单元10 超静定结构的计算 【学习目标】 1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力； 2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。 【知识点】 1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。 2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 【工作任务】 任务1 用力法计算超静定结构 任务2 用力矩分配法计算超静定结构 【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。 10.1 用力法计算超静定结构 10.1.1 超静定次数的确定 我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。 超静定结构去掉多余约束有以下几种方法： (1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。图10-1 (2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。图10-2 图10-1
图10-2 (3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。图10-3 (4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。但不论是采用哪种形式，所去掉的多余约束的数目必然是相同的。图10-5 (b)、(c)为去掉多余约束的基本结构，一个是悬臂梁，一个是简支梁，都是原结构的基本结构，它们去掉的多余约束都是三个。 这里要强调的是，基本结构必须是几何不变的静定结构，如图所示的刚架，如果去掉一个支座处的链杆的瞬变体系，是不允许的。 图10-3 图10-4
***学院期末考试试卷 一、填空题（20分）（每题2分） 1.一个刚片在其平面内具有3个自由度；一个点在及平面内具有2自由 度；平面内一根链杆自由运动时具有3个自由度。 2.静定结构的内力分析的基本方法截面法，隔离体上建立的基本方程是平衡方程。 3.杆系结构在荷载，温度变化，支座位移等因素作用下会产生变形和位移。 4.超静定结构的几何构造特征是有多余约束的几何不变体系。 5.对称结构在对称荷载作用下，若取对称基本结构和对称及反对称未知力，则其
中 反对称 未知力等于零。 6.力矩分配法适用于 没有侧移未知量的超静定梁与刚架 。 7.绘制影响线的基本方法有 静力法 法和 机动法 法。 8.单元刚度矩阵的性质有 奇异性 和 对称性 。 9.结构的动力特性包括 结构的自阵频率；结构的振兴型； 结构的阻尼 。 10. 在自由振动方程0)()(2)(2. .. =++t y t y t y ωξω式中，ω称为体系的 自振频率 ，ξ称为 阻尼比 。 二、试分析图示体系的几何组成（10分） （1） （２） 答案： （1）答：该体系是几何不变体系且无余联系。
（2）答：该体系是几何不变体系且无多余联系。 三、试绘制图示梁的弯矩图（１０分） （1）（2） 答案： （１）（２） M图 四、简答题（20分） 1.如何求单元等效结点荷载？等效荷载的含义是什么？答案：
2.求影响线的系数方程与求内力方程有何区别？答案： 3.动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答案： 4.自由振动的振幅与那些量有关？ 答案 五、计算题（40分）
1、用图乘法计算如图所示简支梁A 截面的转角A 。已知EI=常量。（10分） 答案： 解：作单位力状态，如图所示。分别作出p M 和M 图后，由图乘法得： 2.试作图示伸臂量的By F K M 的影响线。
***学院期末考试试卷 考试科目 《结构力学》 考试成绩 试卷类型 A 答案 考试形式 闭卷 考试对象 土木本科 一、 1.一个刚片在其平面内具有 3 个自由度； 一个点在及平面内具有 2 自由 度；平面内一根链杆自由运动时具有 3 个自由度。 2.静定结构的内力分析的基本方法 截面法，隔离体上建立的基本方程是 平衡方程 。 3.杆系结构在荷载，温度变化，支座位移等因素作用下会产生 变形 和 位移 。 4.超静定结构的几何构造特征是 有多余约束的 几何不变体系 。 5.对称结构在对称荷载作用下，若取对称基本结构和对称及反对称未知力，则其 中 反对称 未知力等于零。 6.力矩分配法适用于 没有侧移未知量的超静定梁与刚架 。 7.绘制影响线的基本方法有 静力法 法和 机动法 法。 8.单元刚度矩阵的性质有 奇异性 和 对称性 。 9.结构的动力特性包括 结构的自阵频率；结构的振兴型； 结构的阻尼 。 10. 在自由振动方程0)()(2)(2. .. =++t y t y t y ωξω式中，ω称为体系的 自振频率 ，ξ称为 阻尼比 。 二、试分析图示体系的几何组成（10分） （1） （２） 答案： （1）答：该体系是几何不变体系且无余联系。 （2）答：该体系是几何不变体系且无多余联系。 三、试绘制图示梁的弯矩图（１０分） （1） （2） 答案： （ １） （２） M 图 四、简答题（20分） 1. 如何求单元等效结点荷载？等效荷载的含 义是什么？ 答案： 2.求影响线的系数方程与求内力方程有何区别？ 答案： 3.动力计算与静力计算的主要区别是什么？
答案： 4.自由振动的振幅与那些量有关？ 答案 五、计算题（40分） 1、用图乘法计算如图所示简支梁A 截面的转角A ?。已知EI=常量。（10分） 答案： 解：作单位力状态，如图所示。分别作出p M 和M 图后，由图乘法得： 2.试作图示伸臂量的By F K M 的影响线。 答案： By F 的影响线 K M 的影响线 3.试用力法计算单跨静定梁。并作M 图。（10分） 解：选取基本结构，并作出单位弯局矩图 和荷载弯矩图如图所示 4.试用位移法求作图示连续梁的内力图。（10分）（型常数、载常数见附表） 解： （c ）M 解：（1）只有一个未知量，基本体系如图所示 （d ）P M （2）建立位移法典型方程01111=+P R Z K （3）作p M M ,如图所示（a ）（b ） i k 711=；218 1 81ql pl R p -= （4）代入方程解得：)(561 21ql pl i Z --= （5）叠加法绘制弯矩图（e ） （e ） 附表：型常数、载常数表 ***学院期末考试试卷 考试科目 《结构力学》 考试 试卷类型 B 答案
[收稿日期]2011 02 26 [作者简介]李继生,男,讲师,现主要从事力学算法方面的教学与研究工作。 doi:10 3969/j issn 1673 1409 2011 06 038 基于Matlab 的超静定刚架计算和内力图绘制 李继生 (黄淮学院数学科学系,河南驻马店463000) [摘要]在解算超静定刚架时,系数和自由项多,计算量大,内力图多。根据力学方法,运用数学变换, 基于M at lab 大型数学计算软件,给出了刚架的一种算法,分步编制了横杆和竖杆的计算和绘图程序。 M atlab 的这一应用减少了计算量,提高了绘图质量,拓展了M at lab 在力学中的应用范围,在结构力学计 算和绘图中具有普遍的适用性。 [关键词]超静定刚架;内力图;M atlab [中图分类号]T U 391;O 342 [文献标识码]A [文章编号]1673 1409(2011)06 0121 03 用结构力学[1]求解超静定刚架,当结构的超静定次数n 较大或未知量数目较多时,系数和自由项的计算量和绘图量很大。以力法为例,对于n n 阶系数矩阵,根据位移互等定理可知系数矩阵中,有n +(n 2-n)/2=(n 2+n)/2个计算量,再加上n 个自由项,所以一个n 次超静定应有(n 2 +3n)/2个计算量;同时,也要绘制(n+1)个弯矩图。 应用Matlab [2 8]软件的丰富可靠的程序编制、矩阵运算、数据处理和图形绘制等便利工具,可高效简捷地解决计算量和作图问题。下面,笔者基于M atlab 大型数学计算软件,给出了刚架的一种算法,分步编制了横杆和竖杆的计算和绘图程序。1 计算方法和步骤 基于M atlab,用力法计算超静定刚架一般可分为4个步骤: 依据力学知识建立超静定刚架的力法基本方程; 建立各杆段的弯矩方程,用M atlab 中的积分函数int [9]计算系数和自由项; 把系数和自由项代入力法基本方程,用M atlab 中的矩阵除法X =A /b 来计算多余未知力; 用M atlab 语言编制的程序和其中的图形编辑窗口来绘制弯矩图和剪力图。 2 应用举例 例1 用力法求图1所示刚架B 点处的反力并作刚架的弯矩图和剪力图,抗弯刚度EI =常数。 刚架是一个二次超静定结构,它的力法基本方程是: 11X 1+ 12X 2+ 1p =0 21X 1+ 22X 2+ 2p =0 式中,系数 ij 和自由项 i p 都代表基本结构的位移,i 和j 可分别取1和2。 为了计算系数和自由项,首先要列出弯矩方程,为此,取静定的基本体系(见图2)和基本结构(见图3) 。 图1 超静定刚架 图2 力法的基本体系 图3 力法的基本结构 121 长江大学学报(自然科学版) 2011年6月第8卷第6期 Journal of Yangtze University (Nat Sci Edit) Jun 2011,V ol 8N o 6
静定平面刚架 3-3 静定平面刚架 刚架是由直杆组成的并具有刚结点的结构。静定平面刚架常见的形式有： 1 悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架 复合刚架 2 基本部分 附属部分附属部分 基本部分 附属部分 基本部分 静定刚架的内力计算方法： （1）由平衡条件求出必要的支座反力。（2）用截面法求出各控制截面的弯矩。 刚架上各杆杆端截面 3 各杆端内力--- 双下标表示：即：第一个下标表示该内力所属杆端，第二个下标表示该杆的另一端。通常规定： B A D C MAC A MCA C A D MAD MDA 使刚架内侧受拉为正，也可假定任一侧受拉为正。 静定刚架的内力计算方法： （3）作图 1.先竖起各已求得的各杆杆端弯矩的纵距。 2.联线：两杆端间无荷载——两点之间联直线。两杆端间有荷载——两点之间先联虚线，然后以虚线为基线，再叠
加相应简支梁的 M图上去。（4）由结构的弯矩图（5）由结构的剪力图结构的剪力图结构的轴力图 4 例试作图示刚架的内力图 20kN 6kN/m 5 （1）由平衡条件求出必要的支座反力。（2）用截面法求出各杆杆端弯矩。 48kN 42kN ∑ MC = 0 MCB=192 C MCB 20kN MCA 144 ∑M =0 192 30 42 12 48 MCB= 144 48 MCD= 48 （3）作M图、（4）作Q图
6 48 192 144 30 12 24 126 + 48 22 42 Q图（kN) M图（kN.m) QCA=24 用截面法求出各杆杆端剪力。然后再连线作图。 48 Q图、N图可绘在杆件的任意一侧，但必须标明正负号。 （5）由Q图作N图 7 24 22 42 + Q图（kN) 48 + 22 N图（kN) NCD=0 取出结点C,由刚结点的平衡条件求出各杆端轴力 24 C 24 22 NCA=22 NCB=0
2013-6-25 3-3 静定平面刚架教学要求： … 了解刚架的特点。 … 掌握刚架的支座反力和截面内力的计算。 … 掌握刚架内力图的绘制。主要内容： … 刚架的特点… 刚架的内力计算和内力图 3-3 静定平面刚架 3-3 静定平面刚架（2）静定平面刚架的分类火车站站台起重机的刚支架小型厂房、仓库 1. 刚架的特点（1）平面刚架的定义刚架：由若干根直杆（梁和柱）用刚结点（部分可为铰结点）所组成的结构。平面刚架：组成刚架的各杆的轴线和外力在同一平面平面刚架：组成刚架的各杆的轴线和外力在同一平面。刚结点铰结点悬臂刚架简支刚架三铰刚架 3-3 静定平面刚架 3-3 静定平面刚架（3）刚架的特点: ? 内部空间大，便于利用。 ? 刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。 ? 刚结点处可以承受和传递弯矩。 2. 刚架的内力计算 ? ? ? 内力类型：弯矩、剪力、轴力计算方法：截面法内力的符号规定：弯矩弯矩弯矩：弯矩图画在受拉一侧。在拉侧剪力：使杆段顺时针转动为正。轴力：拉力为正。 1 2013-6-25 3-3 静定平面刚架示例 3-3 静定平面刚架示例例1： 10kN/m B 2m m 计算步骤：（1）计算支座反力（2）求杆端内力（3）作内力图例2： B VC C 10kN/m 1 HA VA A MA （4）结点校核 HA VA A 2m 1m 3-3 静定平面刚架示例 3-3 静定平面刚架小结例3： 20kN/m D ? 刚架特点刚结点处各杆件的夹角始终保持不变， C E 1 1m HB B 主要内力是弯矩； HA VA A 1m ? 刚架内力图绘制的解题步骤求支座反力，杆端内力，作内力图。 1m VB 3-4 静定平面桁架教学要求： … 了解静定平面桁架的受力特点。 … 掌握静定平面桁架内力计算的方法：——结点法、截面法 3-4 静定平面刚架主要内容： … 桁架的特点和组成 … 桁架内力计算方法钢筋混凝土组合屋架 2m 2 2013-6-25 3-4 静定平面刚架 3-4 静定平面刚架武汉长江大桥采用的桁架形式3-4 静定平面刚架 3-4 静定平面刚架 1. 桁架的特点和组成 ? 定义: 结点均为铰结点的结构。杆的内力主要是轴力。 ? 内力计算中的基本假定桁架的结点为光滑的铰结点。各杆的轴线均为直线且通过铰心。荷载和支座反力都作用在结点上。 ? 桁架的各部分名称上弦杆腹杆竖杆斜杆节间长度d 下弦杆跨度 L 3-4 静定平面刚架 ? 按几何组成分简单桁架: 分类 3-4 静定平面刚架 ? 按不同特征分平行弦桁架
第3章静定结构 §3.1 静定结构特性 ●静力特性（解答惟一性） 全部反力和内力均可由静力平衡条件惟一确定，且数值有限。 ●几何特性 体系几何不变，且无多余联系（约束）。 ●其它特性 1. 仅荷载引起内力。支座移动、温度改变、制造误差等因素只使结构产生位移，不产生内力、反力。如图3.1.1a所示。 2. 局部平衡原理。结构局部能平衡荷载时，仅此部分受力，其它部分没有内力。如图 3.1.1b所示。 3. 荷载等效变换特性。结构任一几何不变部分上荷载作静力等效变换时，仅使变换部分范围内的内力发生变化。如图3.1.1c所示。 4. 构造变换特性。结构任一几何不变部分在保持连接方式与不变性条件下，用另一构造方式的几何不变体代替时，其它部分受力不变。如图3.1.1d所示。 5. 主次结构传力特性。主次结构当仅基本部分承受荷载时，附属部分不受力；当荷载 § ●一般先求反力后求内力；循结构组成的相反顺序，用截面法取整体或部分为隔离体；据此列出的平衡方程足以求出全部的反力和内力。 ●不求反力（或少求反力）求内力。利用梁的荷载、剪力、弯矩之间的微分和积分关系，判断、推算控制截面内力，并以特殊点的已知内力值控制（如铰处弯矩为零）或用区段叠加法（也称简支梁叠加法）可高效准确地绘制M图（弯矩图）。根据微积分关系，由M图作Q 图（剪力图），再根据平衡条件，由Q图作N图（轴力图）。 ●根据结构特点分析内力。具有基本部分和附属部分的多层次主从结构(如多跨静定
梁)，荷载作用在基本（或高层次）部分时，附属（或较低层次）部分不受力。 空间刚架内力除弯矩、剪力、轴力外，一般还存在内扭矩。刚结点处传递力矩（力矩平衡），铰结点处传递剪力和轴力（无集中力偶时弯矩为零）。 桁架的反力计算方法同刚架；平面桁架求解中判断零杆和等量杆，可使问题简化。联合使用结点法和截面法，使桁架解法灵活多样。 具有水平推力的拱结构以承受轴向压力为主，压力线为其合理拱轴线。三铰拱为典型的静定拱。 例1 试绘出图3.2.1a结构弯矩图的形状。 解：如图为多跨静定梁与刚架的混合结构，右侧刚架是基本部分。在无水平力作用时，左侧EABCD可视为次基本部分，EFG是最低级附属部分，向两侧传力。根据传力层次和各段M 图特点，尽量少求或不求反力，快捷绘制M图。 先作EFG简支梁弯矩图，并以反作用力向两侧传递（E、G铰传递剪力），弯矩图直线延长，在DE段叠加均布荷载在伸臂段引起的弯矩；在H支座处弯矩图转折。BC杆为二力杆，可使弯矩图转折，AB伸臂段在力偶作用下的弯矩图为水平线（下缘受拉）。联接B、D竖标顶点作为基线，叠加简支梁均布荷载下的弯矩图。I处滑动支座不承受剪力，故HIJ段弯矩图为一水平线，在J支座处转折。K铰结点弯矩为零（控制点），对J、K竖标顶点联以直线， R支座反力沿L、Q 例2 试用较简便方法求图3.2.2a所示桁架中指定杆件的内力。 解：比较以下两种解法。 解法一⑴对于简支桁架，考虑整体平衡，易求得反力 V A=P（↓)， H A=P（←）， R B=P（↑） ⑵作I-I截面，取右上部分（图3.2.2a）。在与2杆垂直方向投影，得S CB =0。 ⑶ B结点成T形结点，S EB=0，S BD=-P（压），则E结点成为不承载的L形结点，S1=0。
***学院期末考试试卷 一、 填空题（20分）（每题2分） 1.一个刚片在其平面内具有 3 个自由度； 一个点在及平面内具有 2 自由 度；平面内一根链杆自由运动时具有 3 个自由度。 2.静定结构的内力分析的基本方法 截面法，隔离体上建立的基本方程是 平衡方程 。 3.杆系结构在荷载，温度变化，支座位移等因素作用下会产生 变形 和 位移 。 4.超静定结构的几何构造特征是 有多余约束的 几何不变体系 。 5.对称结构在对称荷载作用下，若取对称基本结构和对称及反对称未知力，则其 中 反对称 未知力等于零。 6.力矩分配法适用于 没有侧移未知量的超静定梁与刚架 。 7.绘制影响线的基本方法有 静力法 法和 机动法 法。 8.单元刚度矩阵的性质有 奇异性 和 对称性 。 9.结构的动力特性包括 结构的自阵频率；结构的振兴型； 结构的阻尼 。 10. 在自由振动方程0)()(2)(2. .. =++t y t y t y ωξω式中，ω称为体系的 自振频率 ，ξ称为 阻尼比 。
二、试分析图示体系的几何组成（10分） （1）（２）答案： （1）答：该体系是几何不变体系且无余联系。 （2）答：该体系是几何不变体系且无多余联系。 三、试绘制图示梁的弯矩图（１０分） （1）（2） 答案： （１）（２） M图 四、简答题（20分） 1.如何求单元等效结点荷载？等效荷载的含义是什么？答案： 2.求影响线的系数方程与求内力方程有何区别？ 答案： 3.动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答案：
4.自由振动的振幅与那些量有关？ 答案 五、计算题（40分） 1、用图乘法计算如图所示简支梁A 截面的转角A 。已知EI=常量。（10分） 答案： 解：作单位力状态，如图所示。分别作出p M 和M 图后，由图乘法得： 2.试作图示伸臂量的By F K M 的影响线。 答案： By F 的影响线 K M 的影响线
说明： (1) 总成绩构成：平时作业20分，机考20分，期末考试60分，合计共100分。 (2) 机考题型分二类，一、判断题(10分)；二、选择题(10分)。 (3) 机考题库一为判断题已有120题，机考题库二为选择题已有110题。 (4) 机考时，每位学生从题库一、二中各随机抽取6题，共作12题，每小题2分，满分20分。机考时间为一节课(30分钟) A、B、C、D四选一 选择题(已有110题，待补充) 二、静定梁与刚架(已有19题) 1．图示结构中，B点处两杆端的杆端弯矩(设内侧受拉为正)为：( C ) A. M BA = Fa，M BC = -Fa； B. M BA =2Fa，M BC = -2Fa； C. M BA = M BC = Fa； D. M BA = M BC = 0。 2．图示结构BA杆B端的杆端弯矩M BA(设左侧受拉为正)为：( C ) A. 2Fa； B. Fa； C. 3Fa； D. －3Fa。 3．图示结构杆端弯矩M BA(设左侧受拉为正)为：( B ) A. -Fa； B. Fa； C. -2Fa； D. 2Fa。
4．静定结构的内力分布，与：( A ) A. EI无关； B. EI相对值有关； C. EI绝对值有关； D. E无关，I有关。 5．图示结构C截面的弯矩M C(设下侧受拉为正)为：( B ) A. M C = 0；B. M C = +Fa；C. M C = -Fa；D. M C = +Fa/2。 6．图示结构杆端A的弯矩M A(设下侧受拉为正)为：( B ) A. M A = 0；B. M A = +Fa；C. M A = -Fa；D. M A = +2Fa。 7．在图示结构中：( B ) A. ABC段有内力； B. ABC段无内力； C. CDE段无内力； D. 全梁无内力。 8．图示结构中，支座A发生转动?，则：( D ) A. ABC部分有内力，CD部分有内力； B. ABC部分无内力，CD部分有内力； C. ABC部分有内力，CD部分无内力；