 f f f =-=-= 。故选C 。 【规律总结】根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性， 由待求区间转化到已知区间. 16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216 ＋ y 24 ＝1两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2 的面积为______． 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题． 【答案】C 【解析】因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PF QF 为矩形， 设1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义可得12||||||||28PF PF m n a +=+==，所以22264m mn n ++=， 因为2222221212||||||44()48PF PF F F c a b +===-=，即2248m n +=，所以8mn =， 所以四边形12PF QF 的面积为12||||8PF PF mn ==．